D. Công thức tính xác suất
3.3 Hệ số Z của Altman
3.3.1 Giới thiệu
Công thức iểm Z ể dự oán phá sản ược Edward I. Altman, lúc ó là Trợ lý Giáo sư Tài chính tại Đại học New York, xuất bản năm 1968. Công thức này có thể ược sử dụng ể dự oán xác suất một công ty sẽ phá sản trong vòng hai năm. Điểm Z ược sử dụng ể dự oán các vụ vỡ nợ của công ty và là một biện pháp kiểm soát dễ tính toán ối với tình trạng kiệt quệ tài chính của các công ty trong các nghiên cứu học thuật. Điểm số Z sử dụng nhiều giá trị thu nhập doanh nghiệp và bảng cân ối kế toán ể o lường sức khỏe tài chính của một công ty. Điểm này càng thấp thì khả năng phá sản càng cao. Các công ty có iểm Z trên 3 ược xem là khỏe mạnh và không có khả năng phá sản. Điểm Z trong khoảng từ 1.8 ến 3 là vùng xám.Đây là một mô hình tương ối chính xác - việc ứng dụng iểm Z thực tế trên thế giới ã dự oán thành công 72% sự phá sản của các doanh nghiệp trước 2 năm.
3.3.2 Công thức
Mô hình này kết hợp 5 chỉ số tài chính khác nhau ể xác ịnh khả năng phá sản của các công ty.
Z score = 1,2*A1+1,4*A2+3,3*A3+0,6*A4+1,0*A5 Trong ó:
➢ A1 = Vốn luân chuyển ( = Tài sản ngắn hạn – Nợ ngắn hạn)/Tổng tài sản. Tỷ lệ này cung cấp thông tin về tình hình tài chính ngắn hạn của doanh nghiệp ➢ A2 = Lợi nhuận chưa phân phối/Tổng tài sản. Tỷ lệ này o lường mức ộ phụ
thuộc của doanh nghiệp vào nợ.
➢ A3 = EBIT (Lợi nhuận trước lãi vay và thuế)/Tổng tài sản
➢ A4 = (Giá thị trường của cổ phiếu*Số lượng cổ phiếu lưu hành)/Tổng nợ.Cho thấy giá trị thị trường của doanh nghiệp có thể giảm bao nhiêu trước khi nợ phải trả vượt quá tài sản
➢ A5 = Hiệu quả sử dụng tài sản =Doanh thu/Tổng tài sản. Từ 1 ồng tài sản, doanh nghiệp làm ra bao nhiêu ồng doanh thu thuần.
CHƯƠNG 4.KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT 4.1 Khái niệm
Các nhà phân tích thống kê kiểm tra một giả thuyết bằng cách o lường và kiểm tra một mẫu ngẫu nhiên của không gian mẫu ang ược phân tích. Việc họ làm là sử dụng một không gian mẫu ngẫu nhiên ể kiểm tra hai giả thuyết khác nhau: giả thuyết không và giả thuyết nghịch.
4.1.1 Giả thiết không (Null Hypothesis)
Giả thuyết không H0 là một loại giả thuyết ược sử dụng trong thống kê giả ịnh rằng không có ý nghĩa thống kê nào tồn tại trong một tập hợp các quan sát nhất ịnh. Giả thuyết không ược cho là úng cho ến khi có bằng chứng thống kê bác bỏ nó với một giả thuyết thay thế khác.
Giả thuyết không giả ịnh rằng bất kì sự khác biệt hay ý nghĩa nào bạn quan sát ược trong một tập hợp dữ liệu là do sự ngẫu nhiên.
4.1.2 Giả thiết nghịch (Alternative hypothesis)
Khái niệm về một giả thuyết nghịch trong thử nghiệm do Jerzy Neyman và Egon Pearson nghĩ ra, và nó ược sử dụng trong bổ ề Neyman-Pearson(E. L. Lehmann, 1986). Nó tạo thành một thành phần chính trong thử nghiệm giả thuyết thống kê hiện ại. Tuy nhiên, nó không phải là một phần trong công thức kiểm tra giả thuyết thống kê của Ronald Fisher, và ông phản ối việc sử dụng nó. Trong cách tiếp cận kiểm ịnh của Fisher, ý tưởng trung tâm là ánh giá xem liệu tập dữ liệu quan sát có thể là kết quả ngẫu nhiên hay không nếu giả thuyết không ược giả ịnh là úng, không có ịnh kiến về những gì các mô hình khác có thể nắm giữ. Thử nghiệm giả thuyết thống kê hiện ại áp ứng iều này loại kiểm ịnh vì giả thuyết nghịch H1 có thể chỉ là sự phủ ịnh của giả thuyết không.
4.1.3 Mức ý nghĩa
Trong thống kê, một kết quả ược gọi là có ý nghĩa thống kê nếu nó không có khả xảy ra là do ngẫu nhiên. Cụm từ Ý nghĩa thống kê ược ặt tên bởi Ronald Fisher. Trong thống kê, ý nghĩa không có nghĩa là quan trọng , nhưng những nhà phân tích chỉ tập trung vào kết quả có thể bỏ sót các dạng mẫu trả lời quan trọng mà có thể rơi dưới ngưỡng ược ặt ra cho kiểm ịnh ý nghĩa.
4.1.4 Miền bác bỏ
Miền bác bỏ là miền xác ịnh trong ồ thị, ược o trong phân phối lấy mẫu của thống kê ang nghiên cứu, dẫn ến bác bỏ giả thuyết không H0 trong một bài kiểm tra giả thuyết. Miền bác bỏ bổ sung cho vùng chấp nhận và ược liên kết với xác suất α, ược gọi là mức ý nghĩa..
4.1.5 Kiểm ịnh giả thiêt thông kê
Bài toán kiểm nghiệm giả thiêt thống kê tổng quát ược ặt dưới dạng sau:
i. Cho ại lượng ngẫu nhiên X và một giả thiết H0 về phân phối xác suất của X. Một mệnh ề khác với H0 ưuọc gọi là ói thiết H1. Cần kiểm nghiệm xem H0 dúng hay sao trên cở sở mẫu lấy ược là (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛)
Trên không gian mẫu ta xác ịnh miền W gọi là miền bác bỏ giả thiêt H0, phần bù của W ký hiệu là 𝑊 là miền chấp nhận giả thiêt H0.
Mẫu ã lấy ược (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) là một iểm xác ịnh của không gian mẫu.
Mẫu ã lấy ược (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝑤 thì ta coi giả thiêt H0 là sai và bác bỏ giả thiết ó. Mẫu ã lấy ược (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝑊 thì ta coi giả thiêt H0 là úng và chấp nhận giả thiet ó
ii. Các loại sai lầm: Trong việc chọn một quy tắc có thể mắc các sai lầm ➢ Sai lầm loại I: Bác bỏ giả thuyết H0 nhưng thực tế H0 là úng. Sai lầm này ược
ặc trưng bởi 𝑃 = (𝑊)
𝐻0
➢ Sai lầm loại II: Chấp nhận giả thuyết H0 nhưng thực tế H0 là sai. Sai lầm này ược ặc trưng bởi P=(𝑊)
𝐻1
Quyết ịnh bác bỏ hay chấp nhận giả thuyết hoàn toàn dựa vào thông tin mẫu, do ó ta sẽ có xác suất mắc sai lầm loại I và sai lầm loại II. Ký hiệu α là xác suất mắc sai lầm loại I.
Lúc ó α ược gọi là mức ý nghĩa. Ký hiệu β là xác suất mắc sai lầm loại II. α =
P(sai lầm loại I) = P(bác bỏ H0 | H0 úng)= P(chấp nhận H0 | H1 sai).
β = P(sai lầm loại II) = P (chấp nhận H0 | H0 sai) = P(chấp nhận H0 | H1 úng).
+Ví dụ:
Giả thiết H0 cho rằng:” bệnh nhân A uống ược thuốc B”.
Sai lầm loại 1 dẫn ến việc phải i tìm thuôcs khác khi bênh nhân uống ược thuốc B. Còn sai lầm loại 2 lại dẫn ến kết luận là cho bệnh nhân uống thuốc B trong lúc bệnh nhân không uống ược thuốc ó.
iii. Các bước kiểm ịnh giả thiết thống kê
Bước 1: Xác ịnh tham số cần kiểm ịnh, ặt giả thuyết và ối thuyết.
Bước 2: Xác ịnh tiêu chuẩn thống kê và tính giá trị của tiêu chuẩn thống kê ối với giá trị mẫu ã cho.
Bước 3: Xác ịnh miền bác bỏ W.
Bước 4: So sánh giá trị của tiêu chuẩn thống kê với miền bác bỏ W và kết luận bác bỏ hay chấp nhận giả thuyết H0.
4.2 Kiểm ịnh giả thiết tham số
4.2.1 Kiểm ịnh giá trị kì vọng của phân phối chuẩn
i. Giả sử tổng thể có trung bình (kỳ vọng) μ. Mẫu có kích thước n, trung bình mẫu 𝑥, phương sai mẫu hiệu chỉnh 2. Hãy kiểm ịnh giả thiết
H0:μ=μ0 với mức ý nghĩa α A.
Trường hợp 1:
➢ 2 ã biết, H1:μ≠μ0
Tiêu chuẩn kiểm ịnh:𝑍 =
Ta thấy nếu giả thuyết H 0 úng thì thống kê 𝑍 có phân phối chuẩn N(0; 1), ồng thời X là một ước lượng không chệch cho μ.
Từ ó ta có quy tắc kiểm ịnh sau :
|𝑋− 𝜇0|
𝑃 ( √𝑛≤ 𝑍𝛼) = 1 − 𝛼
Tìm 𝑍𝛼 từ hệ thức 2𝛷(𝑍𝛼) = 1 − 𝛼
Nếu 𝑍0 ≤ 𝑍𝛼, thì chấp nhận H. Nếu 𝑍0 > 𝑍𝛼 thì bác bỏ H
Nếu giá trị ó thuộc vào miền tiêu chuẩn thì ta bác bỏ giả thuyết, kết luận kỳ vọng của biến X thực sự khác μ0 . Ngược lại, nếu giá trị ó nằm trong miền chấp nhận thì phải kết luận kỳ vọng của X không khác μ0 một cách có ý nghĩa.
+Ví dụ:
Điểm trung bình năm nay của 100 học sinh là 5.9 iểm toán cuối kì, có ộ lệch chuẩn là 1.21. Điểm trung bình mới vừa thay ổi ể ạt danh hiệu thi ua của môn toán năm ngoái là 5.72. Với mức ý nghĩa 1% có phải iểm trung bình năm nay có ạt tiêu chuẩn năm ngoái không?
Giải: Giả thiết H0:μ=μ0 =5.72 ( iểm năm nay bằng năm trước)
2𝛷(𝑍𝛼) = 1 − 𝛼= 1 − 0.01 => 𝑍𝛼= 2.58 |𝑋− 𝜇0| |5.9 − 5.72| 𝑍 𝑋 − 𝜇 0 √𝑛 0 = √𝑛 = 1.21 √100=1.49
Vì 𝑍0 < 𝑍𝛼 nên chấp nhận H0 . Vậy iểm môn toán năm nay không cao hơn năm trước với mức ý nghĩa 1%, nên không ạt ược tiêu chuẩn nhận danh hiệu thi ua.
B.Trường hợp 2
➢ 2 ã biết, H1:μ>μ0
Tiêu chuẩn kiểm ịnh:𝑍 =
Ta thấy nếu giả thuyết H 0 úng thì thống kê 𝑍 có phân phối chuẩn N(0; 1), ồng thời X là một ước lượng không chệch cho μ.
Từ ó ta có quy tắc kiểm ịnh sau :
𝑋− 𝜇0 𝑃 ( √𝑛 > 𝑍𝛼) = 1 − 𝛼 Tìm 𝑍𝛼 từ hệ thức 2𝛷(𝑍𝛼) = 1 − 𝛼 Nếu 𝑍0 > 𝑍𝛼 thì chấp nhận H. C.Trường hợp 3 ➢ 2 ã biết, H1:μ<μ0
Tiêu chuẩn kiểm ịnh:𝑍 =
Ta thấy nếu giả thuyết H 0 úng thì thống kê 𝑍 có phân phối chuẩn N(0; 1), ồng thời X là một ước lượng không chệch cho μ.
Từ ó ta có quy tắc kiểm ịnh sau :
𝑋− 𝜇0 𝑃 ( √𝑛 < 𝑍𝛼) = 1 − 𝛼 𝑋 − 𝜇 0 √𝑛 𝑋 − 𝜇 0 √𝑛
Tìm 𝑍𝛼 từ hệ thức 2𝛷(𝑍𝛼) = 1 − 𝛼
Nếu 𝑍0 > 𝑍𝛼 thì bác bỏ H ii. Giả sử tổng thể có trung bình (kỳ vọng) μ. Mẫu
có kích thước n, trung bình mẫu 𝑥, phương sai mẫu hiệu chỉnh 2 chưa biết. Hãy kiểm ịnh giả thiết H0:μ=μ0 với mức ý nghĩa α
A.Trường hợp 1
➢ 2 chưa biết, H1:μ≠μ0
Tiêu chuẩn kiểm ịnh:𝑇 =
Ta thấy nếu giả thuyết H 0 úng thì thống kê 𝑇0 có phân phối Student T(n-1), ồng thời X là một ước lượng không chệch cho μ.
Từ ó ta có quy tắc kiểm ịnh sau :
|𝑋− 𝜇0|
𝑃 ( √𝑛≤ 𝑇𝛼(𝑛− 1)) = 1 − 𝛼
Tìm 𝑇𝛼 từ bảng phân phối Student
Nếu 𝑇0 ≤ 𝑇𝛼, thì chấp nhận H. Nếu 𝑇0 > 𝑇𝛼 thì bác bỏ H
+Ví dụ:
Một vưòn ươm cây giống, theo quy ịnh khi nào cây cao trung bình trên 1m thì em ra trồng. Đo ngẫu nhiên 25 cây, ược số liệu:
Chiều cao 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3
Số cây 1 2 9 7 4 2
Với mức ý nghĩa 5%, có thể em cây ra trồng không, gải thiết chiều cao của cây theo luật phân phối chuẩn.
𝑋 − 𝜇 0 √𝑛
0 √𝑛
Giải:
Gọi μ là chiều cao trung bình của cây trong vườn. Từ mẫu ta có: H0:μ=μ0 =1 ( chưa nên em cây ra trồng)
-𝑇𝛼= 𝑇0.05(24) = 2.064
-𝑇 = 25
Vì 𝑇0 > 𝑇𝛼 thì bác bỏ H, nên ta kết luận nên em cây ra trồng
B.Trường hợp 2
➢ 2 chưa biết, H1:μ>μ0
Tiêu chuẩn kiểm ịnh:𝑇 =
Ta thấy nếu giả thuyết H 0 úng thì thống kê 𝑇0 có phân phối Student T(n-1), ồng thời X là một ước lượng không chệch cho μ.
Từ ó ta có quy tắc kiểm ịnh sau :
𝑋− 𝜇
𝑃 ( > 𝑇𝛼(𝑛− 1)) = 1 − 𝛼
Tìm 𝑇𝛼 từ bảng phân phối Student
Nếu 𝑇0 > 𝑇𝛼, thì chấp nhận H.
C.Trường hợp 3
➢ 2 chưa biết, H1:μ<μ0
Tiêu chuẩn kiểm ịnh:𝑇 =
0 |1.068−1 | 0.122 √ =2.787 𝑋 − 𝜇 0 √𝑛 𝑋 − 𝜇 0 √𝑛
Ta thấy nếu giả thuyết H 0 úng thì thống kê 𝑇0 có phân phối Student T(n-1), ồng thời X là một ước lượng không chệch cho μ.
Từ ó ta có quy tắc kiểm ịnh sau :
𝑋− 𝜇0
𝑃 ( √𝑛 < 𝑇𝛼(𝑛− 1)) = 1 − 𝛼
Tìm 𝑇𝛼 từ bảng phân phối Student Nếu 𝑇0 > 𝑇𝛼, thì bác bỏ H.
4.2.2 Kiểm ịnh so sánh hai trung bình
Cho hai biến ngẫu nhiên ộc lập X và Y, trong ó X có phân phối chuẩn 𝑁(𝜇1; 𝜎12)
mẫu kích thước n1,biến Y có phân phối chuẩn 𝑁(𝜇2; 𝜎22) mẫu kích thước n2. Ta có giả thiết H0:𝜇1 = 𝜇2, ta có các dạng bài toán:
i. Trường hợp 𝜎12; 𝜎22 ã biết: chia thành 3 ối thuyết H1:μ1>μ2 ;H1:μ1<μ2 ;H1:μ1≠μ2
Ta có quy tắc kiểm ịnh như sau:
Tìm 𝑍𝛼 từ hệ thức 2𝛷(𝑍𝛼) = 1 − 𝛼;Tính thống kê
|𝑋− 𝑌|
𝑍𝛼
Nếu 𝑍0 ≤ 𝑍𝛼, thì chấp nhận H. Nếu 𝑍0 > 𝑍𝛼 thì bác bỏ H
ii. Trường hợp 𝜎12; 𝜎22 chưa biết: chia thành 3 ối thuyết H1:μ1>μ2 ;H1:μ1<μ2 ;H1:μ1≠μ2 (Bài toán Behrens Fisher)
- Trong thống kê, bài toán Behrens-Fisher, ược ặt theo tên của Walter Behrens và Ronald Fisher, là bài toán ước lượng khoảng thời gian và kiểm ịnh giả thuyết liên quan ến sự khác biệt giữa giá trị trung bình của hai quần thể phân bố chuẩn khi phương sai của hai quần thể không ược giả ịnh là bằng nhau , dựa trên hai mẫu ộc lập.
- Các giải pháp cho vấn ề Behrens-Fisher ã ược trình bày sử dụng quan iểm cổ iển hoặc suy luận Bayes và một trong hai giải pháp sẽ không hợp lệ về mặt hình thức ược ánh giá theo quan iểm khác. Nếu việc xem xét chỉ bị giới hạn trong suy luận thống kê cổ iển, thì có thể tìm kiếm các giải pháp cho vấn ề suy luận dễ áp dụng theo nghĩa thực tế, ưu tiên sự ơn giản này hơn bất kỳ sự không chính xác nào trong các câu xác suất tương ứng. Khi yêu cầu ộ chính xác của các mức ý nghĩa của các thử nghiệm thống kê, có thể có yêu cầu bổ sung rằng thủ tục phải sử dụng tối a thông tin thống kê trong tập dữ liệu. Ai cũng biết rằng có thể ạt ược một thử nghiệm chính xác bằng cách loại bỏ ngẫu nhiên dữ liệu từ tập dữ liệu lớn hơn cho ến khi các kích thước mẫu bằng nhau, tập hợp dữ liệu theo từng cặp và lấy chênh lệch, sau ó sử dụng phân phối Student thông thường ể kiểm tra sự ộ chênh lệch giữa hai kỳ vọng bằng 0 rõ ràng iều này sẽ không phải là "tối ưu" theo bất kỳ nghĩa nào.
- Nhiệm vụ chỉ ịnh ước lượng khoảng thời gian cho vấn ề này là một nhiệm vụ mà cách tiếp cận theo suy luận Frenquentist không cung cấp giải pháp chính xác, mặc dù có sẵn một số phép gần úng. Các phương pháp tiếp cận Bayes tiêu chuẩn cũng không ưa ra ược câu trả lời có thể ược biểu thị dưới dạng các công thức ơn giản, nhưng các phương pháp tính toán hiện ại của phân tích Bayes cho phép tìm ra các giải pháp chính xác về cơ bản. giữa phương pháp tiếp cận thường xuyên và Bayes ể ước lượng khoảng thời gian.
Ta có quy tắc kiểm ịnh như sau:
Tìm 𝑇𝛼= 𝑇𝛼/2(𝑛1 + 𝑛2 − 2) từ bảng phân phối Student
𝑇 = |𝑋−𝑌| Tính thống kê
+Ví dụ:
Có hai phương pháp sản xuất . Phương án 1thử 6 mẫu thì trung bình cần 2.5 nguyên liệu,với phương sai là 0.1. Phương án 2 thử 5 mẫu thì trung bình cần 3.3 nguyên liệu , với phương sai là 0.195. Cần chọn phương án nào phù hợp, với mức ý nghĩa 0.05?
Giải: H0:𝜇1 = 𝜇2 (số trung bình các ơn vị nguyên liệu cần thiết ể sản xuất ra một sản phẩm của hai phương pháp là bằng nhau)
-𝑇𝛼= 𝑇0.025(9) = 2.26
-𝑇 =
Vì 𝑇0 > 𝑇𝛼 thì bác bỏ H, nên số trung bình các ơn vị nguyên liệu ể sản xuất ra một
sản phẩm là không bằng nhau
4.2.3 Kiểm ịnh phương sai
A.Kiểm ịnh phương sai (A chi-square test)
i. Phép thử chi bình phương (Cochran, 1989)có thể ược sử dụng ể kiểm tra xem phương sai của một tập hợp có bằng một giá trị xác ịnh hay không. Thử nghiệm này có thể là thử nghiệm hai phía hoặc thử nghiệm
một phía. Phép thử hai phía kiểm tra phương án thay thế rằng phương sai thực nhỏ hơn hoặc lớn hơn giá trị ược chỉ ịnh. Phép thử một phía chỉ kiểm tra theo một hướng. Việc lựa chọn kiểm tra hai phía hay một phía là do vấn ề quyết ịnh.
ii. Giả sử tổng thể có phân phối chuẩn, phương sai 2, Mẫu có kích thước n, trung bình mẫu n, phương sai mẫu hiệu chỉnh s2. Hãy kiểm ịnh giả thiết H0: = 0 với mức ý nghĩa α Nếu H úng thì:(Huy, 2019) (𝑛− 1𝜎12)𝑆2 ~𝝌𝟐(𝒏− 𝟏) 0 |2.5−3.3 | √ 0.16+0.1955 =3.39
(𝑛− 1)𝑆2 𝑃 (𝝌𝟐𝟏−𝜶(𝒏− 𝟏)(𝒏− 𝟏)) = 𝟏− 𝜶 𝟐 Từ ó ta có quy tắc kiểm ịnh: Tìm 𝝌𝟐 𝜶(𝒏− 𝟏) và 𝝌𝟐𝟏−𝜶(𝒏− 𝟏) từ bảng phân phối 𝝌𝟐 𝟐 𝟐 Tính thống kê 𝜒2 = (𝑛−12)𝑆2 𝜎0 Nếu 𝜒21−𝛼2 < 𝜒2 < 𝜒2𝛼 thì chấp nhận H; Nếu 𝜒21− 𝛼2 > 𝜒2ℎ𝑜ặ𝑐𝜒2 > 𝜒2𝛼 thì