Toán 7 HH7 cđ9 1 TAM GIAC CAN DUONG TRUNG TRUC CUA DOAN THANG

CHUYÊN ĐỀ 16: TAM GIÁC CÂN ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Tam giác cân a Định nghĩa: Tam giác cân tam giác có hai cạnh A B ABC cân A  C ABC ABAC b Tính chất: Trong tam giác cân, hai góc đáy Ngược lại tam giác có hai góc đáy tam giác tam giác cân ABC cân A  B C c Dấu hiệu nhận biết: - Tam giác có hai cạnh tam giác cân - Nếu tam giác có hai góc tam giác tam giác cân Tam giác vuông cân a Định nghĩa: Tam giác vng cân tam giác vng có hai cạnh góc vng A B ABC vng cân A  C ABC A90 ABAC b Tính chất: Mỗi góc nhọn tam giác vng cân 45o B C45o ABC vuông cân A Tam giác a Định nghĩa: Tam giác tam giác có ba cạnh  ABC  ABC ABBCCA A B C b Tính chất: Trong tam giác góc 60 c Dấu hiệu nhận biết - Tam giác có cạnh tam giác tam giác - Nếu tam giác có ba góc tam giác tam giác - Nếu tam giác cân có góc 60 tam giác tam giác Đường trung trực đoạn thẳng a Định nghĩa đường trung trực: Đường trung trực đoạn thẳng đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm d M A B Trên hình vẽ bên, d đường trung trực đoạn thẳng AB Ta nói: A đối xứng B qua d b Tính chất: Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng c Nhận xét: Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng MA MB M thuộc đường trung trực AB d Tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng Chứng minh tam giác cân, tam giác sử dụng tính chất tam giác cân, tam giác để giải toán I Phương pháp giải: Dựa dấu hiệu nhận biết tam giác cân, tam giác Dựa vào tính chất tam giác cân, tam giác để tính số đo góc chứng minh góc nhau, cạnh II Bài tốn Bài Trong hình sau, hình tam giác cân, hình tam giác đều? Giải thích sao? E I D A 60° 80° 50° B C M K F H G Lời giải: a) Xét Xét AB C có: AB  AC  nên AB BC C ACM có: AC  CM b) Trong DF nên AC cân C M có K  D  F  180 K Ta có K  180 F  D  50 KF  DFK cân D c) Xét IG H có: IG  nên IGH cân G GH Mà GIH  60 nên IG H Xét EGH có: EG  EH nên EG cân E H Bài Trong hình sau, hình tam giác cân, hình tam giác đều? Giải thích sao? F M E H D a) Trong G L O P N DEH có DE  DH  DEH cân D Ta có DE  DH; EF  HG  DE  EF  DH  HG  DF  DG  DFG cân D b) Ta có MO  MP  PO  MPO Lại có LO  MO  LOM cân O MP  PN  MPN cân P Vì MOP nên POM  MPO  60 Mà MOP  MOL  180 (hai góc kề bù); MPO  MPN  180 (hai góc kề bù)  MOL  MPN Xét MO L MPN MOL  MPN Suy ta có: (cmt), OL  PN (gt), MO  MP (gt) MOL  MPN (c.g.c) Do ML  MN  LMN cân M Bài Cho tam giác ABC cân A Tính số đo góc cịn lại tam giác ABC biết: a) A = 40°; b) B = 50°; c) C = 60° Lời giải: a) Trong ABC có A  B  C  180  B  C  180  A  180  40  140 Mà B  (Vì ABC cân A ) C BC b) Trong 140  70 ABC có A  B  C  180 Mà ABC cân A  B  C  50  A  180  2.B  108  2.50  80 c) Trong ABC có A  B  C  180 Mà ABC cân A  B  C  60  A  180  2.C  180  2.60  60 Bài Tìm số đo x hình vẽ sau: B C x D A Lời giải: Trong ABC vng A có AB  nên ABC vuông cân A AC  ABC  ACB  45 Xét ADC có AC  DC nên AD cân C C  CDA  CAD  x Ta lại có BCA góc ngồi ADC  BCA  CDA  CAB  x  x  2x Do 2x  45  x  22,5 Bài Cho tam giác ABD cân A có A = 40° Trên tia đối tia DB lấy điểm C cho DC  DA Tính số đo góc ACB Lời giải: A 40° B AB Trong C D có BAD  B  ADB  180  B  ADB  180  