Thông tin tài liệu
BÀI TAM GIÁC CÂN Mục tiêu Kiến thức + Nắm định nghĩa tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác + Nắm tính chất dấu hiệu nhận biết tam giác cân, tam giác Kĩ + Biết vẽ tam giác cân, tam giác vuông cân tam giác + Nhận biết chứng minh tam giác tam giác cân, tam giác vuông cân tam giác + Vận dụng tính chất tam giác cân, tam giác vuông cân tam giác để tính số đo góc, chứng minh góc hay cạnh Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Tam giác cân Định nghĩa Tam giác cân tam giác có hai cạnh Tam giác ABC có AB AC gọi tam giác ABC cân đỉnh A, đó: * AB, AC cạnh bên BC cạnh đáy , C góc đáy; A góc đỉnh * B Tính chất Định lý 1: Trong tam giác cân, hai góc đáy C Nếu ∆ABC cân đỉnh A B Định lý 2: Nếu tam giác có hai góc tam giác tam giác cân Nếu ∆ABC có C ∆ABC cân đỉnh A B Tam giác vuông cân Tam giác vuông cân tam giác vng có hai cạnh góc vng MN MP Nếu ∆MNP có ∆MNP tam giác MN MP vuông cân M Tam giác Định nghĩa Tam giác tam giác có ba cạnh Tính chất * Trong tam giác đều, góc 60° AB BC CA ∆ABC tam giác C 60 A B * Nếu tam giác có ba góc tam giác tam giác * Nếu tam giác cân có góc 60° tam giác tam giác Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhận biết tam giác cân, tam giác Phương pháp giải Dựa vào dấu hiệu nhận biết tam giác cân, tam Ví dụ: Cho tam giác ABC cân đỉnh A Gọi BD,CE giác phân giác góc B, C tam giác Một tam giác tam giác cân nếu: ABC Chứng minh tam giác ADE tam giác - Tam giác có hai cạnh cân - Tam giác có hai góc Một tam giác tam giác nếu: - Tam giác có ba cạnh - Tam giác có ba góc - Tam giác cân có góc 60° Hướng dẫn giải Bước Xác định cặp cạnh (góc) Phân tích: Có hai cách để chứng minh ∆ADE cân tam giác cần chứng minh thông qua phân tích ta chứng minh AD AE ADE AED Ta chứng minh cặp góc (cạnh) kiện tốn qua việc xét cặp tam giác +) Nếu chứng minh AD AE ta ghép vào cặp tam giác ∆ADB ∆AEC +) Cách cịn lại khó khăn ADE; AED góc ∆ADE Bước Chứng minh cặp cạnh (góc) tương ứng 1 Ta có: ABD DBC ABC (do BD phân giác kết luận 1 ABC ); ACE ECB ACB (do CE phân Q trình chứng minh, cần dựng thêm đường phụ giác ACB ) Mà ∆ABC cân đỉnh A nên AB AC ABC ACB ABD ACE Xét ∆ADB ∆AEC có CAE (góc chung), AB AC , BAD ABD ACE Do ADB AEC g c.g Suy AD AE (cặp cạnh tương ứng) Vậy ∆ADE cân A Trang Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC có AD đường phân giác góc A D BC Trên cạnh AB lấy điểm I, cạnh AC lấy điểm H cho AI AH Chứng minh tam giác IDH tam giác cân Hướng dẫn giải CAD BAC Do AD phân giác góc A nên BAD Xét ∆ADI ∆ADH có AI AH (giả thiết), HAD (chứng minh trên), IAD AD chung Do ADI ADH c.g c DI DH (cặp cạnh tương ứng) Vậy tam giác DHI tam giác cân đỉnh D Ví dụ Cho tam giác ABC có A 120 Trên tia phân giác góc A, lấy điểm D cho AD AB AC Chứng minh tam giác BCD Hướng dẫn giải CAD BAC 60 Do AD phân giác góc A nên BAD Trên tia AC lấy điểm E cho AE AD Do AD AB AC (giả thiết) nên ta có AE AB AC AE AC hay C nằm A E Khi đó, ta có AC EC AB AC EC AB 60 Suy ∆DAE Xét ∆ADE có AD AE , DAE DEA Suy DA DE AE , DAE ADE 60 Trang Xét ∆ABD ∆ECD có AB EC (chứng minh trên), CED 60, DA DE (chứng minh trên) BAD Do ABD ECD c.g.c Suy DB DC (hai cạnh tương ứng), (hai góc tương ứng) (1) ADB CDE 60 Theo chứng minh trên, ta có ADE 60 ADC CDE 60 Do từ (1), ta có ADC ADB 60 BDC 60 nên ∆BCD Vậy tam giác BCD có DB DC BDC Định hướng: DB DC Cần chứng minh 60 BDC Bài tập tự luyện dạng Chọn đáp án từ câu đến câu Câu 1: Tam giác cân tam giác A có hai đường cao B có hai đường trung tuyến C có hai cạnh D có hai tia phân giác Câu 2: Cho tam giác ABC cân đỉnh A có đường trung tuyến BD, CE Tam giác tam giác cân? A ∆ABD B ∆BCE C ∆ADE D ∆BDE 40 Câu 3: Cho tam giác ABC có A 100, C a) Chứng minh tam giác ABC cân b) Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD AB Chứng minh tam giác BCD tam giác vuông Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC có AD phân giác góc A D BC Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC I, đường thẳng qua D song song với AC cắt AB K Chứng minh ∆IDK tam giác cân Dạng 2: Tính số đo góc, chứng minh góc Phương pháp giải * Sử dụng tính chất tam giác cân, tam giác Ví dụ: Cho tam giác ABC cân A Tính số đo Trang * Sử dụng tính chất tổng ba góc tam giác góc cịn lại tam giác ABC a) A 80 75 b) B Hướng dẫn giải Bước Xác định cặp góc qua tính chất tam giác cân Bước Sử dụng tính chất tổng ba góc tam giác để tính góc tương ứng C Do tam giác ABC cân đỉnh A nên ta có B C 180 Mà ta ln có A B a) Với A 80 ta có C 180 B A 180 80 100 C 100 50 B 75 nên C 75 b) Do B Suy A 180 B C 180 75 75 30 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A Biết AB BC Tính số đo góc tam giác ABC Hướng dẫn giải Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho DA BA Suy BD DA AB AB BC (1) AB AD Xét ∆CAB ∆CAD có CAB CAD 90 CA chung Trang Do CAB CAD c.g c CD CB (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) (2) ta có BC CD DB nên ∆BCD tam giác 60 hay B 60 Suy CBD C 90 C 90 60 30 Mà ∆ABC vuông A nên B 60, C 30 Vậy ∆ABC có A 90, B Bài tập tự luyện dạng :C 1: ? Câu 1: Tam giác ABC tam giác biết A 80 B Câu 2: Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AD BC D BC BE AC E AC Gọi H giao điểm AD BE Biết AH BC , tính số đo BAC 3 1 Câu 3: Tam giác ABC tam giác A B 150 A B 150 ? 2 Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng Phương pháp giải * Sử dụng tính chất: Tam giác cân có hai cạnh bên Ví dụ: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh (dành cho hai đoạn thẳng có đầu AB, AC lấy điểm M, N cho mút chung) AM AN Chứng minh CM BN * Gắn đoạn thẳng cần chứng minh vào hai cạnh tương ứng hai tam giác (có thể áp dụng với cặp đoạn thẳng) Hướng dẫn giải Do CM BN hai đoạn thẳng khơng có đầu mút Bước Xác định phương pháp chứng minh tương chung nên ta chứng minh CM BN thông qua ứng hai đoạn thẳng hai tam giác Bước Lập luận chứng minh C Vì ∆ABC cân đỉnh A nên AB AC B Suy AM MB AN NC Lại có AM AN nên BM CN Xét ∆BCM ∆CBN có BM CN (chứng minh trên), NCB (chứng minh trên), MBC Trang BC cạnh chung Do BCM CBN c.g c Suy CM BN (hai cạnh tương ứng) Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC vng A, M trung điểm cạnh huyền BC Chứng minh MA MB MC BC Hướng dẫn giải Gọi M’ điểm nằm cạnh BC thỏa mãn M B M A Khi ∆M’AB cân đỉnh M’ (1) BA M AB hay M AB B M C 90 A Do ∆ABC vng