3 Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm
3.4 Sự tương đương giữa khả tích Daniell và khả tích Lebesgue-Caratheodory
tích Lebesgue-Caratheodory
Trung bình của Daniell k.k∗ xác định hàm cộng tính đếm được I trên vành
R=R(E) tạo bởi hàm sơ cấp E. Phương pháp Lebesgue-Caratheodory mở rộng tích phân I thành độ đo đủ µ trên σ - đại số Mµ ⊃σ(E) thơng qua độ đo ngồi
µ∗(E) = inf{X
n
I(Rn) : E ⊂[
n
Rn , Rn ∈R} (3.12)
Trong phần tiếp theo, ta sẽ thấy rằng cả hai phương pháp đưa ra các hàm khả tích và hàm đo được là như nhau.
Định lý 3.18. Giả sử rằng (E,I) là một tích phân sơ cấp và k.k∗ là trung bình Daniell, A ∈M nếu và chỉ nếu
kEk∗=kE∩Ak∗+kE\Ak∗ (3.13) với mọi E ⊂Ω.
Chứng minh. Đặt M∗ là tập hợp tất cả các tập thỏa mãn (3.13), ta sẽ chứng tỏ rằng M∗ trùng với họ tất cả các tập đo được M.
Điều kiện cần: Giả sử A∈M và cho E ⊂Ω. NếukEk∗ =∞, (3.13) thỏa mãn theo tính cộng tính dưới. Nếu kEk∗<∞thì theo định lý 3.7 có L1 3B ⊂E thỏa mãn kEk∗ =kBk∗. Bổ đề 3.7 chứng tỏ rằng cả B∩A và B\A là khả tích. Theo tính cộng tính dưới của trung bình và định lý 3.9
k1Ek∗ =k1E∩Ak∗+1E\A ∗ ≤ k1B∩Ak∗+ =1B\A ∗ =I(1B∩A) +I 1B\A =I(1B) =k1Ek∗ Vì vậy A ∈M∗.
Điều kiện đủ: Thực hiện lại các bước chứng minh của định lý 1.7 ta sẽ chứng tỏ được rằng M∗ là σ - đại số. Theo định nghĩa , rõ ràng A ∈ M∗ nếu và chỉ nếu Ac ∈ M∗. Ta chứng tỏ rằng M∗ là hợp đếm được, nó đủ xét dãy các tập {An}n∈N⊂M∗ đôi một không giao nhau. Ta chứng tỏ bằng quy nạp rằng
kEk∗ = n X k=1 kE∩Akk∗+kE∩( n [ k=1 Ak)ck∗ (3.14) Với mọi E ⊂ Ω. Với n = 1, nó là đúng theo định nghĩa. Giả thiết mệnh đề thỏa mãn với n≥1. Từ An+1∈M∗ kE∩( n \ k=1 Ack)k=kE∩( n \ k=1 Ack)∩An+1k∗+kE∩( n \ k=1 Ack)∩Acn+1k∗ =kE∩An+1k∗+kE∩( n+1 \ k=1 Ack)k∗ Theo tính vững chắc kE∩( n S Ak)ck∗ ≥ kE∩( ∞ S Ack)ck∗. Do đó theo (3.14)
và tính cộng tính dưới đếm được của trung bình k.k∗, kEk∗= lim n→∞( n X k=1 kE∩Akk∗+kE∩( ∞ [ k=1 Ak)ck∗) ≥ ∞ X k=1 kE∩Akk∗+kE∩( ∞ [ k=1 Ak)ck∗ ≥ kE∩ ∞ [ k=1 Akk∗+kE∩( ∞ [ k=1 Ak)ck∗ ≥ kEk∗ Do đó ∞∪ k=1Ak ∈M∗, và ta kết luận rằng M∗ là σ - đại số.
Giả sử A∈M∗ và cho E ∈ L1. Chứng minh điều kiện cần chứng tỏ rằng M∗
là chứa tập khả tích. Do đóE∩A ∈M∗. Theo định lý 3.7 thì có L1 ⊃A∩E thỏa mãn kE∩Ak∗ =kBk∗. Từ
kBk∗ =kB∩(E∩A)k∗+kB\(E∩A)k∗ =kBk∗+kB\(E∩A)k∗
nó chứng tỏ rằng kB\(E∩A)k∗ = 0. Vì vậy, E ∩A ∈ L1. Bổ đề 3.7 suy ra là A∈M.
