HH7 cđ9 2 TAM GIAC CAN DUONG TRUNG TRUC CUA DOAN THANG

ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Nhận biết tam giác cân, tam giác Vận dụng tính chất tam giác cân, tam giác để tính số đo góc chứng minh góc nhau, cạnh Bài Bài 1: Bài Bài Trong hình sau, hình tam giác cân, hình tam giác đều? E Q K G 70° 36° 40° I 60° N J D R Lời giải: a) Trong KI J có K  I  J  180 Ta có K  180 I  J  70 KI  IJK cân J b) Ta có: QRS có QR  QS QRS  60  QRS Suy 36 ° M S QRN  QSM (c.g.c)  QN  QM  QMN cân c) Ta có DGF  72  DGE  108; DEF  36 Xét DEF có EDF  EFD  72 suy DEF cân E Xét DFG có DGF  DFG  72  DFG cân D Xét DG có EDG  DEG  36  DGE cân G E Bài Tìm số đo x hình vẽ sau: T 70° X 72° F S nên TS Vì TS  TY Y cân T Y Lời giải: V  TYS  S  70 Vì TY  YV nê TY n V cân Y  YTV  V  x nên TYS  YTV V  2x  70 TY Ta có TYS góc ngồi V  x  35 Bài Cho tam giác BD  BC ( D ABC vuông cân A Trên đường thẳng AB lấy điểm D cho ADC A khác phía so với B ) Tính số đo góc tam giác Lời giải: D B A C Có ABC  ACB  45  CBD  135 BC cân suy 180 135    22,5 ADC BCD D B Tam giác Suy ACD  67,5 Bài Cho AB C cân A Trên cạnh AC , AB lấy M , N cho AM  AN a) Chứng minh ABM  ACN b) Gọi O giao điểm BM CN Chứng minh tam giác OBC Lời giải: A cân N M O AM a) Xét B ANC B ta có: C AM  AN (gt) BAC góc chung AB  AC ( ABC cân A ) Suy AMB  ANC (c.g.c)  ABM  ACN b) Ta có: ABC  ABM  MBC , ACB  ACN  NCB Mà ABM  ACN (cmt), ABC  ( ABC cân A ) ACB Do MBC  NCB Hay OBC  OCB  OBC cân O Bài Cho xO y AC  Oy = 60°, điểm A thuộc tia phân giác xOy Kẻ AB  Ox ( C Oy ) Tam giác OB tam giác gì? Tại sao? C Lời giải: y B A Xét AB O AOB  AOC O C ACO ta có: (vì OA phân giác xOy ) ABO  ACO  90 OA cạnh chung Suy ABO  ACO (ch.gn)  OB  OC  OBC cân O OBC có BOC  60  OBC x ( B Ox ) Bài Cho tam giác vng góc với ABC vng A , BC  2AB D trung điểm cạnh AC D cắt BC E Chứng minh b) ABE a) EAC cân Lời giải: AC Đường thẳng B E D A a) Xét EAD ECD có ED chung suy C DA  DC; EDA  EDC; EDA  ECD Suy EA  EC  ECA cân  ABE  ECA  90   ABE  EAC  90 b) Ta có   ECA  EAC  BAE  EBA (cùng phụ góc BAE ) ABE cân AB      AB EC BE EA E Suy  ABE Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A(AB  AC) Tia phân giác góc A cắt BC D Qua đường thẳng vng góc với BC D , AE  AF Chứng minh cắt a) ABC  DEC AC F Trên AB lấy điểm F cho b) DBF tam giác cân; ; c) DB  DE Lời giải: B D F A E a) Ta có ABC  ACB  90; ACB  DEC  90 suy ABC  DEC D kẻ C b) Xét FAD EAD có: AD chung; FAD  EAD; AF  AE Suy FAD  EDA (c.g.c)  DFA  DEA;  DFB  DEC mà ABC  DEC  ABC  DFB  DBF cân D c) Ta có FAD  EDA  DE  DF (1) Tam giác DBF cân D  DB  DF (2) Từ (1) (2) suy DB  DE Dạng Vận dụng tính chất đường trung trực để giải toán Bài Tam giác AB C có điểm A thuộc đường trung trực BC Biết B  40 Tính số đo góc ABC Lời giải: A 40° B Vì A C nằm đường trung trực nên AB  AC BC Suy AB C cân A Tính được: ACB  40 BAC  100 , Bài Cho AB cân A có A  90 Các đường trung trực AB theo thứ tự và hai trung trực cắt F D E C Biết A  110 Tính số đo góc DAE  Chứng minh 2BAC  DAE 180 AC cắt cạnh BC  Tính số đo DFE Lời giải: A B D E