3 Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm
3.1.1 Tích phân trên Daniell
Giả thiết rằng khơng gian bao (E,I) là một tích phân sơ cấp cố định trên tập Ω theo định nghĩa 3.1. Kí hiệu E↑ là tập hợp tất cả các hàm giá trị thực suy rộng h sao cho tồn tại dãy {φn} ⊂ E thỏa mãn h= sup
n
φn. Nếu E là một dàn, ta có thể thay thế φn bởi dãy tăng
n
W
k=1
φk.
Bổ đề 3.1. Giả sử rằng E là một dàn véctơ. Khi đó, khơng gian E↑ là đóng đối với:
(i) Phép cộng.
(ii) Nhân với vô hướng không âm. (iii) inf hữu hạn.
Định nghĩa 3.2. Tích phân trên của hàm h∈ E↑ được định nghĩa bởi
I∗(h) = sup{I(φ) :φ ∈ E, φ≤h} (3.1) Tích phân trên của hàm giá trị thực mở rộng f bất kỳ trênΩ được định nghĩa bởi
I∗(f) = infI∗(h) :h∈ E↑, f ≤h (3.2) Rõ ràng I∗(φ) = I(φ) nếu φ ∈ E. Sự biểu diễn (3.1) và (3.2) là trùng nhau trên E↑.
Tiếp theo là các đặc tính của I∗.
Định lý 3.1. Giả sử rằng E là một dàn véctơ. Thì tích phân trên Daniell I∗ có các tính chất sau:
(i) I∗ khơng giảm và thuần nhất dương.
(ii) Nếu {hn} ⊂ E↑ là dãy khơng giảm thì I∗(hn)%I∗(sup
n
hn). (iii) I∗ là tuyến tính trên E↑.
(iv) I∗ là σ - cộng tính dưới tức là, nếu fn ≥0 thì I∗(P
n
fn)≤P
n
I∗(fn).
Chứng minh. (i) Tính đơn điệu tăng được chứng tỏ trực tiếp từ 3.1 và 3.2. Tính thuần nhất dương là hệ quả của bổ đề 3.1 (ii) và sự tuyến tính của I trên E.
(ii) Giả sử rằnghn %h ∈ E↑thìsup
n
I∗(hn)≤I∗(h)theo tính đơn điệu tăng của I∗. Với mỗin, cho{φm,n} ⊂ E vớiφm,n %hnvà đặtψk = max{φm,n : 0≤n, m≤k}. Nếu a < I∗(h), cho φ ≤ h ∈ E sao cho a < I(φ) thì E 3 ϕk = ψk ∧φ ≤ hk và ϕk %φ. Từ (E, I) là σ - hữu hạn ta có a < I(φ) = lim k I(ϕk)≤lim k I∗(hk) Do đó I∗(h)≤lim k I∗(hk). Ta kết luận rằng I∗(h) =lim k I∗(hk).
(iii) Giả sử rằnghi∈ E↑,i= 1,2nếu{φn,i} ⊂ Evàφn,j %hithìE 3φn,1+φn,2 % h1+h2. Từ E ⊂ E↑ và I∗ =I trên E, nó chứng tỏ từ (ii) rằng
I(h1+h2) = lim
n I(φn,1+φn,2) = lim
n (I(φn,1) +I(φn,2)) =I∗(h1) +I∗(h2) (iv) Giả thiết rằng S = P
n
I∗(fn)<∞. Với ε > 0 và mỗi n cho E↑ 3 hn ≤fn thỏa mãn I∗(hn)< I∗(fn) + 2−nε. Phần (ii), (iii) và bổ đề 3.1 cho
I∗(X n fn)≤I∗(X n hn) = lim n I∗( n X k=1 hk) = lim n ( n X k=1 I∗(hk)) =X n I∗(hn)≤ n X k=1 I∗(fk) +ε Cho ε&0, tính cộng tính dưới được chứng minh.