Bổ đề 3.9. Cho µ∗ như trong (3.12) và cho k.k∗ là trung bình Daniell. Thì k.k∗=µ∗.
Chứng minh. Theo định nghĩa, µ∗ =k.k∗ trên R. Giả sử µ∗(A) <∞ thì có dãy {An} ⊂ R thỏa mãn A⊂S
n
An và P
n
I(An)< µ(A) +ε. Nó chứng tỏ từ sự hội tụ bị trội của Daniell rằng B ⊂S
n
An ∈ R ∩ L1. Cùng với định lý 3.7 có nghĩa rằng µ∗(A) = inf{I(B):A⊂B ∈R}=kAk∗.
Định lý sau sẽ tóm lược kết quả của mục này.
Định lý 3.19. (Daniell Stone) Cho (E, I)là một tích phân sơ cấp vàk.k∗ là trung bình Daniell của nó và M là tập các hàm đo được đối với k.k∗. Thì σ(E) ⊂ M
µ(E) = I(E) =kEk∗,E ∈M và I(f) = R f dµ với f ∈ L1 ⊃ E
Ở đây I là mở rộng Daniell của (E, I). Ngồi ra, µ xác định duy nhất trên σ vành Rσ(E) vành tạo bởi f−1(B) :f ∈ E, B ∈B(R\ {0}) . Nếu có một hàm dương thực sự f ∈ L1(Ω, σ(E), µ) thì Rσ(E) =σ(E).
Giả sửX là một không gian Hausdorf compắc địa phương và I là một phiếm hàm tuyến tính dương trên C00(X). Kết quả được trình bày sau đây chứng tỏ rằng (E,I) là tích phân sơ cấp.
Bổ đề 3.10. Giả sử I là một phiếm hàm tuyến tính dương trên E = C00(X). Nếu dãy {fn} ⊂C00+ và fn&0 theo từng điểm thì Ifn&0.
Chứng minh. Định lý Dini suy ra rằng fn&0 đều. Do K =supp(f1) là compact. Có g ∈ C00(X) thỏa mãn K≺ g ≤1. Khi đó, cho ε >0 có N thỏa mãn n ≥N có suy ra 0≤fn(x)< ε 1 +I(g)g(x),∀x∈X Vì vậy 0≤ I(fn)< εI(g) 1 +I(g) < ε, n > N.
Cho G, F và K tương ứng là tập hợp các tập mở, đóng trong X.
Định lý 3.20. Cho k.k∗ là trung bình Daniell trên (E,I) khi đó (i) kKk∗ <∞,∀K ∈ K.
(ii) Với mọi G∈ G
kGk∗= sup{I(φ) : 0≤φ≺G}= supkKk∗:K3K ⊂G (3.15) (iii) Trung bình Daniell là cộng tính trên G.
Chứng minh. (i) Đặt G 3G⊃K với G∈ K. Theo định lý Urysohn, có φ∈ E với K ≺φ≺G. Do đó kKk∗≤ kφk∗=I(φ)<∞.
(ii) Đầu tiên ta chứng minh đẳng thức bên phải. Đặt E+ 3φ ≤1G. Với mỗi n ∈ N ta có rằng Kn = φ ≥ n1 ⊂ φ > n+11 = Gn. Theo định lý Urysohn có fn ∈ E thỏa mãn Kn ≺ fn ≺ Gn. Rõ ràng 0 ≤ φn ≤ fnφ ≺ G và φn = fnφ % φ. Cho ε >0 thì có N đủ lớn thỏa mãn
I(φ)< I(φN) +ε≤sup{I(ψ) : 0≤ψ ≺G}+ε
Biểu thức bên trái của (3.15) được chứng minh. Nếu 0 ≤ φ ≺ G thì K 3 K = supp (φ) ⊂ G và kφk∗ = I(φ) ≤ kKk∗ ≤ kGk∗ suy ra biểu thức ở vế phải được chứng minh.