C F a) AB C cân A BC 180  BAC 180 110    35 2 Ta có D nằm đường trung trực đoạn thẳng AB  DA  DB  ADB cân D  B  A1  35 Tương tự E  AEC nằm đường trung trực đoạn thẳng AC  EA  EC cân E  C  A3  35 DAE  BAC  A1  A3  110 2.35  40 b) Ta có: DAE 180  A  (B  C  BAC)  A  A  A  BAC  BAC  BAC  2BAC 2 Vậy 2BAC  DAE 180 Bài Cho góc AK xOy Từ điểm A nằm góc kẻ AH vng góc với Oy ( K vng góc với Ox ( H thuộc Oy ) Trên tia đối tia HA lấy điểm B HB  HA Trên tia đối tia KA lấy điểm C OB  OC Lời giải: thuộc Ox ) cho cho KC  KA Chứng minh y C K A x O H B Ox đường trung trực AB , O  AB Nên OA  OB (1) Tương tự ta có đường trung trực AC , O  AC Oy Nên OA  OC (2) Từ (1) (2) suy OB  OC Bài Cho vuông A trung điểm cạnh AB Đường trung trực cạnh M AB cắt cạnh N Gọi giao điểm AN BC CM I AB C a Chứng minh b Chứng minh N AN B tam giác cân So sánh: trung điểm BC c Nếu IB  IC , tính số đo ABC Lời giải: NAB NBA B B N M M I 1 C A a) Vì N N nằm đường trung trực đoạn I C A AB nên NA  NB  ANB tam giác cân đỉnh N b) AN B AB C nên B  A1 tam giác cân đỉnh N vuông A nên B  ACB  90 Mà A1  A2  90 Suy AN Nên A2  ACB cân N  AN  NC C Mà NA  nên NB  NC NB Do trung điểm N c) Nếu IB  IC Mà A BC mà NB  NC nên IN đường trung trực BC nên AB  AC IN Khi AB C vng cân A  ABC  45 Dạng Chứng minh điểm thuộc đường trung trực Chứng minh đường thẳng đường trung trực đoạn thẳng Bài Cho xOy  90 Trên tia Ox lấy điểm A , tia lấy điểm B Kẻ đường trung trực Oy HM đoạn thẳng OA ( H OA M  AB ) Chứng minh , M OB Lời giải: thuộc đường trung trực y B M O 21 HA Ta có HM x đường trung trực đoạn thẳng OA nên MA  MO  OMA cân  O2  A1 M Mặt khác, A1  B1  O2  O1  90  O1  B1  MO  MB Vậy M thuộc trung trực OB Bài Cho tam giác AB C a) Chứng minh b) Chứng minh A Gọi H có cân trung điểm ABH  ACH AH đường trung trực BC c) Trên tia đối tia HA lấy điểm I cho HA  HI Chứng minh rằng: IC // AB d) Chứng minh CAH  CIH A H B I a) ABH BC ACH có: C AB  AC (gt) AH cạnh chung HB  HC ( trung điểm H Suy ra: BC ) (c-c-c) ABH  ACH b) Ta có: AHB  AHC  180 ( góc kề bù) Mà AHB  ( ABH  ACH ) AHC  AHB  900  AH  BC Mà H trung điểm (gt) BC Nên AH đường trung trực BC c) AB H có: IHC HA  HI (gt) AHB  IHC (đối đỉnh) HB  HC ( H trung điểm BC ) Suy ra: ABH  IHC (c-g-c)  BAH  CIH Mà BAH Nên vị trí so le CIH IC // AB d) Ta có: BAH  ( ABH  ACH ) CAH Mà BAH  CIH ( cm trên) Nên CAH  CIH Bài Cho tam giác ABC có AB  AC Xác định điểm D AC cho DA  DB  AC Lời giải: A D B C Ta có: AC  DA  DC Nên DA  DB  AC  DA  DB  AD  DC  DB  DC  D thuộc đường trung trực BC Vậy D giao điểm Bài Cho bốn điểm AC với đường trung trực BC A, B, C, D Giao điểm AB // CD tạo thành hình có AC BD O Từ O DA  DB  AC BC // AD hình vẽ vẽ vng góc với AC cắt cạnh BC , AD M , N Chứng minh AC trung trực MN AM  MC  CN  NA Lời giải: B M C O A N Chứng minh được: BAC  DCA (g.c.g) nên BC  AD ; BOC  DOA(g.c.g) nên OC  AO Do BC // AD nên MCO  NAO (so le trong) D MOC  NOA  OM  ON , AC  MN nên AC trung trực MN Suy AM  AN trung điểm MN CM  CN , MN trung trực AC nên AM  MC Suy AM  MC  CN  NA Bài Cho tam giác AB C cố