ly thuyet toan 7 co dap an tam giac can

BÀI TAM GIÁC CÂN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định nghĩa tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác + Nắm tính chất dấu hiệu nhận biết tam giác cân, tam giác  Kĩ + Biết vẽ tam giác cân, tam giác vuông cân tam giác + Nhận biết chứng minh tam giác tam giác cân, tam giác vuông cân tam giác + Vận dụng tính chất tam giác cân, tam giác vuông cân tam giác để tính số đo góc, chứng minh góc hay cạnh Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Tam giác cân Định nghĩa Tam giác cân tam giác có hai cạnh Tam giác ABC có AB  AC gọi tam giác ABC cân đỉnh A, đó: * AB, AC cạnh bên BC cạnh đáy , C  góc đáy; A góc đỉnh * B Tính chất Định lý 1: Trong tam giác cân, hai góc đáy  C  Nếu ∆ABC cân đỉnh A B Định lý 2: Nếu tam giác có hai góc tam giác tam giác cân Nếu ∆ABC có  C  ∆ABC cân đỉnh A B Tam giác vuông cân Tam giác vuông cân tam giác vng có hai cạnh góc vng  MN  MP Nếu ∆MNP có  ∆MNP tam giác  MN  MP vuông cân M Tam giác Định nghĩa Tam giác tam giác có ba cạnh Tính chất * Trong tam giác đều, góc 60°  AB  BC  CA ∆ABC tam giác   C   60 A B   * Nếu tam giác có ba góc tam giác tam giác * Nếu tam giác cân có góc 60° tam giác tam giác Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhận biết tam giác cân, tam giác Phương pháp giải Dựa vào dấu hiệu nhận biết tam giác cân, tam Ví dụ: Cho tam giác ABC cân đỉnh A Gọi BD,CE giác phân giác góc B, C tam giác Một tam giác tam giác cân nếu: ABC Chứng minh tam giác ADE tam giác - Tam giác có hai cạnh cân - Tam giác có hai góc Một tam giác tam giác nếu: - Tam giác có ba cạnh - Tam giác có ba góc - Tam giác cân có góc 60° Hướng dẫn giải Bước Xác định cặp cạnh (góc) Phân tích: Có hai cách để chứng minh ∆ADE cân   tam giác cần chứng minh thông qua phân tích ta chứng minh AD  AE ADE  AED Ta chứng minh cặp góc (cạnh) kiện tốn qua việc xét cặp tam giác +) Nếu chứng minh AD  AE ta ghép vào cặp tam giác ∆ADB ∆AEC +) Cách cịn lại khó khăn  ADE;  AED góc ∆ADE Bước Chứng minh cặp cạnh (góc) tương ứng 1 Ta có:  ABD  DBC ABC (do BD phân giác kết luận 1 ABC );  ACE  ECB ACB (do CE phân Q trình chứng minh, cần dựng thêm đường  phụ giác  ACB ) Mà ∆ABC cân đỉnh A nên AB  AC  ABC   ACB   ABD   ACE Xét ∆ADB ∆AEC có   CAE  (góc chung), AB  AC ,  BAD ABD   ACE Do ADB  AEC  g c.g  Suy AD  AE (cặp cạnh tương ứng) Vậy ∆ADE cân A Trang Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC có AD đường phân giác góc A  D  BC  Trên cạnh AB lấy điểm I, cạnh AC lấy điểm H cho AI  AH Chứng minh tam giác IDH tam giác cân Hướng dẫn giải   CAD   BAC  Do AD phân giác góc A nên BAD Xét ∆ADI ∆ADH có AI  AH (giả thiết),   HAD  (chứng minh trên), IAD AD chung Do ADI  ADH  c.g c   DI  DH (cặp cạnh tương ứng) Vậy tam giác DHI tam giác cân đỉnh D Ví dụ Cho tam giác ABC có A  120 Trên tia phân giác góc A, lấy điểm D cho AD  AB  AC Chứng minh tam giác BCD Hướng dẫn giải   CAD   BAC   60 Do AD phân giác góc A nên BAD Trên tia AC lấy điểm E cho AE  AD Do AD  AB  AC (giả thiết) nên ta có AE  AB  AC  AE  AC hay C nằm A E Khi đó, ta có AC  EC  AB  AC  EC  AB   60 Suy ∆DAE Xét ∆ADE có AD  AE , DAE   DEA  Suy DA  DE  AE , DAE ADE  60 Trang Xét ∆ABD ∆ECD có AB  EC (chứng minh trên),   CED   60, DA  DE (chứng minh trên) BAD Do ABD  ECD  c.g.c  Suy DB  DC (hai cạnh tương ứng),   (hai