3 Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm
3.3 Tính đo được Daniell
3.3.1 Tính đo được
Tính đo được mơ tả cấu trúc địa phương của q trình khả tích. Lusin đã quan sát được các hàm khả tích Lebesgue hàm trên đường thẳng thực là liên tục đều trên tập hợp lớn một cách tuỳ ý. Tính chất này được dùng để định nghĩa tính đo được.
Định nghĩa 3.7. Một hàm f ∈ RΩ là đo được đối với trung bình k.k nếu với mọi A ∈ L1 và ε > 0 có L1 3A0 ⊂ A và g ∈ Eu thỏa mãn kA\A0k < ε và f = g trên A0. Tập B ⊂Ω là đo được nếu 1B là đo được.
Hệ quả 3.2. Giả sử D là tập trù mật trong L1. Một hàm giá trị thực f là đo được nếu và chỉ nếu với mọi tập A∈ L1 và ε >0 có L1 3A0 ⊂A với kA\A0k< ε thỏa mãn f là giới hạn đều của một dãy trong D.
Chứng minh. Giả sử f là đo được. Thì có L1 3A’0 ⊂ A và g ∈ Eu thỏa mãn
A\A00 < ε2 và f = g trên A00. Từ g1A0
0 ∈ L1 thì có dãy {dn} ⊂ D hội tụ theo chuẩn và hội tụ hầu chắc chắn tới g1A0
0. Do đó theo định lý 3.1 có L1 3A0 ⊂ A với A0\A00< ε2 thỏa mãn dn hội tụ đều trên A0, f là giới hạn đều của một dãy trong D trên A . Rõ ràng kA\A k< ε.
Ngược lại, giả sử rằngf là giới hạn đều của một dãy{dn} ⊂ D trên một tậpL1 3A00 ⊂A vớiL1 3A00 ⊂A. VớiN đủ lớn ta có kdn−fkA0
0,u< εkhin≥N; Do đó, dãy {dn1A0
0 :n ≥N} là bị làm trội, như đã thấy từ |dn1A0
0| ≤ε1A0
0+|d|. Theo hội tụ bị làm trội ta kết luận rằng f1A0
0∈ L1 là giới hạn theo trung bình và giới hạn hầu chắc chắn của dãy {φn} ⊂ L1. Định lý 3.13 chứng tỏ rằng có L1 3A0 ⊂A00 và g ∈ Eu thỏa mãnkA00\A0k< ε2 và f1A0
0 =g trênA0 thì kA\A0k< εvà f là giới hạn đều của một dãy cơ bản.
Bổ đề 3.6. Giả sử rằng {fn} ⊂ RΩ là dãy các hàm đo được. Thì với A∈ L1 và ε >0 tồn tại L1 3 B ⊂A và một dãy {gn} ⊂ Eu thỏa mãn kA\Bk< ε và fn =gn trên B.
Chứng minh. ĐặtA−1 :=A; ChoL13A0 ⊂Avàg0 ∈ Euthỏa mãnkA−1\A0k< ε2 và f0 =g0 trên A0. Giả sử rằng Ak ⊂ Ak−1 ∈ L1, k = 0,1, ...n và g1, g2, ..., gn ∈ Eu được chọn để kAk−1\Akk < ε2−k−2 và fk =gk trên Ak. Đặt B =T
n
An sự hội tụ đơn điệu có nghĩa B ∈L1. Ngồi ra:
kA\Bk=k[ n (An−1\An)k ≤ kX n 1An−1 −1Ank ≤X n ε2−n−2 =ε bởi tính cộng tính dưới của trung bình. Rõ ràng, fn =gn trên B với mọi n.
Định lý 3.13. (Định lý Egorov) Cho {fn} ⊂ RΩ là dãy các hàm đo được hội tụ đến f hầu chắc chắn. Thì f là đo được;
Ngoài ra, với mọi A ∈ L1 và ε >0 thì có L1 3 B ⊂A với kA\Bk< ε thỏa mãn fn hội tụ đều đến f trên B.
Chứng minh. ChoL1 3 B0 ⊂A và {gn} ∈ Eu thỏa mãnkA\B0k< ε/2và fn =gn. Mỗi fn1B0 ∈ L1 từ đó nó tạo ra hàm khả tích và một hàm trong Eu. Vì vậy, fn1B0 hội tụ đến f1B0 - hầu chắc chắn. Theo định lý 3.12 có L1 3 B ⊂B0 thỏa mãn
Ta kết luận rằng f là hàm hạn chế của hàm g ∈ Eu trên B. Vì vậy, f là hàm đo được.
Định lý 3.14. (i) Lớp MR các hàm thực đo được là một dàn đại số đóng với phép chặt cụt và chứa EΣ.
(ii) Nếu f ∈ MR và ϕ:R−→R là liên tục thì ϕ◦f ∈ MR. (iii) Lớp M các tập con đo được của Ω là một σ - đại số.
Chứng minh. (i) Chof, f0 là các hàm đo được vàr ∈R. Cho A∈ L1 và ε >0, có L1 3 A0 ⊂ A và hàm ϕ, ϕ0 ∈ Eu thỏa mãn kA\A0k < ε và |f−ϕ| = 0 = |f0−ϕ0| trênA0. Thì |f|=|ϕ|, rf+f0=rϕ+ϕ0, f◦f0 =ϕ◦ϕ0 và |f| ∧1=|ϕ| ∧1 trên A0. Từ Eu là một dàn vành đóng với phép chặt cụt. Ta kết luận rằng nó làMR. Bây giờ ta chứng tỏ rằng 1Ω∈ MR. Đặt A∈ L1, theo định lý 3.11 thì có tập U ∈ L1 và g ∈ Eu thỏa mãn kUk < ε và 1A = g trên Uc. Nếu A0 = A\U thì kA\A0k < ε và g =1Ω trên A0. Từ đó E ⊂ MR và theo định lý Egorov, tính liên tục đóng ta kết luận rằng EP ⊂ MR
(ii) Theo định lý Stone Weierstrass có dãy {pn} các đa thức trong R thỏa mãnpn hội tụ theo từng điểm đến ϕ. Do đó, pn◦f ∈ MR và theo định lý Egorov ϕ◦f ∈ MR.
(iii) Từ 1Ω\A = 1−1A, ta kết luận rằng M là đóng với phép lấy phần bù. Từ
1S
n
An = lim
n max{1Ak : 1≤k≤n} ta kết luận từ phần (i) và định lý Egorov rằng
M là đóng với hợp dưới đếm được.
Kết quả tiếp theo phân loại đầy đủ khơng gian L1 theo tính đo được hữu hạn của trung bình.
Bổ đề 3.7. Một tập A∈M nếu và chỉ nếu A∩B ∈ L1 với mọi B ∈ L1.
Chứng minh. Nếu A∈ L1 thì với mọi B ∈ L1 và ε >0có các tập L1 3 Bk ⊂B và hàm gk ∈ Eu thỏa mãn kB\Bkk<2−k và 1A =gk trên Bk . Mỗi hàm fk =gk1Bk
TừkB\B0k ≤ k S
m≥k
B\Bmk ≤2−k+1 →0, ta kết luận rằng fk hội tụ hầu chắc chắn tới 1A∩B. Dãy fk bị trội bởi 1B thì 1A∩B ∈ L1 theo sự hội tụ bị làm trội.
Giả sử rằng A∩B ∈L1 với B ∈ L1 và cho ε > 0. Theo định lý 3.11, có tập U ∈ L1 và hàmφ ∈ Eu thỏa mãn kUck< ε và 1A∩B =φ trên U. Vậy, 1A =φ trên B0 =B ∩U và kB\B0k ≤ kUk< ε.
Định lý 3.15. Một hàm f ∈ RΩ là khả tích nếu và chỉ nếu có f0 ∈ F ∩ MR với kf −f0k = 0 và {f 6= 0} là σ - hữu hạn. Do đó, EΣ ∩ F ∈ L1. Ngồi ra, nếu (E, I) là một tích phân sơ cấp và k.k∗ là trung bình của Daniel thì ta có L1(k.k∗) = F ∩ MR.
Chứng minh. Nếu f ∈ L1 thì f ∈ F và k{|f|=∞}k= 0. Với mọi L1 3 A ⊂Ω ta có rằngf1A ∈ L1; Vậy f là đo được. Bổ đề 3.5 chứng tỏ rằng An ={|f|>1/n} ∈ L1; Vậy {f 6= 0} = S
n
An là σ - hữu hạn. Nếu f ∈ EΣ thì với mọi {φn} ⊂ E, {f 6= 0} ⊂S
n
{φn 6= 0}. Vậy, {f 6= 0} là σ - hữu hạn theo bổ đề 3.5.
Ngược lại, giả sử f ∈ E ∩ MR. Đầu tiên ta sẽ chứng tỏ rằng với mọi A∈ L1, hàmf1A ∈ L1. Có các tập khả tích Ak ⊂A hàmgk ∈ Eu thỏa mãn kA\Akk<2−k và f = gk trên Ak. Thì hàm fk := f1Ak là hàm khả tích. Chú ý rằng trên A0=S k T m≥k
Am dãy fn hội tụ theo từng điểm tới f. Từ
A\A0≤ X m≥k kA\Amk ≤ X m≥k 2−m = 2−k+1→0
ta kết luận rằng fn hội tụ tới f1A hầu chắc chắn. Từ {fk} bị trội bởi |f| ∈ F, hội tụ bị trội có nghĩa rằng f.1A∈ L1.
Tổng quát, giả sử rằng {An} là dãy tăng các tập khả tích thỏa mãn 1Ak% 1{f6=0} thì mỗi fn :=f1An là khả tích và bị trội bởi |f|. Từ đó fn →f - hầu chắc chắn, theo tính hội tụ bị trội ta kết luận f ∈ L1.
Trong trường hợp trung bình của Daniell trên tích phân sơ cấp (E, I), nếu f ∈ M thì An =|f|> n1 ∈M. Nếu kfk∗ <∞, bất đẳng thức Chebyshev chứng tỏ rằng kAnk∗ ≤ nkfk∗ < ∞. Định lý 3.7 có nghĩa rằng với mọi n, có L1 3
Bn ⊃ An thỏa mãn kAnk∗ = kBnk∗; Do đó, theo bổ đề 3.7, An = An ∩Bn ∈ L1. Vậy {f 6= 0}=S
n
An là σ - hữu hạn.
Bổ đề 3.8. Giả sử f ∈ L1 và |γ◦f| ≤ h với một hàm liên tục γ nào đó, với γ(0) = 0 và h∈ F thì γ◦h∈ L1.
Định lý 3.16. Giả sử rằng D⊂ R là trù mật. Khi đó, f ∈ MR nếu và chỉ nếu {f > d} ∈M với mọi d∈D.
Chứng minh. Nếu f ∈ MR thì fn = 1∧(n(f−f∧1) ∈ MR. Do đó, lim
n fn = 1{f >1} ∈ MR. Do đó, với d > 0, {f > d} = {f\d >1} ∈ M và {f >0} = S n {f >1/n} ∈ M. Cho 0 ≤ dn % d thì {f ≥d} = T n {f > dn} ∈ M. Sử dụng −f thay thế cho f cho {f <−d}, {f ≤ −d}, {f <0} ∈ M. Từ đó MR, ta có 1{f >−d} =1−1{−f≥d} ∈ MR. Tương tự 1{f≥−d} = 1−1{−f >d} ∈ MR. Giả sử rằng {f > d} ∈ M với mọi d∈ D, thì {f > r}, {f ≥r}, {f < r}, {f ≤r} ∈ M với mọi r∈R. Vì vậy fn = 2−n[2nf]1{|f|≤n} = n2n P k=−n2n k 2n1{k≤2nf <k+1}∈ MR và cho fn →f theo từng điểm, ta kết luận rằngf ∈ MR.
3.3.2 Tính đo được trên khơng gian mêtric
Định lý Stone Weierstrass tổng quát giúp chúng ta mở rộng khái niệm đo được cho hàm nhận giá trị trên không gian metric.
Định nghĩa 3.8. Cho (E, I) là tích phân sơ cấp và k.k là trung bình trội hơn I. Giả sử rằng E là một không gian metric. Một hàm f ∈EΩ là đo được nếu với mọi A∈ L1 và ε >0 có A0 ∈ L1 với kA\A0k< ε mà trên đóf là E - liên tục đều. Ta ký hiệu bởi ME là không gian các hàm đo được nhận giá trị trên E.
Định lý 3.17. Giả sử {fn} là một dãy các hàm đo được nhận giá trị trên E hội tụ hầu chắc chắn đến f. Thì f là hàm đo được. Ngoài ra, với mọi A ∈ L1 và ε >0 có L1 3 A0 ⊂A với kA\A0k< ε sao cho sự hội tụ là đều trên A0.
Chứng minh. Chứng minh của bổ đề 3.6 chứng tỏ rằng mở rộng củaL1 3A00 ⊂A với A\A 00< 2ε thỏa mãn rằng mỗifn là E - liên tục đều trên A’0.
Chú ý rằng nếu f, g là E - liên tục đều thì hàm φ : ω 7→ d(f(ω), g(ω)) cũng liên tục đều. Từ đó
|φ(x)−φ(y)| ≤d(f(x), f(y)) +d(g(x), g(y)) Do đó mỗi φm,n = d(fn, fm) là E - liên tục đều trên A0
0 và theo định lý Stone Weierstrass tổng quát, ta kết luận rằng 1A0
0φm,n ∈ L1. Lặp lại các bước chứng minh của định lý 3.12 và áp dụng định lý hội tụ đơn điệu ta có
L1 3 S(n, k) = A00∩ T
i,j≥n
φi,j < k1 %A00
với mọi k cố định. Cho S(nk, k) là một dãy với kA00\S(nk, k)k < ε2−k−1 và đặt A0 =TkS(nk, k), nó là khả tích theo định lý hội tụ đơn điệu. Rõ ràngkA\A0k< ε. Và fn hội tụ đều đến f trên A0. Vậy f là E - liên tục đều trên A0.
3.4 Sự tương đương giữa khả tích Daniell và khảtích Lebesgue-Caratheodory tích Lebesgue-Caratheodory
Trung bình của Daniell k.k∗ xác định hàm cộng tính đếm được I trên vành
R=R(E) tạo bởi hàm sơ cấp E. Phương pháp Lebesgue-Caratheodory mở rộng tích phân I thành độ đo đủ µ trên σ - đại số Mµ ⊃σ(E) thơng qua độ đo ngồi
µ∗(E) = inf{X
n
I(Rn) : E ⊂[
n
Rn , Rn ∈R} (3.12)
Trong phần tiếp theo, ta sẽ thấy rằng cả hai phương pháp đưa ra các hàm khả tích và hàm đo được là như nhau.
Định lý 3.18. Giả sử rằng (E,I) là một tích phân sơ cấp và k.k∗ là trung bình Daniell, A ∈M nếu và chỉ nếu
kEk∗=kE∩Ak∗+kE\Ak∗ (3.13) với mọi E ⊂Ω.
Chứng minh. Đặt M∗ là tập hợp tất cả các tập thỏa mãn (3.13), ta sẽ chứng tỏ rằng M∗ trùng với họ tất cả các tập đo được M.
Điều kiện cần: Giả sử A∈M và cho E ⊂Ω. NếukEk∗ =∞, (3.13) thỏa mãn theo tính cộng tính dưới. Nếu kEk∗<∞thì theo định lý 3.7 có L1 3B ⊂E thỏa mãn kEk∗ =kBk∗. Bổ đề 3.7 chứng tỏ rằng cả B∩A và B\A là khả tích. Theo tính cộng tính dưới của trung bình và định lý 3.9
k1Ek∗ =k1E∩Ak∗+1E\A ∗ ≤ k1B∩Ak∗+ =1B\A ∗ =I(1B∩A) +I 1B\A =I(1B) =k1Ek∗ Vì vậy A ∈M∗.
Điều kiện đủ: Thực hiện lại các bước chứng minh của định lý 1.7 ta sẽ chứng tỏ được rằng M∗ là σ - đại số. Theo định nghĩa , rõ ràng A ∈ M∗ nếu và chỉ nếu Ac ∈ M∗. Ta chứng tỏ rằng M∗ là hợp đếm được, nó đủ xét dãy các tập {An}n∈N⊂M∗ đôi một không giao nhau. Ta chứng tỏ bằng quy nạp rằng
kEk∗ = n X k=1 kE∩Akk∗+kE∩( n [ k=1 Ak)ck∗ (3.14) Với mọi E ⊂ Ω. Với n = 1, nó là đúng theo định nghĩa. Giả thiết mệnh đề thỏa mãn với n≥1. Từ An+1∈M∗ kE∩( n \ k=1 Ack)k=kE∩( n \ k=1 Ack)∩An+1k∗+kE∩( n \ k=1 Ack)∩Acn+1k∗ =kE∩An+1k∗+kE∩( n+1 \ k=1 Ack)k∗ Theo tính vững chắc kE∩( n S Ak)ck∗ ≥ kE∩( ∞ S Ack)ck∗. Do đó theo (3.14)
và tính cộng tính dưới đếm được của trung bình k.k∗, kEk∗= lim n→∞( n X k=1 kE∩Akk∗+kE∩( ∞ [ k=1 Ak)ck∗) ≥ ∞ X k=1 kE∩Akk∗+kE∩( ∞ [ k=1 Ak)ck∗ ≥ kE∩ ∞ [ k=1 Akk∗+kE∩( ∞ [ k=1 Ak)ck∗ ≥ kEk∗ Do đó ∞∪ k=1Ak ∈M∗, và ta kết luận rằng M∗ là σ - đại số.
Giả sử A∈M∗ và cho E ∈ L1. Chứng minh điều kiện cần chứng tỏ rằng M∗
là chứa tập khả tích. Do đóE∩A ∈M∗. Theo định lý 3.7 thì có L1 ⊃A∩E thỏa mãn kE∩Ak∗ =kBk∗. Từ
kBk∗ =kB∩(E∩A)k∗+kB\(E∩A)k∗ =kBk∗+kB\(E∩A)k∗
nó chứng tỏ rằng kB\(E∩A)k∗ = 0. Vì vậy, E ∩A ∈ L1. Bổ đề 3.7 suy ra là A∈M.
Bổ đề 3.9. Cho µ∗ như trong (3.12) và cho k.k∗ là trung bình Daniell. Thì k.k∗=µ∗.
Chứng minh. Theo định nghĩa, µ∗ =k.k∗ trên R. Giả sử µ∗(A) <∞ thì có dãy {An} ⊂ R thỏa mãn A⊂S
n
An và P
n
I(An)< µ(A) +ε. Nó chứng tỏ từ sự hội tụ bị trội của Daniell rằng B ⊂S
n
An ∈ R ∩ L1. Cùng với định lý 3.7 có nghĩa rằng µ∗(A) = inf{I(B):A⊂B ∈R}=kAk∗.
Định lý sau sẽ tóm lược kết quả của mục này.
Định lý 3.19. (Daniell Stone) Cho (E, I)là một tích phân sơ cấp vàk.k∗ là trung bình Daniell của nó và M là tập các hàm đo được đối với k.k∗. Thì σ(E) ⊂ M
µ(E) = I(E) =kEk∗,E ∈M và I(f) = R f dµ với f ∈ L1 ⊃ E
Ở đây I là mở rộng Daniell của (E, I). Ngồi ra, µ xác định duy nhất trên σ vành Rσ(E) vành tạo bởi f−1(B) :f ∈ E, B ∈B(R\ {0}) . Nếu có một hàm dương thực sự f ∈ L1(Ω, σ(E), µ) thì Rσ(E) =σ(E).
Giả sửX là một không gian Hausdorf compắc địa phương và I là một phiếm hàm tuyến tính dương trên C00(X). Kết quả được trình bày sau đây chứng tỏ rằng (E,I) là tích phân sơ cấp.
Bổ đề 3.10. Giả sử I là một phiếm hàm tuyến tính dương trên E = C00(X). Nếu dãy {fn} ⊂C00+ và fn&0 theo từng điểm thì Ifn&0.