Báo cáo cuối kỳ môn phân tích dữ liệu

BÁO CÁO CUỐI KỲ MƠN HỌC PHÂN TÍCH DỮ LIỆU (800702(VP_HK211) HỌ VÀ TÊN: NGUYÊN THANH PHÚ MÃ SỐ SV: 1810437 GMAIL: phu.nguyenwill_2000@hcmut.edu.vn SĐT:0949901937 Tôi không thảo luận với nội dung báo cáo Phụ lục CHƯƠNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1 Lịch sử xác suất thông kê 1.1.1 Trong thực tế 1.1.2 Trong xây dựng 1.2 Định nghĩa 1.2.1 Uncertainty ( ộ không chắc) 1.2.2 Phép thử ( Random experiment) 1.2.3 Không gian mẫu ( Outcome spaces Sample spaces) 1.2.4 Biến cố ( Events) 10 A Biến cố chắn 10 B Biến cố trống 11 C Biến cố ngẫu nhiên 11 D Biến cố 11 E Quan hệ biến cố .12 F Các phép toán tập hợp 13 1.3 Xác suất .15 A Định nghĩa theo suy luận Frequentist: .15 B Định nghĩa cổ iển 16 C Định nghĩa theo suy luận Bayesian 16 D Định nghĩa xác suất theo tiên ề 17 1.4 Các phép tính xác suất 19 1.4.1 Xác suất biến cố ối lập 19 1.4.2 Định lý cộng xác suất 19 1.4.3 Định lý nhân xác suất 20 A Xác suất có iều kiện .20 B Biến cố ộc lập 21 C Định lý nhân xác suất .21 CHƯƠNG BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC 24 2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc .24 2.1.1 Định nghĩa 24 A Biến ngẫu nhiên .24 B Biến ngẫu nhiên rời rạc (Discrete random variables) 24 2.1.2 Các ặc trưng biến ngẫu nhiên rời rạc 25 A Kỳ vọng (Expectation) 25 B Phương sai ( Variance) 26 C Độ lệch chuẩn (Standard deviation) .28 D Trung 28 vị E Moment trung tâm (mô-men) 28 F Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa (Standardized random variables) 29 2.1.3 Hàm phân phối biến ngẫu nhiên rời rạc 30 A Hàm khối xác suất ( Probrability mass function) 30 B Hàm phân phối xác suất .31 C Phân phối Bernoulli 33 D Phân phối nhị thức (Binomial distribution) 34 E Phân phối hình học 35 F Phân phối Poisson 36 CHƯƠNG BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC 39 3.1 Biến ngẫu nhiên liên tục 39 3.1.1 Định nghĩa 39 A Biến ngẫu nhiên liên tục 39 B Hàm mật ộ xác suất (Probability density function) .39 3.1.2 Các ặc trưng biến ngẫu nhiên liên tục .41 A Kỳ 41 vọng B Phương 41 sai 3.2 Các phân phối liên tục 41 3.2.1 Phân phối ều .41 3.2.2 Phân phối mũ (Exponential Distribution) 43 3.2.3 Phân phối chuẩn (Normal Distribution) 44 A Phân phối chuẩn 44 B Phân phối chuẩn chuẩn tắc .46 C Tích phân Laplace 47 D Cơng thức tính xác suất 47 3.2.4 Phân phối Chi-Bình phương( Chi-Squared) 49 3.2.5 Phân phối Student 51 3.3 Hệ số Z Altman .52 3.3.1 Giới thiệu 52 3.3.2 Công thức 53 CHƯƠNG KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT 54 4.1 Khái niệm 54 4.1.1 Giả thiết không (Null Hypothesis) .54 4.1.2 Giả thiết nghịch (Alternative hypothesis) 54 4.1.3 Mức ý nghĩa .55 4.1.4 Miền bác bỏ .55 4.1.5 Kiểm ịnh giả thiêt thông kê 55 4.2 Kiểm ịnh giả thiết tham số 57 4.2.1 Kiểm ịnh giá