Tailieumontoan.com Tài liệu sưu tầm CỦNG CỐ TOÁN TẬP Liên hệ tài liệu word toán zalo 039.373.2038 Tài liệu sưu tầm, ngày 12 tháng năm 2020 PHẦN A ĐẠI SỐ CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA BÀI CĂN BẬC HAI I.TĨM TẮT LÍ THUYẾT 1/ Căn bậc hai - Căn bậc hai số thực a không âm số thực x cho x2 = a - Chú ý: - Số dương a có hai bậc hai, hai số đối nhau: số dương kí hiệu a , số âm kí hiệu − a - Số có bậc hai - Số âm khơng có bậc hai 2/ Căn bậc hai số học - Với số a không âm, số a gọi bậc hai số học a x≥0 x = a - Chú ý: Ta có a= x ⇔ 3/ So sánh bậc hai số học Ta có : a < b ⇔ ≤ a < b II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Tìm bậc hai bậc hai số học số Phương pháp giải: • Nếu a > bậc hai a ± a ; bậc hai số học a a • Nếu a = bậc hai a bậc hai số học a • Nếu a < a khơng có bậc hai khơng có bậc hai hai số học 1A Tìm bậc hai bậc hai số học số sau: a) b) 64 c) 16 d) 0,04 1B Căn bậc hai bậc hai số học số sau bao nhiêu? a) -81 b) 0,25 c) 1,44 d) 40 81 Dạng 2: Tìm số có bậc hai số học số cho trước Phương pháp giải: Với số thực a ≥ cho trước ta có a2 số có bậc hai số học a 2A Mỗi số sau bậc hai số học số nào? a) 12 b) -0,36 c) 2 d) 2B Số có bậc hai số học số sau đây? a) 13 b) − c) 2 d) Dạng 3: Tính giá trị biểu thức chứa bậc hai Phương pháp giải: 0, 0,12 0,3 Với số a ≥ ta có a a= vµ ( a ) a = 3A Tính: a) b) 25 c) − (−6) b) 16 25 c) ( − ) 3 d) − 4 3B Tính: a) 121 d) − 4A Tính giá trị biểu thức sau: a) 0,5 0,04 + 0,36 b) −4 4B Thực phép tính: a) 81 − 16 b) −25 −9 +5 − −16 25 25 − 16 Dạng 4: Tìm giá trị x thỏa mãn biểu thức cho trước Phương pháp giải: Ta sử dụng ý: • x =a ⇔ x =±a • Với số a ≥ , ta có x = a ⇔ x = a 5A Tìm giá trị x biết : a) 9x2 – 16 = b) 4x2 = 13 c) 2x2 + = 5B Tìm x, biết: a) 3x2 = c) 2x + + =0 Dạng 5: So sánh bậc hai số học Phương pháp giải: Ta có : a < b ⇔ ≤ a < b 6A So sánh: a) 2 c) 15 − 6B Tìm số lớn cặp số sau: a) 11 30 c) − 7A Tìm giá trị x, biết: a) 2x < 7B Tìm x thỏa mãn: a) −2x + > Dạng 6: Chứng minh số số vô tỉ: d) − 2x + +2 = 3 b) 2x + = d) x − 4x + 13 = b) 17 + d) − 0,2 b) + d) -10 −3 11 b) −3x + ≥ b) 2x − ≤ 2 8A* Chứng minh: a) số vô tỉ b) + số vô tỉ * 8B Chứng minh: b) + số vô tỉ a) số vơ tỉ III BÀI TẬP VỀ NHÀ Tìm bậc hai bậc hai số học số sau: a) 225 b) 49 289 c) 2,25 d) 0,16 10 Mỗi số sau bậc hai số học số nào? b) − − a) c) 4 2 d) 0, 25 0,5 11 Tính: a) 225 b) − ( −111) 12 Tính giá trị biểu thức sau: a) 16 + 144 25 − 81 c) 64 − 16 x −3 7 d) − 3 b) 0,5 0,09 − 0,25 + d) − 13 Tìm giá trị x biết: a) –x2 + 324 =0 c) c) − 400 −289 −0,09 + 10 − −16 b) 16x2 – = d) 4x − 4x + = =4 14 So sánh cặp số sau: b) − a) + 2 d) −3 −2 c) 0,5 − * 15 So sánh : 2015 + 2018 2016 + 2017 16 tìm x thỏa mãn: b) −2x + > a) x + ≥ d) 3x − < c) x + ≤ 31 * 17 Tìm x