(iii) Cho G, G0∈ G rời nhau. Theo tính cộng tính dưới đếm đượckG∪G0k∗ ≤ kGk∗+kG0k∗. Mặt khác nếu 0≤φ≺G và 0≤φ0 ≺G0 thì 0≤φ+φ0≺G∪G0. Do đó
I φ+φ0=I(φ) +I φ0≤G∪G0
∗
Vì vậy kGk∗+kG0k∗≤ kG∪G0k∗.
(iv) Ta sẽ chứng minh rằng mọiF ∈ F thỏa mãn điều kiện đo được Caratheodory- Daniell (3.13). VớiE ⊂Xbất kỳ, đặt E ⊂G∈G. Từ đóG\F là tập mở, từ (3.15) và định lý D.0.15 có dãy{Vn} ⊂Gvới {Vn} ⊂Kthỏa mãnVn ⊂Vn ⊂Vn+1⊂G\F và kVnk∗ % kG\Fk∗. Phần (iii) chứng tỏ rằng
kGk∗ ≥ kG\∂Vnk∗=G\Vn
∗
+kVnk∗ ≥ kG∩Fk∗+kVnk∗
Khi n % ∞ thì kGk∗ ≥ kG∩Fk∗ +kG\Fk∗ ≥ kE∩Fk∗ +kE\Fk∗. Do đó theo (3.7) ta kết luận rằng
kEk∗= infkGk∗ :E ⊂G∈G ≥ kE∩Fk∗+kE\Fk∗ ≥ kEk∗ Nó chứng tỏ rằng tập đóng là đo được, do đó σ(F) =B(X).
Một trung bình trên RX hoặc một độ đo ngoài trên P(X) được gọi là chính quy nếu tính chính quy ngồi (3.7) và chính quy trong (3.15) được thỏa mãn.
Định lý 3.21. (Định lý biểu diễn Riesz) Giả sử I là một phiếm hàm tuyến tính dương trên C00(X). Khi đó tồn tại duy nhất độ đo Radon µI chính quy đủ xác định trên một σ - đại số MI ⊃ B(X) thỏa mãn
I(f) =
Z
X
f dµI, f ∈C00(X)
Nếu thêm điều kiện I là liên tục thì µI là hữu hạn với kIk=µI(X) = kXk∗. Chứng minh. Theo bổ đề 3.10 thì (E, I) là tích phân sơ cấp. Theo định lý 3.19 thì µ là chính quy trên M ⊃ B(X). Từ định lý Daniell Stone suy ra điều phải chứng minh.
Nếu I liên tục, tức là nếu |I(f)| ≤ kIk kfku với f ∈ E thì từ tính chính quy suy ra µI(X)≤ kI(X)k∗.
Ngược lại, |I(f)|= R
Xf dµI≤ kfkuµI(X), tức là kIk ≤µI(X).
Định lý 3.22. (Định lý Lusin): Cho f là một hàm phức đo được. Nếu A∈ M, µ(A)<∞ và {f = 0} ⊃Ac thì với mọi ε >0 có g ∈C00(X) thỏa mãn
µ({f 6=g})< ε (3.16)
Ngồi ra nếu f là bị chặn có thể chọn g để kgku ≤ kfku.
Chứng minh. Phần đầu là có ngay từ định nghĩa đo được Daniell của hàm phức. Chứng minh mệnh đề trên, giả sử: R = kfku <∞, xét ánh xạ ϕ trên C cho bởi
ϕ(z) = z1{|z|≤R}(z) +R z |z|
Nếu g0 ⊂C00(X) thỏa mãn µ({f 6=g})< ε xác định g =ϕ(g) thì kgku ≤ kfku và từ {f 6=g} ⊂ {f 6=g0}, (3.16) được thỏa mãn.
Hệ quả 3.3. Cho f và A như trong định lý Lusin. Có một dãy {gn} ⊂ C00(X) thỏa mãn kgnku ≤ kfku và gn →f µ - hầu chắc chắn.
Định lý 3.23. (Vitali - Caratheodory) Giả sử f ∈ L1(µ)∩RΩ. Với mọi ε > 0 tồn tại các hàm u≤ f ≤v thỏa mãn u và v tương ứng là các hàm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới và R (v−u)dµ < ε.