trị kì vọng phân phối chuẩn 57 4.2.2 Kiểm ịnh so sánh hai trung bình 62 4.2.3 Kiểm ịnh phương sai 64 A Kiểm ịnh phương sai (A chi-square test) .64 B So sánh phương sai ( F-test) 66 4.2.4 Kiểm ịnh tỷ lệ 68 A Kiểm ịnh giải thiết tỷ lệ tổng thể 68 B Kiểm ịnh so sánh hai tỷ lệ 69 4.3 Kiểm ịnh giả thiết phi tham số 70 4.3.1 Kiểm ịnh quy luật phân phối (Chi-Square Goodness-of-Fit Test) 70 A Trường hợp khơng có tham số chưa biết 70 B Trường hợp có tham số chưa biết .72 4.4 Kiểm ịnh tính ộc lập (Contingency table) .73 4.4.1 Bảng tương quan .73 4.4.2 Kiểm ịnh Chi-Squared tính ộc lập (Chi-square test of independence) 74 CHƯƠNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH .77 5.1 Định nghĩa quy hoạch tuyến tính .77 5.2 Sự tồn nghiệm và tính chất tập nghiệm quy hoạch tuyến tính 78 5.2.1 Sự tồn nghiệm .78 5.2.2 Tính chất tập nghiệm 82 5.3 Giải tốn quy hoạch tuyến tính hai biến phương pháp hình học 83 5.4 Phương pháp ơn hình 88 5.4.1 Thuật tốn ơn hình dạng bảng(Kim, 2008) .89 Tài liệu tham khảo 97 CHƯƠNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1 Lịch sử xác suất thông kê 1.1.1 Trong thực tế Sau thiên tài nhà tốn học người Nga Xơ Viết Andrei Kolmogorov(Mai, 2016), lý thuyết xác suất ã trở thành nhánh toán học chặt chẽ cung cấp sở cho việc nghiên cứu q trình ngẫu nhiên, phép tính ngẫu nhiên nhiều lý thuyết toán học ược sử dụng ể hiểu ngẫu nhiên hệ thống cung cấp ý tưởng cơng cụ ể chứng minh tốn học ịnh lý lĩnh vực lý thuyết số, tổ hợp, phương trình vi phân và vi phân hình học 1.1.2 Trong xây dựng Lý thuyết xác suất tảng thống kê Có nhiều ứng dụng xác suất xã hội Ví dụ, cần sử dụng lý thuyết xác suất lĩnh vực khác kế tốn, tài chính, thiết kế tổ chức quản lý nguồn nhân lực ặc biệt ngành xây dựng ưa ịnh iều kiện không chắn Điều quan trọng phải nhận thứ khác xảy sai sót q trình khác bao gồm kiện sai sót và lỗi trình thiết kế, hư hỏng tai nạn trình xây dựng, vận hành Các nguyên nhân tiềm ẩn , sai lầm, hỏng hóc tai nạn nhiều, bao gồm lỗi người, hư hỏng phận kết cấu, tình tải trọng khắc nghiệt khơng phần mối nguy hiểm môi trường tự nhiên Lập kế hoạch cẩn thận giai oạn ầu dự án cách ể kiểm soát rủi ro liên quan ến kiện ó Tóm lại, phần quan trọng lý thuyết xác suất nghiên cứu ộ không chắn 1.2 Định nghĩa 1.2.1 Uncertainty ( ộ không chắc) “Uncertainty is that which disappears when we become certain”.(Bedford and Cooke, 2001) Sự không chắn ề cập ến tình khơng hồn hảo khơng xác ịnh Điều áp dụng cho dự oán kiện tương lai, cho phép o vật lý ã ược thực chưa biết Sự không chắn phát sinh lĩnh vực nào, Trong khoa học kỹ thuật, chắn ạt ược thông qua quan sát, không chắn là ược loại bỏ cách quan sát Do ó, bối cảnh này, khơng chắn có liên quan ến kết quan sát có 1.2.2 Phép thử ( Random experiment) Là q trình dẫn ến số (có thể vơ hạn) kết xảy kết thực tế xảy phụ thuộc vào ảnh hưởng khơng thể dự ốn trước Một phép thử thường ược lặp lại nhiều lần Ví dụ: o chiều cao, làm xét nghiệm, chẩn oán bệnh hay iều trị bệnh,…là phép thử 1.2.3 Không gian mẫu ( Outcome spaces Sample spaces) Không gian mẫu Ω là tập hợp tất kết có phép thử ngẫu nhiên Không gian mẫu hay không gian mẫu toàn thể, thường ược ký hiệu S, Ω hay U (tức "universal set") Ví dụ: +Để nghiên cứu tượng ngẫu nhiên xuất sấp hay ngửa tung ồng tiền, không gian mẫu thí nghiệm ó là tập hợp Ω ={ngửa, sấp} Đối với số thí nghiệm, có hai nhiều khơng gian mẫu Ví dụ: +Trong ua ngựa, quan sát người chiến thắng, lấy Ω = { tất số ngựa ua} , coi người chiến thắng ngựa có mặt ngày hơm ó + Ngồi quan sát toàn ua, lấy Ω = {thứ tự xếp hạng xảy ra} 1.2.4 Biến cố ( Events) Các tập không gian mẫu ược gọi biến cố Hình Minh họa tập hợp Dựa vào khả xuất hiện tượng chia tượng thành loại A Biến cố chắn Biến cố ịnh xảy sau phép thử gọi biến cố chắn, ký hiệu Ω + Ví dụ: Tung xúc sắc, gọi A biến cố có số chấm nhỏ 6, ó A là biến cố chắn B Biến cố trống Biến cố ịnh không xảy sau phép thử gọi biến cố khơng thể có ( biến cố trống) , ký hiệu Φ C Biến cố ngẫu nhiên Biến cố xảy ra, xảy sau phép thử Biến cố ngẫu nhiên thường ược ký hiệu chữ A, B, C,… chữ số kèm theo số A1, A2, B1, B2, C1, C2, C3,… + Ví dụ: Nếu gọi Ai biến cố xúc sắc xuất mặt có i chấm (i= 1,6 ) A1, A2, A3, A4, A5,A6 biến cố ngẫu nhiên D Biến cố Biến cố A gọi kéo theo biến cố B A xảy B xảy , ký hiệu A B Nếu ồng thời có A B B A biến cố A B gọi nhau.(Huy, 2019) Ví dụ: Tung xúc xắc gọi Ai biến cố xúc sắc xuất mặt có i chấm (i= 1,6 ), B biến cố ược số nút chia hết cho 3, C biến cố ược số nút chẵn P2 biến cố ược số nút nguyên tố chẵn Khi ó ta có A2 C, A3 B A2 P2, P2 A2, A2=P2 Từ ịnh nghĩa, với biến cố A ta có : A Ω, Ω A Do quan hệ nên ta có: Các biến cố trống ều biến cố chắn ều E Quan hệ biến cố Cho hai biến cố A B Khi ó ta gọi: i Tổng A B, hay A cộng B Là biến cố xảy A xảy B xảy ra, ký hiệu A+B ii Tích A B, hay A nhân B, Là biến cố xảy A và B ồng thời xảy ra, ký hiệu A.B AB iii Hiệu A B, hay A trừ B Là biến cố xảy A xảy B không xảy ra, ký hiệu A-B iv Biến cố xung khắc Hai biến cố A B gọi xung khắc chúng ồng thời xảy sau phép thử Nói cách khác biến cố A ã xảy biến cố B khơng xảy ngược lại, hai biến cố A B ều không xảy sau phép thử Như vậy, A B hai biến cố xung khắc A.B = Φ +Ví dụ Tung xúc xắc, gọi A biến cố: “Xuất mặt có chấm số chấm lớn 4”, B là biến cố: “Xuất mặt có chấm số chấm nhỏ 2” Ta thấy hai biến cố khơng xảy ra, ó A và B là hai biến cố xung khắc v Đôi xung khắc Các biến cố A1,A2,…An gọi là ôi xung khắc hai biến cố khác ó dều xung khắc, tức là: Ai.Aj=Φ với i≠j +Ví dụ: Tung xúc sắc ó 𝑣1, … , 𝑣𝑁 là ỉnh 𝑑1,… , 𝑑𝑀 là phương cực biên D Do hàm mục tiêu 𝑓(𝑥) = 