Toán 7 HH7 cđ14 1 SU DONG QUY CUA BA DUONG TRUNG TRUC DUONG CAO

CHUYÊN ĐỀ 35 SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC PHẦN I TÓM TẮT LÍ THUYẾT Đường trung trực tam giác: Định nghĩa: Trong tam giác, đường trung trực cạnh gọi đường trung trực tam giác Định lí 1: Ba đường trung trực tam giác đồng quy điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác Nhận xét: Vì giao điểm ba đường trung trực tam giác cách ba đỉnh tam giác nên tâm đường trịn qua ba đỉnh tam giác Tính chất: ΔABC cân A , AM đường trung tuyến đường trung trực BC Cụ thể: a) Cho ∆ABC , ( d ) đường trung trực cạnh BC ( d ) gọi đường trung trực ∆ABC ứng với cạnh BC d A C B b) Trong hình sau, điểm O giao điểm đường trung trực ∆ABC Ta có OA = OB = OC Điểm O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC A O C B c) ΔABC cân A , AM đường trung tuyến đường trung trực BC A C B M Đường cao tam giác: Định nghĩa: Đoạn thẳng kẻ từ đỉnh tam giác vng góc với cạnh đối diện gọi đường cao tam giác Định lí 2: Ba đường cao tam giác đồng quy điểm Điểm gọi trực tâm tam giác Cụ thể: a) AH đường cao ∆ABC ⇔ AH ⊥ BC A B C H b) Trong hình vẽ AD, BE,CF đường cao, H trực tâm ∆ABC A F B E H C D Chú ý: a) ∆ABC tam giác nhọn H nằm tam giác A K L H B H C b) ∆ABC tam giác vuông A điểm H trùng với điểm A B I C A≡H c) ∆ABC tam giác tù điểm H nằm tam giác H K L A B C I Bổ sung: Tính chất tam giác cân: ΔABC cân A, AM đường cao đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác A B M C PHẦN II CÁC DẠNG BÀI BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC Dạng Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I Phương pháp giải: - Dựa vào định nghĩa đồng quy ba đường trung trực tam giác - Sử dụng tính chất giao điểm đường trung trực tam giác cách ba đỉnh tam giác Cho ∆ABC , ( d ) đường trung trực cạnh BC ( d ) gọi đường trung trực A ∆ABC ứng với cạnh BC d B C Điể m O gia o điể m đư ờng tru ng trự c ∆A BC Ta có OA = OB = OC Điể m O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC C đường trung trực D đường cao A Lời giải: Điểm nằm cách đỉnh tam giác giao điểm đường trung trực Chọn đáp án C O Bài Chọn đáp án a) C ∆AB tù, giao điểm đường trung trực tam giác nằm: ho B C II Bài toán Bài Chọn đáp án Điểm cách đỉnh tam giác giao điểm của: A đườ ng trun g ến B đườ ng phâ n giác C A ∆ABC B ∆ABC C cạnh ∆ABC D trùng với đỉnh ∆ABC b) Cho ∆ABC có A = 90° tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác: A nằm B nằm ∆ABC ∆ABC C trung điểm cạnh BC D trùng với đỉnh A ∆ABC c) Cho ∆AB C A B nhọn, giao điểm đường trung trực tam giác nằm: ∆ABC ∆ABC C cạnh ∆ABC D trùng với đỉnh ∆ABC Lời giải: a) Cho án B b) Cho ∆AB C nhọn, giao điểm đường trung trực tam giác nằm ∆ABC Chọn đáp ∆ABC có A = 90 tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh BC Chọn đáp án C c) Cho án A ∆AB C nhọn, giao điểm đường trung trực tam giác nằm ∆ABC Chọn đáp Bài Cho ΔABC Vẽ điểm O cách ba đỉnh A, B, C vẽ đường tròn qua đỉnh tam giác trường hợp sau: a, ΔABC tam giác nhọn b, ΔABC vuông A c, ΔABC tam giác tù Lời giải: a, ΔABC tam giác nhọn b, ΔABC vuông A c, ΔABC tam giác tù Bài Cho A, B, C ba điểm phân biệt không thẳng hàng Xác định đường trịn qua ba điểm Lời giải: A B O C Gọi đường tròn qua ba điểm A, B, C có tâm O ta có OA = OB = OC Ba điểm phân biệt Vì OA = OB = OC A, B, C khơng thẳng hàng tạo thành tam giác ABC nên O giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC Vậy đường tròn qua ba điểm A, B, C có tâm O giao ba đường trung trực bán kính OA ∆ABC Bài ∆ABC có A > 90° Các đường trung trực AB AC cắt O cắt Cho BC theo thứ tự D E AD, AE,OB,OC Tìm tam giác ∆OAD , ∆OAE Nối Lời giải: A B C E D O OD đường trung trực AB suy DA = DB, OA = OB Do ∆OAD = ∆OBD (c.c.c) Tương tự ∆OAE = ∆OCE Bài Cho ∆AB vuông A , đường cao AH Tia phân giác góc BAH CAH cắt C BC D E Gọi O giao điểm đường phân giác tam giác ABC a) Chứng minh đường tròn tâm O , bán kính OA qua ba điểm A, D, E b) Tính số đo góc DOE Lời giải: A O x B D H C E a) Ta có BAE = BAC − EAC = 900 − EAC (1) AEB = 900 − HAE (2) Mà EAC = HAE ( gt ) , từ (1), ( ) suy r BAE = AEB nên ∆AE B cân B Vì O giao điểm đường phân giác tam giác ABC nên BO đường phân giác tam giác cân ABE , BO đường trung trực AE , suy OA = (3 ) OE Chứng minh tương tự, CO đường trung trực AD , suy OA = OD (4) Bài Cho tam giác ∆AHB, ∆AHC ∆AB C vuông A, đường cao AH Tìm trực tâm giác ∆ABC, Lời giải: A B Tam giác ∆AB C H có hai đường cao BA AH Từ suy trực tâm tam giác ∆ABC C A Chứng minh tương tự ta có trực tâm tam ∆AHB , ∆AHC điểm H giác Nhận xét: Trực tâm tam giác vng đỉnh góc vng tam giác Bài Cho H trực tâm tam giác ABC khơng vng Tìm trực tâm tam giác HBC, HAB, HAC Lời giải Gọi đường cao tam giác AK, BE,CF Ta có: ∆HB C có hai đường cao HK, BF Từ suy trực tâm tam giác ∆HBC A Chứng minh tương tự ta trực tâm tam giác ∆HAB, ∆HAC C B Bài Cho ∆ABC có A = 700 , AB < AC , đường phân giác góc A cắt BC D , BF ⊥ AC F , H giao điểm BF AD , E thuộc AC cho AE = AB a) Xác định trực tâm b) Tính số đo DHF ∆ABE Lời giải B D H A F I E C a) Gọi AD giao BE I Xét ∆AB E có AE = AB (gt) ⇒ ∆ABE cân A Lại có: AD tia phân giác góc A ∆ABC (gt) ⇒ AI ⊥ BE (tính chất tam giác cân) Mặt khác: BF ⊥ AE AD giao BE H nên H trực tâm tam giác) ∆AB E (tính chất đường cao b) Ta có: AD tia phân giác BAC (gt) ⇒ HAF = BAC = 350 Vì ∆AHF vng F nên: AHF = 900 − HAF = 900 − 350 = 550 Vì DHF AHF góc kề bù nên: DHF = 1800 − AHF = 1800 − 550 = 1250 Dạng Sử dụng tính chất trực tâm tam giác để chứng minh hai đường thẳng vng góc, ba đường thẳng đồng quy I Phương pháp giải: Nếu H giao điểm hai đường cao kẻ từ B C tam giác ABC AH ⊥ BC Nếu ba đường thẳng ba đường cao tam giác chúng qua điểm II Bài toán Bài Cho ∆AB C cân A , đường cao BE cắt đường trung tuyến AD H Chứng minh CH tạo với AB góc 90 Lời giải A H B D E C Xét ∆ABC cân A có: AD đường trung tuyến (gt) ⇒ AD đường trung cao Lại có BE đường cao mà BE cắt AD H ⇒ H trực tâm ∆ABC ⇒ CH ⊥ AB hay CH tạo với AB góc 90 Bài Cho tam giác ∆AB cân A đường cao CH cắt tia phân giác góc A D C Chứng minh BD ⊥ AC Lời giải Kéo dài AD cắt BC E ∆ABC Từ giả thiết suy AE ⊥ BC Do D trực tâm tam giác Vậy Bài Cho ∆MN P BD ⊥ AC vuông M Trên cạnh MN lấy điểm Q , kẻ QR ⊥ NP ( R ∈NP) Gọi O giao điểm đường thẳng PM RQ Chứng minh PQ ⊥ ON Lời giải: O M Q N P R Ta có: NM ⊥ PQ OR ⊥ PN , Mà NM giao OR Q ⇒ Q trực tâm ∆PO N ⇒ PQ ⊥ ON Bài Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm D cho A trung điểm BD Kẻ đường cao AE tam giác ABC , đường cao AF tam giác ACD Chứng minh AE ⊥ AF Lời giải: Xét tam giác cân ABC có AE đường phân giác BAC hay BAE = EAC đường cao, suy AE Tương tự tam giác cân ACD ta có CAF = FAD Từ ta EAF = EAC + CAF = (BAC + CAD) = 90° hay AE ⊥ AF Bài Cho tam giác MNP có ba góc nhọn, đường cao NQ, PR cắt S a) Chứng minh MS ⊥ NP b) Cho MNP = 65° Tính