góc tương ứng) (1) ADB  CDE   60 Theo chứng minh trên, ta có  ADE  60   ADC  CDE   60 Do từ (1), ta có  ADC   ADB  60  BDC   60 nên ∆BCD Vậy tam giác BCD có DB  DC BDC Định hướng:  DB  DC Cần chứng minh    60  BDC Bài tập tự luyện dạng Chọn đáp án từ câu đến câu Câu 1: Tam giác cân tam giác A có hai đường cao B có hai đường trung tuyến C có hai cạnh D có hai tia phân giác Câu 2: Cho tam giác ABC cân đỉnh A có đường trung tuyến BD, CE Tam giác tam giác cân? A ∆ABD B ∆BCE C ∆ADE D ∆BDE   40 Câu 3: Cho tam giác ABC có A  100, C a) Chứng minh tam giác ABC cân b) Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD  AB Chứng minh tam giác BCD tam giác vuông Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC có AD phân giác góc A  D  BC  Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC I, đường thẳng qua D song song với AC cắt AB K Chứng minh ∆IDK tam giác cân Dạng 2: Tính số đo góc, chứng minh góc Phương pháp giải * Sử dụng tính chất tam giác cân, tam giác Ví dụ: Cho tam giác ABC cân A Tính số đo Trang * Sử dụng tính chất tổng ba góc tam giác góc cịn lại tam giác ABC a) A  80   75 b) B Hướng dẫn giải Bước Xác định cặp góc qua tính chất tam giác cân Bước Sử dụng tính chất tổng ba góc tam giác để tính góc tương ứng  C  Do tam giác ABC cân đỉnh A nên ta có B  C   180 Mà ta ln có A  B a) Với A  80 ta có  C   180   B A  180  80  100  C   100  50 B   75 nên C   75 b) Do B Suy   A  180  B  C   180   75  75   30 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A Biết AB  BC Tính số đo góc tam giác ABC Hướng dẫn giải Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho DA  BA Suy BD  DA  AB  AB  BC (1)  AB  AD   Xét ∆CAB ∆CAD có CAB  CAD  90 CA chung  Trang Do CAB  CAD  c.g c   CD  CB (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) (2) ta có BC  CD  DB nên ∆BCD tam giác   60 hay B   60 Suy CBD  C   90  C   90  60  30 Mà ∆ABC vuông A nên B   60, C   30 Vậy ∆ABC có A  90, B Bài tập tự luyện dạng  :C   1: ? Câu 1: Tam giác ABC tam giác biết A  80 B Câu 2: Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AD  BC  D  BC  BE  AC  E  AC  Gọi H giao điểm  AD BE Biết AH  BC , tính số đo BAC 3 1 Câu 3: Tam giác ABC tam giác A  B  150  A B  150 ? 2 Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng Phương pháp giải * Sử dụng tính chất: Tam giác cân có hai cạnh bên Ví dụ: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh (dành cho hai đoạn thẳng có đầu AB, AC lấy điểm M, N cho mút chung) AM  AN Chứng minh CM  BN * Gắn đoạn thẳng cần chứng minh vào hai cạnh tương ứng hai tam giác (có thể áp dụng với cặp đoạn thẳng) Hướng dẫn giải Do CM BN hai đoạn thẳng khơng có đầu mút Bước Xác định phương pháp chứng minh tương chung nên ta chứng minh CM  BN thông qua ứng hai đoạn thẳng hai tam giác Bước Lập luận chứng minh  C  Vì ∆ABC cân đỉnh A nên AB  AC B Suy AM  MB  AN  NC Lại có AM  AN nên BM  CN Xét ∆BCM ∆CBN có BM  CN (chứng minh trên),   NCB  (chứng minh trên), MBC Trang BC cạnh chung Do BCM  CBN  c.g c  Suy CM  BN (hai cạnh tương ứng) Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC vng A, M trung điểm cạnh huyền BC Chứng minh MA  MB  MC  BC Hướng dẫn giải Gọi M’ điểm nằm cạnh BC thỏa mãn M B  M A Khi ∆M’AB cân đỉnh M’     (1) BA  M AB hay M AB  B M  C   90  A Do ∆ABC vng A nên ta có B  C M   AB  M AC (2) B  M   AB  C AB  M AC Từ (1) (2), ta M M    AC hay M CA  M AC Suy C Do ∆M’AC cân đỉnh M’, suy M A  M C Kết hợp với M B  M A (cách dựng), ta có M B  M C  M A nên M' trung điểm đoạn BC Vậy M   M nên ta chứng minh MB  MC  MA Phân tích: Ta cần thiết lập mối quan hệ MA MB Vì vậy, ta chứng minh toán dựa ý tưởng: Gọi điểm M' thỏa mãn M '  BC M A  M B sau ta chứng minh M '  M Bình luận: Bạn đọc tự chứng minh chiều ngược toán trên: “Cho tam giác MAB cân đỉnh M Trên tia đối tia MB, lấy điểm C cho M trung điểm BC Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông” Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tam giác ABC cân A có A  36 Tia phân giác góc B cắt cạnh AC điểm D Chứng minh DA  DB  BC Câu 2: Cho tam giác ABC cân đỉnh A, gọi M trung điểm BC Trên cạnh AB lấy điểm D Từ D kẻ đường vng góc với AM K kéo dài cắt cạnh AC E Chứng minh AD  AE Trang Dạng 4: Các toán tổng hợp Phương pháp giải Sử dụng kết hợp tính chất tam giác cân, quan hệ song song số kết chứng minh dạng trước Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC cân đỉnh A có M, N trung điểm AB, AC Chứng minh MN // BC MN  BC Hướng dẫn giải Do ABC cân đỉnh A nên AB  AC  ABC   ACB Lại M, N trung điểm AB, AC nên AM  BM  1 AB, AN  CN  AC 2 Do AM  AN  ∆AMN cân đỉnh A   AMN   ANM   180 Mà ∆AMN có  AMN   ANM  MAN   180  MAN A  AMN   ANM   90  2   180 Mặt khác  ABC   ACB  BAC   180  BAC A  ABC   ACB   90  2  A Suy  AMN   ABC  90  Mà hai góc vị trí đồng vị nên MN // BC Qua M dựng đường thẳng song song với AC , cắt cạnh BC điểm K    MKB ACB (đồng vị) Mà  ABC   ACB nên MKB ABC   MBK  nên ∆MBK cân đỉnh M  MK  MB Xét ∆MBK có MKB Ta có MK  MB  MA  AN  CN   MAN  (đồng vị) Lại có MK // AC nên BMK Xét ∆AMN ∆MBK có   , AM  MB, BMK   MAN  AMN  MBK Trang Do AMN  MBK  g c.g   MN  BK (hai cạnh tương ứng) (1) Xét ∆MNC ∆CKM có   (do MN // BC ), cạnh CM chung, NCM   KMC  (do MK // AC ) NMC  KCM Do MNC  CKM  g c.g   MN  CK (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1)và (2) suy MN  BK  CK Mà BK  CK  BC nên K trung điểm BC Do MN  BK  CK  BC (điều phải chứng minh) Hướng tư duy: * Chứng minh quan hệ song song sử dụng mối quan hệ góc (ưu tiên) Do ta chứng minh cặp góc so le đồng vị * Chứng minh hai góc qua tính chất tam giác cân hai đường thẳng song song * Chứng minh quan hệ độ dài đoạn thẳng sử dụng đoạn thẳng tương ứng hai tam giác Bình luận: Đây tốn điển hình việc sử dụng mối quan hệ từ tam giác cân đường thẳng song song Có thể mở rộng kết tốn cho tam giác ABC bất kỳ: Gọi M, N trung điểm AB, AC Khi đó, ta có MN // BC , MN  BC Lưu ý việc chứng minh song song ( MN // BC ) thực thơng qua việc dựng đường thẳng MN  // BC với N   BC Sau đó, ta tìm cách N   N Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tam giác ABC có BC  AB , M trung điểm cạnh BC, D trung điểm BM Chứng minh AC  AD Câu 2: Cho tam giác ABC cân A có A  90 kẻ BD vng góc với AC Trên cạnh AB lấy điểm E cho AE  AD Chứng minh a) DE // BC b) CE  AB Trang 10 ĐÁP ÁN Dạng Nhận biết tam giác cân, tam giác Câu 1: Chọn C Câu 2: Chọn C Xét ∆ADE có AE  1 AB, AD  AC mà AB  AC (do ∆ABC cân), nên AE  AD 2 Vậy ∆ADE cân A Câu 3:  C   180 a) Xét ∆ABC có A  B     180     180  100  40   40 B AC  C   40 B Do đó, ∆ABC cân đỉnh A b) ∆ABC cân A nên AB  AC Mà AB  AD (giả thiết)  AC  AD  ∆ACD cân đỉnh A  góc ngồi đỉnh A Xét ∆ACD có BAC   100  ACD   ADC  BAC 