〈𝑐, 𝑥〉 bị chặn D nên 〈𝑐, 𝑑𝑗〉 ≥ ∀𝑑𝑗,𝑗 = 1, … , 𝑀 (2) Thật vậy, giả sử tồn 𝑗0 ∈ {1, … , 𝑀} cho 〈𝑐, 𝑑𝑗0〉 < Vì d j0 phương cực biên nên 𝑥 + 𝑡𝑑𝑗0 ∈ 𝐷 ∀𝑥 ∈ 𝐷, ∀𝑡 ≥ 〈𝑐, 𝑥 + 𝑡𝑑𝑗0〉 = 〈𝑐, 𝑥〉 + 𝑡〈𝑐, 𝑑𝑗0〉 → −∞ 𝑘ℎ𝑖 𝑡 → +∞ Điều mâu thuẫn với tính bị chặn hàm 𝑓(𝑥) = 〈𝑐, 𝑥〉 chứng tỏ khẳng ịnh (2) là úng Chọn ỉnh 𝑣𝑖0 D cho 〈𝑐, 𝑣𝑖0〉 = {〈𝑐, 𝑣𝑖0〉|𝑖 = 1, … , 𝑁} Theo (1) (2), với 𝑥 ∈ 𝐷, ta có 𝑁 〈𝑐, 𝑥〉 𝑀 𝜆𝑖〈𝑐, 𝑣𝑖〉 𝑁 𝜇𝑗〈𝑐, 𝑑𝑗〉 𝑁 𝜆𝑖〈𝑐, 𝑣𝑖〉 𝜆𝑖〈𝑐, 𝑣𝑖0〉 = 〈𝑐, 𝑣𝑖0〉 Điều ó chứng tỏ 𝑣𝑖0 nghiệm tối ưu toán (LP) Chú ý 5.2 Kết luận Định lý 5.2 nói chung khơng cịn úng ối với tốn phi tuyến Ví dụ: i) Bài tốn inf {𝑓(𝑥) = 𝑥2|𝑥 ∈ 𝐷}, ó 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ2|𝑥1𝑥2 ≥ 1, 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0}, có hàm mục tiêu tuyến tính bị chặn Tập nghiệm chấp nhận ược D tập lồi khác rỗng tập lồi a diện Đây tốn quy hoạch tuyến tính dễ thấy, 𝑥 = (𝑥1, 0)𝑇 ∉ 𝐷 với 𝑥1 ≥ Vì tốn khơng có nghiệm tối ưu (Xem Hình 3.1(a)) inf 𝑓(𝐷) = 0; ii) Bài tốn min{𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥|𝑥 ∈ 𝐷}, ó 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 0}, có tập chấp nhận ược tập lồi a diện hàm mục tiêu phi tuyến và bị chặn Rõ ràng không tồn iểm 𝑥 ∈ 𝐷 ể 𝑒𝑥 = toán khơng có nghiệm tối ưu (Xem Hình 3.1(b)), giá trị tối ưu inf 𝑓(𝐷) = 5.2.2 Tính chất tập nghiệm Định lý 5.3 Nếu toán quy hoạch tuyến tính (LP) có nghiệm tối ưu tập nghiệm tối ưu diện tập lồi a diện chấp nhận ược Chứng minh Nhắc lại, tập lồi khác rỗng 𝐹 ⊂ 𝐷 ược gọi diện tập lồi a diện D 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐷 𝑣à 𝑥 ∈ 𝐹, 𝑥 = 𝜆𝑦 + (1 − 𝜆)𝑧, < 𝜆 < ⟹ 𝑦 ∈ 𝐹, 𝑧 ∈ 𝐹 Ký hiệu tập nghiệm tối ưu toàn (LP) 𝐹∗ = 𝑎𝑟𝑐𝑚𝑖𝑛{〈𝑐, 𝑥〉|𝑥 ∈ 𝐷} Cho 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐷, 𝑥 ∈ 𝐹∗ với , 𝑥 = 𝜆𝑦 + (1 − 𝜆)𝑧 < 𝜆 < Ta phải chứng minh 𝑦 ∈ 𝐹∗, 𝑧 ∈ 𝐹∗ Giả sử 〈𝑐, 𝑦〉 ≥ 〈𝑐, 𝑧〉 Khi ó 〈𝑐, 𝑥〉 = 𝜆〈𝑐, 𝑦〉 + (1 − 𝜆)〈𝑐, 𝑧〉 ≥ 𝜆〈𝑐, 𝑧〉 + (1 − 𝜆)〈𝑐, 𝑧〉 = 〈𝑐, 𝑧〉 (3) Vì 𝑧 ∈ 𝐷 𝑥 ∈ 𝐹∗, tức x nghiệm tối ưu toán (LP), nên 〈𝑐, 𝑥〉 ≤ 〈𝑐, 𝑧〉 Từ (3) (4) suy 〈𝑐, 𝑥〉 = 〈𝑐, 𝑧〉, hay 𝑧 ∈ 𝐹∗ Hơn ta có 〈𝑐, 𝑥〉 = 𝜆〈𝑐, 𝑦〉 + (1 − 𝜆)〈𝑐, 𝑧〉 = 𝜆〈𝑐, 𝑦〉 + (1 − 𝜆)〈𝑐, 𝑥〉 Do ó 〈𝑐, 𝑦〉 = 〈𝑐, 𝑥〉 hay 𝑦 ∈ 𝐹∗ Theo ịnh nghĩa, 𝐹∗ diện D (4) Hệ 1.1 Nếu quy hoạch tuyến tính có nghiệm tối ưu tập lồi a diện ràng buộc có ỉnh nghiệm tối ưu phải ạt ỉnh, tức ạt phương án cực biên Chứng minh.Theo ịnh nghĩa, phương án cực biên ỉnh tập lồi a diện chấp nhận ược tốn quy hoạch tuyến tính Hệ ược suy trực tiếp từ Định lý 5.3 kiện là ỉnh diễn tập lồi a diện là ỉnh tập lồi a diện ó (Hệ 5.3) Định lý 5.4 Nếu x* nghiệm tối ưu ịa phương tốn quy hoạch tuyến tính (LP) x* nghiệm tối ưu toàn cục Chứng minh Giả sử 𝑥∗ ∈ 𝐷 nghiệm tối ưu ịa phương tốn (LP) Thẹo ịnh nghĩa, tồn hình cầu mở 𝐵(𝑥∗, 𝜀) cho 〈𝑐, 𝑥∗〉 ≤ 〈𝑐, 𝑥〉 ∀𝑥 ∈ 𝐵(𝑥∗, 𝜀) ∩ 𝐷 Giả sử phản chứng x* nghiệm tối ưu toàn cục toán (LP) tức tồn 𝑥 ∈ 𝐷 thoả mãn 〈𝑐, 𝑥〉 < 〈𝑐, 𝑥∗〉 Do D tập lồi a diện nên chứa oạn thẳng nối 𝑥∗ 𝑥 Lấy iểm x0 nằm oạn thẳng 𝑥0 ∈ 𝐵(𝑥∗,𝜀), tức 𝑥0 = 𝜆𝑥∗ + (1 − 𝜆)𝑥 𝑣ớ𝑖 < 𝜆 < Ta có 〈𝑐, 𝑥0〉 = 𝜆〈𝑐, 𝑥∗〉 + (1 − 𝜆)〈𝑐, 𝑥〉 < 𝜆〈𝑐, 𝑥∗〉 + (1 − 𝜆)〈𝑐, 𝑥∗〉 = 〈𝑐, 𝑥∗〉 Điều mâu thuẫn với tính cực tiểu ia phương x* chứng tỏ giả thiết phản chứng sai 5.3 Giải toán quy hoạch tuyến tính hai biến phương pháp hình học Một tốn lập trình tuyến tính có hai biến trình bày trường hợp ơn giản giải pháp thu ược cách sử dụng phương pháp hình học Riêng biệt từ giải pháp, phương pháp họa ưa tranh vật lý hình học ịnh ặc iểm tốn lập trình tuyến tính Ví dụ sau ược coi ể minh họa phương pháp họa giải pháp.(Lan, 2015) +Ví dụ: Một lị gốm hàng ngày sản xuất hai mặt hàng cao cấp ôn sứ(Đ) bình bơng (B) Sản lượng ược giới hạn ất sét trắng số thợ lành nghề Số át sét số lao ộng hàng ngày ưuọc cung cấp 240kg 100 Để làm ược ôn sứ, cần 4kg ôn sứ công lao ộng Để ược bình bơng cần 3kh ất sét công Đơn giá cho ôn sứ 70000 ồng bìn bơng 50000 ồng Vậy sản xuuát ưuọc doanh thu cao Tóm tắt qua bảng Tài nguyên ể sản xuất sản phẩm Tài ngun Đơn sứ Bình bơng ất sét công Giá bán(10000 ồng) Sử dụng thuật tốn quy hoạch tuyến tính: Khả áp ứng 240 100 Bước 1: Đặt tên biến Gọi x1,x2 số ơn sứ bình sản xuất ngày Bước 2: xác ịnh hàm mục tiêu Để có ược doanh thu lớn nhất: 𝑍 = 7𝑥1 + 5𝑥2 Bước 3:Xác ịnh rang buộc Với iều kiện tổng lượng tài nguyên sử dụng pahir nhở tổng lượng tài nguyên cung cấp nên rang buộc toán là: 4𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 240 (đấ𝑡 𝑠é𝑡)(1); 2𝑥1 + 1𝑥2 ≤ 100( 𝑔𝑖ờ 𝑐ơ𝑛𝑔)(2) Và nghiệm số tốn nên khơng âm: iệu kiện biên x 1,x2 ≥ Bước 4: Giải phương pháp thị theo trình tự: - Thể ràng buộc - Xác ịnh vùng lời giải chấp nhận ược - Vẽ ương thẳng thể hàm mục tiêu - Tìm nghiệm số toán ➢ Thể ràng buộc Biến 𝑥1 ược biễu diễn trục hoành , biến x2 trục tung Để thể ràng buộc ầu tiên lên thị, chuyển bất phương trình thành phương trình:4𝑥1 + 3𝑥2 = 240 (đấ𝑡 𝑠é𝑡) Không sản xuất ôn sứ 𝑥1 = 𝑣à 𝑥2 = 80 Khơng sản xuất bình bơng 𝑥1 = 60 𝑣à 𝑥2 = Tương tự với rang buộc thứ hai 2𝑥1 + 1𝑥2 = 100( 𝑔𝑖ờ 𝑐ô𝑛𝑔) Không sản xuất ôn sứ 𝑥1 = 𝑣à 𝑥2 = 100 Khơng sản xuất bình bơng 𝑥1 = 50 𝑣à 𝑥2 = Hình Thẻ rang buộc thị ➢ Xác ịnh vùng lời giải chấp nhận ược Còn gọi vùng nghiệm khả dĩ, tập hợp tất iểm thỏa mãn tất rang buộc iều kiện biên thị Dưới ây ba quy tắc ể xác ịnh vùng lời giả chấp nhận ược - Đối với “=” có iểm nằm ưuòng thẳng vùng nghiệm khả dỉ - Đối với dấu “=”, iểm nằm ường thẳng, bên phải bên ường vùng nghiệm Hình Vùng lời giải chấp nhận ược ➢ Vẽ ưòng thẳng thể hàm mục tiêu:7𝑥1 + 5𝑥2 ➢ Tìm nghiệm số tốn: Vẽ thêm ường hàm mục tiêu ồng dạng Những ưòng song song với xa gốc tọa ộ có giá trị lớn Hình Lời giải tối ưu tốn Như vây, ể tìm lời giải tối ưu cho toán, ta tịnh tiến dần ường hàm mục tiêu ban ầu cho ến ụng iểm xa vùng lời giải chấp nhận ược Đương hàm mục tiêu ồng dạng cách xa gốc tọa ộ i qua iểm nằm vùng nghiệm ược trình bày ị thị Điểm E( 𝑥1 = 30 ,𝑥2 = 40) nghiệm tối ưu toán với doanh thu hành ngày 410 ngàn ồng 5.4 Phương pháp ơn hình Hầu hết bào tốn quy hoạch tuyến tính thực tế ược giải máy tính sử dụng thuật tốn ơn hình phương pháp thị dùng ể giải tốn có hai ẩn số • Phương pháp thị ưa lập luận cho phương pháp ơn hình, xuất phát iểm iểm góc Nghiệm tối ưu tốn ln iểm góc vùng lời giải chấp nhận ược • Phương pháp ơn hình bắt ầu từ iểm góc sau ó, lần lợt xét iểm góc cịn lại thoe trình tự có hệ thống, cho hàm mục tiêu ựợc cải thiện dần vịng lặp Đến hàm mục tiêu khơng cải thiện ược ó lời giải tối ưu tốn Thuật tốn ơn hình dạng bảng(Kim, 2008) 5.4.1 a Bảng ơn hình Bảng ơn hình gồm n+4 cột, dánh ể ược ghi thông tin bước lặp tính tốn ứng với phương án cực biên Giả sử 𝑥 = (𝑥10, 𝑥20,… , 𝑥𝑛0)𝑇 là phương án cực biên tương ứng với số sở 𝐽𝐵 = 𝐽(𝑥0) = {𝑗1, … , 𝑗𝑚} và sở ơn vị 𝐵 = {𝐴𝑗1, … , 𝐴𝑗𝑚} thông tin ược ghi bảng ơn hình xuất phát (Bảng 5.1) Bảng 5.1 Hệ số Cơ sở 𝐶𝐵 B Phương án 𝑐𝑗1 𝐴𝑗1 𝑥𝑗10 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑐𝑗 𝐴𝑗 𝑥𝑗0 𝑐1 𝐴1 ⋯ ⋯ 𝑧𝑗11 ⋯ ⋮ 𝑧𝑗𝑘1 ⋮ ⋮ 𝑐𝑗𝑚 𝐴𝑗𝑚 𝑥𝑗𝑚0 𝑓(𝑥0) 𝑧𝑗𝑚1 ∆1 ⋯ ⋯ 𝑧𝑗1𝑘 ⋯ 𝑧𝑗𝑘 ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ 𝑐𝑛 𝐴𝑛 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑐𝑘 𝐴𝑘 𝑧𝑗𝑚𝑘 ∆𝑘 ⋯ ⋯ 𝜃 𝑧𝑗1𝑛 𝜃𝑗1 ⋮ ⋮ 𝑧𝑗𝑛 𝜃𝑗 ⋮ ⋮ 𝑧𝑗𝑚𝑛 𝜃𝑗𝑚 ∆𝑛 Bảng ơn hình gồm n+4 cột Cột (hệ số 𝐶𝐵) Ghi giá trị hệ số hàm mục tiêu tương ứng với biến sở Cột (Cơ sở B) Ghi tên véctơ sở Chú ý rằng, tên véctơ này phải ược ghi theo thứ tự 𝐴𝑗1, … , 𝐴𝑗𝑚 cho ma trận lập 𝐵 = {𝐴𝑗1, … , 𝐴𝑗𝑚} ma trận ơn vị 𝐼𝑚 Cột (Phương án cực biên) Ghi giá trị biến sở phương án cực biên ang xét n cột tiếp theo.Cột thứ – k ứng với tên véctơ 𝐴𝑘, 𝑘 = 1, … , 𝑛 Phía tên cột 𝐴𝑘 ghi giá trị hệ số hàm mục tiêu 𝑐𝑘 tương ứng Trong cột 𝐴𝑘, ghi giá trị hệ số 𝑧𝑗𝑘, 𝑗 ∈ 𝐽𝐵 biểu diễn véctơ 𝐴𝑘 theo véctơ sở ang xét ∑ 𝑧𝑗𝑘𝐴𝑗 = 𝐴𝑘 𝑘 = 1, … , 𝑛 𝑗 ∈ 𝐽𝐵 Cột cuối Dành ể ghi tỷ số 𝜃𝑗,𝑗 ∈ 𝐽𝐵 (xem Bước – Thuật tốn 5.3) Dịng cuối Tại vị trí cột 3, ghi giá trị hàm mục tiêu phương án cực biên ang xét 𝑓 𝑗 ∈ 𝐽𝐵 Tại vị trí cột ứng với véctơ 𝐴𝑘, 𝑘 = {1, … , 𝑛} ,ghi ước lượng ∆𝑘= ∑ 𝑧𝑗𝑘𝑐𝑗 − 𝑐𝑘 𝑗 ∈ 𝐽𝐵 Ta có ∆𝑗= với 𝑗 ∈ 𝐽𝐵 (Nhật xét 3.4) b Thuật tóan ơn hình dạng bảng Thuật toán 5.3 Bước (Bước chuẩn bị) Xây dựng bảng ơn hình xuất phát tương ứng với phương án cực biên 𝑥0; Bước (Kiểm tra iều kiện tối ưu) Xét dòng cuối bảng If với 𝑘 = 1, … , 𝑛 Then Dùng thuật toán (Nghiệm tối ưu là phương án cực biên tương ứng với bảng này) Else chuyển sang Bước Bước (Kiểm tra tốn khơng có lời giải) If Tồn 𝐵 cho ∆𝑘> 𝑧𝑗𝑘 với 𝐵 Then Dùng thuật tốn (Bài tốn khơng có lời giải) Else chuyển sang Bước Bước Thực hiện: ▪ Tìm cột quay Xác ịnh véctơ 𝐴𝑠, ể ưa vào sở với số s