Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1 Một tập hợp các F của Ω là một đại số nếu
F gọi là một σ - đại số nếu thỏa mãn (i), (ii) và điều kiện
A i ∈ F. Nếu F là σ - đại số thì cặp (Ω,F ) gọi là không gian đo được. Định nghĩa 1.2 Tập hợp S các tập con của Ω được gọi là nửa vành nếu:(i) ∅ ∈ S.
(iii) Nếu A ∈ S và B ∈ S thì tồn tại hữu hạn các tập con rời nhau C i ∈ S, i = 1, n thỏa mãn A\B = n
C i Định nghĩa 1.3 Tập hợp R các tập con của Ω được gọi là vành nếu:
Nếu A và B là hai tập hợp thuộc R, thì hợp của chúng A ∪ B cũng thuộc R Định nghĩa 1.4 nêu rằng một hàm tập cộng trên vành S là một ánh xạ từ S vào một tập F có phép toán cộng Ánh xạ này phải thỏa mãn tiên đề rằng (A ∪ B) = à (A) + à (B) khi A và B không giao nhau (A ∩ B = ∅).
Hàm tập à được gọi là cộng tớnh đếm được hay σ - cộng tớnh, nếu: à(
X k=1 à (A k ) với mọi dãy {A k } ⊂ S sao cho A k A j = ∅ với k 6= j và
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một tập hợp k ⊂ S và giả thiết rằng các biến cố F tạo thành một σ-đại số Theo định nghĩa 1.5, một hàm cộng tính đếm được từ F đến [0, ∞) được gọi là độ đo trên F Điều này có nghĩa là nếu có một dãy {A_n} ⊂ F mà các phần tử trong dãy này là từng đôi không giao nhau, thì hàm đo sẽ thỏa mãn điều kiện nhất định.
Bộ ba (Ω, F, à) được gọi là khụng gian cú độ đo.
Nếu à(Ω) = 1 thỡ à được gọi là độ đo xỏc suất và (Ω, F, à) gọi là khụng gian xác suất.
Các tính chất cơ bản của độ đo
(4) Tính nửa σ – cộng tính dưới:
P n=1 à (A n ). Định lý 1.1 Giả sử F là σ – đại số, à là hàm tập khụng õm, cộng tớnh hữu hạn trên F Khi đó các điều kiện sau tương đương:
(2) à là nửa σ – cộng tớnh dưới;
(3) à liờn tục dưới, tức là nếu A n ↑ A thỡ à (A n ) ↑ à (A).
Nếu thờm điều kiện à là hữu hạn thỡ cỏc điều kiện trờn tương đương với một trong các điều kiện sau:
(4) à liờn tục trờn, tức là nếu A n ↓ A thỡ à (A n ) ↓ à (A).
Đoạn văn được viết lại như sau: Nếu A_n liên tục tại ∅, thì khi A_n hội tụ về ∅, ta có (A_n) hội tụ về 0 Định nghĩa 1.6 nêu rõ rằng độ đo a trên σ-vành S được gọi là độ đo đủ nếu với mọi tập A thuộc S, a(A) = 0 và nếu B là tập con của A thì B cũng thuộc S Chúng ta cũng nói rằng S là đủ đối với độ đo a hoặc a-đủ Định nghĩa 1.7 cho biết một hàm tập cộng tính trên vành S của không gian tôpô X và nhận giá trị trong R+ được gọi là độ đo chính quy nếu nó thỏa mãn các tính chất nhất định.
∀ε > 0, ∀A ∈ S, ∃K ∈ S,∃F ∈ S với K là tập compact tương đối sao cho:
Nới rộng độ đo
Phương pháp nới rộng độ đo Lebesgue
Định nghĩa 1.8 Không Ω là một không gian mẫu Một độ đo ngoài trên Ω là một hàm à ∗ : P (Ω) → [0, ∞) thỏa món:
(ii) Nếu A ⊂ B ∈ Ω thỡ à ∗ (A) ≤ à ∗ (B) (Tớnh đơn điệu tăng).
P n=1 à ∗ (A n ) (Tớnh chất nửa σ - cộng tớnh dưới). Định lý 1.2 Cho Ω là một tập không rỗng Cho một họ khác rỗng E ⊂ P (Ω) ,
∅ ∈ E, và một hàm h : E →R+ với h (∅) = 0 định nghĩa à ∗ (A) = inf {X n h(A n ) : A ⊂[ n
Đoạn văn sau đây tóm tắt nội dung của bài viết:Định nghĩa 1.9 giới thiệu về độ đo ngoài à ∗ trên tập Ω, trong đó một tập E ⊂ Ω được gọi là à ∗ - đo được nếu thỏa mãn điều kiện à ∗ (A) = à ∗ (A ∩ E) + à ∗ (A ∩ E c ) cho mọi A ∈ Ω Nếu à ∗ (E) = 0, thì E được xem là à ∗ - bỏ qua được Theo định lý 1.3, tập hợp M à ∗ của tất cả các tập à ∗ - đo được tạo thành một σ - đại số và bao gồm cả các tập à ∗ - bỏ qua được, đồng thời (Ω, M à ∗, à∗) tạo thành một không gian có độ đo đủ Định lý 1.4 mở rộng Caratheodory cho biết rằng nếu à là hàm tập cộng tính và cộng tính dưới đếm được trên nửa vành E với à (∅) = 0, thì à có thể được mở rộng thành một độ đo đủ trên σ - đại số M à chứa σ(E).
Chúng ta sẽ chứng minh rằng hàm đo à ∗ được định nghĩa bởi (1.1) với h là một độ đo ngoài Cụ thể, chúng ta sẽ chứng minh hai điều: (i) hàm à ∗ và hàm à là trực giao với nhau, và (ii) tập hợp tất cả các tập à ∗ - đo được tạo thành một σ - đại số và chứa E.
(i) Giả sử I ∈ E và I 1 , I 2 là dãy các tập con của I bao phủI Từ định nghĩa của à ∗ , tớnh σ - cộng tớnh dưới và tớnh cộng tớnh hữu hạn củaà chứng tỏ rằng à ∗ (I ) ≤ à (I) ≤X k à (I ∩ I k ) ≤X k à (I k )
(ii) Cho I ∈ E và giả sử rằng A ⊂ Ω bị bao phủ bởi I 1 , I 2 với I k ∈ E với mọi k và thỏa mãn
Từ I k = (I k ∩ I) ∪ (I k ∩ I c ) và I k ∩ I c là hợp hữu hạn của các tập rời nhau trong
E, nú chứng tỏ rằng à (I k ) ≥ à (I k ∩ I) + à ∗ (I k ∩ I c ) Do đú, à ∗ (A) + ε ≥X k à (I k ) = X k à (I k ∩ I ) +X k à (I k ∩ I c )
Cho ε → 0 ta cú được rằng à ∗ (A) ≥ à ∗ (A ∩ I) + à ∗ (A ∩ I c ) Tớnh cộng tớnh dưới của độ đo ngoài à ∗ suy ra I là tập à ∗ - đo được.
Hệ quả 1.1 Cho (Ω, σ (E ) , à) là mở rộng Caratheodory của à trờn nửa vành E, à ∗ là độ đo ngoài cho bởi (1.1) và E ↑ là họ của cỏc hợp đếm được cỏc tập trong
E Thì, với mọi E ⊂ Ω, tồn tại B ∈ σ(E) sao cho E ⊂ B và à ∗ (E) = inf à (C) : E ⊂ C ∈ E ↑ = à (B) (1.3)
Nếu η là một mở rộng khác của hàm đo (Ω, σ(E)), thì η ≤ à Hơn nữa, nếu E là một vành, thì η(E) = à(E) cho mọi E thuộc σ(E) với à(E) < ∞ Định lý 1.5 cho biết rằng, nếu E là nửa vành trên Ω và à là hàm cộng tính dưới đếm được, thì nếu mở rộng Caratheodory là σ-hữu hạn trên σ(E), thì M à = σ(E) và mở rộng đó là duy nhất.
Độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue- Stieltjes
Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá độ đo trên không gian Borel (R^d, B(R^d)) Để làm rõ, ký hiệu E đại diện cho tập hợp tất cả các khoảng d-chiều Q^d k=1 (a_k, b_k] = (a, b], với điều kiện a_k ≤ b_k Do đó, E được xác định là nửa vành.
Cho F : R d → R là hàm liên tục phải tức là lim x→a + F (x) = F (a) Với a ≤ b và
∆ j (a, b) F (s) = F (s 1 , s 2 , s j−1 , b, s j+1 , , s d ) − F (s 1 , s 2 , s j−1 , a, s j+1 , , s d ) Định lý 1.6 Giả sử rằng F là liên tục phải và có số gia không âm tức là à ((a, b]) = d
∆ j (a j , b j )F ≥ 0 với mọi khoảng d-chiều (a,b] bất kỳ Thỡ à nhận một mở rộng thành độ đo trờn σ - đại số B(R d )⊂ M à
Chứng minh Rừ ràng à (∅) = 0 và à là cộng tớnh hữu hạn trờn E.
Bõy giờ ta chứng minhàlàσ- cộng tớnh dưới trờnE Nếu(a, b] =
(a(m), b(m)], tính liên tục phải và có gia số không âm của F suy ra là với mọi ε > 0, có a ε và b ε (j ) thỏa mãn à ((a, b]) < à ((a ε , b]) + ε
Từ một hộp đóng [a ε , b] là tập compăct và
(a (m) , b ε (m)) Cộng tính hữu hạn có nghĩa là cộng tính dưới hữu hạn trên nửa vành E, do đó à ((a, b]) < à ((a ε , b]) + ε
Tính cộng tính dưới đếm được của hàm F trên E được xác định khi cho ε > 0, theo kết luận từ định lý mở rộng của Caratheodory Theo định nghĩa 1.10, với mỗi F thuộc F, tồn tại một độ đo σ-hữu hạn duy nhất trên σ-đại số B(R^d), được xác định bởi công thức à([a, b)) = F(b) − F(a).
Khi đú, độ đo à được gọi là độ đo Lebesgue - Stieltjes. Độ đo Lebesgueλ là độ đo tương ứng với trường hợp đặc biệt khiF (s) = d
(b j − a j ) và M λ là σ - đại số Lebesgue. Định lý 1.7 Cho R d , B R d
Trong không gian với độ đo Borel hữu hạn, hàm phân bố F được xác định bởi F(x) := {y : y ≤ x} Đặc điểm của hàm F là: i F là hàm tăng không âm; ii F là chính xác, nghĩa là lim min k x k %∞ F(x) = à R d.
, lim min k x k &−∞ F (x) = 0. iii F là liên tục phải.
Ngược lại, nếu F thỏa món (i)-(iii) thỡ cú độ đo à trờn R d , B R d với phân bố F.
Độ đo Hausdorff trong không gian Metric
Giả sử (X, d) là một không gian metric và giả sử rằng g : R + → R + là hàm không giảm với g(0) = 0 Định nghĩa h : P (X) → R + là hàm A 7→ g(diam(A)) với diam(∅) = 0 và diam(A) = sup {d(x, y), x; y ∈ A} nếu A 6= ∅.
Với mỗi δ > 0 đặt E δ là tập hợp các tập có đường kính tối đa là δ thì hàm tập H δ g định nghĩa bởi:
Từ E δ ⊂ E δ 0 , ∀δ < δ 0 nênA 7→ H g (A) := sup δ>0 H δ g (A) cũng là một độ đo ngoài. Định nghĩa 1.11 Một độ đo ngoài à ∗ trờn khụng gian metric thỏa món à ∗ (A ∪ B ) = à ∗ (A) + à ∗ (B) nếu d (A, B) > 0. được gọi là độ đo metric ngoài.
