CHỦ ĐỀ 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT 1 Định nghĩa Cho hàm số xác định trên D Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số trên D nếu ta kí hiệu Chú ý Nếu thì ta chưa thể suy ra Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên D nếu ta kí hiệu Chú ý Nếu thì ta chưa thể suy ra 2 Các phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số Phương pháp chung Để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên D, ta tính y’, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên Từ bảng biến.
CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT Định nghĩa Cho hàm số xác định D Số M gọi giá trị lớn (GTLN) hàm số y = f ( x) D f ( x) ≤ M ; ∀x ∈ D f ( x) , ta kí hiệu M = max x∈D ∃xo ∈ D : f ( xo ) = M f ( x) Chú ý: Nếu f ( x) ≤ M ; ∀x ∈ D ta chưa thể suy M = max x∈D Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y = f (x) D f ( x) ≥ M ; ∀x ∈ D f ( x) , ta kí hiệu M = x∈D ∃xo ∈ D : f ( xo ) = M f ( x) Chú ý: Nếu f ( x) ≥ M ; ∀x ∈ D ta chưa thể suy M = x∈D Các phương pháp tìm GTLN, GTNN hàm số Phương pháp chung: Để tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x) D, ta tính y’, tìm điểm mà đạo hàm triệt tiêu khơng tồn lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta suy ta GTLN, GTNN hàm số Chú ý: Nếu hàm số y = f ( x) tăng giảm [a;b] f ( x ) = { f (a ); f (b)} f ( x) = { f (a ); f (b)} Thì ta có max [a ;b ] [a ;b ] Nếu hàm số y = f ( x) liên tục [a;b] ln có GTLN, GTNN đoạn để tìm GTLN, GTNN ta làm sau: - Tính y’ tìm điểm x1 , x2 , , xn mà y’ triệt tiêu khơng tồn - Tính giá trị f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ), , f ( xn ) Khi f ( x ) = { f ( x1 ); f ( x2 ); f ( xn ); f (a ); f (b)} +) max [a ;b ] f ( x) = { f ( x1 ); f ( x2 ); f ( xn ); f ( a); f (b)} +) [a ;b ] Nếu hàm số y = f ( x) tuần hồn chu kỳ T để tìm GTLN, GTNN D ta cần tìm GTLN, GTNN đoạn thuộc D có độ dài T Cho hàm số y = f ( x) xác định D Khi đặt ẩn phụ t = u ( x), ta tìm t ∈ E với ∀x ∈ D , ta có y = g (t ) Max, Min hàm f D Max, Min hàm g E Khi tốn u cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mà khơng nói tập ta hiểu tìm GTLN, GTNN tập xác định hàm số Ngồi phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta dùng phương pháp miền giá trị bất đẳng thức để tìm Max, Min Ta cần phân biệt hai khái niệm - Giá trị lớn hàm số y = f ( x) D với cực đại hàm số - Giá trị nhỏ hàm số y = f ( x) D với cực tiểu hàm số Tìm tập giá trị hàm số Phương pháp chung: Việc tìm tập giá trị hàm số việc tìm giá trị nhỏ nhất, kí hiệu m giá trị lớn nhất, kí hiệu M Khi đó, tập giá trị hàm số T = [m; M ] Phương pháp tìm GTLN, GTNN hàm số hai biến (bài toán cực trị) Các tốn hai biến (u cầu: tìm GTLN, GTNN tìm tập giá trị) Sử dụng phương pháp y = h( x ) từ giả thiết vào biểu thức P cần tìm cực trị, P = f ( x) với x ∈ [a; b] → đưa tìm GTLN, GTNN tốn biến Sử dụng bất đẳng thức (có thể dùng để giải tốn biến) Bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực không âm a + b ≥ ab ⇔ 4ab ≤ (a + b) ⇔ (a − b) ≥ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số thực a, b, c, d ( ax + by ) ≤ ( a + b ) ( x + y ) Dấu “=” xảy a b = x y Một số bổ đề dùng toán hai biến xy ≤ ( x2 + y ) x + y) ( x + xy + y ≥ ( x + y ) ≤ 4 x3 + y ≥ ( x + y ) ( x2 + y ) ≥ ( x + y )3 ≥ xy ( x + y ) Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân số 1 + ≥ x y x+ y DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ Ví dụ 1: Giá trị nhỏ hàm số A y = x − x + đoạn [0;2] B C Lời giải D Đáp án: Chọn B Xét hàm số f ( x) = x − x + [0;2], có f '( x ) = x − 0 ≤ x ≤ ⇔ x =1 Phương trình f '( x ) = ⇔ 3 x − = f ( x) = f (1) = Tính f (0) = 5; f (1) = 3; f (2) = Vậy [0;2] Ví dụ 2: Giá trị lớn hàm số f ( x ) = x − x + đoạn [0;2] A 64 B C Lời giải D Đáp án: Chọn D Xét hàm số f ( x) = x − x + [0;2], có f '( x ) = x − x 0 ≤ x ≤ x = ⇔ Phương trình f '( x ) = ⇔ x =1 4 x − x = f ( x ) = f (2) = Tính f (0) = 1; f (1) = 0; f (2) = Vậy max [0;2] Ví dụ 3: Giá trị nhỏ hàm số f ( x) = A B x2 + đoạn [2;4] x −1 C Lời giải Đáp án: Chọn B Cần nhớ công thức đạo hàm: 19 D 13 ' u u ' v − uv ' ÷= v2 v x2 − 2x − x2 + Cách 1: Xét hàm số f ( x ) = [2;4], có f '( x ) = ( x − 1) x −1 2 ≤ x ≤ ⇔ x=3 Phương trình f '( x ) = ⇔ x − 2x − = Tính f (2) = 7; f (3) = 6; f (4) = 19 f ( x) = f (3) = Vậy [2;4] Cách 2: Sử dụng công cụ TABLE (MODE 7) Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE Bước 2: Nhập f ( X ) = X2 +3 X −1 Star = Sau ấn phím = (nếu có g ( X ) ấn tiếp phím =) sau nhập End = Step = 0.2 (Chú ý: Thường ta chọn Step = End − Start ) 10 Bước 3: Tra bảng nhận tìm GTNN: f ( x) = f (3) = Dựa vào bảng giá trị trên, ta thấy [2;4] Ví dụ 4: Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f ( x) = 3x − đoạn [0;2] x−3 Giá trị 3M + m A B – C – Lời giải Đáp án: Chọn C Xét hàm số f ( x) = 3x − 0, ∀t 2 f (t ) = f (−1) = Suy f (t ) hàm số đồng biến (−1;1) ⇒ [ −1;1] Ví dụ 10: Giá trị lớn hàm số y = sin x + cos x + sin x + A B C D 112 27 Lời giải Đáp án: Chọn D Cần nhớ công thức lượng giác: cos x = − 2sin x Ta có y = sin x + − 2sin x + sin x + = sin x − 2sin x + sin x + Đặt t = sin x ∈ [ − 1;1], y = f (t ) = t − 2t + t + Xét hàm số f (t ) = t − 2t + t + [-1;1], có f '(t ) = 3t − 4t + 1; t = −1 ≤ t ≤ ⇔ Phương trình f '(t ) = ⇔ t = t − t + = 112 112 ; f (1) = Vậy ymax = Tính f (−1) = 0; f ÷ = 27 27 Ví dụ 11: Tìm giá trị lớn M hàm số f ( x) = − x − x + đoạn [-6;6] A 110 B C 55 Lời giải D Đáp án: Chọn C Xét hàm số g ( x) = − x − x + liên tục đoạn [-6;6] Đạo hàm g '( x) = −2 x − → g '( x) = ⇔ x = −2 ∈ [ − 6;6] x = ∈ [ − 6;6] Lại có g ( x) = ⇔ − x − x + = ⇔ x = −5 ∈ [ − 6;6] g (−6) = −7 g (−2) = → max f ( x) = max { g (−6) ; g (−2) ; g (6) ; g (1) ; g ( −5) } = 55 Tính [ − 6;6] [ − 6;6] g (6) = − 55 g (1) = g (−5) = Nhận xét: dễ sai lầm khơng để ý hàm trị tuyệt đối khơng âm Ví dụ 12: Tìm giá trị lớn M hàm số f ( x) = x − x + − x đoạn [-4;4] A B 17 C 34 Lời giải Đáp án: Chọn C Hàm số f ( x ) xác định liên tục đoạn [-4;4] Nếu x ∈ [1; 2] x − x + ≤ nên suy f ( x) = − x + x − f (1) = −1 Đạo hàm f '( x ) = −2 x + → f '( x) = ⇔ x = ∈ [1; 2] Ta có f (2) = −2 D 68 Nếu x ∈ [ − 4;1] ∪ [2; 4] x − x + ≥ nên suy f ( x) = x − x + f (−4) = 34 f (1) = −1 Đạo hàm f '( x ) = x − → f '( x ) = ⇔ x = ∈ [ − 4;1] ∪ [2; 4] Ta có f (2) = −2 f (4) = f ( x ) = f (−4) = 34 So sánh hai trường hợp, ta max [ − 4;4] Ví dụ 13: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị đoạn [-2;4] hình vẽ Tìm giá trị lớn M hàm số y = f ( x) đoạn [-2;4]? A B C Lời giải D f (0) Đáp án: Chọn B Từ đồ thị hàm số y = f ( x) đoạn [-2;4] Ta suy đồ thị hàm số f ( x) [-2;4] hình vẽ f ( x) = x = −1 Do max [ − 2;4] 1 Ví dụ 14: Cho ( P ) : y = x A −2; ÷ Gọi M điểm thuộc (P) Khoảng cách