toan 7 bai 16 tam giac can duong trung truc cua doan thang ket noi tri

Bài 16 Tam giác cân Đường trung trực đoạn thẳng A Các câu hỏi Mở đầu trang 80 sgk toán tập 1: Kiến trúc sư vẽ thiết kế ngơi nhà hình tam giác theo tỉ lệ : 100 Biết nhà cao m, bề ngang mặt sàn rộng m hai mái nghiêng Theo em, thiết kế làm để xác định xác điểm C thể đỉnh nhà? Hướng dẫn giải: Sau học giải câu hỏi sau: Để xác định xác điểm C thiết kế ta làm bước sau: Bước Dùng thước thằng có vạch chia vẽ đoạn thẳng AB = cm Bước Vẽ đường trung trực d đoạn thẳng AB (đường thẳng d vng góc với AB trung điểm O đoạn thẳng AB) Bước Trên đường trung trực d lấy điểm C cho OC = cm Vì C nằm trung trực d đoạn thẳng AB nên CA = CB (tính chất đường trung trực) Khi thiết kế tỉ lệ : 100 thể nhà cao m, bề ngang mặt sàn rộng m với hai mái nghiêng Câu hỏi trang 80 sgk toán tập 1: Hãy nêu tên tất tam giác cân Hình 4.59 Với tam giác cân đó, nêu tên cạnh bên, cạnh đáy, góc đỉnh, góc đáy chúng Hướng dẫn giải: Tam giác ABC có AB = AC = cm nên tam giác ABC cân A, với hai cạnh bên AB AC, cạnh đáy BC, góc đỉnh A, hai góc đáy B C Tam giác ABD có AB = AD = cm nên tam giác ABD cân A, với hai cạnh bên AB AD, cạnh đáy BD, góc đỉnh A, hai góc đáy B D Tam giác ACD có AC = AD = cm nên tam giác ACD cân A, với hai cạnh bên AC AD, cạnh đáy CD, góc đỉnh A, hai góc đáy C D Hoạt động trang 81 sgk toán tập 1: Quan sát tam giác ABC cân A Hình 4.60 Lấy D trung điểm đoạn thẳng BC a) Chứng minh ABD  ACD theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh b) Hai góc B C tam giác ABC có không? Hướng dẫn giải: GT ABC cân A, D trung điểm BC a) ABD  ACD (c.c.c); KL b) B C tam giác ABC có khơng? Chứng minh (hình vẽ trên): a) Tam giác ABC cân A (theo giả thiết) nên ta có AB = AC (định nghĩa tam giác cân) Xét tam giác ABD tam giác ACD có: AB = AC (chứng minh trên); BD = CD (do D trung điểm BC); AD cạnh chung Vậy ABD  ACD (c.c.c) b) Từ ABD  ACD (chứng minh câu a) suy ABD  ACD (hai góc tương ứng) Hay B  C Vậy góc B C tam giác ABC cân A Hoạt động trang 81 sgk toán tập 1: Cho tam giác MNP có M  N Vẽ tia phân giác PK góc MPN ( K  MN ) Chứng minh rằng: a) MKP  NKP; b) MPK  NPK; c) Tam giác MNP có cân P không? Hướng dẫn giải: GT MNP , M  N ; PK tia phân giác góc MPN KL a) MKP  NKP; b) MPK  NPK; c) Tam giác MNP có cân P khơng? Chứng minh (hình vẽ trên): a) PK tia phân giác góc MPN (theo giả thiết) nên MPK  NPK (tính chất tia phân giác góc) Tam giác MPK có NKP góc ngồi tam giác đỉnh K nên ta có NKP  MPK  M Tam giác NPK có MKP góc ngồi tam giác đỉnh K nên ta có MKP  NPK  N Mà MPK  NPK (chứng minh trên) M  N (theo giả thiết) Do MKP  NKP b) Xét tam giác MPK tam giác NPK có: MPK  NPK (chứng minh câu a); PK cạnh chung; MKP  NKP (chứng minh câu a) Vậy MPK  NPK (g.c.g) c) Từ MPK  NPK (chứng minh câu b) suy MP = NP (hai cạnh tương ứng) Do tam giác MNP cân P (định nghĩa tam giác cân) Vậy tam giác MNP cân P Luyện tập trang 81 sgk tốn tập 1: Tính số đo góc cạnh chưa biết tam giác DEF Hình 4.62 Hướng dẫn giải: GT MNP , EF = DF = cm, E  60 KL Tính số đo D, F độ dài cạnh DE Tam giác DEF có EF = DF = cm (theo giả thiết) nên tam giác DEF cân F (định nghĩa tam giác cân) Do D  E (tính chất tam giác cân) Mà E  60 (theo giả thiết) nên D  60 Tam giác DEF có D  60 , E  60 , áp dụng định lí tổng ba góc tam giác ta có D  E  F  180 Suy F  180  D  E Hay F  180  60  60  60 Khi ta có E  F   60  Suy tam giác DEF cân D (dấu hiệu nhận biết tam giác cân) Do DE = DF (định nghĩa tam giác cân) Mà DF = cm (theo giả thiết) Vậy DE = cm Thử thách nhỏ trang 81 sgk toán tập 1: Một tam giác có đặc biệt thỏa mãn điều kiện sau: a) Tam giác có ba góc b) Tam giác cân có góc 60o Hướng dẫn giải: a) Áp dụng định lí tổng ba góc tam giác cho tam giác ABC ta có A  B  C  180 Mà A  B  C (theo giả thiết); Suy A  A  A  180 hay 3.A  180 Do A  60 Khi A  B  C  60 Tam giác ABC có ba góc 60° nên tam giác b) +) Tam giác DEF cân D có E  60 Tam giác DEF cân D (theo giả thiết) nên E  F (tính chất tam giác cân) Mà E  60, F  60 Tam giác DEF có E  60 , F  60 , áp dụng định lí tổng ba góc tam giác ta có D  E  F  180 Suy D  180  E  F Hay D  180  60  60  60 Khi ta có D  E  F   60  Tam giác DEF có ba góc 60° nên tam giác +) Tam giác MNP cân M có M  60 Tam giác MNP cân M (theo giả thiết) nên N  P (tính chất tam giác cân) Tam giác MNP có M  60 , N  P , áp dụng định lí tổng ba góc tam giác ta có M  N  P  180 Suy 60  N  N  180 Hay 2.N  180  60 2.N  120 N  60 Trên Hình 4.64 c) Lan vẽ đường thẳng vng góc với EF khơng qua trung điểm EF đường thẳng khơng phải đường trung trực đoạn thẳng EF Vậy hình bạn Lan vẽ hình a Hoạt động trang 82 sgk toán tập 1: Trên mảnh giấy Hoạt động 3, lấy điểm M đường thẳng d Dùng thước thẳng có vạch chia kiểm tra xem AM có BM khơng (H.4.65) Hướng dẫn giải: Dùng thước thẳng có vạch chia ta đo độ dài đoạn thẳng AM BM, sau so sánh kết thấy độ dài hai đoạn thẳng Vậy AM = BM Luyện tập trang 83 sgk toán tập 1: Cho M điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng AB Biết AM = cm MAB  60 (H.4.67) Tính BM số đo góc MBA Hướng dẫn giải: Đoạn thẳng AB, d đường trung trực AB; GT M  d, AM = cm, MAB  60 KL Tính BM số đo góc MBA Điểm M nằm đường trung trực d đoạn thẳng AB nên ta có MA = MB (tính chất đường trung trực đoạn thẳng) Mà MA = cm nên MB = cm Do MA = MB (chứng minh trên) nên tam giác MAB cân M (định nghĩa tam giác cân) Suy MAB  MBA (tính chất tam giác cân) Mà MAB  60 MBA  60 Vậy BM = cm, MBA  60 Thực hành trang 83 sgk toán tập 1: Sử dụng thước thẳng compa để vẽ đường trung trực đoạn thẳng AB sau: - Vẽ đoạn thẳng AB; - Lấy A làm tâm, vẽ cung trịn (bán kính lớn AB ), sau lấy B làm tâm, vẽ cung trịn có bán kính, cho hai cung trịn cắt hai điểm M N; - Dùng thước thẳng vẽ đường thẳng MN Khi MN đường trung trực đoạn thẳng AB (H.4.68) Hướng dẫn giải: Bước Dùng thước thẳng vẽ đoạn thẳng AB ta hình vẽ sau: Bước Dùng compa vẽ cung tròn tâm A cung tròn tâm B có bán kính (bán kính lớn AB ) Hai cung tròn cắt hai điểm M N, AN = AM = BN = BM Khi ta hình vẽ sau: Bước Dùng thước thẳng vẽ đường thẳng qua hai điểm M N ta hình vẽ AN = BN nên N nằm đường trung trực AB AM = BM nên M nằm đường trung trực AB Khi đường thẳng MN đường trung trực đoạn thẳng AB B Bài tập Bài 4.23 trang 84 sgk toán tập 1: Cho tam giác ABC cân A điểm E, F nằm cạnh AC, AB cho BE vng góc với AC, CF vng góc với AB (H.4.69) Chứng minh BE = CF Hướng dẫn giải: GT ABC cân A, BE  AC,CF  AB KL BE = CF Chứng minh (hình vẽ trên): Tam giác ABC cân A (theo giả thiết) nên AB = AC (định nghĩa tam giác cân) Vì BE  AC (theo giả thiết) nên AEB  90 , tam giác AEB vng E Vì CF  AB (theo giả thiết) nên AFC  90 , tam giác AFC vng F Xét tam giác AEB (vuông E) tam giác AFC (vng F) có: AB = AC (chứng minh trên); BAC góc chung Vậy AEB  AFC (cạnh huyền – góc nhọn) Suy BE = CF (hai cạnh tương ứng) Vậy BE = CF Bài 4.24 trang 84 sgk toán tập 1: Cho tam giác ABC cân A M trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh AM vng góc với BC AM tia phân giác góc BAC Hướng dẫn giải: GT ABC cân A, M trung điểm BC KL AM  BC AM tia phân giác góc BAC Chứng minh (hình vẽ trên): Tam giác ABC cân A (theo giả thiết) nên AB = AC (định nghĩa tam giác cân) Xét tam giác ABM tam giác ACM có: AB = AC (chứng minh trên); BM = CM (do M trung điểm BC); AM cạnh chung Vậy ABM  ACM (c.c.c) Suy AMB  AMC (hai góc tương ứng) Mà góc AMB góc AMC hai góc kề bù nên ta có AMB  AMC  180 (tính chất hai góc kề bù) Do AMB  AMB  180 2.AMB  180 AMB  90 Suy AM  BC Từ ABM  ACM (chứng minh trên), suy BAM  CAM (hai góc tương ứng) Do AM tia phân giác góc BAC Bài 4.25 trang 84 sgk toán tập 1: Cho tam giác ABC M trung điểm đoạn thẳng BC a) Giả sử AM vng góc với BC Chứng minh tam giác ABC cân A b) Giả sử AM tia phân giác góc BAC Chứng minh tam giác ABC cân A Hướng dẫn giải: a) GT ABC , M trung điểm BC, AM  BC KL ABC cân A Vì M trung điểm BC AM  BC (theo giả thiết) nên đường thẳng AM đường trung trực đoạn thẳng BC Điểm A nằm đường trung trực đoạn thẳng BC nên AB = AC (tính chất đường trung trực đoạn thẳng) Do tam giác ABC cân A (định nghĩa tam giác cân) b) GT KL ABC , M trung điểm BC; AM tia phân giác góc BAC ABC cân A Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA Xét tam giác DBM tam giác ACM có: BM = CM (do M trung điểm BC); DMB  AMC (hai góc đối đỉnh); MD = MA (theo cách vẽ) Vậy DBM  ACM (c.g.c) Suy DB = AC (hai cạnh tương ứng) Và BDM  CAM (hai góc tướng ứng) (1) Mà BAM  CAM (do AM tia phân giác góc BAC)   Do BDM  BAM  CAM Hay BDA  BAD suy tam giác ABD cân B Suy AB = DB (định nghĩa tam giác cân) (2) Từ (1) (2) suy AB = AC Do tam giác ABC cân A (định nghĩa tam giác cân) Bài 4.26 trang 84 sgk tốn tập 1: Tam giác vng có hai cạnh gọi tam giác vuông cân Hãy giải