Chú ý: Nếu A, B ⊂ X và d(A, B ) = inf {d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B} > 0 thì
Hàm số f giữa không gian metric (X, d) và (Y, ρ) được gọi là Lipschitz bậc α > 0 nếu tồn tại hằng số L ≥ 0 sao cho ρ(f(x₁), f(x₂)) ≤ Ld(x₁, x₂) với mọi x₁, x₂ ∈ X Theo định lý Caratheodory, nếu à∗ là độ đo metric ngoài, thì mọi tập Borel đều là à∗-đo được Định lý 1.8 khẳng định rằng Hδg(A ∪ B) = Hδg(A) + Hδg(B), trong khi định lý 1.9 nhấn mạnh thuộc tính Lipschitz của hàm f trong không gian metric.
Chứng minh Chú ý rằng diam(f (A)) ≤ L(diam(A)) α Cho δ > 0 đặt δ ∗ = Lδ α Nếu {A n ⊂ E δ là phủ đếm được của A, thì {f(A n )} ⊂ E δ là phủ mở của f(A) Khi đó:
(diam (A n )) s hệ quả là H s/α (f (A)) ≤ L s/α H s (A) với mọi A ⊂ X.
Hàm đo được
Định nghĩa 1.12 (i) Cho các không gian đo được (X, S) và (Y, R) Ánh xạ f : X → Y gọi là ánh xạ đo được nếu với mọi A ∈R ta có f −1 (A) = {x ∈ X : f (x) ∈ A} ∈ S
Trong không gian có độ đo (X, S, à), hàm số f: X → [−∞, +∞] được coi là à - đo được nếu với mọi tập Borel B ⊂ R, ta có f −1(B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B} thuộc S(à) Định lý 1.10 khẳng định rằng các điều kiện sau đây là tương đương.
1 Hàm số f : X → [−∞, +∞] là đo được.
2 Với mọi số thực r tập {x ∈ X : f (x) > r} đo được.
3 Với mọi số thực r tập {x ∈ X : f (x) ≥ r} đo được.
4 Với mọi số thực r tập {x ∈ X : f (x) < r} đo được.
5 Với mọi số thực r tập {x ∈ X : f (x) ≤ r} đo được. Định lý 1.11.1 Giả sử f, glà các hàm đo được Khi đó, các tập{f < g} , {f ≤ g} , {f = g} là đo được.
2 Giả sử f, g các là hàm đo được Khi đó, f ∨ g = max {f, g} ; f ∧ g = min {f, g} ; f + g; f g (g 6= 0) ; |f| α (α ∈R + ) là đo được.
3 Nếu f đo được và g(x) = f(x) à - hầu khắp nơi thỡ g cũng đo được.
Cho (f n) là dãy hàm đo được, các hàm sup f n, inf f n, lim sup f n và lim inf f n cũng là hàm đo được Định lý 1.12 (Egorov) khẳng định rằng nếu (f n) là dãy hàm đo được hội tụ đến f hầu khắp nơi, thì với mọi ε > 0, tồn tại tập A với μ(A) < ε sao cho f n hội tụ đều đến f trên A Định nghĩa 1.13 nêu rằng trong hai không gian đo được (Ω, A) và (Ω, B), ánh xạ f từ Ω vào X được gọi là ((A - B))-đo được nếu với mọi B ∈ B, nghịch ảnh f −1(B) thuộc A Định lý 1.13 cho biết nếu (Ω, A) và (Ω, B) là hai không gian đo được với B = σ(C), thì f là (A - B)-đo được nếu và chỉ nếu f −1(C) ⊂ A.
Trong không gian đo được (Ω,F), một hàm f có giá trị trong không gian metric (S, d) được coi là đo được nếu và chỉ nếu hàm g ◦ f : Ω → R là đo được với mọi hàm giá trị thực g trên S Điều này được thể hiện qua Định lý 1.14, khẳng định mối liên hệ giữa không gian đo được và không gian metric.
Nếu {f n } ⊂ S Ω dãy hội tụ các hàm đo được thì f = lim n f n là hàm đo được.
Các khái niệm của giải tích hàm
Định lý Stone –Weierstrass
Định nghĩa 1.14 Cho E và V là họ các hàm thực hoặc phức xác định trên Ω.
Vành E được định nghĩa là vành thực hoặc phức khi nó là không gian véctơ thực hoặc phức, đồng thời tuân thủ quy tắc cộng từng điểm và phép nhân vô hướng Hơn nữa, vành này phải là đóng dưới với phép nhân từng điểm.
V là một không gian véctơ thực hoặc phức, nơi mà phép cộng và phép nhân vô hướng được thực hiện theo từng điểm Trong không gian này, ta định nghĩa f ∧ g là giá trị nhỏ hơn giữa f và g, tức là f ∧ g := min {f, g} ∈ V; và f ∨ g là giá trị lớn hơn giữa f và g, tức là f ∨ g := max {f, g} ∈ V, với mọi hàm thực f, g thuộc V.
(iii) Một họ các hàm V gọi là đóng với phép chặt cụt nếu f ∧1 ∈ V với mọi hàm thực f ∈ V.
Bổ đề 1.2 (Định lý Dini) khẳng định rằng nếu S là tập compact và {φ n} là dãy các hàm liên điểm tăng hội tụ điểm đến hàm liên tục φ, thì φ n hội tụ đều đến φ Định lý 1.15 chỉ ra rằng nếu E là tập hợp các hàm bị chặn trên một tập nào đó, và E là một vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặt cụt, thì bao đóng đều của E sẽ tồn tại.
E là một vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặt cụt Theo Định lý Stone-Weierstrass (Định lý 1.16), nếu S là một không gian Hausdorff compact và E ⊂ C(S) là vành hoặc dàn véctơ đóng, thì E tách các điểm, nghĩa là với mọi cặp điểm s và t khác nhau trong S, tồn tại một hàm φ thuộc E.
E thỏa mãn φ (s) 6= φ (t) thì ta có:
(i) Nếu E không có không điểm chung z ∈ S thì hợp bao đóng đều E = C(S). (ii) Nếu E có không điểm chung duy nhất z ∈ S thì E = {φ ∈ C(S): φ (z) = 0 }.
Kí hiệu V đại diện cho không gian tất cả các hàm liên tục trên S, với điều kiện (i) thỏa mãn hoặc là không gian tất cả các hàm liên tục trên S triệt tiêu tại x nếu (ii) thỏa mãn Do đó, E được xác định là một vành đóng với phép chặt cụt.
E = E, chứng tỏ rằng giả thiết E là dàn vành đóng với phép chặt cụt là đầy đủ Cho f ∈ V và với mọi s 6= t trong S, chọn ψ st ∈ E sao cho ψ st (s) 6= ψ st (t) Đối với mỗi t ∈ S trong trường hợp (i) hoặc t ∈ S\ {z} trong trường hợp (ii), ta chọn ψ t ∈ E với ψ t (t) = 1 và ψ t ≡ 0 khi t = z trong trường hợp (ii) Đối với mỗi cặp s 6= t ∈ S, xác định φ st (x) = f (s) ψ s (x) + f (t) ψ t (x) − f (s) ψ s (x) ψ st (t) − ψ st (s) (ψ st (x) − ψ st (s)) Lưu ý rằng φ st ∈ E và φ st (t) = f (t), φ st (s) = f (s) Cố định t ∈ S và với mỗi ε > 0, xét tập mở U t = {φ st > f − ε} Từ t ∈ U ε t và s ∈ U ε t với mọi s 6= t.
U s t : s 6= t là một phủ mở của S Do tính compact nên tồn tại phủ con hữu hạn
U sk t : k = 1, 2 n Từ f t = Wn k=1 φ s k t ∈ E, f (x) − ε < f t (x) và f t (t) = f (t), các tập V t = {f t < f + ε}có dạng là phủ mở củaS Theo tính compact sẽ có phủ con hữu hạn
V t j : j = 1, 2 m Chú ý rằng f ε = Vm j=1 f t j ∈ E và |f (t) − f ε (t)| < ε với mọi x ∈ S Vậy f ∈ E.
Hệ quả 1.2 Cho E là một vành của các hàm bị chặn trên một tập nào đó Thì
E là một vành và dàn véctơ đóng với phép chặt cụt Ngoài ra, với f ∈ C(R ) với mọi f(0) = 0 và φ ∈ E thì f ◦ φ ∈ E.
Hệ quả 1.3 cho biết rằng, với E là vành hoặc dàn véctơ đóng với phép chặt cụt trên tập S, một hàm thực f trên S 0 ⊂ S có thể được xấp xỉ đều trên S 0 bởi hàm trên E nếu và chỉ nếu f là hạn chế trên S 0 của một hàm fe ∈ E Định nghĩa 1.15 nêu rõ rằng, E là tập hợp các hàm bị chặn trên tập S, và tính E-đều của S được xác định bởi tập hợp giả metric d φ : φ ∈ E với công thức d φ (x, y) = |φ (x) − φ (y)|.
Một hàm f : S → E, với (E, d) là không gian metric là E - liên tục đều nếu với mọi ε > 0 có δ < 0 và {φ 1 , φ 2 φ n } ⊂ E thỏa mãn
Nếu 1≤k≤n và d φ k (x, y) < 0, thì d (f (x), f (y)) < ε Định lý 1.17, hay còn gọi là Định lý Stone-Weierstrass tổng quát, khẳng định rằng nếu E là một vành hoặc một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt của các hàm thực bị chặn trên S, thì một hàm thực f được coi là E-liên tục đều nếu và chỉ nếu f là tổng của một hằng số và một hàm trên E u.
Các lớp đơn điệu của hàm số
Định nghĩa 1.16 Cho Ω là tập không rỗng bất kỳ
Một tập V ⊂ R Ω được gọi là lớp đơn điệu nếu nó đóng dưới giới hạn từng điểm của dãy hội tụ đơn điệu Điều này có nghĩa là lớp đơn điệu bị chặn sẽ duy trì tính chất này khi xét đến các giới hạn của các dãy hội tụ.
Một tập V của các hàm phức hoặc thực bị chặn được gọi là lớp bị chặn nếu nó đóng dưới giới hạn theo từng điểm của dãy hội tụ bị chặn Nếu {f n } ⊂ V thỏa mãn điều kiện sup kf n k u < ∞ và f (x) = lim n f n (x) với mọi x, thì hàm f sẽ thuộc về tập V.
(iii) Tập hợp M ⊂ R Ω là lớp nhân tính thực nếu nó đóng dưới hữu hạn phép nhân.
Một tập M ⊂ C Ω được gọi là lớp nhân phức nếu nó đóng dưới phép nhân hữu hạn và phép lấy số phức liên hợp Định lý 1.18 khẳng định rằng, cho không gian véctơ thực V của các hàm (hoặc hàm bị chặn) chứa hàm hằng, thì V là lớp đơn điệu (hoặc đơn điệu bị chặn) Nếu M ⊂ V là lớp nhân của các hàm bị chặn, thì V sẽ chứa tất cả các hàm đo được giá trị thực σ(M) Theo định nghĩa 1.17, họ V ⊂ R Ω được coi là đóng theo dãy nếu giới hạn của một dãy hội tụ trong V cũng thuộc V.
Cho một tập hợp E ⊂ R Ω, giao của tất cả các tập đóng theo dãy chứa E được gọi là bao đóng theo dãy của E, ký hiệu là E Σ Đây là tập đóng theo dãy bé nhất chứa E.
Bổ đề 1.3 Giả sử E là một vành hoặc một dàn đóng với phép chặt cụt khi đó: (i) E Σ cũng là một vành hoặc một dàn đóng với phép chặt cụt.
(ii) Nếu E ∈ R Ω đóng kín đối với các phép toán +, −, , ∨, ∧, ∧1 hoặc |.| thì E Σ cũng vậy.
(iii) Tập hợp R (E ) các tập con trong E Σ trùng với σ vành Rσ (E ) sinh bởi φ −1 ((r, ∞)) : φ ∈ E, r > 0
Hàm f thuộc E Σ nếu và chỉ nếu ảnh ngược f −1 (I) nằm trong R (E) cho mọi khoảng mở I trong R \ {0} Đặt MR (E) là tập hợp các hàm thực đo được của σ(E) Định lý 1.19 chỉ ra rằng nếu E là một vành hoặc một dàn véctơ của các hàm bị chặn đóng với phép chặt cụt, thì E Σ là đại số khi và chỉ khi tồn tại một dãy {φ n} thuộc E sao cho sup n φ n > 0 trên Ω Trong trường hợp này, R (E) bằng σ(E) và E Σ bằng MR (E).
Một ứng dụng quan trọng của định lý lớp đơn điệu của hàm số là xác định xem hai độ đo hữu hạn trên B(R d ) có trùng nhau hay không.
Tích phân theo quan điểm của lý thuyết độ đo
Trong giải tích cổ điển, tích phân Riemann và các ứng dụng của nó đã được nghiên cứu, nhưng có những hàm đo được đơn giản mà không khả tích Riemann Để giải quyết vấn đề này, Lebesgue đã phát triển phương pháp chia miền tích phân thành các tập hợp nhỏ, mỗi tập hợp chứa những điểm có giá trị f(x) gần nhau Phương pháp này cho phép sử dụng các hàm bậc thang để xấp xỉ f(x).
Tích phân Lebesgue trìu tượng
Trong không gian đo được (Ω,F), hàm chỉ tiêu 1 A (ω) được định nghĩa cho mỗi tập hợp A ⊂ Ω, với 1 A (ω) = 1 khi ω thuộc A và 1 A (ω) = 0 khi ω không thuộc A Hàm này được coi là đo được nếu A nằm trong σ-algebra F Một hàm đo được s: Ω → R được gọi là đơn giản nếu nó chỉ nhận hữu hạn giá trị Nếu s là một hàm đơn giản và không âm, thì tập hợp {a1, a2, , an} sẽ chứa tất cả các giá trị khác nhau của s, với n là số lượng giá trị khác nhau đó.
Với mỗi E ∈F, tớch phõn của s trờn E đối với độ đo à xỏc định bởi
Bổ đề 2.1 Cho s và t là hai hàm đơn giản không âm Cho ν :F → [0, ∞] xác định bởi ν (E) =R
E sdà thì ν là một độ đo trên (Ω,F ) Ngoài ra
Chứng minh Giả sử rằng {a 1 , a 2 , a n } là tất cả các giá trị xác định bởis và đặt
A k = s −1 ({a k }) Từ (2.1) dễ dàng có được ν (∅) = 0 Nếu E i là một dãy các tập đo được rời nhau và E =S i E i thì ν (E) = n
X i=1 ν (E i ) nó chứng tỏ rằng ν là một độ đo.
Cho{b 1 , , b n }là tập tất cả các giá trị khác nhau màtnhận vàB j = t −1 ({b j }) và E kj = A k ∩ B j thì
Phần thứ nhất được chứng minh và đẳng thức (2.2) có nghĩa là
Từ bổ đề 2.1 ta có:
Ω tdà với E ∈F và 0 ≤ s ≤ t là các hàm đơn giản.
Bổ đề 2.2 Cho f : (Ω,F ) → [0, ∞) hàm đo được Borel Thì
(i) Có một dãy các hàm đơn giản không âm thỏa mãn 0 ≤ s n ≤ s n+1 < ∞ với mỗi n ∈Z + và lim n→∞ s n (ω) = f (ω) , ∀n ∈Z + , ω ∈ Ω (ii) Có một dãy các tậpA n ∈Fvà dãy các hằng sốα n ≥ 0sao chof =
P n=1 α n 1 A n Định nghĩa 2.2 Với mọi hàm đo được f : Ω → [0, ∞] thì tích phân của f trên
E sdà : 0 ≤ s ≤ f với s là hàm đơn giản} (2.3)
Từ định nghĩa suy ra:
Ω gdà với mọi hàm đo được 0 ≤ f ≤ g ≤ ∞.
Hàm f : Ω → R có thể phân tích thành tổng hai hàm không âm, cụ thể là f(ω) = f+(ω) − f−(ω), với f+(ω) = f(ω) ∨ 0 và f−(ω) = f(ω) ∧ 0 Hàm f được coi là đo được nếu và chỉ nếu f+ và f− cũng là các hàm đo được Tương tự, một hàm giá trị phức g được xem là đo được khi và chỉ khi phần thực u = Re(g) và phần ảo v = Im(g) đều là các hàm đo được Định nghĩa 2.3 nêu rõ rằng một hàm giá trị phức hoặc giá trị thực mở rộng đo được f trên Ω được gọi là khả tích nếu R.
Tập tất cả hàm khả tớch trờn Ω kớ hiệu là L 1 (Ω,F , à)
Ω f dà được định nghĩa bởi Z
Nếu g là hàm phức, u = Re(g ) ∈ L 1 và v = Im(g) ∈ L 1 thì R
Ω v − dà) (2.5) Định lý 2.1 (Chebyshev Markov) Cho f : Ω → [0, ∞] là hàm đo được Thì tà ({ω : f (ω) > t}) ≤ R
Hệ quả 2.1 Cho f : Ω → [0, ∞] là hàm đo được và giả sử rằng àf :=R
(ii) Nếu àf = 0 thỡ à ({ω ∈ Ω : f (ω) > 0}) = 0. Định nghĩa 2.4 Một tính chất P về Ω xuất hiện hầu chắc chắn nếu à ({ω ∈ Ω : P (ω) sai}) = 0
Kớ hiệu: P xuất hiờn à - hầu chắc chắn hoặc à - h.c.c.
Chuyển giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue
Trong giải tích và xác suất, việc chuyển giới hạn dưới dấu tích phân là một vấn đề quan trọng Đối với tích phân Riemann, điều này yêu cầu nhiều điều kiện khắt khe, chẳng hạn như điều kiện hội tụ đều Ngược lại, với tích phân Lebesgue, quá trình này trở nên đơn giản hơn Định lý 2.2 về hội tụ đơn điệu chỉ ra rằng cho dãy các hàm đo được {f n}, nếu chúng thỏa mãn điều kiện 0 ≤ ≤ f n (ω) ≤ f n+1 (ω) ≤ ≤ ∞, với mọi ω thuộc Ω, thì việc chuyển giới hạn sẽ dễ dàng hơn.
Thì f là đo được và n→∞ lim Z
Chứng minh Tính đơn điệu của f n có nghĩa là R
Ω f n+1 dà, ∀n Vậy, cú α ∈ [0, ∞] mà α = lim n
R f n dà Từ f n ≤ sup {f n } = f chứng tỏ rằng α ≤ Z
Cho s là hàm đơn giản với 0 ≤ s ≤ t và 0 < c < 1 Xét các tập E n =
E n Do đó nếu f (ω) = 0 thì ω ∈ E 1 ; Ngược lại nếu f (ω) > 0 thì c.s (ω) < f (ω), và từ 0 < c < 1 thì ω ∈ E n , ∀n Nó chứng tỏ rằng
E n sdà, và cho n → ∞, ta có được α ≥ cR
Từ (2.8) thỏa mãn với mọi hàm đơn giản 0 ≤ s ≤ f ta có α ≥ Z
Vậy f là đo được và lim n→∞
Hệ quả 2.2 (Beppo Levi) Cho f n : Ω → [0, ∞] là dãy các hàm đo được, thì
Hệ quả 2.3 Giả sử f : Ω → [0, ∞] là hàm đo được và đặt η f (E) =
E f dà, E ∈F (2.11) thì η f là một độ đo trên F và với mọi hàm đo được g : Ω → [0, ∞] ta có
Ω gf dà (2.12) Định lý 2.3 (Bổ đề Fatou) Nếu f n : Ω → [0, ∞] là dãy các hàm đo được, thì
Ω lim n inf n f n dà ≤ lim n inf n
Ω f n dà (2.13) Định lý 2.4 Nếu f ∈ L 1 (Ω,F , à) thỡ
|f | dà (2.14) Đẳng thức trong (2.14) đúng nếu và chỉ nếu có một hằng số α ∈ C với kαk = 1 thỏa món αf = |f |, à - hầu chắc chắn.
Chứng minh Từ hàm thực mở rộng f ta có kết quả − |f| ≤ f ≤ |f |, từ hàm phức chứa hàm thực, kí hiệu z =R
Ω f dà ∈ C và α ∈ S 1 thỏa món αz = |z| Khi đó:
Khi liên hệ hai hệ thức trong công thức (2.15) chứng tỏ rằng |R
Nếu có đẳng thức trong (2.14) thì từ |f | − Re (αf ) ≥ 0 và hệ quả 2.3 ta kết luận được rằng |αf| = Re (αf ) - hầu chắc chắn; αf = Re (αf ) = |f| - hầu chắc chắn.
Bổ đề 2.3 Giả sử f ∈ L 1 thì với mỗi ε > 0 có δ > 0 mà với mỗi A ∈ F, nếu à (A) < δ thỡ |R
Định lý 2.5, hay còn gọi là hội tụ bị làm trội của Lebesgue, khẳng định rằng nếu {f n} và {g n} là hai dãy hàm đo được hội tụ theo từng điểm, với f = lim n f n và g = lim n g n, thì điều kiện A f ≤ ε sẽ được thỏa mãn.
Chứng minh Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng hội tụ theo từng điểm và (2.16) đúng hầu khắp nơi.
Rõ ràng |f | ≤ g vậy f ∈ L 1 Từ g n + g − |f n − f| ≥ 0, bổ đề Fatou và (2.17) có nghĩa là
Từ |f n − f | ≥ 0 nó chứng tỏ rằng lim sup n
|f n − f |dà = 0 Đưa đến kết luận, chỳ ý rằng |R
Định lý 2.6 mở rộng định lý hội tụ bị làm trội, cho rằng nếu dãy hàm (f n) thuộc L1(X, à) hội tụ tới f à hầu khắp nơi và dãy (f n) là khả tích đều, thì có những tính chất quan trọng liên quan đến sự hội tụ này.
2 Với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 (chỉ phụ thuộc ε) sao cho nếu à (A) < δ thỡ R
Chứng minh Ta có sup n
R |f n | dà < +∞ Bổ đề Fatou cho ta
|f n | dà < ∞. Đặt f c = f1 {|f|c} Ta có f = f c + f c và
Cho ε > 0 Chọn c đủ lớn để
Vìf n c −f c → 0, kf n c − f c k → 2cnên theo định lý hội tụ bị làm trộiR kf n c − f c kdà →
0 Vậy tồn tại m sao cho nếu n > m thìR kf n c − f c kdà → 0 Vậy với n > m ta cú
Z kf n − fkdà < 3ε. Định lý 2.7 Cho dóy (f n ) ⊂ L 1 (X, à) hội tụ đến f, à - hầu khắp nơi Nếu f n > 0 thì lim n
R f n dà =R f dà khi và chỉ khi (f n ) khả tớch đều.
Chứng minh Nếu (f n ) khả tích đều thì f n > 0 thì lim n
R f n dà =R f dà theo định lý trên.
Ngược lại, ta sẽ chứng minh nếu f n ≥ 0, f n → f - hkn và lim n
Ta có: f + f n = max (f, f n ) + min (f, f n ) và 0 ≤ min (f, f n ) ≤ f, min (f, f n ) → f Do đó, theo định lý hội tụ bị chặn ta có lim n
R (f + f n ) dà = 2R f dà Suy ra lim n
Từ |f n − f | = max (f, f n ) − min (f, f n ) nên lim n
|f n − f | dà ta suy ra điều phải chứng minh.
Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue trên R
Một số tính chất của tích phân
Cho f là hàm từ E × [a, b] → R Ta giả thiết rằng hàm x 7→ f t (x) = f (x, t) đo được với mỗi t ∈ [a, b], f t ∈ (ME ,B ; R , B R ) và ta quan tâm đến tính chất của hàm t 7→
E f (x, t) dà (x) với à là một đo đo dương trờn B. Định lý 2.10 (Tính liên tục) Giả sử lim t→t 0 f (x, t) = l (x)với mọix ∈ E, t 0 ∈ [a, b],
|f (x, t)| ≤ g (x), g à – khả tớch với mọi t ∈ [a, b] Khi đú t→t lim 0
Chứng minh Giả sử {t n } ⊂ [a, b] và t n → t 0 khi n → ∞ Ta xét dãy {f n }: f n : x 7→ f n (x) = f (x, t n )
Và áp dụng định lý hội tụ bị làm trội ta có điều phải chứng minh. Định lý 2.11 (Tính khả vi) Với các điều kiện sau đây:
(i) Tồn tại t 0 ∈ [a, b] sao cho x 7→ f (x, t 0 ) là à – khả tớch trờn E.
(iii) Tồn tại hàm g à – khả tớch trờn E sao cho:
E f (x, t) dà (x) khả vi trờn [a, b] và ta cú: dF (t) dt = d dt Z
Chứng minh Ta có ∂f ∂t (x, t) = lim t n →t f(x,t n )−f (x,t) t n −t , x ∈ E Nhưngϕ n (x) = f(x,t n t )−f(x,t) n −t là hàm đo được theo x Suy ra ∂f ∂t (x, t) là đo được với mọi t ∈ [a, b] Áp dụng định lý về số gia hữu hạn f (x, t) − f (x, t 0 ) = (t − t 0 ) ∂f
Suy rax 7→ f (x, t) làà- khả tớch (giả thiết (ii) và (iii)) và đỳng với mọi t ∈ [a, b].
Theo (iii), ta có thể áp dụng định lý hội tụ bị làm trội vì f (t n ) − f (t) t n − t
Suy ra điều phải chứng minh. Định lý 2.12 (Tính khả tích Riemann) Với các điều kiện sau:
(i) t 7→ f (x, t) liên tục trên [a, b] với mọi x ∈ E.
(ii)Tồn tại g à – khả tớch trờn E sao cho: |f (x, t)| ≤ g (x).
Chứng minh Các tích phân theo t là tích phân Riemann Đặt h là hàm định nghĩa trên E × [a, b] bởi:
Khi đó, ∂h/∂t = f(x, t) với f là hàm liên tục theo t Do tích phân Riemann tồn tại, nó được xác định là giới hạn của dãy tổng Riemann, dẫn đến việc ánh xạ x → h(x, t) là đo được với mọi t ∈ [a, b] Hơn nữa, với điều kiện |f(x, t)| ≤ g(x), ta suy ra |h(x, t)| ≤ (b - a)g(x), do đó x → h(x, t) là khả tích trên [a, b] Đặt H(t) = ∫ h(x, t) dx.
E h (x, t) dà (x), ỏp dụng H với định lý trước: dH (t) dt =
Từ đó, ta nhận được: b
Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm
Cách tiếp cận tích phân trực tiếp của Daniell dựa vào tính tuyến tính và cấu trúc liên tục của tích phân sơ cấp, mở rộng nó tới một tập hợp lớn nhất các hàm thỏa mãn tính tuyến tính và hội tụ bị trội Tính đo được được định nghĩa từ tính chất địa phương của tích phân, và điều kiện cắt của Caratheodory về sự đo được được suy ra như một hệ quả từ việc mở rộng tích phân, cùng với biểu diễn lý thuyết độ đo.
Tích phân sơ cấp và trung bình Daniell
Tích phân trên Daniell
Giả thiết rằng không gian bao (E,I) là một tích phân sơ cấp cố định trên tập
Theo định nghĩa 3.1, ký hiệu E ↑ đại diện cho tập hợp tất cả các hàm giá trị thực suy rộng h, trong đó tồn tại một dãy {φ n } thuộc E sao cho h = sup n φ n Nếu E là một dàn, ta có thể thay thế dãy φ n bằng một dãy tăng n.
Bổ đề 3.1 Giả sử rằng E là một dàn véctơ Khi đó, không gian E ↑ là đóng đối với:
(ii) Nhân với vô hướng không âm.
(iv) sup đếm được. Định nghĩa 3.2 Tích phân trên của hàm h ∈ E ↑ được định nghĩa bởi
Tích phân trên của hàm giá trị thực mở rộng f bất kỳ trênΩ được định nghĩa bởi
Rõ ràng I ∗ (φ) = I (φ) nếu φ ∈ E Sự biểu diễn (3.1) và (3.2) là trùng nhau trên E ↑
Tiếp theo là các đặc tính của I ∗ Định lý 3.1 Giả sử rằng E là một dàn véctơ Thì tích phân trên Daniell I ∗ có các tính chất sau:
(i) I ∗ không giảm và thuần nhất dương.
(ii) Nếu {h n } ⊂ E ↑ là dãy không giảm thì I ∗ (h n ) % I ∗ (sup n h n ). (iii) I ∗ là tuyến tính trên E ↑
(iv) I ∗ là σ - cộng tính dưới tức là, nếu f n ≥ 0 thì I ∗ (P n f n ) ≤P n
Tính đơn điệu tăng được chứng minh trực tiếp từ các kết quả trong 3.1 và 3.2 Hơn nữa, tính thuần nhất dương là hệ quả từ bổ đề 3.1 (ii) và tính tuyến tính của I trên E.
(ii) Giả sử rằngh n % h ∈ E ↑ thìsup n
I ∗ (h n ) ≤ I ∗ (h)theo tính đơn điệu tăng của
I ∗ Với mỗin, cho{φ m,n } ⊂ E vớiφ m,n % h n và đặtψ k = max {φ m,n : 0 ≤ n, m ≤ k}. Nếu a < I ∗ (h), cho φ ≤ h ∈ E sao cho a < I (φ) thì E 3 ϕ k = ψ k ∧ φ ≤ h k và ϕ k % φ Từ (E, I) là σ - hữu hạn ta có a < I (φ) = lim k I (ϕ k ) ≤ lim k I ∗ (h k )
Do đó I ∗ (h) ≤ lim k I ∗ (h k ) Ta kết luận rằng I ∗ (h) = lim k I ∗ (h k ).
(iii) Giả sử rằngh i ∈ E ↑ ,i = 1, 2nếu{φ n,i } ⊂ Evàφ n,j % h ithìE 3 φ n,1 +φ n,2 % h 1 + h 2 Từ E ⊂ E ↑ và I ∗ = I trên E, nó chứng tỏ từ (ii) rằng
I ∗ (f n ) < ∞ Với ε > 0 và mỗi n cho E ↑ 3 h n ≤ f n thỏa mãn I ∗ (h n ) < I ∗ (f n ) + 2 −n ε Phần (ii), (iii) và bổ đề 3.1 cho
Cho ε & 0, tính cộng tính dưới được chứng minh.
Trung bình Daniell
Định nghĩa 3.3 Giả sử E là một dàn véctơ Trung bình Daniell của tích phân sơ cấp (E,I) là ánh xạ k.k ∗ :R
Ω → [0, ∞] cho bởi f 7→ I ∗ (|f |). Định lý 3.2 Trung bình Daniel k.k ∗ là hữu hạn trên E Ngoài ra,
(i) Tính thuần nhất tuyệt đối: Với mọi a ∈ R và f ∈R
Ω , kaf k ∗ = |a| kfk ∗ (ii) Tính vững: Nếu |f | ≤ |g | thì kfk ∗ ≤ kgk ∗
(iii) Cộng tính dưới đếm được: Nếu {f n } là dãy các hàm giá trị thực mở rộng không âm thì kP n f n k ∗ ≤P n kf n k ∗
Chứng minh Ý (i) và (iii) là hệ quả trực tiếp của định lý 3.1.
I (φ k ) và 0 ≤ φ n ∈ E suy ra (iv) được chứng minh.
Do φ ∈ E suy ra |φ| ∈ E và − |φ| ≤ φ ≤ |φ| suy ra chứng minh được (v). Định nghĩa 3.4 Cho E ⊂R Ω là không gian véc tơ các hàm bị chặn Một phiếm hàm k.k trên R
Ω là hữu hạn trên E và thỏa mãn (i)-(iv) trong định lý 3.2 được gọi là trung bình đối với E.
Bất đẳng thức Chebyshev của một trung bình trên dàn véc tơ E. Định lý 3.3 (Bất đẳng thức Chebyshev) Nếu k.k là một trung bình đối với E thì với mọi f ∈R
Ω k{f > λ}k ≤ k{|f | > λ}k ≤ 1 λ kfk, λ > 0 (3.3) Chứng minh 3.3 là hệ quả theo tính đồng nhất tuyệt đối, tính vững của trung bình k.k và bất đẳng thức λ1 {f >λ} ≤ λ1 {f >λ} ≤ |f| Định nghĩa 3.5 Một hàm f ∈R
Tập Ω được gọi là k.k - bỏ qua được nếu kf k = 0 Một tập A ⊂ Ω được xem là k.k - bỏ qua được nếu 1 A là k.k - bỏ qua được Tính chất P trên Ω được coi là đúng k.k - hầu chắc chắn khi tập {ω ∈ Ω : P (ω) sai} là k.k - bỏ qua được.
Bổ đề 3.2 Giả sử k.k là một trung bình đối với E.
(i) Tổng đếm được các hàm k.k - bỏ qua được là hàm k.k - bỏ qua được Hợp đếm được các tập k.k - bỏ qua được là tập k.k - bỏ qua được.
(ii) f là k.k - bỏ qua được nếu và chỉ nếu {f 6= 0} là k.k - bỏ qua được.
(iii) Nếu kf k < ∞ thì f là hữu hạn k.k - hầu khắp nơi.
(iv) Nếu f = f 0 k.k - hầu khắp nơi thì kfk = f 0
|f n |, tính vững và tính cộng tính dưới đếm được của trung bình chứng tỏ rằng max n f n
1 {f6=0} thì từ (i) suy ra (ii).
(iii): Từ n1 {|f|=∞} ≤ |f | ta có được k{|f| = ∞}k ≤ n 1 kf k → 0.
(iv): Nếu f = f 0 hầu chắc chắn thì f − f 0
= 0 hầu chắc chắn Theo (ii) và bất đẳng thức tam giác suy ra
Một hàm f được gọi là xác định hầu khắp nơi nếu Ω\dom(f) là bỏ qua được đối với trung bình k.k Bổ đề 3.2 suy ra là khig, g 0 ∈R
Nếu trùng với f trên dom(f), thì kg − g 0 k = 0 và kgk = kg 0 k Chúng ta có thể xác định kf k := kgk mà không mất tính tổng quát Định lý 3.4 nêu rằng nếu E là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc một vành, thì k.k là một trung bình đối với E.
Ω : kfk < ∞} là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt.
(ii) (F, k.k) là không gian đủ có nửa chuẩn.
(iii) Nếu {f n } ⊂ F và lim n kf − f n k = 0 thì có một dãy con {f n k } hội tụ theo từng điểm tới f - hầu chắc chắn.
(iv) Bao đóng của E trong (F , k.k)kí hiệu bởi L 1 (k.k) là dàn véctơ đóng với phép chặt cụt.
Chứng minh (i) Mệnh đề đầu tiên được chứng tỏ từ tính vững, thuần nhất tuyệt đối và cộng tính dưới đếm được từ đó
Theo bất đẳng thức, ta có |f ∧ g| ≤ |f| + |g| và |f ∧ 1| ≤ |f| Giả sử {f n} ⊂ F là dãy Cauchy, theo bổ đề 3.2, ta có thể giả thiết rằng |f n(ω)| < ∞ với mọi n và mọi ω ∈ Ω Chọn dãy con {f n k} sao cho sup n≥n k ||f n − f n k|| < 2^(-k-1) và f n k+1 − f n k.
∈ F và B = {g = ∞} là bỏ qua được Ta kết luận rằng f (x) = f n 1 (x) +
= lim k f n k (x) là hội tụ tuyệt đối hầu chắc chắn Ngoài ra, f ∈ F vì kfk < kf n 1 k + 1 và kf − f n k k = k1 B c (f − f n k )k = k1 B c X m≥k
(f n m+1 − f n m )k ≤ 2 −k+1 → 0 ta kết luận rằng tất cả các dãy con {f n } hội tụ đến f theo trung bình và hầu chắc chắn.