3.5 Tính chất Maximality
Nếu k.k và k.k là hai trung bình trên dàn véctơ E đóng với phép chặt cụt, và kfk ≤ kfk với mọi f ∈RΩ, thì nó chứng tỏ rằng L1(k.k)⊂ L1(k.k).
Khi k.k=k.k∗ là trung bình Daniel của tích phân sơ cấp (E, I), một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là có các trung bình khác bị trội bởi k.k∗, mà trung bình đó tạo ra họ lớn hơn các hàm khả tích khi sự hội tụ bị chặn được thỏa mãn. Ta sẽ thấy rằng trung bình Daniel là trung bình maximal trên (E, I) thỏa mãn kφk∗ = I(|φ|) với mọi φ ∈ E. Nó có nghĩa rằng trung bình Daniel cung cấp mở rộng nhỏ nhất của tích phân sơ cấp mà dãy Cauchy hội tụ và sự hội tụ bị trội được thỏa mãn.
Bổ đề 3.11. Giả sử rằng E là tập hợp các hàm bị chặn và là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc là vành. Nếu k.k và k.k là các trung bình thỏa mãn kφk ≤ kφk với mọi φ ∈ E, thì kfk ≤ kfk với mọi f ∈ EΣ.
Chứng minh. Chof ∈ L1(k.k), và giả sử {φn} ⊂ E hội tụ đến f theo trung bình k.k. Thì nó cũng hội tụ theo trung bình k.k. Vì vậy,
k.k = lim n kφnk≥lim n kφk=kfk. Cho h∈ EP + thì {h6= 0} ⊂S n {φn 6= 0} với mọi {φn} ⊂ E. Nó chứng tỏ rằng EP ∩ L1(k.k)hn = (h∧n). n _ k=1 1{|φk|>1/n} %h Theo định lý hội tụ đơn điệu khk = sup
n khnk ≤ sup n khnk = khk. Với tùy ý h∈ EΣ, khk=k|h|k ≤ k|h|k=khk.
Bổ đề 3.12. Với mọi trung bìnhk.k củaE tồn tại trung bình maximal k.k trùng với k.k trên E+.
Chứng minh. Cho M(k.k) là tập hợp tất cả các trung bình trên E trùng với k.k trên E+. Xác định
kfk= sup{kfkb:k.kb ∈M(k.k)}. (3.17) Rõ ràng k.k trùng với k.k trên E. Tính thuần nhất tuyệt đối, tính vững dễ dàng được chứng minh. Nó cịn chứng tỏ rằng k.k là cộng tính dưới đếm được. Cho {fn} là một dãy của các hàm khơng âm. Thì, với mọi k.kb ∈ M(k.k) nó chứng tỏ rằng kX n fnkb ≤X n kfnkb ≤X n kfnk.
Bằng cách lấy supremum vượt qua k.kb ∈M(k.k), chúng ta có được kX
n
fnk≤X
n
kfnk.
Một trung bình k.k trên E là maximal nếu nó trùng với (3.17). Kết quả tiếp theo là đặc trưng cho mọi trung bình maximal của E.
Định lý 3.24. Giả sử k.k là trung bình maximal của E. Thì
kfk= inf{khk:|f| ≤h∈ EΣ} (3.18) Chứng minh. Kí hiệu bởi k.k♦ biểu thức vế phải của (3.18). Rõ ràng, k.k♦ hội tụ đến k.k và đồng ý với k.k♦ trên EΣ. Vì vậy, dễ dàng kiểm tra được rằng k.k♦ là đồng nhất tuyệt đối, thỏa mãn tính vững. Nếu ta chứng tỏ được rằng k.k♦ là cộng tính dưới đếm được, thì (3.18) sẽ được chứng tỏ ngay lập tức. Giả sử
P
n
kfnk♦ < r <∞ thì tồn tại hàm hn ∈ EΣ thỏa mãn |fn| ≤hn và P
n
Từ đó, |P n fn| ≤ P n |fn| ≤ P n hn và P n hn ∈ EΣ, tính cộng tính dưới của k.k chứng tỏ rằng kX n fnk♦≤ kX n hnk≤X n khnk< r Vậy kP n fnk♦=P n khnk♦.