BAD  140 Mà B  ADB ( ABD cân A )  B  ADB  140  70 Ta có ADB  ADC  180 (hai góc kề bù)  ADC  110 AD C có DC  DA (gt)  ADC cân D C ACB  180  ADC 180 110   35 Bài Cho tam giác ABC vuông A , B  30 Trên cạnh BC lấy M cho AM  BM Chứng minh AMC Lời giải: C M 30° A Ta có AM  BM B (gt)  AMB cân M  BAM  B Vì ABC vng A  B  C  90 Mà BAM  CAM  90 ; BAM  B (cmt) Nên CAM  C  AMC cân M Ta lại có C  90 B  60 Suy AM C Bài Cho tam giác ABC Tia phân giác góc B cắt cạnh AC D Qua D kẻ đường thẳng song song với BC , cắt cạnh AB E Chứng minh tam giác EBD cân Lời giải: A ED C B Vì DE // BC nên DBC  EDB Mà DBC  DBE (vì hai góc so le trong) (vì BD tia phân giác ABC )  EBD  EDB  EDB cân E Bài Cho tam giác ABC vuông cân A Tia phân giác góc A cắt cạnh BC D Trên cạnh AB AC lấy điểm E F cho AE  CF Chứng minh ABD, ADC, AEF vuông cân Lời giải: B D E A F C Xét AEF vng A có AE  AF  AEF vng cân A Vì ABC vng cân A  B  C  45 Ta lại có: AD phân giác  BAD  CAD  BAC Xét  ABD có BDA  180 B  BAD BAC  45   90  AD  BC  ADC  90 B  DAB  Xét ADB vng D có 45  ADB vng cân D Xét ADC vng D có C  DAC  45  ADC vuông cân D Bài Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CA lấy điểm M, N, P cho AM  BN  CP Chứng minh tam giác MNP Lời giải: A M P B N Ta có AB  BC  CA AM  BN  CP  AB  AM  BC  BN  CA  CP  MB  NC  PA Xét MB N NCP ta có: C B D C có: AD cạnh chung BAD  EAD (Vì AD tia phân giác BAC ) AB  AE (gt) Do ABD  AED (c.g.c) nên BD  DE b) Vì BD  DE (cmt) suy D nằm đường trung trực BE (1) Theo giả thiết: AB  AE suy A nằm đường trung trực BE (2) Từ (1) (2) , suy AD đường trung trực BE Bài Cho DE F có DE  DF Lấy điểm K nằm tam giác cho KE  KF Kẻ KP vng góc với DE ( P  DE ), KQ vng góc với DF ( Q  DF ) Chứng minh: a) K thuộc đường trung trực EF PQ ; b) DK đường trung trực EF PQ Từ suy Lời giải: D P Q K E DE  a) Ta có: DF nên K , D thuộc trung trực EF  KE  KF Xét DE K DFK có: PK cạnh chung KE  KF (gt) DE  DF (gt) Do ABD  AED (c.g.c) nên BD  DE  D1  D2 Xét DP K DQK F có: PQ // EF DPK  DQK  90 D1  D2 (cmt) DK cạnh chung Do DPK  DQK  PK  QK DP  DQ Từ suy K , D thuộc trung trực PQ b) Ta có K , D thuộc trung trực EF  DK đường trung trực PQ  DK  PQ (1) Ta lại có K , D thuộc trung trực PQ  DK đường trung trực EF  DK  EF (2) Từ (1) (2) , suy PQ // EF Bài Cho AB cân A , M trung điểm BC ME vng góc với AB , MF vng C góc với AC Chứng minh: a) AM trung trực của BC ; b) ME  MF AM trung trực EF ; c) EF // BC Lời giải: A E B a) Ta có AB cân A  AB  C F M (1) AC Mà MB  MC ( Vì M trung điểm BC ) (2) Suy  AM A, M thuộc đường trung trực BC trung trực của BC b) Vì AB cân A nên B  C C Xét BE M có: CFM BEM  CFM  90 (gt) BM  CM ( M trung điểm BC ) C B  C (Vì AB C cân A ) Do BEM  CFM (ch-gn)  ME  MF Ta có BEM  CFM (ch-gn)  BE  CF Mà ABC cân A  AB  AC Do AB  BE  AC  CF  AE  AF Mặt khác, ME  MF nên AM đường trung trực đoạn thẳng EF c) Ta có: AM đường trung trực BC EF  AM  BC , AM  EF  EF // BC Bài Cho góc xOy khác góc bẹt Oz tia phân giác xOy Gọi M điểm thuộc tia Oz Qua M vẽ đường thẳng a vng góc với Ox A, cắt Oy C vẽ đường thẳng b vng góc với Oy B , cắt Ox D Chứng minh: a) Điểm O thuộc đường trung trực AB ; b) OM đường trung trực AB ; c) OM đường trung trực CD d) AB // CD Lời giải: D