Nếu dãy {f n} hội tụ đến f theo trung bình, thì nó cũng là dãy Cauchy theo trung bình Theo phần (i), tồn tại dãy con {f n k} và f 0 ∈ F sao cho f n k hội tụ đến f 0 theo trung bình và hầu chắc chắn, từ đó chứng tỏ rằng f = f 0 hầu chắc chắn Giả sử f, g ∈ L 1 và các dãy {φ n} và {ψ n} trong E thỏa mãn điều kiện lim kφ n − fk = lim kψ n − gk = 0 Nếu E là dàn véctơ đóng với phép chặt cụt, thì
Ta kết luận nó là L 1
Giả sử E là một vành các hàm bị chặn, ta chứng minh rằng |φ| ∈ L1 với mọi φ ∈ E Từ đó, tồn tại một dãy {ψn} là dãy Cauchy trong không gian này.
F, nếu không thì tồn tại và một dãy con ε > 0 thỏa mãn sup k ψ n k+1 − ψ n k
P k=1 ψ n k+1 − ψ n k k ≤ kφk thì lim k kψ n k+1 − ψ n k k = 0 điều đó là mâu thuẫn.
Từ phần (ii) ta kết luận được rằng {ψ n } hội tụ đến |φ| theo trung bình.
Để chứng minh L1 là đóng với phép chặt cụt, ta cần chỉ ra rằng φ ∧1 thuộc L1 với mọi φ thuộc E Ta có φ ∧1 = φ + ∧1 − φ −, và đủ để xem xét trường hợp φ ≥ 0 Giả sử {τ} ⊂ E thỏa mãn τ % φ ∧1 đều, phần (i) cho thấy kφ ∧1k ≤ kφk Áp dụng lập luận tương tự với giá trị tuyệt đối, ta có {πn} là dãy Cauchy theo trung bình Do đó, từ phần (ii), ta kết luận rằng φ ∧1 thuộc L1.
Các hàm số trong L 1 (k.k) được gọi là khả tích đối với trung bình k.k.
Tính chất:(i) Giả sử rằng E là một vành và 0 ≤ f ∈ L 1 Khi đó, tồn tại dãy
(ii) Giả sử rằng E là một vành và k.k là một trung bình củaE và chof ∈ L 1 Khi đó nếu g ∈ L 1 là bị chặn hoặc g ∈ E u thì f.g ∈ L 1
Các định lý hội tụ theo trung bình
Kết quả tiếp theo liên quan đến hội tụ đơn điệu và hội tụ bị chặn trong không gian L1 Định lý 3.5, hay còn gọi là định lý hội tụ đơn điệu, chỉ ra rằng nếu {f_n} là một dãy tăng hoặc giảm trong L1 và thỏa mãn điều kiện sup_n ||f_n|| < ∞, thì nếu f_n hội tụ theo từng điểm tới hàm f, thì f cũng thuộc L1 và lim_n ||f - f_n|| = 0.
Chứng minh Đầu tiên ta chứng tỏ rằng {f n } ⊂ L 1 + và sup n k n
P k=1 f k k < ∞ thì lim n kf n k = 0 Với mỗi n ta có thể chọn φ n ∈ E + thỏa mãn kφ n − f n k < 2 −n thì sup n k n
Giả sử rằng kf n k < ∞ trên Ω với mọi n mà không làm mất tính tổng quát Chú ý rằng f n hội tụ khắp nơi, và dãy {f n} là dãy Cauchy trong không gian L1 Điều này có nghĩa là với mọi ε > 0, tồn tại một dãy con {f n k} sao cho sup n |f n k − f n k−1| < ε.
X k=1 f n k − f n k−1 k ≤ sup n kf n k + kf n 1 k < ∞ nó chứng tỏ rằng lim k f n k − f n k−1
= 0, điều này mâu thuẫn với cách chọn của f n k Vì vậy theo định lý 3.4 thì f ∈ L 1 và kf n − f k → 0.
Hệ quả 3.1 Nếu E là một dàn véctơ thì E ↑ ⊂ F ⊂ L 1.
Chứng minh rằng nếu h ∈ E ↑ ∩ F và có một dãy không giảm {φ n } ⊂ E hội tụ tới h, thì dãy ψ n = φ n − φ 1 thuộc E + và hội tụ tới h − φ 1 Theo đó, ta có sup n kψ n k ≤ khk + kφ 1 k Áp dụng định lý hội tụ đơn điệu, ta có kết luận kφ n − hk → 0.
Bổ đề Fatou (Bổ đề 3.3) khẳng định rằng nếu 0 ≤ f_n ∈ L_1, thì lim inf_n f_n ≤ lim inf_n |f_n| Định lý 3.6, được gọi là Hội tụ bị làm trội Daniell Lebesgue, chỉ ra rằng nếu dãy hàm {f_n} thuộc L_1 hội tụ hầu chắc chắn đến hàm f, và tồn tại hàm g ∈ F sao cho |f_n| ≤ g hầu chắc chắn với mọi n, thì các điều kiện trên sẽ được thỏa mãn.
Giả sử hàm f thuộc không gian L1 và giới hạn của ||f_n - f|| khi n tiến đến vô cùng bằng 0 Để chứng minh điều này, ta có thể xem xét các điều kiện xảy ra trên toàn bộ miền xác định Theo định lý 3.4 (iv), tồn tại một dãy hội tụ đơn điệu g_n = sup {|f_k - f_m|, k, m ≥ n} cũng thuộc không gian L1 đối với mọi n.
Từ đó, g n & 0 và 0 ≤ g n ≤ 2g với mọi n Sự hội tụ đơn điệu suy ra là kg n k → 0.
Từ đó, kf k − f m k ≤ g n với mọi k, m ≥ n, nó chứng tỏ rằng {f n } là dãy Cauchy trong L 1 Ta kết luận từ định lý 3.4 rằng {f n }hội tụ theo trung bình đến f.
Kết quả tiếp theo cho thấy rằng để áp dụng lý thuyết tích phân, chỉ cần xem xét các hàm thuộc loại tích phân sơ cấp E và vành - dàn là đủ.
Bổ đề 3.4 Giả sử rằng E là dàn véc tơ đóng với phép chặt cụt Nếu f, g ∈ L 1 và g bị chặn thì f.g ∈ L 1
Chứng minh Nếu φ ∈ E thì theo định lý Stone - Weierstrass có dãy φ n ∈ E + với
0 ≤ φ n ≤ φ 2 thỏa mãn φ 2 − φ u u → 0 Từ đó φ 2 ≤ kφk u |φ| ∈ F, ta kết luận từ định lý hội tụ bị làm trội rằng φ n hội tụ theo trung bình tới φ 2 Vì vậy, φ.ψ ∈
L 1 khi φ, ψ ∈ E Nó chứng tỏ rằng φ.g ∈ L 1 với mọi φ ∈ E và ta kết luận rằng f.g ∈ L
Bổ đề 3.5 Giả sử f ∈ L 1 và a ∈ (0, ∞) thì 1 {f >a} , 1 {f 1} Theo định lý hội tụ bị làm trội ta kết luận rằng1 {f >1} ∈ L 1 Từ{f > a} = {f /a > 1}nó chứng tỏ rằng1 {f >a} ∈ L 1 Sử dụng−f thay thếf cho ta1 {f 1 - ε} ≤ 1 {h_n > 1 - ε} ≤ 1 - ε h_n Theo bổ đề 3.5, {h_n > 1 - ε} ∈ E ↑ ∩ L, do đó với N đủ lớn, ta có kAk* ≤ k{h ≥ 1}k* ≤ k{h_N > 1 - ε}k* ≤ 1 + ε.
1 − ε kAk ∗ Vậy inf kBk ∗ : A ⊂ B ∈ E ↑ ∨ inf kBk ∗ : A ⊂ B ∈ L 1 } ≤ 1+ε 1−ε kAk ∗
Ta có được đẳng thức cần chứng minh bằng cách cho ε & 0 Mệnh đề trên được chứng tỏ bằng cách chọn dãy giảm A ⊂ B n ∈ E ↑ thỏa mãn kAk ∗ = inf n kB n k ∗ thì tập B =T n
B n có các tính chất đã nêu.
Ví dụ 3.2 (Tính chính quy ngoài của trung bình Daniell trên không gian Haus- dorff compact địa phương) Giả sửXlà không gian Hausdorff compact địa phương,
E = C 00 (X) là một phiếm hàm tuyến tính dương tạo ra (E , I) một tích phân cơ bản, với k.k ∗ là trung bình Daniell Kí hiệu G là tập hợp tất cả các tập mở của X, và ta có {h > r} ∈ G với mọi h ∈ E ↑ và r > 0 Do đó, kAk ∗ = inf kGk ∗ : A ⊂ G ∈ G.
Hàm đơn giản khả tích là tổ hợp tuyến tính hữu hạn của hàm 1 A ∈ L 1 Kết quả tiếp theo chứng minh rằng hàm đơn giản là trù mật trong L 1 Theo Định lý 3.8, với mọi hàm f ∈ L 1, tồn tại một dãy s n các hàm đơn giản thỏa mãn điều kiện |s n | ≤ |f| hầu chắc chắn, và khoảng cách kf − s n k sẽ tiến tới 0.
Chứng minh Biểu diễn f = f + − f − và đặt s + n = 2 −n [2 n f + ]1 {f + ≤2 n } , s − n =
Đối với dãy các hàm đơn giản khả tích hội tụ đến f trên tập hợp {|f 6= ∞|}, ta có s n = s + n − s − n với điều kiện 2 −n [2 n f − ]1 {f − ≤2 n } Các hàm này thỏa mãn |s n | ≤ |f | Theo định lý hội tụ bị làm trội, ta có kết luận rằng ks n − f k → 0.
Mở rộng tích phân
Giả sử rằng (E,I) là tích phân sơ cấp và đặt k.k là trung bình trội của tích phân sơ cấp tức là |I (φ)| ≤ kφk , ∀φ ∈ E.
Giả sử f ∈ L 1 và cho {φ n } ⊂ E thỏa mãn kf − φ n k → 0 thì {φ n } là một dãy Cauchy đối với trung bình và từ
|I (φ n ) − I (φ m )| = |I (φ n − φ m )| ≤ kφ n − φ m k ta kết luận rằng {I (φ n )} là dãy số Cauchy Vậy nó hội tụ Giả sử rằng{ϕ n } ⊂ E là một dãy khác hội tụ theo trung bình tới f thì
Vì vậy, I nhận được một mở rộng tới (L 1 ,k.k) bằng cách cho
I (f ) = lim n I (φ n ) (3.8) với mọi {φ } ⊂ E thỏa mãn kf − φ k → 0.
Nhận xét 3.1 Chú ý rằng nếu I là một tích phân sơ cấp trên dàn véctơ E và k.k ∗ là trung bình của Daniell thì k|φ|k ∗ = I (|φ|) ≤ k|φ|k = kφk với mọi φ ∈ E.
Nếu dãy {φ n } ⊂ E là dãy Cauchy theo trung bình Daniell, thì nó cũng là dãy Cauchy theo trung bình k.k Điều này dẫn đến kết luận rằng (L 1 (k.k), I) ⊂ (L 1 (k.k ∗ ), I) Định lý 3.9 khẳng định rằng k.k là trung bình trội trên tích phân cơ bản (E,I).
(i) Mở rộng của I lên (L 1 ,k.k) là tuyến tính, dương và bị làm trội bởi trung bình tức là,
(ii) Mở rộngI thỏa mãn định lý hội tụ đơn điệu: Nếu 0 ≤ f n ∈ L 1 vàsup n
(iii) Nếu E là dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc dàn vành, k.k ∗ là trung bình Daniell thì I (f ) = I ∗ (f ) với mọi f ∈ L 1 + (k.k ∗ ) Ngoài ra I (h) = I ∗ (h) với mọi h ∈ E ↑
Giả sử f, g ∈ L¹ và a ∈ R, với các dãy cơ bản {φ n} và {ψ n} hội tụ tới f và g tương ứng Ta có bất đẳng thức kaf + g - (aφ n + ψ n)k ≤ |a| kf - φ n k + kg - ψ n k, từ đó chứng minh được tính tuyến tính của sự mở rộng.