MA bé 2 A B C Lời giải Đáp án: Chọn D uuuu r 1 2 Vì M thuộc parabol (P) ⇒ M ( m; m ) ⇒ AM = m + 2; m − ÷ 2 1 17 Suy MA = AM = (m + 2) + m − ÷ = m + 4m + 2 2 D Xét hàm số f ( m) = m + 4m + 17 , có f '(m) = 4m3 + 4; f '(m) = ⇔ m = −1 Do f (m) = f (−1) = − + 17 5 = → MAmin = = 4 Ví dụ 15: Cho hai hàm số y = f ( x), y = g ( x ) liên tục có đạo hàm đoạn [-1;1] thỏa mãn f ( x) > 0, g ( x) > 0, ∀x ∈ [ − 1;1] f '( x ) ≥ g '( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ − 1;1] Gọi m giá trị nhỏ đoạn [-1;1] hàm số h( x) = f ( x).g ( x) − g ( x) Mệnh đề đúng? A m = h(−1) B m = h(0) C m = h( −1) + h(1) D m = h(1) Lời giải Đáp án: Chọn A Ta có h '( x) = 2.[ f '( x).g ( x) + f ( x ).g '( x) ] − g '( x).g ( x); ∀x ∈ [ − 1;1] Suy h( x) = 2.g ( x).[ f '( x) − g '( x) ] + f ( x).g '( x) ≥ f '( x ) − g '( x) ≥ h( x ) = h(−1) Do h( x) hàm số đồng biến [-1;1] ⇒ [ −1;1] DẠNG 2: BÀI TỐN CHỨA THAM SỐ Ví dụ 1: Tìm giá trị thực tham số m để hàm số f ( x) = − x + x − m có giá trị lớn đoạn [-1;3] 10 A m = B m = −6 C m = −7 Lời giải D m = −8 Đáp án: Chọn B Xét hàm số f ( x) = − x + x − m [-1;3], có f '( x ) = −2 x + −1 ≤ x ≤ ⇔ x=2 Phương trình f '( x ) = ⇔ −2 x + = Tính f (−1) = −5 − m; f (2) = − m; f (3) = − m f ( x) = f (2) = − m = 10 ⇒ m = −6 Suy max [ −1;3] Ví dụ 2: Tìm giá trị thực tham số a để hàm số f ( x ) = − x − 3x + a có giá trị nhỏ đoạn [-1;1] A a = B a = C a = Lời giải Đáp án: Chọn D Xét hàm số f ( x) = − x − x + a [-1;1], có f '( x ) = −3 x − x −1 ≤ x ≤ ⇒x=0 Phương trình f '( x ) = ⇔ −3 x − x = Tính f (−1) = −2 + a; f (0) = a; f (1) = −4 + a D a = f ( x) = f (1) = −4 + a = ⇒ a = Suy [ −1;1] Ví dụ 3: Cho hàm số y = − x + mx − (m + m + 1) x Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m cho giá trị nhỏ hàm số đoạn [-1;1] – Tính tổng phần tử S A B C – Lời giải D 2 Đáp án: Chọn A Ta có f '( x ) = −3 x + 2mx − m − m − 1; ∀x ∈ ¡ Mà ∆ ' = −2m − 3m − < 0; ∀m ∈ ¡ y = y (1) = −6 Suy y ' < 0; ∀x ∈ [ − 1;1] Do hàm số f ( x) nghịch biến (−1;1) ⇒ [ −1;1] m = 2 2 Vậy Lại có y (1) = −2 − m → −2 − m = −6 ⇔ m = ⇔ m = −2 ∑ m = Ví dụ 4: Biết hàm số y = ( x + m ) + ( x + n ) − x với m, n tham số đồng biến khoảng (−∞; +∞) Giá 3 trị nhỏ biểu thức P = 4(m + n2 ) − m − n A B D − C – 16 16 Lời giải Đáp án: Chọn D 2 2 2 Ta có y ' = 3( x + m) + 3( x + n) − 3x = x + 2(m + n) x + m + n Hàm số cho đồng biến ¡ ⇔ y ' ≥ 0; ∀ x ∈ ¡ ⇔ ∆ ' = (m + n) − m − n ≤ ⇔ mn ≤ ( ) Lại có P = m2 + n2 − ( m+ n) = 4( m+ n) − 8mn − ( m+ n) ≥ 4( m+ n) − ( m+ n) 2 1 1 1 = 4(m + n) − 2.2(m + n) + − = 2(m + n) − − ≥ − ⇒ Pmin = − 16 16 16 16 16 x − m2 Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x) = với m tham số thực Tìm giá trị lớn m để hàm số có giá trị x +8 nhỏ đoạn [0;3] – A m = −4 B m = C m = Lời giải D m = Đáp án: Chọn C Xét hàm số f ( x) = + m2 x − m2 > 0; ∀x ∈ [0;3] [0;3], có f '( x ) = ( x + 8) x +8 Suy f ( x ) hàm số đồng biến (0;3) → f ( x) = f (0) = − [0;3] Theo ta, ta có f ( x) = −2 ⇔ − [0;3] m2 m2 = −2 ⇔ m = 16 ⇒ mmax = y (−1) = 15 x ∈ (−1; 2) ⇔ x = → y (2) = Ta có y ' = x + x − 12 = y (1) = −5 Câu 20: Chọn D y (0) = x ∈ (0; 4) ⇔ x = → y (4) = 68 Ta có y ' = 3x + x − = y (1) = −4 Câu 21: Chọn D y (−4) = −70 y (4) = −14 x ∈ (−4; 4) x = ⇔ → Ta có x = −1 y ' = 3x − x − = y (3) = −21 y (−1) = 11 Câu 22: Chọn A y (−1) = −1 y (2) = −4 x = x ∈ (−1; 2) ⇔ → Ta có y ' = x − 12 x = x = y (0) = y ( 3) = −5 Câu 23: Chọn D y (−2) = −5 y (3) = −50 x = x ∈ (−2;3) ⇔ → Ta có f '( x) = −4 x + x = x = ± y (0) = −5 y (± 2) = −1 Câu 24: Chọn D y (−2) = −11 x ∈ (−2;1) ⇔ x = → y (1) = Ta có y ' = −8 x + x = y (0) = Câu 25: Chọn C y = − cos x − sin x + 11 = 12 − (sin x + cos x) ≤ 12 + 12 + 12 = 12 + Câu 26: Chọn A Hàm số phân thức bậc bậc khơng có giá trị nhỏ TXĐ Câu 27: Chọn D y'= > 0, ∀x ∈ (−1;1) ⇒ M = y (1) = ; m = y (−1) = ( x + 2) Câu 28: Chọn B f '( x ) = 2 > 0, ∀x ∈ (1; 4) ⇒ max f ( x) = y (4) = [1;4] ( x + 2) Câu 29: Chọn D 5 − x ≥ − = ⇒ ≤ y ≤ ⇒ M − m = −1 = Ta có 5 − x ≤ + = Câu 30: Chọn A y (−4) = −41 y (4) = 15 x ∈ (−4; 4) x = ⇔ → Ta có x = −1 y ' = 3x − x − = y (3) = y (−1) = 40 Câu 31: Chọn C y ' = 1+ > 0, ∀x ∈ (−1;1) ⇒ y = y (−1); max y = y (1) [ −1;2] [ −1;2] ( x + 2) Câu 32: Chọn B y = (sin x − 2) − ⇒ y ≥ − = −8 Ta có −3 ≤ sin x − ≤ −1 Câu 33: Chọn B y = + ( x − 1)(9 − x) ≥ ⇒2 2≤ y≤4 Ta có y ≤ 2( x − + − x) = Câu 34: Chọn A Tổng số tiền thu bán x tạp chí 2,5 x + 10000 (vạn đồng) Chi phí sản suất x tạp chí T ( x) = C ( x) + 0, x (vạn đồng) Lãi thu π = 2,5 x + 10000 − 0, 0001x − 0, x − 11000 = −0, 0001x + 2,1x − 1000 = f ( x) f '( x ) = −0, 0003x + 2,1 = ⇔ x = 10500 ⇒ Maxf ( x) = f (10500) = 10025 (vạn đồng) Câu 35: Chọn D Giả sử công ty tăng vé thêm x nghìn VNĐ số lượng khách giảm 50x người Khi doanh thu công ty là: T = (50 + x).(10000 − 50 x) = 50(50 + x)(200 − x) (với < x < 200) 2 a+b 50 + x + 200 − x Áp dụng bất đẳng thức: ab ≤ ÷ ⇒ (50 + x)(200 − x) ≤ ÷ = 15625 Do Tmax ⇔ 50 + x = 200 − x ⇔ x = 75 nghìn VNĐ Vậy cơng ty tăng giá vé thêm 75 nghìn VNĐ Câu 36: Chọn D Gọi chiều rộng, chiều dài, chiều cao bể cá x, 2x, y (x, y > 0) Diện tích phần lắp kính là: S = x + xy + 2.2 xy = x + xy = 6,5 ⇔ xy = ⇔x< 6,5 13 = 2 6,5 − x >0 Thể tích bể cá là: V = x = x Ta có: V '( x ) = 6,5 − x −4 x + 13 x 13 với < x < = 6 −12 x + 13 13 39 x >0 = → x= ⇒x= 12 13 39 13 39 = 0; V = ≈ 1,5 m3 Mặt khác V (0) = V ÷ ÷ ÷ ÷ Vậy Vmax ≈ 1,5m Câu 37: Chọn B Gọi chiều rộng, chiều dài, chiều cao bể cá x, 2x, y (x, y >0) Diện tích phần lắp kính là: S = x + xy + 2.2 xy = x + xy = ⇔ xy = Thể tích bể cá là: V = x = x Ta có: V '( x ) = − x2 >0⇒ x< − x −2 x + x với < x < = −6 x + 5 x >0 = → x= 5 30 = 0, V = ≈ 1, 01m3 Mặt khác V (0) = V ÷ ÷ ÷ ÷ 27 2 6 Vậy Vmax ≈ 1, 01m Câu 38: Chọn A Gọi chiều rộng, chiều dài, chiều cao bể cá x, 2x, y (x, y >0) 6, − x Diện tích phần lắp kính là: S = x + xy + 2.2 xy = x + xy = 6, ⇔ xy = >0 ⇒x< 6, 6, − x −2 x + 6, x 6, Thể tích bể cá là: V = x = x với < x < = Ta có: V '( x ) = −6 x + 6, 6, x >0 = → x= 6, 6, = 0, V Mặt khác V (0) = V ÷ ÷ ÷ ÷ ≈ 1,57 m Vậy Vmax ≈ 1,57 m Câu 39: Chọn C Xét hàm số S (t ) = Ta có: S '(t ) = 3 t − t + 36t − 270 với ≤ t ≤ 30 50 t = 30 3t − 3t + 36 = ⇔ 50 t = 20 Mặt khác S (1) = −5887 , S (20) = 10, S (30) = 25 Từ suy ngày thứ 20 có số lượng hồ sơ nhiều Câu 40: Chọn A Vụ cân nặng trung bình cá là: 1500 = 1,5kg 50.20 Giả sử vụ sau bác Tơm giảm 8x con/m2 tương ứng cá trung bình tăng thêm 0,5x kg (Quy ước x > giảm, x < tăng) Khi số kg cá bác Tơm thu là: 50.(20 − x).