x A z M O a) Xét OA M B có: OEM OM cạnh chung O1  O2 (Vì Oz tia phân giác xOy ) OAM  OBM  90 (gt) OAM  OEM (ch-gn) Do nên OA  OB  MA  MB Vì OA  OB nên O thuộc đường trung trực AB b) Vì MA  MB nên M thuộc trung trực AB Mà O thuộc trung trực AB C y Suy OM đường trung trực AB c) OBD  OAC (c.g.c) Nên OD  OC  O thuộc đường trung trực CD (1) OMD  OMC (c.g.c) Nên MD  MC  M thuộc đường trung trực CD (2) Từ (1) (2) suy OM thuộc đường trung trực CD d) Ta có OM đường trung trực AB CD  OM  AB , OM  CD  AB // CD Bài Cho hai điểm A , B nằm phía với đường thẳng d Xác định vị trí điểm M đường thẳng d cho M cách hai điểm A B Lời giải: B A d M Vì điểm M cách hai điểm A B nên M thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB Vậy điểm M giao điểm đường thẳng d với đường trung trực AB Chú ý: Nếu A , B nằm cho AB  d khơng tồn điểm cần tìm Bài Cho tam giác ABC cân A ( A < 90°) Đường trung trực cạnh AC cắt tia CB điểm D Trên tia đối tia AD lấy điểm E cho AE  BD Chứng minh: a) Chứng minh ADC cân; b) Chứng minh DAC  ABC ; c) Chứng minh AD  CE ; d) Lấy F trung điểm DE Chứng minh CF đường trung trực DE Lời giải: E A F D B C a) Vì D thuộc đường trung trực AC nên DA  DC  ADC cân b) AD C cân  DAC  DCA (1) Vì AB  AC nên ABC  DCA (2) Từ (1) (2)  DAC  ABC c) Ta có : EAC  DAC  DBA  ABC( 180) Mà DAC  DCA suy EAC  ABD Chứng minh EAC  DBA (c.g.c)  AD  CE d) Ta có: AD  CE , DA  DC nên CE  CD Mà FE  FD ( F trung điểm DE )  CF đường trung trực DE Bài Cho AB C nhọn, đường cao AH Lấy điểm P Q đối xứng với H qua AB ; AC a) Chứng minh AP  AQ b) Gọi I , K giao điểm PQ với AB , AC Chứng minh API  AHI AHK  AQK c) Chứng minh HA tia phân giác IHK d) Cho BAC = 60° Tính số đo góc PAQ Lời giải: A Q K I P B H C a) Ta có P đối xứng với H qua AB nên AB đường trung trực đoạn thẳng PH  AP  AH Ta lại có Q đối xứng với H qua AC nên AC đường trung trực đoạn thẳng QH  AQ  AH Do AP  AQ   AH  b) Xét AP I AHI ta có: AP  AH ( A nằm đường trung trực đoạn thẳng PH ) IP  IH ( I nằm đường trung trực đoạn thẳng PH ) AI cạnh chung Vậy API  AHI (c.c.c)  API  AHI (1) Chứng minh tương tự: AHK  AQK ( c.c.c)  AHK  AQK (2) c) Ta có AP  AQ  PAQ cân A  API  AQK (3) Từ (1), (2) (3) có: AHI  AHK  HA tia phân giác IHK d) Ta có API  AHI  PAI  HAI AHK  AQK  HAK  QAK Mà PAQ  PAH  HAQ  2(IAH  HAK )  2BAC  120 Vậy PAQ  120 Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác B cắt AC E Từ E kẻ EH vng góc với BC H a) Chứng minh: ABE  HBE b) Chứng minh BE đường trung trực đoạn thẳng AH c) Kẻ AD  BC (D  BC) Chứng minh AH tia phân giác DAC Lời giải: B D H a) X ét ABE A HBE C E ta có: BAE  BHE  90 BE cạnh chung ABE  DBE (gt) Suy ABE  HBE b) Vì ABE  HBE (cạnh huyền - góc nhọn) (cmt)  BA  BH , EA  EH BA  BH (hai cạnh tương ứng) nên B thuộc đường trung trực AH EA  EH (hai cạnh tương ứng) nên E thuộc đường trung trực AH Vậy BE đường trung trực đoạn thẳng AH c) Ta có: AD // EH (cùng vng góc với BC ) nên DAH  EHA (so le trong) Vì EA  EH (cmt) nên tam giác EAH cân E nên EAH  EHA Vậy EAH  DAH hay AH tia phân giác DAC Phần III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Chứng minh tam giác cân, tam giác sử dụng tính chất tam giác cân, tam giác để giải toán Bài 1: Trong hình sau, hình tam giác cân, hình tam giác đều? E Q K G 70° I 36° 40° 60° N 36 ° M S J 72° F D R Bài Tìm số đo x hình vẽ sau: T S X 70° Y V Bài Cho tam giác ABC vuông cân A Trên đường thẳng AB lấy điểm D cho BD  BC ( D A khác phía so với B ) Tính số đo góc tam giác ADC Bài Cho AB C cân A Trên cạnh AC , AB lấy M , N cho AM  AN a) Chứng minh ABM  ACN b) Gọi O giao điểm BM CN Chứng minh tam giác OBC cân Bài Cho xOy = 60°, điểm A thuộc tia phân giác xOy Kẻ AB  ( B Ox ) Ox AC  Oy ( C Oy ) Tam giác OBC tam giác gì? Tại sao? Bài Cho tam giác ABC vuông A , BC  2AB D trung điểm cạnh vng góc AC D BC E Chứng minh với cắt b) ABE a) EAC cân Bài 7: Cho tam giác AC Đường thẳng A(AB  AC) Tia phân giác góc A cắt BC D ABC vuông Qua đường thẳng vng góc với BC D , AE  AF Chứng minh cắt AC b) DBF tam giác cân; a) ABC  DEC ; D kẻ F Trên AB lấy điểm F cho c) DB  DE Dạng Vận dụng tính chất đường trung trực để giải toán Bài Tam giác AB C có điểm A thuộc đường trung trực BC Biết B  40 Tính số đo góc Bài Cho ABC cân có A  90 Các đường trung trực tự D E hai trung trực cắt F AB C a) Biết A  110 Tính số đo góc AB AC cắt cạnh BC theo thứ DAE b) Chứng minh 2BAC  DAE 180 c) Tính số đo DFE Bài Cho góc AK xOy Từ điểm A nằm góc kẻ AH vng góc với Oy ( K vng góc với Ox ( H thuộc Oy ) Trên tia đối tia HA lấy điểm B HB  HA Trên tia đối tia KA lấy điểm C OB  OC thuộc Ox ) cho cho KC  KA Chứng minh Bài Cho vuông A trung điểm cạnh AB Đường trung trực cạnh M AB cắt cạnh N Gọi giao điểm AN BC CM I AB C a Chứng minh b Chứng minh N AN B tam giác cân So sánh: trung điểm NAB NBA BC c Nếu IB  IC , tính số đo ABC Dạng Chứng minh điểm thuộc đường trung trực Chứng minh đường thẳng đường trung trực đoạn thẳng Bài Cho xOy  90 Trên tia lấy điểm A , tia lấy điểm B Kẻ đường trung trực Oy Ox HM đoạn thẳng OA ( H OA M  AB ) Chứng minh thuộc đường trung trực , M OB ABC có AB  AC Xác định điểm D AC cho DA  DB  AC Bài Cho tam giác Bài Cho bốn điểm Giao điểm A, B, C, D tạo thành hình có AC BD O Từ O AB // CD BC // AD hình vẽ vẽ vng góc với AC cắt cạnh BC , AD M , N Chứng minh AC trung trực MN AM  MC  CN  NA B M C O A N D Bài Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác B cắt AC E Từ E kẻ EH vng góc với BC H a) Chứng minh: ABE  HBE b) Chứng minh BE đường trung trực đoạn thẳng AH c) Kẻ AD  BC (D  BC) Chứng minh AH tia phân giác DAC Bài Cho tam giác AB C cố định, đường phân giác AI ( I  BC ) Trên đoạn thẳng điểm H Từ AB kéo dài kẻ đường thẳng song song với AI , H E cắt F Chứng minh: A tam giác ABC ; qua a) Đường trung trực đỉnh EF b) Khi H định di động đoạn thẳng IC lấy IC cắt AC đường trung trực đoạn thẳng EF cố ... chất: Trong tam giác góc 60 c Dấu hiệu nhận biết - Tam giác có cạnh tam giác tam giác - Nếu tam giác có ba góc tam giác tam giác - Nếu tam giác cân có góc 60 tam giác tam giác Đường trung trực... ABD cân A )  B  ADB  14 0  70  Ta có ADB  ADC  18 0 (hai góc kề bù)  ADC  11 0 AD C có DC  DA (gt)  ADC cân D C ACB  18 0  ADC 18 0 ? ?11 0   35 Bài Cho tam giác ABC vuông A , B... M trung điểm AB Lời giải: x x A A M1 M2 M B O y O B y a) Gọi M , M giao điểm trung trực đoạn OA , OB với AB Ta có M1 nằm đường trung trực đoạn thẳng OA  M1 A  M1O  M1OA cân M1 nên A  (1)