Bổ đề 3.13. Giả sửk.klà trung bình maximal của E. Thì với mọif ∈ F(k.k)+, tồn tại h∈ EΣ, f ≤h thỏa mãn kfk =khk.
Định lý 3.25. Cho E là tập hợp các hàm bị chặn và là dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc là vành.
(i) Nếu(E, I) là tích phân sơ cấp và k.k∗ là trung bình Daniell, thì k.k∗ là trung bình maximal trùng với I trên E+.
(ii) Mọi trung bình maximal k.k của E thỏa mãn sup
n
kfnk =ksup
n
fnk (3.19)
Với mọi dãy không giảm {fn} ⊂RΩ+. Chứng minh. (i) Từ E↑ ⊂ EΣ, ta có được
kfk∗ =sup{khk:|f| ≤h∈ E↑≥sup{kfk:|f| ≤h∈ EΣ}=kfk Tính maximal của trung bình Daniell được chứng tỏ từ (3.18).
(ii) Nếusup
n
kfnk =∞thì khơng có gì cần chứng minh. Giả sửsup
n
kfnk<∞, từ bổ đề 3.13 có dãy {hn} ⊂ EΣ∩ L1(k.k) với fn ≤ hn thỏa mãn kfnk =khnk. Dãy fn =infk≥nhk ∈ L1 là không giảm với fn ≤fn ≤hn; Do đó,
kfnk =fn
=khnk
Sự hội tụ đơn điệu chứng tỏ rằng fn hội tụ theo trung bình đến sup
n fn. Vì vậy sup n kfnk=sup n fn=lim n fn =ksup n fnk≥ ksup n fnk. Bất đẳng thức ngược lại sup
n
kfnk≤ ksup
n
Kết luận chung
Luận văn đã trình bày được một số nội dung cơ bản như:
Thứ nhất:Xây dựng tích phân của hàm đo được theo phương pháp tích phân Lebesgue. Xét được các điều kiện chuyển giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue, đưa ra định lý về sự hội tụ đơn điệu, hội tụ bị làm trội.... Sự tương đương của tích phân Lebesgue và tích phân Riemann trên R.
Thứ hai: Xây dựng tích phân trên Daniell từ tích phân cơ bản (E, I). Xét tính đo được Daniel như là tính chất địa phương của tính khả tích. Xét được các tính chất cơ bản của tích phân Daniell và trung bình Daniell tương ứng của tích phân. So sánh được sự tương đương giữa tính khả tích Daniell và khả tích Lebesgue. Chỉ ra được tính chất maximality của trung bình Daniell.
Vì thời gian và kiến thức cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự quan tâm, đóng góp ý kiến của các thầy cơ và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tài liệu tham khảo
[1] Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, NXB Giáo dục, 2002. [2] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích, NXB Giáo dục, 1998.
[3] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến, Cơ sở lý thuyết Xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004.
[4] Đặng Hùng Thắng, Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2013.
[5] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, 2004. [6] Hoàng Tụy, Giải tích hiện đại, NXB Giáo dục, 1979.
[7] Bartle, Robert G, The elements of integration and Lebesgue measure, Wiley Classics Library, New York, 1995.
[8] Bauer, Heinz,Measure and Integration Theory, De Gruyter Studies in Math- ematics 26, Berlin, 2001.
[9] Munroe, M. E, Introduction to measure and integration, Cambridge, Mass: Addison-Wesley Publishing Company Inc, 1953.
[10] Oliver R. Díaz - Espinosa, Integration and Measure Theory, SAMSI Duke University, 2010.
[11] P.Billing, Probability and Measure, Willey, New York 1995.
[13] R.M.Dudley, Real Analysis and Probality, Cambridge Uni, New York, 2002. [14] Shilov, G.E, and Gurevich, B.L.,Integral, Measure, and Derivative: A Uni-
fied Approach, Richard A.
[15] Walter Rudin,Real and complex analysis, McGraw-HillBook Co, New York, 1987.