Giả sử rằng f ∈ L 1 + NếuE là dàn véctơ, từ |f − |φ|| ≤ |f − φ n | Nó chứng tỏ rằng kf − |φ n |k → 0; Tính dương được chứng tỏ từ I (|φ n |) ≥ 0.
Trong chứng minh định lý 3.4 (iii) và định lý Stone-Weierstrass, nếu E chỉ là vành, thì tồn tại ψ n ∈ E + sao cho |ψ n − |φ n || < 2 −n Điều này dẫn đến kf − ψ n k → 0, từ đó suy ra tính dương với I (ψ n ) ≥ 0.
Tính dương và tính tuyến tính chứng tỏ rằng|I (f)| ≤ I (|f|)từ− |f | ≤ f ≤ |f |. Cho ψ n ∈ E + thỏa mãn kψ n − |f|k → 0 thì
|I (f )| ≤ I (|f|) = lim n I (ψ n ) ≤ lim n kψ n k = k|f|k = kfk Nếu thêm điều kiện E là dàn véctơ và f ∈ L 1 + (k.k) thì kf − ψ n k ∗ → 0 Do đó
|I (f )| = I (f ) = I (|f |) = lim n I (ψ n ) = lim n kψ n k ∗ = kfk ∗ = I ∗ (f ) Mệnh đề trên được suy ra từ định lý 3.1 (ii) và định lý 3.5.
Hàm nhận giá trị trên đường thẳng thực là yếu tố quan trọng trong định nghĩa tích phân cơ bản và các khái niệm mở rộng của nó Đặc biệt, việc mở rộng tích phân còn bao gồm các hàm có giá trị phức, mở ra nhiều ứng dụng và khía cạnh mới trong toán học.
Giả sử rằng (E,I) là một tích phân cơ bản và k.k ∗ là một trung bình trên E vượt trội hơn tích phân Đối với mọi hàm f thuộc C Ω, chúng ta định nghĩa khái niệm nửa chuẩn kf k ∗ là kf k ∗.
C = k|f|k ∗ Định nghĩa 3.6 Giả sử rằng k.k ∗ xác định nửa chuẩn phức trên không gian
C các hàm giá trị phức với chuẩn k.k ∗
E là không gian tuyến tính phức của E Khi đó: Không gian các hàm phức khả tích được xác định là bao đóng của E ⊗ C trong (F ∗
C , k.k ∗ ). Định lý 3.10 Cho C Ω 3 f = u + vi với u, v ∈ R C Khi đó:
(iii) Nếu k.k ∗ là trung bình Daniell thì f ∈ L 1 (C ) khi và chỉ khi f là đo được và |f | ∈ L 1
(iv) Sự hội tụ đơn điệu: Nếu{f n } ∈ L 1 (C ) ,f n → f hầu chắc chắn vàsup {f n } ≤ g khi g ∈ F thì f ∈ L 1 (C ) và kf n − f k ∗
Tính đo được Daniell
Tính đo được
Tính đo được phản ánh cấu trúc địa phương của quá trình khả tích, với việc Lusin đã chỉ ra rằng các hàm khả tích Lebesgue trên đường thẳng thực có tính liên tục đều trên một tập hợp lớn Định nghĩa tính đo được được đưa ra như sau: Một hàm f ∈ R Ω được coi là đo được đối với trung bình k.k nếu với mọi A ∈ L 1 và ε > 0, tồn tại một tập A 0 ⊂ A và một hàm g ∈ E u thỏa mãn điều kiện kA\A 0 k < ε và f = g trên A 0 Ngoài ra, một tập B ⊂ Ω được coi là đo được nếu 1 B là đo được.
Hệ quả 3.2 cho biết rằng, nếu D là tập trù mật trong L1, thì một hàm giá trị thực f được coi là đo được khi và chỉ khi với mọi tập A thuộc L1 và ε > 0, tồn tại một tập con A0 trong A sao cho độ đo của phần còn lại kA\A0k nhỏ hơn ε, đồng thời f là giới hạn đều của một dãy trong D.
Chứng minh Giả sử f là đo được Thì có L 1 3A’ 0 ⊂ A và g ∈ E u thỏa mãn
0 ∈ L 1 thì có dãy {d n } ⊂ D hội tụ theo chuẩn và hội tụ hầu chắc chắn tới g1 A 0
0 Do đó theo định lý 3.1 có L 1 3A 0 ⊂ A với
< ε 2 thỏa mãn d n hội tụ đều trên A 0 , f là giới hạn đều của một dãy trong D trên A Rõ ràng kA\A k < ε.
Ngược lại, giả sử rằngf là giới hạn đều của một dãy{d n } ⊂ D trên một tậpL 1
3 A 0 0 ⊂ A vớiL 1 3 A 0 0 ⊂ A VớiN đủ lớn ta có kd n − fk A 0
0 : n ≥ N } là bị làm trội, như đã thấy từ |d n 1 A 0
0 +|d| Theo hội tụ bị làm trội ta kết luận rằng f1 A 0
0 ∈ L 1 là giới hạn theo trung bình và giới hạn hầu chắc chắn của dãy {φ n } ⊂ L 1 Định lý 3.13 chứng tỏ rằng có L 1 3 A 0 ⊂ A 0 0 và g ∈ E u thỏa mãnkA 0 0 \A 0 k < ε 2 và f1 A 0
0 = g trênA 0 thì kA\A 0 k < εvà f là giới hạn đều của một dãy cơ bản.
Bổ đề 3.6 Giả sử rằng {f n } ⊂ R Ω là dãy các hàm đo được Thì với A ∈ L 1 và ε > 0 tồn tại L 1 3 B ⊂ A và một dãy {g n } ⊂ E u thỏa mãn kA\Bk < ε và f n = g n trên B.
Chứng minh ĐặtA −1 := A; ChoL 1 3 A 0 ⊂ Avàg 0 ∈ E u thỏa mãnkA −1 \A 0 k < ε 2 và f 0 = g 0 trên A 0 Giả sử rằng A k ⊂ A k−1 ∈ L 1 , k = 0, 1, n và g 1 , g 2 , , g n ∈ E u được chọn để kA k−1 \A k k < ε2 −k−2 và f k = g k trên A k Đặt B =T n
A n sự hội tụ đơn điệu có nghĩa B ∈L 1 Ngoài ra: kA\Bk = k[ n
Định lý 3.13, hay còn gọi là định lý Egorov, khẳng định rằng nếu {f n} ⊂ R Ω là một dãy các hàm đo được hội tụ đến f hầu chắc chắn, thì hàm f cũng là hàm đo được Điều này được chứng minh dựa trên tính cộng tính dưới của trung bình, cho thấy rằng f n = g n trên B với mọi n.
Ngoài ra, với mọi A ∈ L 1 và ε > 0 thì có L 1 3 B ⊂ A với kA\B k < ε thỏa mãn f n hội tụ đều đến f trên B.
Chứng minh rằng cho tập hợp \( A \) và \( B_0 \) với \( 1 \subset A \) và \( \{g_n\} \in E \) thỏa mãn điều kiện \( \|A \setminus B_0\| < \frac{\varepsilon}{2} \) và \( f_n = g_n \) Mỗi hàm \( f_n \) trong \( B_0 \) thuộc \( L^1 \), từ đó tạo ra một hàm khả tích và một hàm trong \( E \) Do đó, \( f_n \) hội tụ đến \( f \) trong \( B_0 \) với xác suất cao Theo định lý 3.12, ta có \( L^1(B) \subset B_0 \) thỏa mãn \( \|B_0 \setminus B_k\| < \frac{\varepsilon}{2} \) và \( \|f_n - f\|_{B,u} = \|g_n - f\|_{B,u} \to 0 \).
Chúng ta kết luận rằng hàm f là hàm hạn chế của hàm g thuộc không gian E u trên miền B, do đó f là hàm đo được Theo Định lý 3.14, lớp M R các hàm thực đo được tạo thành một dàn đại số đóng với phép chặt cụt và bao gồm E Σ.
(ii) Nếu f ∈ M R và ϕ :R −→ R là liên tục thì ϕ ◦ f ∈ M R
(iii) Lớp M các tập con đo được của Ω là một σ - đại số.
Chứng minh (i) Chof, f 0 là các hàm đo được vàr ∈R Cho A ∈ L 1 và ε > 0, có
L 1 3 A 0 ⊂ A và hàm ϕ, ϕ 0 ∈ E u thỏa mãn kA\A 0 k < ε và |f − ϕ| = 0 = |f 0 − ϕ 0 | trênA 0 Thì |f| = |ϕ|, rf + f 0 = rϕ + ϕ 0 , f ◦ f 0 = ϕ ◦ ϕ 0 và |f | ∧1= |ϕ| ∧1 trên A 0.
Dàn vành E u là một dàn vành đóng với phép chặt cụt, từ đó ta có thể kết luận rằng nó thuộc M R Để chứng minh rằng 1 Ω ∈ M R, ta đặt A ∈ L 1 và theo định lý 3.11, tồn tại tập U ∈ L 1 và g ∈ E u sao cho kU k < ε và 1 A = g trên U c Nếu A 0 = A\U, thì kA\A 0 k < ε và g = 1 Ω trên A 0 Do đó, ta có E ⊂ M R và theo định lý Egorov về tính liên tục đóng, ta kết luận rằng E P ⊂ M R.
(ii) Theo định lý Stone Weierstrass có dãy {p n } các đa thức trong R thỏa mãnp n hội tụ theo từng điểm đến ϕ Do đó, p n ◦ f ∈ M R và theo định lý Egorov ϕ ◦ f ∈ M R
(iii) Từ 1 Ω\A = 1 −1 A , ta kết luận rằng M là đóng với phép lấy phần bù Từ
A n = lim n max {1 A k : 1 ≤ k ≤ n} ta kết luận từ phần (i) và định lý Egorov rằng
M là đóng với hợp dưới đếm được.
Kết quả tiếp theo phân loại đầy đủ không gian L 1 theo tính đo được hữu hạn của trung bình.
Bổ đề 3.7 Một tập A ∈M nếu và chỉ nếu A ∩ B ∈ L 1 với mọi B ∈ L 1.
Chứng minh Nếu A ∈ L 1 thì với mọi B ∈ L 1 và ε > 0có các tập L 1 3 B k ⊂ B và hàm g k ∈ E u thỏa mãn kB\B k k < 2 −k và 1 A = g k trên B k Mỗi hàm f k = g k 1 B k thuộc vào L 1 Ngoài ra, f k hội tụ tới 1 A trên B 0 =S T
B\B m k ≤ 2 −k+1 → 0, ta kết luận rằng f k hội tụ hầu chắc chắn tới 1 A∩B Dãy f k bị trội bởi 1 B thì 1 A∩B ∈ L 1 theo sự hội tụ bị làm trội.
Giả sử rằng A ∩ B ∈L 1 với B ∈ L 1 và cho ε > 0 Theo định lý 3.11, có tập
U ∈ L 1 và hàmφ ∈ E u thỏa mãn kU c k < ε và 1 A∩B = φ trên U Vậy, 1 A = φ trên
B 0 = B ∩ U và kB\B 0 k ≤ kUk < ε. Định lý 3.15 Một hàm f ∈ R
Ω là khả tích nếu và chỉ nếu tồn tại f 0 ∈ F ∩ M R với kf − f 0 k = 0 và {f 6= 0} là σ-hữu hạn Do đó, E Σ ∩ F thuộc L 1 Hơn nữa, nếu (E, I) là một tích phân sơ cấp và k.k ∗ là trung bình của Daniel, thì các điều kiện này được thỏa mãn.