100 Vậy  ACD   ADC   50 Trang 11   BCA  Khi BCD ACD  40  50  90 Do ∆BCD vng C Câu 4:   IAD  (tính chất đường phân giác) Ta có KAD   DAK  (hai góc so le trong) Mà DI // AB  IDA   DAI  (hai góc so le trong) DK // AC  KDA   KDA  Suy IDA Xét ∆ADI ∆ADK có   IAD  , AD chung, KDA   IDA  KAD Do ADI  ADK  g c.g   DI  DK (hai cạnh tương ứng) Do ∆IDK cân D Dạng Tính số đo góc, chứng minh góc Câu 1:  C   180 ( tổng ba góc tam giác) Vì A  80 nên B  C   180   Xét ∆ABC có A  B A  100 Theo giả thiết, ta có  C  B  Áp dụng tính chất dãy tỷ số nhau, ta có:  C  B C  100 B   20, C   4.20  80     20  B 1   80 nên ∆ABC cân đỉnh B Vậy A  C Câu 2: Trang 12   DCA   90 (do ∆ADC vuông D) EBC   ECB   90 (do ∆BCE vuông E) Ta có DAC   DCA   ECB   EBC   90  DAC   CBE  Suy DAC   CBE  (chứng minh trên)   90, AH  BC (giả thiết), HAE Xét ∆AHE ∆BCE có  AEH  BEC Do AHE  BCE (cạnh huyền - góc nhọn)  AE  BE (hai cạnh tương ứng) Xét ∆ABE có AE  BE ,  AEB  90 Suy ∆AEB tam giác vuông cân E   BAE   45 Do BAC Câu 3: 3 3 Ta có A  B  150   A  150  B 2 1   5   1  Mà  A B  150  150  B   B  150  300  3B  B  150  B  150  B  60 2 2   Suy A  150  60  60   60 , suy ∆ABC tam giác Vậy ∆ABC có A  B Dạng Chứng minh đoạn thẳng Câu 1:  C  (do ∆ABC cân đỉnh A) Ta có AB  AC , B  C   180 (tổng ba góc tam giác) Mà A  B Trang 13 A  36  36  B  C   180  B  C   144  B  C   144  72   DBA 1B   36 Do BD tia phân giác góc B nên DBC   DBA   36 nên ∆DAB cân đỉnh D  DB  DA Xét ∆ABD có DAB (1)  góc ngồi đỉnh D ∆ABD nên Có BDC   DAB   DBA   36  36  72 BDC   BCD   72 nên ∆BCD cân đỉnh B  BD  BC Xét ∆BCD có BDC (2) Từ (1) (2), ta DA  DB  BC Câu 2: Ta có ∆ABC cân đỉnh A nên AB  AC ,  ABC   ACB Xét ∆ABM ∆ACM có AB  AC , BM  CM (giả thiết), AM chung  (hai góc tương ứng) Do ABM  ACM  c.c.c    AMB  AMC   180 nên  Mà  AMB   AMC  BMC AMB   AMC  90  AM  BC Ta có DE  AM (giả thiết)  DE // BC (cùng vng góc với AM)  ADE   ABC ,  AED   ACB (các góc đồng vị) Mà  ABC   ACB nên  ADE   AED Suy ∆ADE cân đỉnh A Suy AD  AE Dạng Các toán tổng hợp Câu 1: Trang 14 Do M trung điểm BC nên BM  CM  BC  AB Gọi K trung điểm AB nên AK  BK  AB Ta có D trung điểm BM nên BD  MD  BM Suy AK  BK  BD  MD Xét ∆ABD ∆MBK có AB  MB,  ABM chung, BD  BK Do ABD  MBK (c.g.c) Suy AD  MK (hai cạnh tương ứng) Lại có MK  AC (áp dụng kết phần ví dụ) Suy AD  AC hay AC  AD Câu 2: a) Do ∆ABC cân đỉnh A nên  ABC   ACB 1   180   Mà  ABC   ACB  BAC ABC  90  BAC (1) Ta có ∆ADE cân đỉnh A (do AD  AE ) nên  ADE   AED 1   180   Mà  AED   ADE  EAD AED  90  DAE (2) Từ (1) (2), suy  ABC   AED Trang 15 Mà hai góc vị trí đồng vị nên DE // BC  chung, AD  AE b) Xét ∆ABD ∆ACE có AB  AC , BAC  Do ABD  ACE  c.g c   AEC ADB  90 (hai góc tương ứng)  CE  AB (điều phải chứng minh) Trang 16 ... ba góc tam giác tam giác * Nếu tam giác cân có góc 60° tam giác tam giác Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhận biết tam giác cân, tam giác Phương pháp giải Dựa vào dấu hiệu nhận biết tam giác... cân, tam Ví dụ: Cho tam giác ABC cân đỉnh A Gọi BD,CE giác phân giác góc B, C tam giác Một tam giác tam giác cân nếu: ABC Chứng minh tam giác ADE tam giác - Tam giác có hai cạnh cân - Tam giác... Trong tam giác cân, hai góc đáy  C  Nếu ∆ABC cân đỉnh A B Định lý 2: Nếu tam giác có hai góc tam giác tam giác cân Nếu ∆ABC có  C  ∆ABC cân đỉnh A B Tam giác vuông cân Tam giác vng cân tam