D. Công thức tính xác suất
B. Trường hợp có những tham số chưa biết
5.2.2 Tính chất tập nghiệm
Định lý 5.3. Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính (LP) có nghiệm tối ưu thì tập nghiệm tối ưu của nó là một diện của tập lồi a diện chấp nhận ược.
Chứng minh. Nhắc lại, tập con lồi khác rỗng 𝐹⊂ 𝐷 ược gọi là một diện của tập lồi a diện D nếu
𝑦, 𝑧 ∈ 𝐷𝑣à 𝑥∈ 𝐹, 𝑥 = 𝜆𝑦+ (1 − 𝜆)𝑧, 0 < 𝜆 < 1 ⟹𝑦∈ 𝐹, 𝑧∈ 𝐹
Ký hiệu tập nghiệm tối ưu của bài toàn (LP) là 𝐹∗= 𝑎𝑟𝑐𝑚𝑖𝑛{〈𝑐, 𝑥〉|𝑥∈ 𝐷}. Cho 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐷, 𝑥∈ 𝐹∗ với , 𝑥 = 𝜆𝑦+ (1 − 𝜆)𝑧 và 0 < 𝜆 < 1 . Ta phải chứng minh
𝑦∈ 𝐹∗, 𝑧 ∈ 𝐹∗. Giả sử 〈𝑐, 𝑦〉≥ 〈𝑐, 𝑧〉. Khi ó
〈𝑐, 𝑥〉 = 𝜆〈𝑐, 𝑦〉+ (1 − 𝜆)〈𝑐, 𝑧〉≥ 𝜆〈𝑐, 𝑧〉+ (1 − 𝜆)〈𝑐, 𝑧〉= 〈𝑐, 𝑧〉. (3) Vì 𝑧∈ 𝐷 và 𝑥∈ 𝐹∗, tức x là một nghiệm tối ưu của bài toán (LP), nên
〈𝑐, 𝑥〉≤ 〈𝑐, 𝑧〉. (4) Từ (3) và (4) suy ra 〈𝑐, 𝑥〉= 〈𝑐, 𝑧〉, hay 𝑧∈ 𝐹∗. Hơn nữa ta có
〈𝑐, 𝑥〉 = 𝜆〈𝑐, 𝑦〉+ (1 − 𝜆)〈𝑐, 𝑧〉 = 𝜆〈𝑐, 𝑦〉 + (1 − 𝜆)〈𝑐, 𝑥〉 Do ó 〈𝑐, 𝑦〉= 〈𝑐, 𝑥〉. hay 𝑦∈ 𝐹∗. Theo ịnh nghĩa, 𝐹∗ là một diện của D.
Hệ quả 1.1 Nếu một quy hoạch tuyến tính có nghiệm tối ưu và tập lồi a diện ràng
buộc có ỉnh thì nghiệm tối ưu phải ạt tại ít nhất một ỉnh, tức ạt tại ít nhất một phương án cực biên.
Chứng minh.Theo ịnh nghĩa, phương án cực biên chính là một ỉnh của tập lồi a diện chấp nhận ược của bài toán quy hoạch tuyến tính. Hệ quả ược suy trực tiếp từ Định lý 5.3 và sự kiện là ỉnh của một diễn của một tập lồi a diện cũng chính là ỉnh của tập lồi a diện ó (Hệ quả 5.3).
Định lý 5.4. Nếu x* là nghiệm tối ưu ịa phương của bài toán quy hoạch tuyến tính (LP) thì x* cũng là nghiệm tối ưu toàn cục.
Chứng minh.
Giả sử 𝑥∗∈ 𝐷 là nghiệm tối ưu ịa phương cả bài toán (LP). Thẹo ịnh nghĩa, tồn tại một hình cầu mở 𝐵(𝑥∗, 𝜀) sao cho
〈𝑐, 𝑥∗〉≤ 〈𝑐, 𝑥〉∀𝑥∈ 𝐵(𝑥∗, 𝜀) ∩ 𝐷.
Giả sử phản chứng rằng x* không phải nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (LP). tức tồn tại 𝑥 ∈ 𝐷 thoả mãn 〈𝑐, 𝑥 〉 < 〈𝑐, 𝑥∗〉. Do D là tập lồi a diện nên nó chứa cả oạn thẳng nối 𝑥∗ và 𝑥 . Lấy iểm x0 nằm trong oạn thẳng này và 𝑥0 ∈ 𝐵(𝑥∗,𝜀), tức 𝑥0 = 𝜆𝑥∗ + (1 − 𝜆)𝑥 𝑣ớ𝑖 0 < 𝜆 < 1. Ta có
〈𝑐, 𝑥0〉 = 𝜆〈𝑐, 𝑥∗〉+ (1 − 𝜆)〈𝑐, 𝑥 〉 < 𝜆〈𝑐, 𝑥∗〉+ (1 − 𝜆)〈𝑐, 𝑥∗〉= 〈𝑐, 𝑥∗〉.
Điều này mâu thuẫn với tính cực tiểu ia phương của x* và chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai.