3 Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm
3.2 Mở rộng tích phân
Giả sử rằng (E,I) là tích phân sơ cấp và đặt k.k là trung bình trội của tích phân sơ cấp tức là |I(φ)| ≤ kφk,∀φ∈ E.
Giả sử f ∈ L1 và cho {φn} ⊂ E thỏa mãn kf−φnk → 0 thì {φn} là một dãy Cauchy đối với trung bình và từ
|I(φn)−I(φm)|=|I(φn−φm)| ≤ kφn−φmk
ta kết luận rằng {I(φn)} là dãy số Cauchy. Vậy nó hội tụ. Giả sử rằng{ϕn} ⊂ E là một dãy khác hội tụ theo trung bình tới f thì
|I(φn)−I(ϕn)|=|I(φn−ϕn)| ≤ kφn−ϕnk ≤ kf −φnk+kf−ϕnk →0 Vì vậy, I nhận được một mở rộng tới (L1 ,k.k) bằng cách cho
I(f) = lim
n I(φn) (3.8)
Nhận xét 3.1. Chú ý rằng nếu I là một tích phân sơ cấp trên dàn véctơ E và k.k∗ là trung bình của Daniell thì k|φ|k∗ = I(|φ|) ≤ k|φ|k = kφk với mọi φ ∈ E. Vì vậy, nếu {φn} ⊂ E là dãy Cauchy theo trung bình Daniell thì nó cũng là dãy Cauchy đối với trung bình k.k. Do đó, (L1(k.k), I)⊂(L1(k.k∗), I).
Định lý 3.9. Giả sử k.k là trung bình trội trên tích phân cơ bản (E,I).
(i) Mở rộng của I lên (L1,k.k) là tuyến tính, dương và bị làm trội bởi trung bình tức là,
I(af +g) = aI(f) +I(g), a ∈R;f, g ∈ L1 (3.9) I(f)≥0 nếu f ∈ L+1 (3.10)
|I(f)| ≤I(|f|)≤ kfk (3.11)
(ii) Mở rộngI thỏa mãn định lý hội tụ đơn điệu: Nếu 0≤fn ∈ L1 vàsup
n I(fn)< ∞ thì lim n I(|fn−sup n f|) = 0.
(iii) Nếu E là dàn véctơ đóng với phép chặt cụt hoặc dàn vành, k.k∗ là trung bình Daniell thì I(f) =I∗(f) với mọi f ∈ L1+(k.k∗). Ngoài ra I(h) =I∗(h) với mọi h∈ E↑.
Chứng minh. Giả sử f, g∈ L1, a∈ R và cho{φn},{ψn} là các dãy cơ bản hội tụ tới f và g tương ứng. Từ
kaf +g−(aφn+ψn)k ≤ |a| kf −φnk+kg−ψnk tính tuyến tính của mở rộng được chứng tỏ.
Giả sử rằng f ∈ L1+. NếuE là dàn véctơ, từ |f − |φ|| ≤ |f−φn|. Nó chứng tỏ rằng kf − |φn|k →0; Tính dương được chứng tỏ từ I(|φn|)≥0.
Nếu E chỉ là vành thì trong chứng minh của định lý 3.4 (iii), định lý Stone Weierstrass cung cấp ψn ∈ E+ thỏa mãn |ψn− |φn||< 2−n. Do đó kf−ψnk →0 và tính dương được suy ra từ I(ψn)≥0.
Tính dương và tính tuyến tính chứng tỏ rằng|I(f)| ≤I(|f|)từ− |f| ≤f ≤ |f|. Cho ψn ∈ E+ thỏa mãn kψn− |f|k →0 thì
|I(f)| ≤I(|f|) = lim
n I(ψn)≤lim
n kψnk=k|f|k=kfk
Nếu thêm điều kiện E là dàn véctơ và f ∈ L1+(k.k) thì kf −ψnk∗ →0. Do đó |I(f)|=I(f) =I(|f|) = lim
n I(ψn) = lim
n kψnk∗ =kfk∗ =I∗(f) Mệnh đề trên được suy ra từ định lý 3.1 (ii) và định lý 3.5.
Hàm nhận giá trị trên đường thẳng thực đóng vai trị chính trong định nghĩa tích phân cơ bản và mở rộng của nó. Tuy nhiên, mở rộng tích phân bao gồm hàm giá trị phức.
Giả sử rằng (E,I) là một tích phân cơ bản và k.k∗ là một trung bình trên E trội hơn tích phân. Với mọi f ∈CΩ, ta định nghĩa khái niệm nửa chuẩn kfk∗ là
kfk∗
C=k|f|k∗.
Định nghĩa 3.6. Giả sử rằng k.k∗ xác định nửa chuẩn phức trên không gian F∗
C các hàm giá trị phức với chuẩn k.k∗
C hữu hạn. Đặt E ⊗ C =φ+iψ : φ,ψ ∈ E là không gian tuyến tính phức của E. Khi đó: Khơng gian các hàm phức khả tích được xác định là bao đóng của E ⊗ C trong (F∗
C,k.k∗).
Định lý 3.10. Cho CΩ3f =u+vi với u, v ∈ RC. Khi đó: (i) f ∈ L1(C) khi và chỉ khi u, v ∈ L1.
(ii) Nếu f ∈ L1(C) thì |f| ∈ L1.
(iii) Nếu k.k∗ là trung bình Daniell thì f ∈ L1(C) khi và chỉ khi f là đo được và |f| ∈ L1.
(iv) Sự hội tụ đơn điệu: Nếu{fn} ∈ L1(C),fn →f hầu chắc chắn vàsup{fn} ≤g khi g ∈ F thì f ∈ L1(C) và kfn−fk∗