3 Tích phân: Cách tiếp cận theo giải tích hàm
3.1.3 Các định lý hội tụ theo trung bình
Kết quả tiếp theo được trình bày tương tự hội tụ đơn điệu và hội tụ bị chặn trong L1(k.k).
Định lý 3.5. (Định lý hội tụ đơn điệu) Giả sử rằng {fn} ⊂ L1 là dãy tăng hoặc dãy giảm thỏa mãn sup
n
kfnk<∞. Nếu fn hội tụ theo từng điểm tới f thì f ∈ L1 và lim
n kf −fnk= 0.
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng tỏ rằng {fn} ⊂ L1+ và sup
n k n P k=1 fkk < ∞ thì lim
n kfnk= 0. Với mỗi n ta có thể chọn φn ∈ E+ thỏa mãn kφn−fnk<2−n thì sup n k n X k=1 φnk ≤sup n k n X k=1 fnk+ 1 Vậy kfnk ≤ kfn−φnk+kφnk →0.
Khơng mất tính tổng qt ta giả thiết rằng kfnk<∞ trên Ω với mọi n. Chú ý rằng fn % f khắp nơi. {fn} phải là dãy Cauchy trong L1. Nói cách khác, với mọi ε >0 có dãy con {fnk} thỏa mãn sup
n fnk−fnk−1> ε. Nhưng từ sup k k K X k=1 fnk −fnk−1k ≤sup n kfnk+kfn1k<∞ nó chứng tỏ rằng lim k
fnk−fnk−1 = 0, điều này mâu thuẫn với cách chọn của fnk. Vì vậy theo định lý 3.4 thì f ∈ L1 và kfn−fk →0.
Hệ quả 3.1. Nếu E là một dàn véctơ thì E↑⊂ F ⊂ L1.
Chứng minh. Đặt h∈ E↑∩ F và chọn một dãy không giảm{φn} ⊂ E hội tụ tới h thì ψn =φn−φ1∈ E+ và ψn %h−φ1. Do đó sup
n
kψnk ≤ khk+kφ1k và theo định lý hội tụ đơn điệu ta kết luận được rằng kφn −hk →0.
Bổ đề 3.3. (Bổ đề Fatou) Giả sử 0≤fn ∈ L1. Khi đó: klim inf
n fnk ≤lim inf
n kfnk
Định lý 3.6. (Hội tụ bị làm trội Daniell Lebesgue) Giả sử{fn} ⊂ L1 hội tụ hầu chắc chắn đến f. Giả sử có g ∈ F thỏa mãn |fn| ≤g hầu chắc chắn với mọi n. Thì f ∈ L1 và lim
n kfn−fk= 0.
Chứng minh. Khơng mất tính tổng qt ta có thể giả sử rằng các điều kiện xảy ra khắp nơi. Theo định lý 3.4 (iv) có một dãy hội tụ đơn điệu
gn = sup{|fk−fm|, k, m≥n} ∈ L1 với mọi n.
Từ đó, gn & 0 và 0≤gn ≤2g với mọi n. Sự hội tụ đơn điệu suy ra là kgnk → 0. Từ đó, kfk −fmk ≤ gn với mọi k, m ≥ n, nó chứng tỏ rằng {fn} là dãy Cauchy trong L1. Ta kết luận từ định lý 3.4 rằng {fn}hội tụ theo trung bình đến f.
Kết quả tiếp theo phát biểu rằng với mục đích của lý thuyết tích phân chỉ cần xét các hàm lấy tích phân sơ cấp E là vành - dàn là đủ.
Bổ đề 3.4. Giả sử rằng E là dàn véc tơ đóng với phép chặt cụt. Nếu f, g ∈ L1 và g bị chặn thì f.g∈ L1.
Chứng minh. Nếu φ∈ E thì theo định lý Stone - Weierstrass có dãy φn ∈ E+ với 0≤ φn ≤φ2 thỏa mãn φ2−φu
u →0. Từ đó φ2 ≤ kφku |φ| ∈ F, ta kết luận từ định lý hội tụ bị làm trội rằng φn hội tụ theo trung bình tới φ2. Vì vậy, φ.ψ ∈ L1 khi φ, ψ ∈ E. Nó chứng tỏ rằng φ.g ∈ L1 với mọi φ ∈ E và ta kết luận rằng f.g∈ L .