SMR Lời giải: a) Vì S trực tâm ∆MNP , MS ⊥ NP b) Gọi H giao điểm MS với NP Chú ý ∆MH vng, từ tính SMR = 25° N Bài Cho tam giác ABC vuông A , kẻ đường cao AH Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng HC Qua K kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AH D Chứng minh AK ⊥ CD Lời giải: Vì AB ⊥ AC , DK ⊥ AC Bởi K trực tâm ∆ADC , suy AK ⊥ CD Bài Cho tam giác ABC vuông cân B Trên cạnh AB lấy điểm lấy điểm D cho BH = BD Chứng minh a) DH ⊥ AC b) CH ⊥ AD Lời giải: H.Trên tia đối tia BC 30 a) Kéo dài DH cắt AC M Do BH = BD DBA = nên tam giác DBH vuông cân B ° 90 Suy MDC = C = 45° ⇒ MDC + C = 90° ⇒ MDC = 90° ⇒ DH ⊥ AC b) ∆ADC có hai đường cao AB DM cắt H nên H trực tâm tam giác Do vậy, CH ⊥ AD Bài Cho tam giác MNP vuông M (MP < MN ) Trên cạnh MN lấy điểm Q cho MQ = MP , tia đối tia MP lấy điểm R cho MR = MN Chứng minh: a) PQ ⊥ NR b) RQ ⊥ NP Lời giải: a) Gọi S giao điểm PQ NR Tính SPR = SRP = 45° , từ PQ ⊥ NR b) Từ kết ý a, ta có Q trực tâm ∆PN ⇒ RQ ⊥ NP R Bài Cho tam giác ABC vuông A , kẻ đường phân giác BM Trên cạnh BC lấy điểm D cho BD = BA a) Chứng minh BM ⊥ AD b) Gọi H hình chiếu vng góc D AC, K hình chiếu vng góc A DM Chứng minh ba đường thẳng AK, BM , DH đồng quy Lời giải: 56 a) Chú ý tam giác ABD cân B nên BM đường phân giác đường cao, từ BM ⊥ AD 57 b) Chú ý AK, BM , DH ba đường cao ∆AMD Bài 10 Đoạn thẳng AB điểm M nằm A B (MA < MB) Vẽ tia lấy hai điểm C D MA = MC , MD = MB Tia AC vuông cắt BD E Chứng minh: cho a) A E ⊥ B D b) C trực tâm tam giác ABD Lời giải: a) Do tia AC cắt BD E nên hai điểm C D nằm phía với AB Do MA = MC vuông cân AMC = 90° nên tam M giác AMC vuông cân Tương tự ta có M ∆BMD Từ suy EDC = DCE = 45° ⇒ CED = 90° ⇒ AC ⊥ BD b) Trong tam giác ABD , hai đường cao AE DM cắt nên C trực tâm tam giác ABD Bài 11 Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox lấy điểm A , tia Oy lấy điểm B cho OA = OB Kẻ AC ⊥ Oy, BD ⊥ Ox (C ∈Ox, D ∈Oy) Đường thẳng vng góc với Ox A đường thẳng vng góc với Oy B cắt M Chứng minh: OM , AC, BD đồng quy X∆Lời é Agiải ∆BO : t OM h Mcó: a i t a m g i c v u ô n g O M l c n h c h u n g O A = O B ( g i ả t h i ế t) S u y r a ∆AO M= ∆BO M (cạnh huyền - cạnh góc vng) Do đó, AOM = BOM Vậy OM tia phân giác tam giác cân ∆AOB Suy OM đường cao hay OM ⊥ AB Xét tam giác AOB có ba đường cao OM , AC, BD OM , AC, BD đồng quy Bài 12 Cho tam giác ABC vuông A có BD đường phân giác Trên cạnh BC lấy điểm E BA, DE,CH đồng quy BA = BE Vẽ CH ⊥ DB Chứng minh cho Lời giải: Gọi I giao điểm CH AB Ta có D trực tâm tam giác IBC suy ID ⊥ Xé ∆BAD t ∆BED BC có: AB = AE (gt); ABD = EBD ( BD đường phân giác) BD : cạnh chung ⇒ ∆BAD = ∆BED (c.g.c) ⇒ BED = BAD = 90° (hai góc tương ứng) ⇒ DE ⊥ BC (2) (1) Từ (1) (2) suy I , D, E thẳng hàng hay BA, DE,CH đồng quy ... ∆BIC cân b) Có BIA = 18 0° − AIC = 18 0° − 2A1 2A2; ( ) ⇒ BIC = BIA + AIC = 18 0° − 2A1 +18 0° − 2A2 = 18 0° − BAC Từ đó, suy BIC = 14 0° Bài Cho ∆ABC có Aˆ = 60° Các đường trung trực cạnh AB AC... = 90° − CBD ( ⇒ ADO + ODC = 18 0° − ABO + CBO ) ⇒ ADC = 18 0° − ABC = 18 0° − 70 ° = 11 0° Bài Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt O Biết điểm O giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC Chứng... Từ (1) (2) suy AO đường trung trực DE , hay AK đường trung trực DE Xét ∆ADE , theo tính chất ba đường trung trực tam giác, ta có AK đường trung trực AD AE đồng quy Dạng Vận dụng tính chất ba