(1,5 + 0,5 x) = 25(20 − x)(3 + x) = 25(−8 x − x + 60) lớn ⇔ x = −b = =− 2a −16 Khi cần tăng = con/m2 Vậy vụ tới bác Tôm cần phải nuôi (20 + 2).50 = 1100 Câu 41: Chọn C Chi phí xây hồ 500.000 đồng/m2 = 0,5 triệu đồng/m2 Gọi chiều rộng hình chữ nhật đáy bể x (m) suy chiều dài hình chữ nhật 2x (m) 2 Gọi h chiều cao bể nên ta có V = S h = x h = 288 ⇒ x h = 144 ⇔ h = 2 Diện tích bể S = 2.h.x + 2.2h.x + x = x + 6.hx = x + Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có x + Dấu = xảy x = 144 x2 144 864 x = 2x2 + x x 500 432 432 432 432 = x2 + + ≥ 3 x2 = 216 x x x x x 432 ⇔ x = ⇒ chi phí thấp th nhân cơng 216.0,5 = 108 triệu đồng x Câu 42: Chọn A Chi phí xây hồ 100.000 đồng/m2 = 0,1 triệu đồng/m2 Gọi chiều rộng hình chữ nhật đáy bể x (m) suy chiều dài hình chữ nhật 2x (m) Gọi h chiều cao bể nên ta có V = S h = x h = 500 250 250 ⇒ x h = ⇔h= 3 3x 2 Diện tích bể S = 2.h.x + 2.2h.x + x = x + 6.hx = x + Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có x + Dấu = xảy x = 250 500 x = 2x2 + 3x x 500 250 250 250 250 = 2x2 + + ≥ 3 x2 = 150 x x x x x 250 ⇔ x = 125 ⇒ chi phí thấp th nhân cơng 150.0,1 = 15 triệu đồng x Câu 43: Chọn B Xét G ( x) đoạn [0;15] x = Ta có: G ( x) = 0, 035(15 x − x ) ⇒ G '( x) = 0, 035(30 x − x ) = ⇔ x = 10 G ( x) = 17,5 ⇔ x = 10 Mặt khác G (0) = G (15) = 0, G (10) = 17,5 ⇒ Max [0;15] Câu 44: Chọn B Chi phí xây hồ 300.000 đồng/m2 = 0,3 triệu đồng/m2 Gọi chiều rộng hình chữ nhật đáy bể x (m) suy chiều dài hình chữ nhật 2x (m) 2 Gọi h chiều cao bể nên ta có V = S h = x h = 200 ⇒ x h = 200 ⇔ h = 2 Diện tích bể S = 2.h.x + 2.2.h.x + x = x + 6h.x = x + 100 x2 100 600 x = 2x2 + x x Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: S = 2x2 + 600 300 300 300 300 = 2x2 + + ≥ 33 2x2 = 3 3002.2 = S x x x x x Dấu = xảy x = 300 ⇔ x = 150 ⇒ chi phí thấp th nhân cơng S 0,3 ≈ 50,8 triệu x đồng Câu 45: Chọn B Đoạn thứ có độ dài 4a đoạn thứ có độ dài 2π r Ta có 4a + 2π r = 60 ⇒ a = 30 − π r , tổng diện tích hình vng hình trịn 2 30 − π r S = a +πr = ÷ + π r = f (r ) 2 −30π + π r + 4π r 30 30 − π r −π + π r = =0⇔r = Ta có: f '(r ) = ÷ π +4 Khi S = f (r ) đạt giá trị nhỏ ⇔ r = 30 a 30 − π r 30 Suy = : =2 π +4 r π +4 Câu 46: Chọn C y= x − 4( x − 3) + 3 = = 4+ x−3 x−3 x−3 Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x = Gọi A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) điểm thuộc nhánh (C) ta có: x1 < < x2 y1 = − a ⇒ AB = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) Đặt x1 = − a, x2 = + b(a, b > 0) ⇒ y = 4+ b 1 1 = ( a + b) + + ÷ = ( a + b) + ÷ a b (ab) (a + b) ≥ 4ab Ta có: 9 ⇒ AB ≥ 4ab ab = 24 ⇒ AB ≥ 1 + 2 ≥ 2 = ab ab ab a = b ⇔a=b=3 Dấu xảy ⇔ = ab Câu 47: Chọn C Dựa vào BBT ta có: y ' = kx( x + 1)( x − 1) = kx( x − 1) = k ( x3 − x) x4 x2 Suy y = k − ÷+ y (0) = Mặt khác y (1) = ⇒ k −1 + = ⇒ k = ⇒ y = x4 − 2x2 + x + = −1 x = −4 Đặt g ( x) = f ( x + 3) ⇒ g '( x) = f '( x + 3) = ⇔ x + = ⇔ x = −3 x + = x = −2 Suy g '( x) vô nghiệm đoạn [0;2] f ( x + 3) = 66 Mặt khác g (0) = f (3) = 66, g(2) = f (5) = 578 ⇒ Min [0;2] Câu 48: Chọn B Đặt t = sin x ⇒ t ∈ [0;1] Xét hàm số f (t ) = t +1 t + t + − (2t + 1)(t + 1) −t − 2t ⇒ f '( t ) = = ≤ ( ∀t ∈ [0;1]) t2 + t +1 (t + t + 1) (t + t + 1) Mặt khác g (0) = 1; f (1) = 2 ⇒ M = 1, m = ⇒ M = m 3 Câu 49: Chọn A y= m sin x + ⇔ m sin x + = y cos x + y ⇔ m sin x − y cos x = y − 1(*) cos x + Phương trình (*) có nghiệm ⇔ m + y ≥ (2 y − 1)2 ⇔ y − y + − m2 ≤ (1) Ta có ∆ y = − 3(1 − m ) = 3m + ⇒ (1) ⇔ Khi giá trị lớn hàm số Yêu cầu toán ⇔ − 3m + + 3m + ≤ y≤ 3 + 3m + + 3m + < ⇔ 3m + < ⇔ m < ⇔ − < m < Kết hợp m ∈ ¢ ⇒ m = { −2; −1;0;1; 2} ⇒ có giá trị m Câu 50: Chọn D y= 2sin x + 3cos x ⇔ 2sin x + 3cos x = y cos x + y ⇔ 2sin x + (3 − y ) cos x = y (*) cos x + Phương trình (*) có nghiệm ⇔ 22 + (3 − y ) ≥ y ⇔ y + y − 13 ≤ −3 − 113 −3 + 113 −3 ≤ y≤ ⇒T = 8 Câu 51: Chọn A Xét hàm số y = sin 2018 x + cos 2018 x π π π 2018 2018 2018 x + cos 2018 x ⇒ Hàm số tuần hoàn với chu kỳ Do sin x + ÷+ cos x + ÷ = sin 2 2 π Ta xét hàm số y = sin 2018 x + cos 2018 x đoạn 0; 2 Ta có: y ' = 2018.sin 2017 x.cos x − 2018cos 2017 x.sin x = 2018sin x cos x(sin 2016 x − cos 2016 x ) sin x = π π ⇔ x = 0; ; Khi đó: y ' = ⇔ cos x = 2 sin x = cos x 1 π π Lại có: y (0) = y ÷ = 1, y ÷ = 1009 + 1009 = 1008 2 2 4 Do M = 2, m = 2018 Câu 52: Chọn D Ta có y ' = 2+m Hàm số đơn điệu (đồng biến nghịch biến đoạn [0;1]) ( x + 1) 2 + m > y (1) = − m = ⇔m=0 Yêu cầu toán thỏa mãn ⇔ 2+m < y (0) = − m = Câu 53: Chọn B Hàm số y = mx + đơn điệu (đồng biến nghịch biến đoạn [1;3] với m ≠ −2) 2x −1 m = m + 3m + 1 = ⇔ (m + 1)(3m + 1) = ⇔ 3m + 4m = ⇔ Do ab = y (1) y (3) = m = − 5 Câu 54: Chọn A x = 2 Xét hàm số y = x − 6mx + m ⇒ y ' = x − 12mx = ⇔ x = 3m Ta có: y (−2) = 16 − 24m + m ; y (1) = − 6m + m , y (0) = m m = TH1: Với m ≤ ⇒ max y = y (−2) = m + 16 − 24m = 16 ⇔ [ − 2;1] m = 24 Kết hợp m ≤ ⇒ m = TH2: Dựa vào dạng đồ thị hàm bậc trùng phương có hệ số a = > suy với 3m > Max y = y (0) [ − 2;1] Max y = y (−2) [ − 2;1] m>0 y = y (0) = 16 ⇔ m = ±4 → m = ⇒ y (−2) = −64 < 16 ⇒ m = giá trị cần tìm +) Với Max [ − 2;1] m = m >0 y = y (−2) = 16 ⇔ → m = 24 ⇒ y (0) = 576 > 16 ⇒ Loại m = 24 +) Với Max [ − 2;1] m = 24 Vậy m = 0, m = giá trị cần tìm Câu 55: Chọn A Xét hàm số g ( x) = Ta có: g ( x) = x + 3x + với x ∈ [0;1] x +1 x = x + 3x + + 1 = x+2+ ⇒ g '( x ) = − =0⇔ x +1 x +1 ( x + 1) x = −2(l ) Khi g (0) = 3, g(1) = 7 ⇒ Max g ( x) = , Min g ( x) = [0;1] 2 [0;1] x + 3x + Ta có: ≥ m ( ∀x ∈ [0;1]) ⇔ Min g ( x ) ≥ m ⇔ m ≤ [0;1] x +1 Câu 56: Chọn C + m2 y'= > với x ∈ [0;3] ⇒ Hàm số đồng biến đoạn [0;3] ( x + 8) Khi Min y = y (0) = [0;3] −m = −2 ⇔ m = 16 ⇔ m = Câu 57: Chọn D y (0) = Ta có y (3) = 33 − 27 m x = ⇒ y (2m) = −4m + Mặt khác y ' = 3x − 6mx = ⇔ x = m 2m ∈ [0;3] 31 ⇒ TH1: 33 − 27m = ⇔ m = (loại) 530 27 y (2m) = 729 < −4m + = ⇔ m = ⇒ y (3) = > (thỏa mãn) TH2: 2m ∈ [0;3] Vậy m = giá trị cần tìm Câu 58: Chọn B Ta có: y ' = 3x − = Do x ∈ [m + 1; m + 2] m > nên y ' = 3( x − 1) > 0∀x ∈ [ m + 1; m + 2] Do hàm số cho đồng biến đoạn [m + 1; m + 2] y < ⇔ y (m + 1) < ⇔ (m + 1)3 − 3(m + 1) + < ⇔ m3 + 3m − < Ta có: [mMin +1; m + 2] ⇔ (m − 1)(m + 2) < ⇔ m < Câu 59: Chọn C Ta có: y ' = x + > 0(∀x ∈ [0; 4]) hàm số cho đồng biến đoạn [0;1] y = y (1) = m + = ⇔ m = Do Max [0;1] Câu 60: Chọn C y'= m− 36 m( x + 1) − 36 = y (0) = 36 ≠ 20 ( x + 1) ( x + 1) TH1: Phương trình y’=0 khơng có nghiệm x ∈ [0;3] (khi hàm số đồng biến nghịch biến khoảng [0;3]) Do y (0) = 36 > 20 nên bắt buộc trường hợp hàm số phải nghịch biến khoảng [0;3] Nếu y ' < (∀x ∈ [0;3]) ⇒ Min y = y (3) = 3m + = 20 ⇔ m = [0;3] Thay m = 11 11 108 ⇒ y ' = ⇔ ( x + 1) = có nghiệm x ∈ [0;3] nên loại trường hợp 11 TH2: Phương trình y’=0 có nghiệm x ∈ [0;3] Khi m > ta có: mx + 36 36 = m( x + 1) + − m ≥ 12 m − m x +1 x +1 Dấu xảy ⇔ m( x + 1) = 36 36 ⇔ ( x + 1) = x +1 m Bài toán thỏa mãn 12 m − m = 20 phương trình ( x + 1) = 36 có nghiệm x ∈ [0;3] m m = 10 m = 100 ⇔ Giải 12 m − m = 20 ⇔ m − 12 m + 20 = ⇔ m = m = 2 Để phương trình ( x + 1) = 36 có nghiệm x ∈ [0;3] m = giá trị cần tìm m Câu 61: Chọn C Ta có y ' = 4+m Hàm số đơn điệu (đồng biến nghịch biến đoạn [0;3]) ( x + 4) 4 + m > y (0) = −m = −2 ⇔ m=8 Yêu cầu toán thỏa mãn ⇔ + m < 3− m = −2 y (3) = Câu 62: Chọn B y ' = 3x + m + > (∀x ∈ [0;1]) nên hàm số đồng biến đoạn [0;1] y = y (1) = + m + − m + = m − m + = ⇔ m − m − = ⇒ m1 + m2 = Khi Max [0;1] Câu 63: Chọn D y'= m3 − Hàm số đơn điệu (đồng biến nghịch biến đoạn [-2;3]) ( x + m2 )2 m3 − > m > m + y (3) = = 5m + 15 = 18m + 3+ m ⇔ m > ⇔m=3 Yêu cầu toán thỏa mãn ⇔ m − < m=± y (0) = = m Câu 64: Chọn C ) 2 2 Đặt t = x − x + = ( x − 1) + ⇒ t ∈ 2; +∞ , x − x = t − Khi xét hàm số f (t ) = 4t − t + với t ∈ 2; +∞ Ta có: f (t ) = −(t − 2) + ≤ với t ∈ 2; +∞ ) ) 2 Do f ( x) = M ⇔ f (t ) = ⇔ t = ⇔ x − x = ⇔ x − x − = ⇔ x1 x2 = −1 Câu 65: Chọn D Xét hàm số f ( x) = x − x + m [-1;2], f '( x ) = x − 2; f '( x) = ⇔ x = → max y = { m + ; m − } Tính f (−1) = m + 3; f (1) = m − 1; f (2) = m [ −1;2] m + = y = m + → ⇔m=2 TH1: Với max [ −1;2] m + ≥ m − m − = y = m − → ⇔ m = −4 TH2: Với max [ −1;2] m + ≤ m − Vậy m = 2; m = −4 hai giá trị cần tìm Câu 66: Chọn B Xét hàm số f ( x) = x + x + m − [-2;1], f '( x ) = x + 2; f '( x) = ⇔ x = −1 → max y = { m − ; m − } Tính f (−2) = m − 4; f (−1) = m − 5; f (1) = m − [ −1;2] m − = y = m − → ⇔ m =1 TH1: Với max [ − 2;1] m − ≥ m − m − = y = m − → ⇔m=5 TH2: Với max [ − 2;1] m − ≤ m − Vậy m = 1; m = hai giá trị cần tìm Câu 67: Chọn A Xét hàm số f ( x) = x − x + m [0;3], có f '( x ) = x − 16 x; f '( x) = ⇔ x = → max y = { m = 16 ; m } Tính f (0) = −m; f (2) = −16 − m; f (2) = −9 − m [0;3] m + 16 = 14 y = m + 16 → ⇔ m = −2 TH1: Với max [0;3] m + 16 ≥ m m = 14 y = m → ⇔ m = −14 TH2: Với max [0;3] m + 16 ≤ m Vậy m = −2; m = −14 hai giá trị cần tìm Câu 68: Chọn B Xét hàm số f ( x) = x − x − x + m [ − 2; 4] , có f '( x ) = x − x − 9; f '( x ) = ⇔ x = → max y = { m − 27 ; m − } Tính f (−2) = m − 2; f (2) = m − 27; f (2) = m − 20 [0;3] m − 27 = 16 y = m − 27 → ⇔ m = 11 TH1: Với max [-2;4] m − 27 ≥ m − m − = 16 y = m − → ⇔ m = 18 TH2: Với max [-2;4] m − 27 ≤ m − Vậy m = 11, m = 18 hai giá trị cần tìm Câu 69: Chọn C Xét hàm số f ( x) = Tính f (1) = x2 + 2x x + mx + m > 0; ∀x ≠ −1 [1;2], có f '( x ) = ( x + 1) x +1 2m + 3m + 2m + 3m + ; f (2) = → max y ; [1;2] 3 2m + =2 2m + y= → ⇔m=− TH1: Với max [1;2] 2 2m + ≥ 3m + 3m + =2 3m + y= → ⇔m= TH2: Với max [1;2] 3 2m + ≤ 3m + Vậy m = − ; m = giá trị cần tìm Câu 70: Chọn A Xét hàm số f ( x) = f '( x) = x − 19 x + 30 19 x − x + 30 x + m [0;2], có f '( x) = ⇔ x = y = max { m ; m + 26 } Tính f (0) = m; f (2) = m + 26 ⇒ max [0;2] [0;2] m ≤ 20 → m = { −20; −19; −18; ; −13} • Với max y = m ⇒ [0;2] m ≥ m + 26 m + 26 ≤ 20 → m = { −13; −12; −11; ; −6} • Với max y = m + 26 ⇒ [0;2] m ≤ m + 26 Vậy tổng tất giá trị nguyên m – 210 Câu 71: Chọn D Xét hàm số u ( x) = x − x + x [0;2], có u '( x) = x − 12 x + x Phương trình u '( x) = ⇔ x = { 0;1; 2} Khi u (0) = u (2) = a; u (1) = a + f ( x ) = { a ; a + } f ( x) = { a ; a + } Suy max [0;2] [0;2] f ( x) = M = [0;2] a = 0, ⇒ TH1:Với ta thấy (không TMĐK) f ( x) = m = max [0;2] f ( x) = a [0;2] a > 0, TH2: Với ta thấy mà M ≤ 2m ⇒ a + ≤ a ⇔ a ≥ max f ( x ) = a + [0;2] → a = { 1; 2;3} Kết hợp điều kiện a ∈ [−3;3] a ∈ ¢ f ( x) = a + [0;2] TH3: Với a < , ta có mà M ≤ 2m ⇒ a ≤ a + ⇔ a ≤ −2 max f ( x ) = a [0;2] → a = { −3; −2} Kết hợp điều kiện a ∈ [−3;3] a ∈ ¢ Vậy có giá trị nguyên a Câu 72: Chọn D Ta có tan x + cot x = + sin x + cos x nên y = sin x + cos x + sin x.cos x sin x cos x π t −1 Đặt t = sin x + cos x = sin x + ÷∈ − 2; nên sin x.cos x = 4 Do y = t + 2(1 + t ) = t+ → y = 2 − [− ; ] t −1 t −1 Câu 73: Chọn C g ( x ) = x + ax + b ⇒ k ( x ) = g ( x) − h( x) = (a + 8) x + b − Xét h( x) = x − x + g ( x ) = ⇒ g ( x ) ≤ 1, ∀x ∈ [−1;1] ⇒ g ( x) ∈ [−1;1] Theo giả thiết, ta có max [ −1;1] Khi k (−1) ≤ 0, k − ÷ ≥ 0, k (0) ≤ 0, k ÷ ≥ k (1) ≤ 2 2 Suy k ( x) = có nghiệm đoạn [-1;1] mà k(x) đa thức bậc ⇒ k ( x) ≡ Vậy a = −8, b = Câu 74: Chọn B Ta có ( x −1 + − x ) = + ( x − 1)(3 − x) ≥ ⇒ x − + − x ≥ x − + − x ≤ 2( x − + − x) = → t = x − + − x ∈ 2; → g (t ) = t − − 2t = (t − 1) − ≥ −3 ⇒ m = −3 g (t ) = t (t − 2) − ≤ −2 ⇒ M = −2 ⇒ S = −5 Câu 75: Chọn A Ta có S = x (2 − x) − x(2 − x) = ( x − x) + 4( x − x) = f ( x), x ∈ [0; 2] f '( x ) = 2( x − x)(2 x − 2) + 4(2 x − 2) = ⇒ x = → f (0) = 0; f (2) = 0; f (1) = −3 ⇒ S = −3 Câu 76: Chọn D 17 x y 17 25 P = (2 x + y ) + + ≥ +2= ⇒P≥5 ÷= + 4 x 4y 2y x Câu 77: Chọn A A= − x2 −2 x( x + 2) − (1 − x ) = f ( x), x ∈ [ −1;1] ⇒ f '( x) = =0 x+2 ( x + 2) ⇒ − x − x − = ⇒ x = − → f (−1) = f (1) = 0; f ( − 2) = − Câu 78: Chọn A f ( x) ≤ x + (1 − x ) = →m ≥ Câu 79: Chọn C Ta có x + y > ( x + y ) = 4( x + y ) + ( x − 3)(y + 3) ≥ 4( x + y ) ⇒ x + y ≥ x + y ≤ 2( x − + y + 3) = 2( x + y ) ⇒ x + y ≤ ( x + 3)(y + 3) ≥ ⇔ xy ≥ −3( x + y ) − ⇒ P = 4( x + y ) + xy ≥ 4t − 21t − 63 = f (t ); t = x + y ∈ [4;8] ⇒ Pmin = f (7) = −83 Câu 80: Chọn D Đặt t = x + − x ≤ 2( x + − x ) = t = + x (1 − x ) ≥ ⇒ t ≥ ⇒ m ≤ ⇒ f '(t ) = − t −1 + t + =t+ = f (t ); t ∈ 1; t +1 t +1 > 0, ∀x ∈ (1; 2) ⇒ f (t ) ≤ f ( 2) = −1 + 2 ⇒ a = 2, b = −1 (t + 1) Câu 81: Chọn A → t = x + y ⇒ 102 t −1 + t = 11 Ta có 11 − x − y = 102(2 x + y ) −1 Hàm đồng biến ⇒ t = ⇒ y = − x ⇒ P = 16 x (1 − x) − x(3 − x + 2) + x − + 1 1 ⇒ P = −32 x + 28 x − x + = f ( x); x ∈ 0; ⇒ f '( x) = −96 x + 56 x − ⇒ x = ; x = 2 1 → f (0) = 4; f ÷ = 3; 2 88 f ÷= ; f 27 13 ÷ = ⇒ M = 4; m = 4 Câu 82: Chọn C P ( x − y)2 (t − 1) = = f (t ) Ta có = x + xy + y t + 2t + ⇒ f '(t ) = 2(t − 1)(t + 2t + 3) − (t − 1) (2t + 2) =0 (t + 2t + 3) → t + 2t + = (t − 1)(t + 1) = t − ⇒ t = −2 ⇒ Pmax = f (−2) = 12 Câu 83: Chọn B Ta có x + y = xy ≥ 2 xy ⇒ xy ≥ ⇒ x + y ≥ →P ≥ ( x + y )2 ( x + y)2 82 32 = ≥ = (1 + y ) + (1 + x ) x + y + + Câu 84: Chọn C 2 a b a b 1 1 + ÷+ = (a + b) + ÷ = a + b + + ≥ 2(a + b) + ÷ = 2 + + ÷ a b b a b a ab a b Đặt t = a b + ⇒ t ≥ → P = 4(t − 3t ) − 9(t − 2) = 4t − 9t − 12t + 18 = f (t ) b a f '(t ) = 12t − 18t − 12 = > 0, ∀ t > 23 5 ⇒ f (t ) ≥ f ÷ = − 2 ... Hàm số khơng có giá trị lớn có giá trị nhỏ – B Hàm số có hai điểm cực trị C Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang D Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ – Câu 3: Hàm số y = (4 − x ) + có giá trị lớn. .. giá trị nguyên tham số m để giá trị lớn hàm số y = m sin x + nhỏ cos x + 2 A B C Câu 50: Gọi T tổng giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y = D 2sin x + 3cos x Giá trị T cos x + bao nhiêu? A T = 13. .. trị hàm số Phương pháp chung: Việc tìm tập giá trị hàm số việc tìm giá trị nhỏ nhất, kí hiệu m giá trị lớn nhất, kí hiệu M Khi đó, tập giá trị hàm số T = [m; M ] Phương pháp tìm GTLN, GTNN hàm số