A nên ta có B C M AB M AC (2) B M AB C AB M AC Từ (1) (2), ta M M AC hay M CA M AC Suy C Do ∆M’AC cân đỉnh M’, suy M A M C Kết hợp với M B M A (cách dựng), ta có M B M C M A nên M' trung điểm đoạn BC Vậy M M nên ta chứng minh MB MC MA Phân tích: Ta cần thiết lập mối quan hệ MA MB Vì vậy, ta chứng minh toán dựa ý tưởng: Gọi điểm M' thỏa mãn M ' BC M A M B sau ta chứng minh M ' M Bình luận: Bạn đọc tự chứng minh chiều ngược toán trên: “Cho tam giác MAB cân đỉnh M Trên tia đối tia MB, lấy điểm C cho M trung điểm BC Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông” Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tam giác ABC cân A có A 36 Tia phân giác góc B cắt cạnh AC điểm D Chứng minh DA DB BC Câu 2: Cho tam giác ABC cân đỉnh A, gọi M trung điểm BC Trên cạnh AB lấy điểm D Từ D kẻ đường vng góc với AM K kéo dài cắt cạnh AC E Chứng minh AD AE Trang Dạng 4: Các toán tổng hợp Phương pháp giải Sử dụng kết hợp tính chất tam giác cân, quan hệ song song số kết chứng minh dạng trước Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC cân đỉnh A có M, N trung điểm AB, AC Chứng minh MN // BC MN BC Hướng dẫn giải Do ABC cân đỉnh A nên AB AC ABC ACB Lại M, N trung điểm AB, AC nên AM BM 1 AB, AN CN AC 2 Do AM AN ∆AMN cân đỉnh A AMN ANM 180 Mà ∆AMN có AMN ANM MAN 180 MAN A AMN ANM 90 2 180 Mặt khác ABC ACB BAC 180 BAC A ABC ACB 90 2 A Suy AMN ABC 90 Mà hai góc vị trí đồng vị nên MN // BC Qua M dựng đường thẳng song song với AC , cắt cạnh BC điểm K MKB ACB (đồng vị) Mà ABC ACB nên MKB ABC MBK nên ∆MBK cân đỉnh M MK MB Xét ∆MBK có MKB Ta có MK MB MA AN CN MAN (đồng vị) Lại có MK // AC nên BMK Xét ∆AMN ∆MBK có , AM MB, BMK MAN AMN MBK Trang Do AMN MBK g c.g MN BK (hai cạnh tương ứng) (1) Xét ∆MNC ∆CKM có (do MN // BC ), cạnh CM chung, NCM KMC (do MK // AC ) NMC KCM Do MNC CKM g c.g MN CK (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1)và (2) suy MN BK CK Mà BK CK BC nên K trung điểm BC Do MN BK CK BC (điều phải chứng minh) Hướng tư duy: * Chứng minh quan hệ song song sử dụng mối quan hệ góc (ưu tiên) Do ta chứng minh cặp góc so le đồng vị * Chứng minh hai góc qua tính chất tam giác cân hai đường thẳng song song * Chứng minh quan hệ độ dài đoạn thẳng sử dụng đoạn thẳng tương ứng hai tam giác Bình luận: Đây tốn điển hình việc sử dụng mối quan hệ từ tam giác cân đường thẳng song song Có thể mở rộng kết tốn cho tam giác ABC bất kỳ: Gọi M, N trung điểm AB, AC Khi đó, ta có MN // BC , MN BC Lưu ý việc chứng minh song song ( MN // BC ) thực thơng qua việc dựng đường thẳng MN // BC với N BC Sau đó, ta tìm cách N N Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tam giác ABC có BC AB , M trung điểm cạnh BC, D trung điểm BM Chứng minh AC AD Câu 2: Cho tam giác ABC cân A có A 90 kẻ BD vng góc với AC Trên cạnh AB lấy điểm E cho AE AD Chứng minh a) DE // BC b) CE AB Trang 10 ĐÁP ÁN Dạng Nhận biết tam giác cân, tam giác Câu 1: Chọn C Câu 2: Chọn C Xét ∆ADE có AE 1 AB, AD AC mà AB AC (do ∆ABC cân), nên AE AD 2 Vậy ∆ADE cân A Câu 3: C 180 a) Xét ∆ABC có A B 180 180 100 40 40 B AC C 40 B Do đó, ∆ABC cân đỉnh A b) ∆ABC cân A nên AB AC Mà AB AD (giả thiết) AC AD ∆ACD cân đỉnh A góc ngồi đỉnh A Xét ∆ACD có BAC 100 ACD ADC BAC 100 Vậy ACD ADC 50 Trang 11 BCA Khi BCD ACD 40 50 90 Do ∆BCD vng C Câu 4: IAD (tính chất đường phân giác) Ta có KAD DAK (hai góc so le trong) Mà DI // AB IDA DAI (hai góc so le trong) DK // AC KDA KDA Suy IDA Xét ∆ADI ∆ADK có IAD , AD chung, KDA IDA KAD Do ADI ADK g c.g DI DK (hai cạnh tương ứng) Do ∆IDK cân D Dạng Tính số đo góc, chứng minh góc Câu 1: C 180 ( tổng ba góc tam giác) Vì A 80 nên B C 180 Xét ∆ABC có A B A 100 Theo giả thiết, ta có C B Áp dụng tính chất dãy tỷ số nhau, ta có: C B C 100 B 20, C 4.20 80 20 B 1 80 nên ∆ABC cân đỉnh B Vậy A C Câu 2: Trang 12 DCA 90 (do ∆ADC vuông D) EBC ECB 90 (do ∆BCE vuông E) Ta có DAC DCA ECB EBC 90 DAC CBE Suy DAC CBE (chứng minh trên) 90, AH BC (giả thiết), HAE Xét ∆AHE ∆BCE có AEH BEC Do AHE BCE (cạnh huyền - góc nhọn) AE BE (hai cạnh tương ứng) Xét ∆ABE có AE BE , AEB 90 Suy ∆AEB tam giác vuông cân E BAE 45 Do BAC Câu 3: 3 3 Ta có A B 150 A 150 B 2 1 5 1 Mà A B 150 150 B B 150 300 3B B 150 B 150 B 60 2 2 Suy A 150 60 60 60 , suy ∆ABC tam giác Vậy ∆ABC có A B Dạng Chứng minh đoạn thẳng Câu 1: C (do ∆ABC cân đỉnh A) Ta có AB AC , B C 180 (tổng ba góc tam giác) Mà A B Trang 13 A 36 36 B C 180 B C 144 B C 144 72 DBA 1B 36 Do BD tia phân giác góc B nên DBC DBA 36 nên ∆DAB cân đỉnh D DB DA Xét ∆ABD có DAB (1) góc ngồi đỉnh D ∆ABD nên Có BDC DAB DBA 36 36 72 BDC BCD 72 nên ∆BCD cân đỉnh B BD BC Xét ∆BCD có BDC (2) Từ (1) (2), ta DA DB BC Câu 2: Ta có ∆ABC cân đỉnh A nên AB AC , ABC ACB Xét ∆ABM ∆ACM có AB AC , BM CM (giả thiết), AM chung (hai góc tương ứng) Do ABM ACM c.c.c AMB AMC 180 nên Mà AMB AMC BMC AMB AMC 90 AM BC Ta có DE AM (giả thiết) DE // BC (cùng vng góc với AM) ADE ABC , AED ACB (các góc đồng vị) Mà ABC ACB nên ADE AED Suy ∆ADE cân đỉnh A Suy AD AE Dạng Các toán tổng hợp Câu 1: Trang 14 Do M trung điểm BC nên BM CM BC AB Gọi K trung điểm AB nên AK BK AB Ta có D trung điểm BM nên BD MD BM Suy AK BK BD MD Xét ∆ABD ∆MBK có AB MB, ABM chung, BD BK Do ABD MBK (c.g.c) Suy AD MK (hai cạnh tương ứng) Lại có MK AC (áp dụng kết phần ví dụ) Suy AD AC hay AC AD Câu 2: a) Do ∆ABC cân đỉnh A nên ABC ACB 1 180 Mà ABC ACB BAC ABC 90 BAC (1) Ta có ∆ADE cân đỉnh A (do AD AE ) nên ADE AED 1 180 Mà AED ADE EAD AED 90 DAE (2) Từ (1) (2), suy ABC AED Trang 15 Mà hai góc vị trí đồng vị nên DE // BC chung, AD AE b) Xét ∆ABD ∆ACE có AB AC , BAC Do ABD ACE c.g c AEC ADB 90 (hai góc tương ứng) CE AB (điều phải chứng minh) Trang 16 ... ba góc tam giác tam giác * Nếu tam giác cân có góc 60° tam giác tam giác Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhận biết tam giác cân, tam giác Phương pháp giải Dựa vào dấu hiệu nhận biết tam giác... cân, tam Ví dụ: Cho tam giác ABC cân đỉnh A Gọi BD,CE giác phân giác góc B, C tam giác Một tam giác tam giác cân nếu: ABC Chứng minh tam giác ADE tam giác - Tam giác có hai cạnh cân - Tam giác... Trong tam giác cân, hai góc đáy C Nếu ∆ABC cân đỉnh A B Định lý 2: Nếu tam giác có hai góc tam giác tam giác cân Nếu ∆ABC có C ∆ABC cân đỉnh A B Tam giác vuông cân Tam giác vng cân tam
Ngày đăng: 18/10/2022, 19:04
Xem thêm:
