Trung bình Daniell

Một phần của tài liệu (LUẬN văn THẠC sĩ) một số phương pháp xây dựng độ đo và tích phân (Trang 39 - 43)

3 Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm

3.1.2 Trung bình Daniell

Định nghĩa 3.3. Giả sử E là một dàn véctơ. Trung bình Daniell của tích phân sơ cấp (E,I) là ánh xạ k.k∗:RΩ →[0,∞] cho bởi f 7→I∗(|f|).

Định lý 3.2. Trung bình Daniel k.k∗ là hữu hạn trên E. Ngồi ra,

(i) Tính thuần nhất tuyệt đối: Với mọi a ∈ R và f ∈RΩ,kafk∗ =|a| kfk∗. (ii) Tính vững: Nếu |f| ≤ |g| thì kfk∗ ≤ kgk∗.

(iii) Cộng tính dưới đếm được: Nếu {fn} là dãy các hàm giá trị thực mở rộng khơng âm thì kP

n

fnk∗ ≤P

n

kfnk∗. (iv) Nếu 0≤φn ∈ E và sup

n k n P k=1 φkk∗<∞ thì lim n kφnk∗ = 0. (v) Với mọi φ∈ E, |I(φ)| ≤ kφk∗.

Chứng minh. Ý (i) và (iii) là hệ quả trực tiếp của định lý 3.1. Từ n P k=1 φn ∗ = n P k=1

I(φk) và 0≤φn ∈ E suy ra (iv) được chứng minh. Do φ∈ E suy ra |φ| ∈ E và − |φ| ≤φ≤ |φ| suy ra chứng minh được (v).

Định nghĩa 3.4. Cho E ⊂RΩ là không gian véc tơ các hàm bị chặn. Một phiếm hàm k.k trên RΩ là hữu hạn trên E và thỏa mãn (i)-(iv) trong định lý 3.2 được gọi là trung bình đối với E.

Bất đẳng thức Chebyshev của một trung bình trên dàn véc tơ E.

Định lý 3.3. (Bất đẳng thức Chebyshev) Nếu k.k là một trung bình đối với E thì với mọi f ∈RΩ

k{f > λ}k ≤ k{|f|> λ}k ≤ 1

λkfk, λ >0 (3.3) Chứng minh. 3.3 là hệ quả theo tính đồng nhất tuyệt đối, tính vững của trung bình k.k và bất đẳng thức

λ1{f >λ}≤λ1{f >λ} ≤ |f|.

Định nghĩa 3.5. Một hàm f ∈RΩ được gọi là k.k - bỏ qua được nếu kfk = 0. Một tập A⊂Ωđược gọi là k.k- bỏ qua được nếu 1A làk.k- bỏ qua được; Một tính chất P trên Ω được nói là đúng k.k - hầu chắc chắn nếu tập {ω ∈Ω :P (ω) sai} là k.k - bỏ qua được.

Bổ đề 3.2. Giả sử k.k là một trung bình đối với E.

(i) Tổng đếm được các hàm k.k - bỏ qua được là hàm k.k - bỏ qua được. Hợp đếm được các tập k.k - bỏ qua được là tập k.k - bỏ qua được.

(ii) f là k.k - bỏ qua được nếu và chỉ nếu {f 6= 0} là k.k - bỏ qua được. (iii) Nếu kfk<∞ thì f là hữu hạn k.k - hầu khắp nơi.

(iv) Nếu f =f0 k.k - hầu khắp nơi thì kfk=f0. Chứng minh. (i): Từ maxn|fn| ≤ P

n

|fn|, tính vững và tính cộng tính dưới đếm được của trung bình chứng tỏ rằng max

n fn ≤ P n |fn| ≤ P n fn thì (i) được chứng tỏ.

(ii): Từ 1{f6=0}≤P

n

|f| và |f| ≤P

n

1{f6=0} thì từ (i) suy ra (ii). (iii): Từ n1{|f|=∞}≤ |f| ta có được k{|f|=∞}k ≤ n1 kfk →0.

(iv): Nếu f = f0 hầu chắc chắn thì f−f0 = 0 hầu chắc chắn. Theo (ii) và bất đẳng thức tam giác suy ra

|kfk − kf0k| ≤ kf−f0k= 0.

Một hàm f được gọi là xác định hầu khắp nơi nếu Ω\dom(f) là bỏ qua được đối với trung bình k.k. Bổ đề 3.2 suy ra là khig, g0 ∈RΩ trùng với f trên dom(f) thì kg−g0k= 0 và kgk=kg0k. Ngồi ra, khơng mất tính tổng quát ta có thể xác định kfk:=kgk.

Định lý 3.4. Cho E là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc một vành. Nếu k.k là một trung bình đối với E thì

(i) F ={f ∈RΩ :kfk<∞} là một dàn véctơ đóng với phép chặt cụt. (ii) (F, k.k) là khơng gian đủ có nửa chuẩn.

(iii) Nếu {fn} ⊂ F và lim

n kf−fnk = 0 thì có một dãy con {fnk} hội tụ theo từng điểm tới f - hầu chắc chắn.

(iv) Bao đóng của E trong (F,k.k)kí hiệu bởi L1(k.k) là dàn véctơ đóng với phép chặt cụt.

Chứng minh. (i) Mệnh đề đầu tiên được chứng tỏ từ tính vững, thuần nhất tuyệt đối và cộng tính dưới đếm được từ đó

|af +g| ≤ |a| |f|+|g|; |f ∨g| ≤ |f|+|g|; |f ∧g| ≤ |f|+|g| và |f∧1| ≤ |f|.

(ii) Giả sử rằng {fn} ⊂ F là dãy Cauchy. Theo bổ đề 3.2, khơng mất tính tổng qt ta có thể giả thiết rằng |fn(ω)| < ∞ với ∀n và ∀ω ∈ Ω. Chọn dãy

con {fnk} thỏa mãn sup n≥nk kfn−fnkk < 2−k−1 và fnk+1 −fnk < 2−k. Do đó g = P k

fnk+1−fnk∈ F và B ={g =∞} là bỏ qua được. Ta kết luận rằng

f(x) =fn1(x) + ∞ X k=1 fnk+1(x)−fnk(x)= lim k fnk(x)

là hội tụ tuyệt đối hầu chắc chắn. Ngồi ra, f ∈ F vì kfk<kfn1k+ 1 và kf −fnkk=k1Bc(f−fnk)k=k1Bc

X

m≥k

(fnm+1−fnm)k ≤2−k+1→0

ta kết luận rằng tất cả các dãy con {fn} hội tụ đến f theo trung bình và hầu chắc chắn.

(iii) Nếu {fn} hội tụ đến f theo trung bình thì nó là dãy Cauchy theo trung bình; Theo phần (i) có dãy con {fnk} và f0 ∈ F thỏa mãn fnk hội tụ đến f0 theo trung bình và hầu chắc chắn. Nó chứng tỏ ngay rằng f =f0 hầu chắc chắn.

(iv) Giả sửf, g ∈ L1 và{φn};{ψn}là các dãy trong E thỏa mãnlimkφn−fk= limkψn−gk= 0. Giả sử rằng E là dàn véctơ đóng với phép chặt cụt. Thì từ

|af +bg−(aφn−bψn)| ≤ |a| |f −φn|+|b| |g−ψn| (3.4) ||f| − |φn|| ≤ |f −φn| (3.5) |f∧1−φn∧1| ≤ |f −φn| (3.6) Ta kết luận nó là L1.

Giả sử rằng E chỉ là một vành các hàm bị chặn. Đầu tiên, ta chứng tỏ được rằng |φ| ∈ L1 với mọi φ ∈ E. Khi đó tồn tại một dãy {ψn} là dãy Cauchy trong F, nếu khơng thì tồn tại và một dãy con ε > 0 thỏa mãn sup

k ψnk+1−ψnk> ε. Từ sup K k K P k=1 ψnk+1−ψnkk ≤ kφk thì lim

k kψnk+1−ψnkk= 0 điều đó là mâu thuẫn. Từ phần (ii) ta kết luận được rằng {ψn} hội tụ đến |φ| theo trung bình.

Ta cịn phải chứng minh L1 là đóng với phép chặt cụt. Ta chỉ cần chứng minh được rằng φ∧1 ∈ L1,∀φ ∈ E. Ngoài ra, từ φ∧1 = φ+∧1−φ− , nó là đủ nếu xét đến φ ≥0. Đặt {τ } ⊂ E thỏa mãn τ %φ∧1 đều. Phần (i) chứng tỏ rằng

kφ∧1k ≤ kφk; Bằng lập luận tương tự như trên với giá trị tuyệt đối ta có {πn} là dãy Cauchy theo trung bình. Vì vậy, từ phần (ii), φ∧1∈ L1.

Các hàm số trong L1(k.k) được gọi là khả tích đối với trung bình k.k.

Tính chất:(i) Giả sử rằng E là một vành và 0≤f ∈ L1. Khi đó, tồn tại dãy 0≤φn ∈ E thỏa mãn kf −φnk →0.

(ii) Giả sử rằng E là một vành và k.k là một trung bình củaE và chof ∈ L1. Khi đó nếu g ∈ L1 là bị chặn hoặc g ∈ Eu thì f.g ∈ L1.

Một phần của tài liệu (LUẬN văn THẠC sĩ) một số phương pháp xây dựng độ đo và tích phân (Trang 39 - 43)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(66 trang)