định, đường phân giác AI ( I  BC ) Trên đoạn thẳng điểm H Từ AB kéo dài kẻ đường thẳng song song với AI , H E cắt F Chứng minh: qua A tam giác ABC ; a) Đường trung trực đỉnh EF b) Khi H định IC Lời giải: E A B a) Vì HE // AI nên E  A1 I (đồng vị) Mà A1  A2 , E  F1  F H C F1  A2 (so le trong) cân A AEF  AE  AF  Đường trung trực EF b) Vì EF // AI cắt AC đường trung trực đoạn thẳng EF di động đoạn thẳng qua đỉnh nên đường trung trực EF lấy IC A tam giác ABC vng góc với AI cố Từ kết ý a), suy đường trung trực qua điểm A vng góc với EF AI cố định Vậy đường trung trực đoạn thẳng EF cố định PHIẾU BÀI TẬP Dạng Nhận biết tam giác cân, tam giác Vận dụng tính chất tam giác cân, tam giác để tính số đo góc chứng minh góc nhau, cạnh Trong hình sau, hình tam giác cân, hình tam giác đều? Giải thích sao? E D A I 60° 80° 50° B G K F C M H Bài Trong hình sau, hình tam giác cân, hình tam giác đều? Giải thích sao? F M E G H D Bài Cho tam giác a) A = 40°; L O N P ABC cân A Tính số đo góc cịn lại tam giác AB C b) B = 50°; C c) biết: = 60° Bài Tìm số đo x hình vẽ sau: B C D x A Bài Cho tam giác AB cân A có A = 40° Trên tia đối tia DB lấy điểm C D DC  DA Tính số đo góc ACB cho Bài Cho tam giác ABC vuông A , B  30 Trên cạnh Chứng minh AMC Bài Cho tam giác AM  BM BC lấy M cho cắt cạnh AC D Qua D kẻ đường B thẳng song song với BC , cắt cạnh AB E Chứng minh tam giác EB cân D Bài Cho tam giác ABC Tia phân giác góc ABC vng cân A Tia phân giác góc A cắt cạnh BC cạnh AB AC lấy điểm ABD,ADC,AEF vuông cân E F Bài Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CA D Trên cho AE  CF Chứng minh lấy điểm M, N, cho P AM  BN  CP Chứng minh tam giác MNP Bài 10 Cho tam giác AB cân A Tia phân giác góc C góc C cắt cạnh AB E Chứng minh tam giác Bài 11 Cho tam giác ABC cắt cạnh AC D , tia phân giác B AD E cân A Trên tia đối tia cân lấy điểm D , tia đối tia BC CB lấy điểm E cho BD  CE Chứng minh tam giác AD E cân Bài 12 Cho xO = 120°, điểm A thuộc tia phân giác xOy Kẻ AB  y Ox AC  Oy ( C Oy ) Tam giác AB tam giác gì? Tại sao? C Bài 13 Cho tam giác ABC ( B Ox ) cân A ( A < 90°) Kẻ vng góc với AB E BD vng góc với AC D , kẻ CE a) Chứng minh tam giác ADE cân b) Chứng minh DE // BC c) Gọi I giao điểm BD CE Chứng minh IB  IC d) Chứng minh Bài 14 Cho tam giác AI  BC ABC cân A Lấy điểm M cạnh BC (MB  MC) Trên tia đối tia M vng góc với BC cắt AB cho BM  CN Đường thẳng N qua E Đường thẳng qua vng góc cắt AC F lấy điểm CB N BC a) Chứng minh: EM  FN b) Qua E kẻ ED // AC ( D  BC ) Chứng minh MB  MD c) EF cắt BC O Chứng minh OE  OF Dạng Vận dụng tính chất đường trung trực để giải toán I Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng II Bài tốn Bài Cho hai điểm cân B Lấy điểm AB C đối xứng với điểm D qua AC Chứng minh B CBD ABD Bài Tam giác AB C AD nằm đường trung trực đoạn thẳng MN , Chứng minh NAB MAB Bài Cho A, B vng có C  30 Trên tia đối tia AC lấy điểm A cho D AC Tính số đo góc BDA Bài Cho góc vng xOy Điểm M đường trung trực MN nằm góc Vẽ điểm N P cho tia Ox là đường trung trực MP Oy a) Chứng minh ON  OP b) Chứng minh ba điểm Bài Cho AB P, O, thẳng hàng N vuông A Đường trung trực đoạn thẳng C AC cắt H , cắt BC AC D Nối A D a) So sánh số đo góc DA B DBA b) Chứng minh D trung điểm BC Bài Cho ABC Các đường trung trực AB AC cắt cạnh BC theo thứ tự M N a) Biết B  30 , C  45 Tính số đo góc b) Chứng minh MA N BA C MAN = 2BAC 180 Bài Cho góc vng xOy Trên tia Ox , lấy hai điểm A B Oy Đường trung trực đoạn thẳng OA OB cắt (không trùng với O ) M Chứng minh: a) A , M , B thẳng hàng b) M Bài trung điểm AB ABC có B  C = 30° Đường trung trực BC a) Chứng minh KB C b) Tính số đo góc c) Biết cắt AC K  KCB ABK AB  cm, AC  cm Tính chu vi tam giác ABK Dạng Chứng minh điểm thuộc đường trung trực Chứng minh đường thẳng đường trung trực đoạn thẳng Bài Cho đoạn thẳng AB  cm Vẽ đường tròn tâm A bán kính cm đường trịn tâm B bán kính cm Hai đường trịn cắt D , E Chứng minh: a) Điểm b) A B A thuộc đường trung trực DE đường trung trực DE Bài Cho đoạn thẳng AB Dựng tam giác cân MAB , NA B M N ( M , N nằm khác phía so với AB ) Chứng minh: a) Điểm M b) M N Bài Cho thuộc đường trung trực AB ; đường trung trực AB ABC , đường phân giác minh: a) BD  DE ; AD Trên tia AC lấy điểm E cho AE  AB Chứng b) A D đường trung trực BE Bài Cho DE có DE  DF Lấy điểm nằm tam giác cho KE  KF Kẻ KP F K vng góc với ( Q  DF ) Chứng minh: ( P  DE KQ vng góc với DE DF ), a) K thuộc đường trung trực EF b) D K PQ ; đường trung trực EF PQ Từ suy Bài Cho AB cân A , trung điểm BC M ME góc với AC Chứng minh: C a) A M PQ // EF vng góc với AB , MF vuông trung trực của BC ; b) ME  MF AM EF ; trung trực c) EF // BC Bài Cho góc xO khác góc bẹt Oz y thuộc tia Oz Qua M đường thẳng điểm vng góc với Ox A, cắt a B , cắt vẽ C Oy Oy a) Điểm O b) O M vẽ đường thẳng vng góc với b tia phân giác xOy Gọi M D Chứng minh: Ox AB ; thuộc đường trung trực đường trung trực AB ; c) OM đường trung trực CD d) AB // CD Bài Cho hai điểm A, B đường thẳng nằm phía với đường thẳng d Xác định vị trí điểm M cho M d Bài Cho tam giác AB C cách hai điểm cân A ( điểm D Trên tia đối tia AD lấy điểm E a) Chứng minh A B < 90°) Đường trung trực cạnh AC cắt tia A b) Chứng minh CB cho AE  BD Chứng minh.: c) Chứng minh ADC cân; DAC  ABC ; AD  CE ; d) Lấy F trung điểm DE Chứng minh đường trung trực CF Bài Cho AB AB ; C nhọn, đường cao AH Lấy điểm P Q DE đối xứng với H qua AC a) Chứng minh AP  AQ b) Gọi I , K giao điểm PQ với AB , AC Chứng minh API  AHI AHK  AQK c) Chứng minh d) Cho BA C HA tia phân giác IHK PAQ = 60° Tính số đo góc Bài 10 Cho tam giác AB vng A Tia phân giác C B cắt AC E Từ E vng góc với BC H a) Chứng minh: ABE  HBE b) Chứng minh c) Kẻ BE đường trung trực đoạn thẳng AD  BC (D  BC) Chứng minh AH Phần III BÀI TẬP TƯƠNG TỰ TỰ GIẢI AH tia phân giác DAC kẻ EH Dạng Nhận biết tam giác cân, tam giác Vận dụng tính chất tam giác cân, tam giác để tính số đo góc chứng minh góc nhau, cạnh Bài 1: Trong hình sau, hình tam giác cân, hình tam giác đều? E Q K G 70° 36° 40° I 60° N J 72° 36 ° M S F D R Bài Tìm số đo x hình vẽ sau: T S X 70° Y V AB lấy điểm D cho Bài Cho tam giác ABC vuông cân A Trên đường thẳng BD  BC ( D Bài Cho A khác phía so với B ) Tính số đo góc tam giác cân A Trên cạnh AC AB lấy M , , N AB C ADC cho AM  AN a) Chứng minh ABM  ACN b) Gọi O giao điểm BM Bài Cho xO y AC  Oy CN Chứng minh tam giác cân OBC = 60°, điểm A thuộc tia phân giác xOy Kẻ AB  Ox ( C Oy ) Tam giác OB Bài Cho tam giác vng góc với ( B Ox ) tam giác gì? Tại sao? C ABC vuông A , BC  2AB D trung điểm cạnh AC D cắt BC E Chứng minh AC Đường thẳng b) ABE a) EAC cân Bài 7: Cho tam giác A(AB  AC) Tia phân giác góc A cắt BC D ABC vuông Qua đường thẳng vng góc với BC D , AE  AF Chứng minh cắt AC F Trên AB lấy điểm F cho b) DBF tam giác cân a) ABC  DEC D kẻ c) DB  DE Dạng Vận dụng tính chất đường trung trực để giải toán Bài Tam giác AB C có điểm A thuộc đường trung trực BC Biết B  40 Tính số đo góc Bài Cho ABC cân có A  90 Các đường trung trực tự D E hai trung trực cắt F AB C Biết A  110 Tính số đo góc AB AC cắt cạnh BC theo thứ DAE  Chứng minh 2BAC  DAE 180  Tính số đo DFE Bài Cho góc AK xOy Từ điểm A nằm góc kẻ AH vng góc với Oy ( K vng góc với Ox ( H thuộc Oy ) Trên tia đối tia HA lấy điểm B HB  HA Trên tia đối tia KA lấy điểm C OB  OC Bài Cho thuộc Ox ) cho cho KC  KA Chứng minh vuông A trung điểm cạnh AB Đường trung trực cạnh M AB cắt cạnh N Gọi giao điểm AN BC CM I AB C a Chứng minh b Chứng minh N AN B tam giác cân So sánh: trung điểm NAB NBA BC c Nếu IB  IC , tính số đo ABC Dạng Chứng minh điểm thuộc đường trung trực Chứng minh đường thẳng đường trung trực đoạn thẳng Bài Cho xOy  90 Trên tia Ox lấy điểm A , tia Oy B Kẻ đường trung trực lấy điểm HM đoạn thẳng OA ( H OA M  AB ) Chứng minh thuộc đường trung trực , M OB ABC có AB  AC Xác định điểm D AC cho DA  DB  AC Bài Cho tam giác Bài Cho bốn điểm tạo thành hình có A, B, C, D Giao điểm AC BD O Từ O AB // CD BC // AD hình vẽ vẽ vng góc với AC cắt cạnh BC , AD M , N Chứng minh AC trung trực MN AM  MC  CN  NA B M C O A N D Bài Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác B cắt AC E Từ E kẻ EH vng góc với BC H a) Chứng minh: ABE  HBE b) Chứng minh BE đường trung trực đoạn thẳng AH c) Kẻ AD  BC (D  BC) Chứng minh AH tia phân giác DAC Bài Cho tam giác AB cố định, đường phân giác lấy ( I  BC ) Trên đoạn thẳng C IC AI điểm H Từ AB kéo dài kẻ đường thẳng song song với AI , cắt AC H E cắt F Chứng minh: A tam giác ABC ; qua a) Đường trung trực đỉnh EF b) Khi H định di động đoạn thẳng IC đường trung trực đoạn thẳng EF cố ...  EDA  DE  DF (1) Tam giác DBF cân D  DB  DF (2) Từ (1) (2) suy DB  DE Dạng Vận dụng tính chất đường trung trực để giải toán Bài Tam giác AB C có điểm A thuộc đường trung trực BC Biết... B Ox đường trung trực AB , O  AB Nên OA  OB (1) Tương tự ta có đường trung trực AC , O  AC Oy Nên OA  OC (2) Từ (1) (2) suy OB  OC Bài Cho vuông A trung điểm cạnh AB Đường trung trực... thuộc đường trung trực y B M O 21 HA Ta có HM x đường trung trực đoạn thẳng OA nên MA  MO  OMA cân  O2  A1 M Mặt khác, A1  B1  O2  O1  90  O1  B1  MO  MB Vậy M thuộc trung trực