Chứng minh Nếu f ∈ L 1 thì f ∈ F và k{|f | = ∞}k = 0 Với mọi L 1 3 A ⊂ Ω ta có rằngf1 A ∈ L 1 ; Vậy f là đo được Bổ đề 3.5 chứng tỏ rằng A n = {|f| > 1/n} ∈
A n là σ - hữu hạn Nếu f ∈ E Σ thì với mọi {φ n } ⊂ E,
{φ n 6= 0} Vậy, {f 6= 0} là σ - hữu hạn theo bổ đề 3.5.
Ngược lại, giả sử f thuộc E ∩ M R Đầu tiên, chúng ta chứng minh rằng với mọi A thuộc L 1, hàm f1 A cũng thuộc L 1 Có các tập khả tích A k nằm trong A, với hàm g k thuộc E thỏa mãn điều kiện kA\A k k < 2 −k và f = g k trên A k Do đó, hàm f k được định nghĩa là f 1 A k là một hàm khả tích.
A m dãy f n hội tụ theo từng điểm tới f Từ
2 −m = 2 −k+1 → 0 ta kết luận rằng f n hội tụ tới f 1 A hầu chắc chắn Từ {f k } bị trội bởi |f | ∈ F, hội tụ bị trội có nghĩa rằng f.1 A ∈ L 1.
Tổng quát, giả sử rằng {A n } là dãy tăng các tập khả tích thỏa mãn 1 A k %
1 {f6=0} thì mỗi f n := f1 A n là khả tích và bị trội bởi |f| Từ đó f n → f - hầu chắc chắn, theo tính hội tụ bị trội ta kết luận f ∈ L 1
Trong trường hợp trung bình của Daniell trên tích phân sơ cấp (E, I), nếu f ∈ M thì A n =
|f | > n 1 ∈M Nếu kfk ∗ < ∞, bất đẳng thức Chebyshev chứng tỏ rằng kA n k ∗ ≤ n kf k ∗ < ∞ Định lý 3.7 có nghĩa rằng với mọi n, có L 1 3
B n ⊃ A n thỏa mãn kA n k ∗ = kB n k ∗ ; Do đó, theo bổ đề 3.7, A n = A n ∩ B n ∈ L 1.
Bổ đề 3.8 cho rằng nếu f thuộc L1 và giá trị tuyệt đối của γ ◦ f nhỏ hơn hoặc bằng h với γ là một hàm liên tục thỏa mãn γ(0) = 0 và h thuộc F, thì γ ◦ h cũng thuộc L1 Định lý 3.16 chỉ ra rằng nếu D là một tập trù mật trong R, thì hàm f thuộc M R nếu và chỉ nếu tập {f > d} thuộc M cho mọi d trong D.
Chứng minh Nếu f ∈ M R thì f n = 1∧ (n (f − f ∧ 1) ∈ M R Do đó, lim n f n =
−f thay thế cho f cho {f < −d} , {f ≤ −d} , {f < 0} ∈ M Từ đó M R , ta có
1 {f >−d} =1−1 {−f≥d} ∈ M R Tương tự 1 {f≥−d} = 1 −1 {−f >d} ∈ M R Giả sử rằng {f > d} ∈ M với mọi d ∈ D, thì {f > r} , {f ≥ r} , {f < r} , {f ≤ r} ∈ M với mọi r ∈R Vì vậy f n = 2 −n [2 n f ]1 {|f|≤n} = n2 n
2 n 1 {k≤2 n f 0 có A 0 ∈ L 1 với kA\A 0 k < ε mà trên đóf là E - liên tục đều.
Không gian các hàm đo được trên E được ký hiệu là M E Định lý Egorov đã được mở rộng trong trường hợp tổng quát Cụ thể, nếu {f n} là một dãy các hàm đo được hội tụ hầu chắc chắn đến hàm f, thì f cũng là hàm đo được Hơn nữa, với mọi tập A ∈ L 1 và ε > 0, tồn tại tập A 0 ⊂ A sao cho kA \ A 0 k < ε, đảm bảo rằng sự hội tụ là đều trên A 0.
Chứng minh Chứng minh của bổ đề 3.6 chứng tỏ rằng mở rộng củaL 1 3 A 0 0 ⊂ A với
< 2 ε thỏa mãn rằng mỗif n là E - liên tục đều trên A’ 0 Chú ý rằng nếu f, g là E - liên tục đều thì hàm φ : ω 7→ d (f (ω) , g (ω)) cũng liên tục đều Từ đó
Do đó mỗi φ m,n = d (f n , f m ) là E - liên tục đều trên A 0
0 và theo định lý Stone
Weierstrass tổng quát, ta kết luận rằng 1 A 0
0 φ m,n ∈ L 1 Lặp lại các bước chứng minh của định lý 3.12 và áp dụng định lý hội tụ đơn điệu ta có
L 1 3 S (n, k) = A 0 0 ∩ T i,j≥n φ i,j < k 1 % A 0 0 với mọi k cố định Cho S (n k , k) là một dãy với kA 0 0 \S (n k , k)k < ε2 −k−1 và đặt
A 0 =T k S (n k , k), nó là khả tích theo định lý hội tụ đơn điệu Rõ ràngkA\A 0 k < ε.
Và f n hội tụ đều đến f trên A 0 Vậy f là E - liên tục đều trên A 0.
Sự tương đương giữa khả tích Daniell và khả tích Lebesgue-Caratheodory 53
Trung bình của Daniell k.k ∗ xác định hàm cộng tính đếm được I trên vành
R=R(E) tạo bởi hàm sơ cấp E Phương pháp Lebesgue-Caratheodory mở rộng tớch phõn I thành độ đo đủ à trờn σ - đại số Mà ⊃ σ(E ) thụng qua độ đo ngoài à ∗ (E) = inf{X n
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng hai phương pháp đưa ra các hàm khả tích và hàm đo được là tương đương Định lý 3.18 chỉ ra rằng nếu (E,I) là một tích phân sơ cấp, thì A ∈ M nếu và chỉ nếu kEk ∗ = kE ∩ Ak ∗ + kE\Ak ∗ với mọi E ⊂ Ω.
Chứng minh rằng tập hợp M ∗, bao gồm tất cả các tập thỏa mãn điều kiện (3.13), trùng với họ các tập đo được M Để chứng minh điều kiện cần, giả sử A thuộc M và E là một tập con của Ω Nếu kEk ∗ = ∞, thì điều kiện (3.13) được thỏa mãn theo tính cộng tính dưới Trong trường hợp kEk ∗ < ∞, theo định lý 3.7, tồn tại tập B thuộc L 1 3 sao cho kEk ∗ = kBk ∗ Bổ đề 3.7 cho thấy cả B ∩ A và B\A đều khả tích Do đó, theo tính cộng tính dưới của trung bình và định lý 3.9, ta có k1 E k ∗ = k1 E∩A k ∗ +
Do đó, A thuộc M* Để chứng minh rằng M* là σ-đại số, cần thực hiện lại các bước chứng minh của định lý 1.7 Theo định nghĩa, A thuộc M* nếu và chỉ nếu A bổ sung thuộc M* Chúng ta sẽ chứng minh rằng M* là hợp đếm được bằng cách xem xét dãy các tập {A_n} với n thuộc N, là các tập con của M* và đôi một không giao nhau Cuối cùng, chúng ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng kEk* = n.
Với mọi E ⊂ Ω Với n = 1, nó là đúng theo định nghĩa Giả thiết mệnh đề thỏa mãn với n ≥ 1 Từ A n+1 ∈M ∗ kE ∩ ( n
Theo tính vững chắc kE ∩ ( n
S A c k ) c k ∗ Do đó theo (3.14) và tính cộng tính dưới đếm được của trung bình k.k ∗ , kEk ∗ = lim n→∞ ( n
Do đó ∞ ∪ k=1 A k ∈M ∗ , và ta kết luận rằng M ∗ là σ - đại số.
Giả sử A thuộc M ∗ và E thuộc L 1, ta cần chứng minh rằng M ∗ chứa tập khả tích, từ đó suy ra E ∩ A thuộc M ∗ Theo định lý 3.7, ta có L 1 bao gồm A ∩ E thỏa mãn kE ∩ Ak ∗ = kB k ∗ Từ đó, ta có kBk ∗ = kB ∩ (E ∩ A)k ∗ + kB \ (E ∩ A)k ∗.
= kBk ∗ + kB\ (E ∩ A)k ∗ nó chứng tỏ rằng kB \ (E ∩ A)k ∗ = 0 Vì vậy, E ∩ A ∈ L 1 Bổ đề 3.7 suy ra là
Bổ đề 3.9 Cho à ∗ như trong (3.12) và cho k.k ∗ là trung bỡnh Daniell Thỡ k.k ∗ = à ∗
Chứng minh Theo định nghĩa, à ∗ = k.k ∗ trờn R Giả sử à ∗ (A) < ∞ thỡ cú dóy
I (A n ) < à (A) + ε Nú chứng tỏ từ sự hội tụ bị trội của Daniell rằng B ⊂S n
Theo định lý 3.7, nếu A thuộc R và L1, thì à*(A) = inf{I(B): A ⊂ B ∈ R} = kAk* Định lý 3.19 (Daniell Stone) khẳng định rằng với (E, I) là một tích phân sơ cấp, k.k* là trung bình Daniell của nó và M là tập hợp các hàm đo được đối với k.k*, thì σ(E) ⊂ M Độ đo à được xác định trên không gian đo được (Ω, M) thỏa mãn à(E) = I(E) = kEk*, với E ∈ M và I(f) = R f đối với f ∈ L1 ⊃ E I ở đây là mở rộng Daniell của (E, I) Hơn nữa, à xác định duy nhất trên σ vành Rσ(E), với vành được tạo bởi f^(-1)(B) : f ∈ E, B ∈ B(R \ {0}) Nếu tồn tại một hàm dương thực sự f ∈ L1(Ω, σ(E), à), thì Rσ(E) = σ(E).
Giả sử X là một không gian Hausdorff compact địa phương và I là một phiếm hàm tuyến tính dương trên C 00 (X) Kết quả được trình bày cho thấy rằng cặp (E,I) là tích phân sơ cấp.
Bổ đề 3.10 Giả sử I là một phiếm hàm tuyến tính dương trên E = C 00 (X). Nếu dãy {f n } ⊂ C 00 + và f n &0 theo từng điểm thì If n & 0.
Chứng minh Định lý Dini suy ra rằng f n &0 đều Do K = supp (f 1 ) là compact.
Có g ∈ C 00 (X) thỏa mãn K ≺ g ≤ 1 Khi đó, cho ε > 0 có N thỏa mãn n ≥N có suy ra
Cho G, F và K tương ứng là tập hợp các tập mở, đóng trong X. Định lý 3.20 Cho k.k ∗ là trung bình Daniell trên (E,I) khi đó
(ii) Với mọi G ∈ G kGk ∗ = sup {I (φ) : 0 ≤ φ ≺ G} = sup kK k ∗ :K 3 K ⊂ G (3.15) (iii) Trung bình Daniell là cộng tính trên G.
(iv) F ⊂ M tức là tập đóng là đo được.
Chứng minh (i) Đặt G 3 G ⊃ K với G ∈ K Theo định lý Urysohn, có φ ∈ E với
Đầu tiên, chúng ta chứng minh đẳng thức bên phải bằng cách đặt E + 3 φ ≤ 1 G Với mỗi n ∈ N, ta có K n = φ ≥ n 1 ⊂ φ > n+1 1 = G n Theo định lý Urysohn, tồn tại f n ∈ E thỏa mãn K n ≺ f n ≺ G n Rõ ràng, 0 ≤ φ n ≤ f n φ ≺ G và φ n = f n φ % φ Đối với ε > 0, có N đủ lớn thỏa mãn.