thỏa mãn ∆𝑠= max{∆𝑘 | ∆𝑘> 0} Cột tương ứng với véctơ 𝐴𝑠 ược gọi cột quay ▪ Tìm dịng quay Tính 𝜃𝑗 𝜃𝑗 𝑥𝑗 { 𝑧𝑗𝑠 𝐵, sau 𝑛ế𝑢 𝑧𝑗𝑠 𝐵 𝐵 Và xác ịnh 𝜃𝑟 Dòng r ược gọi dòng quay Phần tử 𝑧𝑟𝑠 nằm giao dòng quay cột quay ược gọi phần tử phép quay Các phần tử 𝑧𝑗𝑠 (𝑗 ≠ 𝑟) ược gọi phần tử quay Bước (Chuyển bảng tương ứng với phương án cực biên mới) Thực hiện: ▪ Trong cột (Cột hệ số 𝐶𝐵) thay giá trị 𝑐𝑟 𝑐𝑠 Trong cột (cột sở), thay tên 𝐴𝑟 𝐴𝑠 ▪ Chia phần tử dòng quay cho phần tử ta ược dịng (có số vị trí 𝑧𝑟𝑠 cũ) gọi dịng chính, tức ta có quy tắc 𝒅ị𝒏𝒈 𝒒𝒖𝒂𝒚 (𝒄ũ) 𝒅ị𝒏𝒈 𝒄𝒉í𝒏𝒉 (𝒎ớ𝒊) ∶= ; 𝒑𝒉ầ𝒏 𝒕ử 𝒄𝒉í𝒏𝒉 ▪ Biến ổi dòng lại theo quy tắc, Dòng ∶= Dòng cũ tương ứng – Dịng × Phần tử quay tương ứng Ta ược số vị trí cịn lại cột quay cũ (Sau phép quay bảng ta có ∆𝑠= lúc s số sở phương án cực biên 𝐴𝑠 trở thành véc tơ ơn vị sở) ▪ Quay lại Bước với bảng Sau ây là số ví dụ ể minh họa cho thuật tốn +Ví dụ Cho tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc 𝑓(𝑥) = −2𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 3𝑥4 𝑣 đ 𝑘 − 𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥6 + 𝑥5 =4 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 2𝑥1 + 2𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥6 = =7 𝑥1, ⋯ , 𝑥6 ≥ Dễ thấy 𝑥0 = (0,0, 0, 7, 4, 5)𝑇 là phương án chấp nhận ược bài toán ang xét 𝐽(𝑥0) = {4, 5, 6} Vì véctơ 𝐴5, 𝐴6, 𝐴4 ộc lập tuyến tính tạo thành ma trận sở ơn vị 𝐵 = {𝐴5, 𝐴6, 𝐴4} = 𝐼3 nên 𝑥0 là phương pháp cực biên 𝐴1 là véctơ hệ số khai triển theo véctơ sở, cụ thể 𝐴1 = (−1)𝐴5 + 1𝐴6 + 2𝐴4 Tương tự, ta có 𝐴2 = 2𝐴5 + 1𝐴6 + 0𝐴4 𝑣à 𝐴3 = 2𝐴5 + 1𝐴6 + 2𝐴4 Ta có Bảng 5.2 bảng ơn hình xuất phát tương ứng với phương án cực biên 𝑥0 Bảng 5.2 Hệ số Cơ sở Phương án B 𝐶𝐵 −2 𝐴2 𝐴3 𝐴4 𝐴5 𝐴6 𝐴1 𝐴5 −1 𝐴6 𝜃 2 0 ∞ 𝐴4 [2] 0 Bảng 26 −1 0 Vì dịng cuối cịn ∆1= > ∆3= > nên 𝑥0 chưa phải phương án tối ưu Véctơ ưa vào sở 𝐴1 (ứng với ∆1= lớn nhất) Véctơ loại khỏi sở 𝐴4 (ứng với 𝜃 2 𝑧41) Phàn tử 𝑧41 = ( ược ghi ngoặc vuông [.]) Biến ổi bảng ơn hình theo Bước (Thuật tốn 5.1) (sau ây ta gọi tắt biến ổi bảng ơn hình) ta ược bảng ơn hình (Bảng 5.3) Bảng 5.3 Hệ số Cơ sở Phương −2 𝐴2 𝐴3 𝐴4 𝐴5 𝐴6 án 𝐶𝐵 B 𝐴1 𝜃 𝐴5 𝐴6 -2 𝐴1 Bảng 2 − 0 1 0 −1 −3 0 − Trong Bảng 5.3, ta có ∆𝑘≤ với 𝑘 = 𝑥1, ⋯ , 𝑥6 Do ó, phương án cực biên 𝑥 , 0,0,0, 𝑓𝑚𝑖𝑛 𝑇 tương ứng với bảng này là phương án tối ưu và giá trị tối ưu Bài tốn có nghiệm tối ưu ∆𝑘< với số phi sở 𝑘 ∉ 𝐽𝐵 = {5, 6, 1} +Ví dụ :(Bài tốn có nghiệm tối ưu khơng nhất) Xét tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc 𝑓(𝑥) = −2𝑥1 + 2𝑥2 𝑣 đ 𝑘 − 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥4 𝑥1 + 𝑥2 2𝑥1 + 𝑥3 =4 + 𝑥5 = =7 𝑥1, ⋯ , 𝑥5 ≥ Xuất phát từ phương án cực biên 𝑥0 = ( 0,0, 7, 4, 5)𝑇 và sở ơn vị 𝐵 = {𝐴4, 𝐴5, 𝐴3}, bước tính tốn theo Thuật tốn 5.3 giải bài tốn này ược trình bày Bảng 5.4 Hệ số 𝐶𝐵 Cơ sở Phươ ng án B −2 𝐴1 𝐴2 [2] 𝐴4 −1 𝐴5 𝐴3 Bảng −1 −2 𝐴2 𝐴5 0 𝐴3 Bảng 𝐴3 𝐴4 𝐴5 𝜃 0 0 ∞ 0 0 ∞ 0 0 −4 −1 Trong bảng ơn hình cuối Bảng 5.4 có ∆𝑘≤ với 𝑘 = 𝑥1, ⋯ , 𝑥5 nên phương án 𝑥0 = (0, 2,7,0,3)𝑇 tương ứng với bảng này là phương án tối ưu với giá trị tối ưu là 𝑓𝑚𝑖𝑛 = 𝑓(𝑥∗) = −4 Vì có ∆1= ứng với số phi sở ∉ 𝐽𝐵 = {2,5,3} nên 𝑥∗ là phương án cực biên tối ưu với tốn Muốn tìm phương án cực biên tối ưu khác, ta ưa véctơ 𝐴1 vào sở Thực biến ổi bảng ơn hình, ta chuyển sang ược Bảng 5.5 tương ứng phương án cực biên tối ưu 𝑥∗ = (2,3,3,0,0)𝑇 Nếu tiếp tục tính tốn với việc ưa véctơ 𝐴5 (tương ứng với ∆5= ∉ 𝐽𝐵 = {2,1,3}) vào sở v.v , ta lại chuyển ược sang bảng ơn hình tương ứng với phương án cực biên tối ưu 𝑥∗ Như vậy, tập nghiệm toán 𝐹𝑥 = {𝑥 = 𝜆𝑥0 + (1 − 𝜆)𝑥0|0 ≤ 𝜆 ≤ 1} = {𝑥 = 𝜆(0,2,7,0,3)𝑇 + (1 − 𝜆)(2,3,3,0,0)𝑇|0 ≤ 𝜆 ≤ 1} = {𝑥 = (2 − 2𝜆, − 𝜆, + 4𝜆, 0,3𝜆)𝑇|0 ≤ 𝜆 ≤ 1} Hệ số Cơ sở Phương −2 𝐴3 𝐴4 𝐴5 án 𝐴2 B 𝐶𝐵 𝐴1 −2 𝐴2 𝐴1 𝐴3 Bảng −4 𝜃 0 0 − − −1 Tài liệu tham khảo Alsalam, N (1998) Economic Effects of Federal Spending on Infrastructure and Other Investments Congressional Budget Office Bedford, T and Cooke, R M (2001) Probabilistic risk analysis : foundations and methods / Tim Bedford, Roger Cooke Cochran, S and (1989) Statistical Methods 8th edn Iowa State University Press E L Lehmann (1986) Testing Statistical Hypotheses-Springer New York Ghahramani, S (1999) Saeed Ghahramani - Fundamentals of Probability (2nd Edition) -Prentice Hall (1999).pdf 2nd edn Huy, N Đ (2019) Giáo trình xác suất thông kê Đại học quốc gia TPHCM Karl Pearson (1904) Mathematical contributions to the theory of evolution, Dulau and Co Available at: https://en.wikipedia.org/wiki/Contingency_table Khanh, P D (2021) Bayesian Available at: https://phamdinhkhanh.github.io/deepai-book/ch_ml/index_Bayes.html Kim, N T B (2008) Giáo trình Các phương pháp tối ưu Lý thuyết thuật toán Nhà xuất Bách khoa Hà Nội Lan, Đ T X (2015) Phương pháp ịnh lượng & Công cụ tin học ứng dụng quản lý xây dựng Đại học quốc gia TPHCM M.H.Faber (2012) (Topics in safety, reliability, and quality, v.18) M H Faber Statistics and probability theory _ in pursuit of engineering decision supportSpringer (2012).pdf Mai, H (2016) ‘Người mở ường ngành xác suất ại’, Tạp chí Tia sáng Bộ Khoa học Công nghệ, Số 20.8 Available at: https://tiasang.com.vn/khoahoccong-nghe/Nguoi-mo-duong-nganh-xac-suat-hien-dai-10035 Phân phối chuẩn (2021) Available at: https://vi.wikipedia.org/wiki/Phân_phối_chuẩn Phân phối xác suất (2021) Available https://vi.wikipedia.org/wiki/Phân_phối_xác_suất Thống kê suy luận – Hai trường phải triết học (2019) Trí tuệ nhân tạo at: ...BÁO CÁO CUỐI KỲ MƠN HỌC PHÂN TÍCH DỮ LIỆU (800702(VP_HK211) HỌ VÀ TÊN: NGUYÊN THANH PHÚ MÃ SỐ SV: 1810437 GMAIL: phu.nguyenwill_2000@hcmut.edu.vn... nhiên thành phần