Bổ đề 3.5. Giả sử f ∈ L1 và a ∈ (0,∞) thì 1{f >a}, 1{f <−a}, 1{f≤−a}, 1{f≥a} là khả tích.
Chứng minh. Nếu hn = 1∧(n(f−f ∧1)) ∈ L1 thì 0 ≤ hn ≤ |f|. Chú ý hn → 1{f >1}. Theo định lý hội tụ bị làm trội ta kết luận rằng1{f >1} ∈ L1. Từ{f > a}= {f /a >1}nó chứng tỏ rằng1{f >a} ∈ L1. Sử dụng−f thay thếf cho ta1{f <−a} ∈ L1. Đặt {an} ⊂(0,∞) thỏa mãn an %a. Thì 1{f≥an} &1{f≥a}, lại theo tính hội tụ bị làm trội thì 1{f≥a} và 1{f≤−a} nằm trong L1.
Định lý 3.7. Cho (E, I)là một tích phân sơ cấp vàk.k∗ là trung bình của Daniell thì
kAk∗= infkBk∗:A⊂B ∈ E↑ = infkBk∗ :A⊂B ∈ L1}
với mọi A∈ F. Ngồi ra, nếu A∈ F thì có tập B ∈ E↑↓∩ L1 thỏa mãn A ⊂B và kAk∗ =kBk∗.
Chứng minh. NếukAk∗ <∞thì có dãyE↑ 3hn ≥1A thỏa mãnlim
n khnk∗=kAk∗. Từ E↑ là đóng dướiinf hữu hạn. Ta có thể giả sử rằng{hn} giảm. Đặt h= inf
n hn thì 1A ≤ h ∈ E↑↓∩ L1 mệnh đề này được chứng tỏ bởi định lý hội tụ đơn điệu. Rõ ràng 1A ≤ 1{h≥1} ≤ 1{hn+1>1−ε} ≤ 1{hn>1−ε} ≤ 1−εhn và theo bổ đề 3.5 {hn >1−ε} ∈ E↑∩ L1 thì, với N đủ lớn ta có
kAk∗ ≤ k{h≥1}k∗≤ k{hN >1−ε}k∗≤ 1 +ε
1−εkAk∗. Vậy
infkBk∗ :A⊂B ∈ E↑ ∨infkBk∗:A⊂B ∈ L1} ≤ 1+ε1−εkAk∗
Ta có được đẳng thức cần chứng minh bằng cách cho ε&0. Mệnh đề trên được chứng tỏ bằng cách chọn dãy giảm A⊂ Bn ∈ E↑ thỏa mãn kAk∗ = inf
n kBnk∗ thì tập B =T
n
Bn có các tính chất đã nêu.
Ví dụ 3.2. (Tính chính quy ngồi của trung bình Daniell trên khơng gian Haus- dorff compact địa phương) Giả sửXlà không gian Hausdorff compact địa phương,
E = C00(X), I là một phiếm hàm tuyến tính dương tạo ra (E, I) một tích phân cơ bản và đặt k.k∗ là trung bình Daniell. Kí hiệu G là tập hợp tất cả các tập mở của X. Thì {h > r} ∈G với mọi h∈ E↑ và r >0. Do đó:
kAk∗ = infkGk∗ :A ⊂G∈G (3.7)
Một hàm đơn giản khả tích là tổ hợp tuyến tính hữu hạn của hàm 1A ∈ L1. Kết quả tiếp theo sẽ chứng tỏ rằng hàm các đơn giản là trù mật trong L1.
Định lý 3.8. Với mọi f ∈ L1 có dãy sn các hàm đơn giản thỏa mãn |sn| ≤ |f| hầu chắc chắn và kf−snk →0.
Chứng minh. Biểu diễn f = f+ − f− và đặt s+n = 2−n[2nf+]1{f+≤2n}, s−n = 2−n[2nf−]1{f−≤2n} thì sn =s+n −s−n là dãy của các hàm đơn giản khả tích hội tụ đến f trên {|f 6=∞|} và thỏa mãn |sn| ≤ |f|. Theo định lý hội tụ bị làm trội ta kết luận rằng ksn−fk →0.