Biểu thức bên trái của (3.15) được chứng minh Nếu 0 ≤ φ ≺ G thì K 3 K = supp (φ) ⊂ G và kφk ∗ = I (φ) ≤ kKk ∗ ≤ kGk ∗ suy ra biểu thức ở vế phải được chứng minh.
(iii) Cho G, G 0 ∈ G rời nhau Theo tính cộng tính dưới đếm đượckG ∪ G 0 k ∗ ≤ kGk ∗ + kG 0 k ∗ Mặt khác nếu 0 ≤ φ ≺ G và 0 ≤ φ 0 ≺ G 0 thì 0 ≤ φ + φ 0 ≺ G ∪ G 0 Do đó
Vì vậy kGk ∗ + kG 0 k ∗ ≤ kG ∪ G 0 k ∗
Chúng tôi sẽ chứng minh rằng mọi tập hợp F thuộc F đều thỏa mãn điều kiện đo được Caratheodory-Daniell Đối với bất kỳ tập hợp E nào thuộc X, chúng ta có E thuộc G, và từ đó suy ra rằng G\F là một tập mở Theo (3.15) và định lý D.0.15, tồn tại một dãy {V_n} thuộc G với {V_n} thuộc K, thỏa mãn điều kiện V_n ⊂ V_n ⊂ V_n+1 ⊂ G\F và kV_n k ∗ % kG\F k ∗ Phần (iii) đã chứng minh rằng kGk ∗ ≥ kG\∂V_n k ∗.
Khi n % ∞ thì kGk ∗ ≥ kG ∩ F k ∗ + kG\F k ∗ ≥ kE ∩ F k ∗ + kE\F k ∗ Do đó theo (3.7) ta kết luận rằng kEk ∗ = infkGk ∗ : E ⊂ G ∈G ≥ kE ∩ F k ∗ + kE\F k ∗ ≥ kEk ∗
Nó chứng tỏ rằng tập đóng là đo được, do đó σ(F ) =B (X)
Một trung bình trên R X hoặc một độ đo ngoài trên P (X) được coi là chính quy nếu thỏa mãn các điều kiện chính quy ngoài và chính quy trong Định lý 3.21, được gọi là định lý biểu diễn Riesz, khẳng định rằng nếu I là một phiếm hàm tuyến tính dương trên C 00 (X), thì tồn tại duy nhất một độ đo Radon chính quy đủ xác định trên một σ-đại số M I ⊃ B(X).
Nếu thờm điều kiện I là liờn tục thỡ à I là hữu hạn với kIk = à I (X) = kXk ∗
Theo bổ đề 3.10, (E, I) được xác định là tích phân sơ cấp Dựa vào định lý 3.19, ta có thể khẳng định rằng nó là chính quy trên M ⊃ B(X) Từ định lý Daniell Stone, ta có thể suy ra điều cần chứng minh.
Nếu I liên tục, tức là nếu |I (f)| ≤ kIk kf k u với f ∈ E thì từ tính chính quy suy ra à I (X) ≤ kI (X)k ∗
≤ kf k u à I (X), tức là kIk ≤ à I (X). Định lý 3.22 (Định lý Lusin): Cho f là một hàm phức đo được Nếu A ∈ M, à (A) < ∞ và {f = 0} ⊃ A c thỡ với mọi ε > 0 cú g ∈ C 00 (X) thỏa món à ({f 6= g}) < ε (3.16)
Ngoài ra nếu f là bị chặn có thể chọn g để kgk u ≤ kfk u
Để chứng minh mệnh đề, ta bắt đầu từ định nghĩa đo được Daniell của hàm phức Giả sử R = kfk u < ∞, ta xét ánh xạ ϕ trên C được định nghĩa bởi ϕ(z) = z1 {|z|≤R}(z) + Rz.
Nếu g 0 ⊂ C 00 (X) thỏa món à ({f 6= g}) < ε xỏc định g = ϕ (g) thỡ kgk u ≤ kf k u và từ {f 6= g} ⊂ {f 6= g 0 }, (3.16) được thỏa mãn.
Theo định lý Lusin, cho hàm f và tập A, tồn tại một dãy hàm {g_n} thuộc C^0_0(X) sao cho ||g_n||_u ≤ ||f||_u và g_n hội tụ đến f hầu chắc chắn Định lý Vitali - Caratheodory chỉ ra rằng nếu f thuộc L^1(à) ∩ R^Ω, thì với mọi ε > 0, có các hàm u ≤ f ≤ v, trong đó u và v là các hàm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tương ứng.
Tính chất Maximality
Nếu k.k và k.k là hai trung bình trên dàn véctơ E đóng với phép chặt cụt, và kfk ≤ kf k với mọi f ∈R
Nếu Ω chứng tỏ rằng L 1 (k.k) ⊂ L 1 (k.k), khi k.k = k.k ∗ là trung bình Daniel của tích phân sơ cấp (E, I), câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu có các trung bình khác vượt trội hơn k.k ∗ hay không, mà các trung bình này tạo ra họ lớn hơn các hàm khả tích khi điều kiện hội tụ bị chặn được thỏa mãn.
Trung bình Daniel là trung bình tối đa trên không gian (E, I), thỏa mãn điều kiện kφk ∗ = I (|φ|) với mọi φ thuộc E Điều này cho thấy trung bình Daniel cung cấp một mở rộng tối thiểu cho tích phân sơ cấp, đảm bảo rằng dãy Cauchy hội tụ và sự hội tụ này được kiểm soát.
Bổ đề 3.11 chỉ ra rằng nếu E là tập hợp các hàm bị chặn và là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc là vành, thì nếu k.k và k.k là các trung bình thỏa mãn điều kiện kφk ≤ kφk với mọi φ ∈ E, thì có thể kết luận rằng kfk ≤ kf k cho mọi f ∈ E Σ.
Chứng minh Chof ∈ L 1 (k.k ), và giả sử {φ n } ⊂ E hội tụ đến f theo trung bình k.k Thì nó cũng hội tụ theo trung bình k.k Vì vậy, k.k = lim n kφ n k ≥ lim n kφk = kfk
{φ n 6= 0} với mọi {φ n } ⊂ E Nó chứng tỏ rằng
Theo định lý hội tụ đơn điệu khk = sup n kh n k ≤ sup n kh n k = khk Với tùy ý h ∈ E Σ , khk = k|h|k ≤ k|h|k = khk
Bổ đề 3.12 Với mọi trung bìnhk.k củaE tồn tại trung bình maximal k.k trùng với k.k trên E +
Chứng minh Cho M(k.k) là tập hợp tất cả các trung bình trên E trùng với k.k trên E + Xác định kf k = sup{kf k b : k.k b ∈M(k.k)} (3.17)
Rõ ràng rằng k.k trùng với k.k trên E, và tính thuần nhất tuyệt đối cùng tính vững dễ dàng được chứng minh Điều này cũng chứng tỏ rằng k.k là cộng tính dưới đếm được Xét dãy {f n} là các hàm không âm, với mọi k.k b ∈ M(k.k), ta có kX n f n k b ≤ X n kf n k b ≤ X n kf n k.
Bằng cách lấy supremum vượt qua k.k b ∈M(k.k), chúng ta có được kX n f n k ≤X n kf n k
Trung bình k.k trên E được coi là maximal nếu nó tương đương với (3.17) Định lý 3.24 chỉ ra rằng nếu k.k là trung bình maximal của E, thì kfk được xác định bởi inf{khk : |f| ≤ h ∈ E Σ } (3.18).
Kí hiệu k.k ♦ biểu thức vế phải của (3.18) cho thấy rằng k.k ♦ hội tụ đến k.k và đồng ý với k.k ♦ trên E Σ Điều này cho phép kiểm tra rằng k.k ♦ là đồng nhất tuyệt đối và thỏa mãn tính vững Nếu chứng minh được rằng k.k ♦ là cộng tính dưới đếm được, thì (3.18) sẽ được chứng tỏ ngay lập tức Giả sử P n kf n k ♦ < r < ∞, tồn tại hàm h n ∈ E Σ thỏa mãn |f n | ≤ h n và P n kf n k < r.
|f n | ≤ P n h n và P n h n ∈ E Σ , tính cộng tính dưới của k.k chứng tỏ rằng kX n f n k ♦ ≤ kX n h n k ≤X n kh n k < r
Bổ đề 3.13 khẳng định rằng nếu k.k là trung bình maximal của E, thì với mọi f thuộc F (k.k)+, tồn tại một hàm h trong E Σ sao cho f ≤ h và kfk = khk Định lý 3.25 chỉ ra rằng E là tập hợp các hàm bị chặn và là dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc là vành.
(i) Nếu(E , I) là tích phân sơ cấp và k.k ∗ là trung bình Daniell, thì k.k ∗ là trung bình maximal trùng với I trên E +
(ii) Mọi trung bình maximal k.k của E thỏa mãn sup n kf n k = ksup n f n k (3.19)
Với mọi dãy không giảm {f n } ⊂R
Ω +. Chứng minh (i) Từ E ↑ ⊂ E Σ , ta có được kf k ∗ = sup{khk : |f | ≤ h ∈ E ↑ ≥ sup{kf k : |f| ≤ h ∈ E Σ } = kf k
Tính maximal của trung bình Daniell được chứng tỏ từ (3.18).
Nếu sup n kf n k = ∞ thì không cần chứng minh gì thêm Giả sử sup n kf n k < ∞, theo bổ đề 3.13, tồn tại dãy {h n } ⊂ E Σ ∩ L 1 (k.k) với f n ≤ h n và thỏa mãn kf n k = kh n k Dãy f n = inf k≥n h k ∈ L 1 là dãy không giảm với điều kiện f n ≤ f n ≤ h n; do đó, kf n k = f n.
Sự hội tụ đơn điệu chứng tỏ rằng f n hội tụ theo trung bình đến sup n f n Vì vậy sup n kf n k = sup n f n
Bất đẳng thức ngược lại sup n kf n k ≤ ksup n f n k , chứng tỏ tính vững từ f n ≥ 0.
Luận văn đã trình bày được một số nội dung cơ bản như:
Xây dựng tích phân của hàm đo được bằng phương pháp tích phân Lebesgue, trong đó xem xét các điều kiện chuyển giới hạn dưới dấu tích phân Bài viết đề cập đến các định lý quan trọng như sự hội tụ đơn điệu và hội tụ bị làm trội Đồng thời, cũng nêu rõ sự tương đương giữa tích phân Lebesgue và tích phân Riemann trên tập hợp số thực R.
Bài viết này trình bày quá trình xây dựng tích phân Daniell từ tích phân cơ bản (E, I), đồng thời xem xét tính đo được của Daniell như một tính chất địa phương của tính khả tích Nó cũng phân tích các tính chất cơ bản của tích phân Daniell và trung bình Daniell tương ứng, so sánh sự tương đương giữa tính khả tích Daniell và khả tích Lebesgue Cuối cùng, bài viết chỉ ra tính chất tối đa của trung bình Daniell.
Do hạn chế về thời gian và kiến thức, luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự quan tâm và ý kiến đóng góp từ các thầy cô và đồng nghiệp để có thể hoàn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
[1] Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, NXB Giáo dục, 2002.
[2] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích, NXB Giáo dục, 1998.
[3] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến, Cơ sở lý thuyết Xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004.
[4] Đặng Hùng Thắng, Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2013.
[5] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, 2004.
[6] Hoàng Tụy, Giải tích hiện đại, NXB Giáo dục, 1979.
[7] Bartle, Robert G, The elements of integration and Lebesgue measure, Wiley Classics Library, New York, 1995.
[8] Bauer, Heinz,Measure and Integration Theory, De Gruyter Studies in Math- ematics 26, Berlin, 2001.
[9] Munroe, M E, Introduction to measure and integration, Cambridge, Mass: Addison-Wesley Publishing Company Inc, 1953.
[10] Oliver R Díaz - Espinosa, Integration and Measure Theory, SAMSI Duke University, 2010.
[11] P.Billing, Probability and Measure, Willey, New York 1995.
[12] P Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York, 1982.