Toán 7 HH7 cđ13 1 SU DONG QUY CUA BA DUONG TRUNG TUYEN BA DUONG PHAN GIAC

CHUYÊN ĐỀ 34.1 SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN, PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Đường trung tuyến tam giác A B  Đoạn thẳng AM nối đỉnh A M C ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A ứng với cạnh BC ) ABC  Đường thẳng AM gọi đường trung tuyến ABC  Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến Tính chất đồng quy ba đường trung tuyến Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm (hay đồng quy điểm) Điểm gặp ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác Vị trí trọng tâm: Trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng qua đỉnh ấy: độ dài đường trung tuyến AG BG CG    AD BE CF PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác I Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt tỉ số liên quan đến trọng tâm tam giác II Bài toán Bài Chọn câu sai: A Trong tam giác có ba đường trung tuyến B Các đường trung tuyến tam giác cắt điểm C Giao ba đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm tam giác D Một tam giác có hai trọng tâm Lời giải Một tam giác có trọng tâm nên D sai Chọn đáp án D Bài Điền số thích hợp vào chỗ trống: “Trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng … độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy” A Lời giải B C D Chọn đáp án A độ dài đường Theo tính chất trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng trung tuyến qua đỉnh Số cần điền Bài Cho hình vẽ sau Tính tỉ số BG BE ? A E F G B C D Lời giải Ta có AD, BE,CF ba đường trung tuyến tam giác ABC chúng cắt G nên G trọng tâm tam giác ABC Theo tính chất ba đường trung tuyến tam giác ta có BG BE Bài Cho hình vẽ sau.Tình tỉ số   BG  BE AG GD ? A E F B G D C Lời giải Ta có AD, BE,CF ba đường trung tuyến tam giác ABC chúng cắt G nên G trọng tâm tam giác ABC Theo tính chất ba đường trung tuyến tam giác ta có: AG AD   AG  GD AD AD 3 AD  GD  AD  AG  AD  AD  AD   AG  2GD Bài Tam giác ABC có trung tuyến AM  9cm trọng tâm G Tính độ dài đoạn AG ? Lời giải A G B C M Vì G trọng tâm tam giác ABC AM đường trung tuyến, nên AG  AM chất ba đường trung tuyến tam giác), đó: Bài Cho ABC, BC Chứng minh  a, CA  b, AB bca  m  a AG   c Kẻ trung tuyến AM Đặt AM Lời giải A b ma B a CM Với AM ta có: AM  MB  AB (1) Với B AM C ta có: AM  MC  AC (2) Cộng vế 1   ta được:  6cm bc c 2 AM  MB  MC   AB  AC  ma (Tính Hay bca a  b   c ma 2ma Chứng minh tương tự ta có Khi ta có: bca Bài Cho ma  bc bc m  a ABC có hai đường trung tuyến BD, CE a) Tính tỉ số BG CG BD ,CE b) Chứng minh BD  BC  C E Lời giải A D E G C B Gọi giao điểm hai đường trung tuyến BD, CE G GB C có: GB Mà GB  BD , CE minh BD  B C GC  Do BD  Bài Cho  G C (bất đẳng thức tam giác) CE nên: BD  CE  BC 3  BC ABC có BC  cm , đường trung tuyến BD, CE cắt G Chứng  C E  12 cm Lời giải A D E G B GB C có: GB Mà GB  BD , Do BD  CE  G C  B C GC  (bất đẳng thức tam giác) CE nên: 3  BC   12 2 BD  CE  BC C Bài Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BP, CQ cắt G Trên tia đối tia PB lấy điểm E cho PE  PG Trên tia đối tia QG lấy điểm F cho QF  QG Chứng minh: a) GB  GE, GC  GE ; EF b)  BC EF / /BC Lời giải A F P Q E G C B a) Vì G trọng tâm AB nên BG C Lại có PE Do BG b) Suy  PG, QF  QG  GE, CG  GF GB C Từ ta có EF  GEF  BC nên GE  2GP, CG  2GQ  2GP, GF  2GQ (c.g.c) GEF  GBC  EF / / BC Bài 10 Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE cắt G Trên tia đối tia DG lấy điểm M cho D trung điểm đoạn thẳng MG Trên tia đối tia EG lấy điểm N cho E trung điểm GN Chứng minh: a) G N  GB, GM  GA; b) A N  MB AN / / MB Lời giải C M E D G N A B a) Vì G trọng tâm AB C Lại có GN  Do 2GE, GM  GB, GM GN b) Suy GB M Từ ta có AN nên BG  2GE, AG  2GD  2GD ( D , E trung điểm đoạn thẳng MG , GN )  GA;  GNA (c.g.c)  MB GMB  GAN  AN / / MB Dạng Chứng minh điểm trọng tâm tam giác I Phương pháp giải: Để chứng minh điểm trọng tâm tam giác, ta dùng hai cách sau: + Chứng minh điểm giao điểm hai đường trung tuyến tam giác + Chứng minh điểm thuộc mộtđường trung tuyến tam giác thỏa mãn tỉ lệ tính chất trọng tâmcủa tam giác II Bài toán Bài Cho hai đường thẳng xx ' yy ' cắt O Trên tia Ox lấy hai A, B cho điểm A nằm O B, AB  2OA Trên yy ' lấy hai điểm L M cho O trung điểm LM Nối B với L, B với M gọi P trung điểm MB, Q trung điểm đoạn đoạn LB Chứng minh đoạn thẳng LP MQ qua A Lời giải Ta có O trung điểm đoạn LM Suy BO đường trung tuyến Mặt khác BO  BA  AO A nằm O B hay OB  2OA  OA  3OA BLM 1  Suy BA  BO 2 Từ 1,   suy A trọng tâm BLM Mà LP MQ đường trung tuyến BLM (vì P trung điểm MB O trung điểm đoạn LM ) Suy đoạn thẳng LP MQ qua A (theo tính chất ba đường trung tuyến) Bài Cho AB C với đường trung tuyến AD Trên tia AD lấy điểm E cho AD tia BC lấy điểm M cho BC Lời giải  CM Chứng minh C trọng tâm  AEM  DE , Bài 10 Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE cắt G Trên tia đối tia DG lấy điểm M cho D trung điểm đoạn thẳng MG Trên tia đối tia EG lấy điểm N cho E trung điểm GN Chứng minh: a) G N  GB, GM  GA; b) A N  MB AN Bài 11 Cho hình Điền số thích hợp vào chỗ trống : / / MB GD  BD; AG  GE; GD  BG; AE  AG; AE  GE C D E A G B Hình Bài 12 Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD CE cắt G Cho biết BD  CE Hãy so sánh GBC GCB Dạng 2.Chứng minh điểm trọng tâm tam giác Bài Cho hai đường thẳng xx ' yy ' cắt O Trên tia Ox lấy hai A, B cho điểm A nằm O B, AB  2OA Trên yy ' lấy hai điểm L M cho O trung điểm LM Nối B L, B với M gọi P trung điểm với MB, Q trung điểm đoạn đoạn LB Chứng minh đoạn thẳng LP MQ qua A Bài Cho AB C  DE , với đường trung tuyến AD Trên tia AD lấy điểm E cho AD tia BC lấy điểm M cho BC  CM Chứng minh C trọng tâm  AEM Bài Cho ABC Trên đường trung tuyến AM tam giác đó, lấy hai D, E cho điểm AD  DE Bài Cho  EM Chứng minh E trọng tâm ABC ABC Vẽ trung tuyến BM Trên tia BM lấy hai điểm G, K cho BG  BM G trung điểm BK Gọi E trung điểm CK; GE cắt AC I Chứng minh: I trọng tâm KGC Bài Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM Gọi I trung điểm BM Trên tia đối tia IA lấy điểm E cho IE  IA a) Điểm M trọng tâm tam giác nào? b) Gọi F trung điểm CE Chứng minh ba điểm A, M , F thẳng hàng Bài Cho ABC , M trung điểm AC Trên đoạn BM lấy điểm K cho KM  KB Điểm H thuộc tia đối tia MK cho BH  2BK Gọi I điểm thuộc cạnh AC IC  CA Đường KI cắt HC E a) Chứng minh I trọng tâm HKC E trung điểm HC Chứng minh ba H , I , F thẳng hàng ( I trung điểm KC ) điểm IE b) Tính tỉ IC , số IK MC Bài Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt trung điểm O đoạn Gọi M , N trung điểm BC, CD Đoạn thẳng AM , AN cắt BD I K Chứng minh: a) I trọng tâm AB K trọng tâm  ADC ; C b) B I  IK  KD Bài Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE  BD P, Q điểm BE cho BP Gọi  PQ  QE Chứng minh: a) CP, CQ cắt AB, AE trung điểm AB, AE b) CP // AQ CQ / / AP Dạng Vấn đề đường trung tuyến tam giác vuông, tam giác cân, tam giác Bài Cho tam giác ABC cân A , trung tuyến AM Chứng minh AM vng góc với BC Bài AB có đường trung tuyến BD CE Chứng minh ABC Cho C tam giác cân AM Gọi K trung điểm BM Trên tia đối ABC, đường trung Bài Cho tam tuyến giác tia lấy KA điểm E cho KE  KA a) Điểm M trọng tâm tam giác nào? Vì sao? A, M , F thẳng hàng b) Gọi F trung điểm CE Chứng minh ba điểm Bài Cho AB vuông A , trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho C MD  MA a) Tính ABD AB D b) Chứng minh c) Chứng minh AM  BAC  BC Bài Cho tam giác ABC cân A Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E cho DAE  ABD Chứng minh DAE  ECB Bài Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BD CE Chứng minh : ABC tam giác cân Bài Cho AM  BN có ba đường trung tuyến AM , BN, CP cắt G Biết  CP Chứng ABC Bài Cho AG  BG AB C AB C có ba đường trung tuyến  CG Chứng ABC minh BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác Bài Cho hình Điền số thích hợp vào chỗ trống : AM , BN, CP cắt G Biết GD  BD; AG  GE; GD  BG; AE  AG; AE  GE C D E A G B Hình Bài Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD CE cắt G Cho biết BD  CE Hãy so sánh GBC GCB Dạng Chứng minh điểm trọng tâm tam giác Bài Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM Gọi I trung điểm BM Trên tia đối tia IA lấy điểm E cho IE  IA a) Điểm M trọng tâm tam giác nào? b) Gọi F trung điểm CE Chứng minh ba điểm A, M , F thẳng hàng Bài Cho ABC , M trung điểm AC Trên đoạn BM lấy điểm K cho KM  KB Điểm H thuộc tia đối tia MK cho BH  2BK Gọi I điểm thuộc cạnh AC IC  CA Đường KI cắt HC E a) Chứng minh I trọng tâm HKC E trung điểm HC Chứng minh ba H , I , F thẳng hàng ( I trung điểm KC ) điểm IE b) Tính tỉ IC , số IK MC M , N lần Bài Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt trung điểm O đoạn Gọi lượt trung điểm BC, CD Đoạn thẳng AM , AN cắt BD I K Chứng minh: a) I trọng tâm AB K trọng tâm  ADC ; C b) B I  IK  KD Bài Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE  BD Gọi P, Q điểm BE cho BP  PQ  QE Chứng minh: a) CP, CQ cắt AB, AE trung điểm AB, AE b) CP//AQ CQ//AP Dạng Vấn đề đường trung tuyến tam giác vuông, tam giác cân, tam giác Bài Cho tam giác ABC cân A Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E cho DAE  ABD Chứng minh DAE  ECB Bài Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BD CE Chứng minh : ABC tam giác cân Bài Cho AM  BN có ba đường trung tuyến AM , BN, CP cắt G Biết  CP Chứng ABC Bài Cho AG  BG AB C AB C có ba đường trung tuyến  CG Chứng AM , BN, CP cắt G Biết ABC minh CHUYÊN ĐỀ 34.2 BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG MỘT TAM GIÁC PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Tia phân giác góc + Định nghĩa tia phân giác góc: Tia phân giác góc tia nằm hai cạnh góc tạo với hai cạnh hai góc + Đường thẳng chứa tia phân giác góc gọi đường phân giác góc + Mọi điểm tia phân giác góc cách hai cạnh góc Ngược lại, điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc x A z M O B y Đường phân giác tam giác - Trong tam giác ABC , tia phân giác góc A cắt cạnh BC điểm M đoạn thẳng AM gọi đường phân giác xuất phát từ đỉnh A ABC - Mỗi tam giác có ba đường phân giác Tính chất ba đường phân giác tam giác: * Định lí: Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác A K E L F I B H C PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng Chứng minh đoạn thẳng nhau, góc nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc I Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: + Giao điểm hai đường phân giác hai góc tam giác nằm đường phân giác góc thứ ba + Giao điểm đường phân giác tam giác cách ba cạnh tam giác + Tổng ba góc tam giác 180 II Bài tốn Bài Tìm x hình vẽ sau biết CI BI hai phân giác ACB ABC , EH FH hai phân giác DEF DFE Lời giải B a) Ta có +C  2IBC + 2ICB  2(IBC  ICB)  120 = A  180  (B + C)  180 120  60 Mà BI , CI tia phân giác B C nên I giao điểm ba đường phân giác ABC  AI tia phân giác A x A  30 b) Ta có DE cân D  F  E  2HEF  64 F  FH DFE  x  tia phân giác Bài Cho DEF  32 ABC có A  120 Các đường phân AD, BE Tính số đo góc BED giác Lời giải x A E 2 B C D Gọi Ax tia đối AB Ta có: BAD  DAC  BAC  60 (vì AD tia phân giác BAC ) nên CAx  60 Xé ABD có AE tia phân giác góc ngồi đỉnh A , BE tia phân giác góc B chúng t cắt E , nên DE tia phân giác góc ngồi góc D Mà EDC góc ngồi đỉnh D BED , nên Do BED  D  B Bài Cho AB C  ADC  ABC  BED  B2  EDC ABD  BAD  ABC  BAD  30 Gọi I giao điểm hai đường phân giác kẻ từ góc B C Tính số đo góc BIC trường hợp: a) BAC  80 Lời giải b) BAC  120  BAC  80 Ta có BI phân giác ABC Suy IBC  ABC Ta có CI phân giác ACB Suy ICB  BCA Xé IB t C có : BIC  IBC  BCI  180 1 180 2 Suy BIC  ABC  BCA  Suy BIC  Suy 180 BIC  180  Suy  ABC  BCA  BIC  2180 180 BAC  Suy Suy ABC  BCA BIC  90  Suy BIC  90  BIC  90  2 BAC a 80 Suy BIC  130  BAC  120 Ta có BIC  90  120 Suy BIC  150 Bài Cho ABC , tia phân giác góc B góc C cắt I a) Biết A  70 , tính số đo góc BIC b) Biết BIC  140 , tính số đo góc A Lời giải A I C B a) Xét ABC , ta tính Do B  C  110 IBC  ICB  55 đó, Vậy BIC  180  55  125 b) Xét BIC , từ giả thiết suy IBC  ICB  40 Do đó, ta có: ABC  ACB  80 Vậy BAC  100 Bài Cho AB C cân A Gọi D trung điểm BC ; E F chân đường vng góc kẻ từ D đến AB, AC Chứng minh DE  DF Lời giải Xé AB t C cân A có AD đường trung tuyến đồng thời đường phân giác góc A Ta có DE  AB; DF  AC  gt  Mà AD đường phân giác góc A (chứng minh trên) Suy DE = DF Bài Cho ABC có A  90 tia phân giác B C cắt I Gọi D, E chân đường vng góc hạ từ I đến cạnh AB AC a) Biết ID  2cm Tính IE ? b) Biết ID  x  IE  2x  Tìm x ? , Lời giải B D I A a) Xét AB C E có tia phân giác B C cắt I Nên I giao điểm ba đường C phân giác ABC , suy AI đường phân giác góc A I cách ba cạnh ABC (tính chất ba đường phân giác tam giác) Vì I giao điểm ba đường phân giác AB phân giác tam giác) C nên IE  ID  (tính chất ba đường 2cm b) Ta có: IE  ID (chứng minh phần a)  2x   x   2x  x   x6 Bài Cho AB C gọi I giao điểm hai tia phân giác góc A góc B Qua I kẻ đường thẳng song song với BC , cắt AB M , cắt AC N Chứng minh MN  BM  CN Lời giải A N M B I 2 1 C Ba phân giác tam giác qua điểm nên CI tia phân giác góc C Vì MN nên C1  I2 //BC Mà C1  nên nên C2  I2 C2 Do NI C cân nên NC  Tương tự, ta có: Từ 1 (so le trong) NI MB  MI   ta có: CN (1) (2) MI  IN  BM  hay MN  BM  CN ... phân giác ACB Suy ICB  BCA Xé IB t C có : BIC  IBC  BCI  18 0 1 180 2 Suy BIC  ABC  BCA  Suy BIC  Suy 18 0 BIC  18 0  Suy  ABC  BCA  BIC  218 0 ? ?18 0 BAC  Suy Suy ABC  BCA... khác BO  BA  AO A nằm O B hay OB  2OA  OA  3OA BLM ? ?1  Suy BA  BO 2 Từ ? ?1? ??,   suy A trọng tâm BLM Mà LP MQ đường trung tuyến BLM (vì P trung điểm MB O trung điểm đoạn LM ) Suy đoạn... BIC  90  Suy BIC  90  BIC  90  2 BAC a 80 Suy BIC  13 0  BAC  12 0 Ta có BIC  90  12 0 Suy BIC  15 0 Bài Cho ABC , tia phân giác góc B góc C cắt I a) Biết A  70  , tính số