thích khẳng định sau: a) Tam giác vng cân cân đỉnh góc vng; b) Tam giác vng cân có hai góc nhọn 45o; c) Tam giác vng có góc nhọn 45o tam giác vuông cân Hướng dẫn giải: a) ABC tam giác vuông cân; GT A  90 KL ABC cân A Tam giác ABC vuông A nên hai góc nhọn tam giác phụ suy B  C  90 Khi số đo góc B góc C nhỏ 90° +) Nếu tam giác ABC cân B nên A  C (tính chất tam giác cân) Mà A  90 nên C  90 (vơ lí C  90 ) Suy tam giác ABC vng A cân B +) Nếu tam giác ABC cân C nên A  B (tính chất tam giác cân) Mà A  90 nên B  90 (vơ lí B  90 ) Suy tam giác ABC vng A khơng thể cân C Do tam giác ABC vuông A cân A b) GT ABC tam giác vuông cân KL Hai góc nhọn 45° Tam giác ABC vuông cân nên tam giác ABC cân đỉnh A (theo câu a) Suy B  C (tính chất tam giác cân) Mà tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nên ta có: B  C  90 Do B  B  90 2B  90 B  45 Khi B  C  45 c) GT ABC vuông A, B  45 KL ABC tam giác vuông cân Tam giác ABC vuông A (theo giả thiết) nên hai góc nhọn phụ Do B  C  90 Suy C  90  B C  90  45 C  45 Khi B  C  45, suy tam giác ABC cân A Mà tam giác ABC vuông A nên tam giác ABC vuông cân A Vậy tam giác ABC vuông cân A Bài 4.27 trang 84 sgk tốn tập 1: Trong Hình 4.70, đường thẳng đường trung trực đoạn thẳng AB? Hướng dẫn giải: Quan sát hình vẽ ta thấy đường kẻ ngang vng góc với đường kẻ dọc Khi đường thẳng d, u, m, n có ba đường thẳng d, m n vng góc với đoạn thẳng AB Trong hình vẽ, đoạn thẳng AB chia làm đoạn thẳng Do trung điểm AB điểm nằm đoạn thẳng AB cách A (cách B) đoạn thẳng nhỏ Vì có đường thẳng m thoả mãn điều kiện vng góc với đoạn thẳng AB qua trung điểm AB, đường thẳng m đường trung trực đoạn thẳng AB Vậy đường thẳng hình vẽ, đường thẳng m đường trung trực đoạn thẳng AB Bài 4.28 trang 84 sgk toán tập 1: Cho tam giác ABC cân A có đường cao AD Chứng minh đường thẳng AD đường trung trực đoạn thẳng BC Hướng dẫn giải: GT ABC cân A, đường cao AH KL AD đường trung trực BC Chứng minh (hình vẽ trên): Vì AD đường cao tam giác ABC nên ADB  ADC  90 Khi tam giác ABD vng D tam giác ACD vuông D Xét tam giác ABD (vuông D) tam giác (ACD vng D) ta có: AB = AC (do tam giác ABC cân A); AD cạnh chung Vậy ABD  ACD (cạnh huyền – cạnh góc vng) Suy DB = DC (hai cạnh tương ứng) Do D trung điểm BC Khi đường thẳng AD vng góc với đoạn thẳng BC trung điểm D BC nên AD đường trung trực BC ... có D  E  F   60  Tam giác DEF có ba góc 60° nên tam giác +) Tam giác MNP cân M có M  60 Tam giác MNP cân M (theo giả thiết) nên N  P (tính chất tam giác cân) Tam giác MNP có M  60... AH KL AD đường trung trực BC Chứng minh (hình vẽ trên): Vì AD đường cao tam giác ABC nên ADB  ADC  90 Khi tam giác ABD vuông D tam giác ACD vuông D Xét tam giác ABD (vuông D) tam giác (ACD... +) Tam giác DEF cân D có E  60 Tam giác DEF cân D (theo giả thiết) nên E  F (tính chất tam giác cân) Mà E  60, F  60 Tam giác DEF có E  60 , F  60 , áp dụng định lí tổng ba góc tam