biết: a) 2x − ≥ x + b) 2x ≤ x 18 Chứng minh: b) + số vô tỉ a) số vô tỉ 19* Cho biểu thức : P = x − 2x − a) Đặt=t 2x − Hãy biểu thị P theo t b) Tìm giá trị nhỏ P * 20 So sánh: a) 1 + + + + 100 10 b) + + + + BÀI CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A = A I TĨM TẮT LÍ THUYẾT A A ≥ −A A < Hằng đẳng thức A= = A II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Tính giá trị biểu thức chứa bậc hai Phương pháp giải: Sử dụng đẳng thức A A ≥ = A= A −A A < 1A Thực phép tính: a) 144 − −49 0,01 64 b) 0,25 − ( −15) + 2,25 : 169 1B Hãy tính: a) 0,04 − ( −1,2 ) + 121 81 b) 75 : 32 + (−4)2 − (−5)2 − 32 2A Rút gọn biểu thức: a) (4 − 15 ) + 15 b) (2 − ) b) ( + (1 − ) 2B Thực phép tính sau: a) (2 −3 ) +2 10 − ) + ( 10 − ) 3A Chứng minh: a) 11 + = (3 + ) b) 11 + + 11 − = 3B Chứng minh: a) − = ( − 1) b) − − + = −2 4A Rút gọn biểu thức: a) 49 − 12 − 49 + 12 b) 29 + 12 − 29 − 12 4B Thực phép tính: a) + − − b) 41 − 12 − 41 + 12 Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa bậc hai Phương pháp giải: Sử dụng đẳng thức A A ≥ A= A = −A A < 5A Rút gọn biểu thức sau: a) 25a − 25a víi a ≤ 5B Thực phép tính: a) 49a + 3a víi a ≥ 6A Rút gọn biểu thức: a) A= x − (x + x +9 )( x−9 x −3 b) 16a + 6a b) 9a − 6a víi a ≤ ) víi ≤ x ≠ 9x + 12x + víi x ≠ 3x + b) B = 6B Thực phép tính sau: ( x − 10 a) M= x − b) N = x + 25 )( x +5 x − 25 ) víi ≤ x ≠ 25 4x − 4x + 1 víi x ≠ 2x − 2 Dạng 3: Tìm điều kiện để biểu thức chứa bậc hai có nghĩa Phương pháp giải: Chú ý biểu thức A có nghĩa A ≥ 7A Với giá trị x thức sau có nghĩa ? a) −2 3x − b) 2x − 2x + b) 3x − x − 2x + 7B Tìm x để thức sau có nghĩa: a) − 5x Chú ý rằng,với a số dương , ta ln có: x≥a x ≤ −a • x2 ≥ a ⇔ • x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a 8A Các thức sau có nghĩa nà? a) x − 8x − b) 2x − 5−x 8B Xác định giá trị x để thức sau có nghĩa? x −6 x−2 a) b) − 9x Dạng 4: Giải phương trình chứa thức bậc hai Phương pháp giải: Ta ý số phép biến đổi tương đương liên quan đến thức bậc hai sau • B≥0 A= B ⇔ A = B • A =B ⇔ A =B • = A B ≥ 0(hay A ≥ 0) B⇔ A=B • A =B ⇔ A = B ⇔A= ±B 9A Giải phương trình: b) x + x − = a) x − 2x + = 2x − 2 9B Giải phương trình: a) 2x − 2x + = 2x − b) x + x − = 10A Giải phương trình: a) x − 3x + = x − 10B Giải phương trình: a) x − 5x + = x − III BÀI TẬP VỀ NHÀ 11 Tính: a) 49 144 + 256 : 64 12 Tính giá trị biểu thức: 13 Chứng minh: − 4x − 12x + b) 4x − 4x + 1= x − 6x + b) 72 : 22.36.32 − 225 a) A = ( − ) + b) x − 4x += b) B= ( − 2 ) (2 − ) = ( − 1) Từ rút gọn biểu thức: 2 + (3 − 2 ) 2 M = 6+2 − 6−2 14 Thực phép tính sau: a) M = + − − b) N = − − + 15 Thực phép tính sau: a) P = 11 + − 11 − b) Q = 17 + 12 − 17 − 12 16 Rút gọn biểu thức sau: b) B 9a − 6a a) A 64a + 2a = = 17* Rút gọn biểu thức sau: a) A= a + 6a + + a − 6a + víi -3 ≤ a ≤ b) B = a + a − + a − a − víi ≤ a ≤ 18 Với giá trị x thức sau có nghĩa? a) −5x − 10 b) x − 3x + c) x+3 5−x d) −x + 4x − 19 Giải phương trình sau: a) x − 6x + = − x b) 2x − + 2x − + 2x + 13 + 2x − = * 20 Giải phương trình sau: b) x − 2x + + x − 4x + =3 a) x − + x − 6x + = 21* Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a)= P 4x − 4x + + 4x − 12x + b)= Q 49x − 42x + + 49x + 42x + 22* Tìm số thực x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau: x + y + z += x −1 + y − + z − BÀI LIÊN HỆ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Khai phương tích: Víi A ≥ 0, B ≥ 0, ta cã: AB = A A Më réng: Víi A1 ≥ 0, A ≥ 0, , A n ≥ ta cã: A1A A n = A1 A A n Khai phương thương: Víi A ≥ 0, B > 0, ta cã: A A = B B II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Thực phép tính Phương pháp giải: Áp dụng công thức khai phương tích khai phương thương 1A Tính: a) 25.144 b) 52 13 1B Thực phép tính: a) 45.80 2A Tính: a) 16 b) 28 b) 12,5 0,5 2B Tính: 25 64 a) b) 230 2,3 3A Thực phép tính: 50 + − 24 b) + 4 − 3+5 12 b) − 16 − + 7: b) 36 − 12 : − + 3: b) − : a) 3B Tính giá trị biểu thức: a) 4A Tính giá trị biểu thức: a) 4B Thực phép tính sau: a) Dạng 2: Rút gọn biểu thức Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức khai phương tích khai phương thương 5A Rút gọn: a) 10 − 15 b) − 12 15 − −1 5B Thực phép tính: a) − 15 b) 35 − 14 6A Rút gọn biểu thức sau: a) −2t 3t − víi t ≤ + 5−2 5−4 5+ 10 + b) x − x − x + x − víi x ≥ 6B Rút gọn biểu thức: a) 28y6 7y víi y < b) x4 + − x2 x4 + + x2 7A Rút gọn biểu thức sau: a) M = b) N = x y +y x x + xy + y a − 2a − víi x ≥ 0, y ≥ 0, xy ≠ víi a ≥ 0, a ≠ 4a − a + 1 7B Rút gọn biểu thức sau: a) Q = b) P = x y −y x x − xy + y a+4 a +4 a +2 + víi x ≥ 0, y ≥ 0, x ≠ y 4−a a −2 víi a ≥ 0, a ≠ Dạng 3: Giải phương trình Phương pháp giải: Khi giải phương trình chứa thức ln cần ý đến điều kiện kèm Cụ thể là: • • B≥0 A= B ⇔ A = B B ≥ 0( hay A ≥ 0) = A B⇔ A=B 8A Giải phương trình sau a) x − 2x + = 2x − 8B.Tìm x biết: a) −x + x + = x − 9A Giải phương trình (ẩn y): 9y − 27 − 9B Tìm y biết: b) x − 2x = − 3x b) x − − x − = 1 25y − 75 − 49y − 147 = 20 4y − 20 + y − − 9y − 45 = III BÀI TẬP VỀ NHÀ 10 Tính: a) 32.200 b) 125 11 Làm tính: a) 81 b) 0,5 12,5 12 Làm tính: a) 1,6 250 + 19,6 : 4,9 13 Thực phép tính sau: a) M = ( 20 300 − 15 675 + 75 ) b) N = ( b) ) 325 − 117 + 208 : 13 14 Thực phép tính: − 12 a) P = + 27 − 18 − 48 30 + 162 3+ + b) = Q + − 2+ 3 +1 ( ) 15 Rút gọn biểu thức sau: u−v a)= A − u3 + v víi u ≥ 0, v ≥ 0,vµ u ≠ v u−v u+ v 2u + uv − 3v b) B = 2u − uv + 3v víi u ≥ 0, v ≥ vµ u ≠ v 16 Rút gọn biểu thức sau: x − 2x + víi x ≠ ± x2 − x+ b) N = víi x ≠ - x + 2x + a) M = 17 Giải phương trình sau: a) t −3 2t + =2 b) 25t − = 5t − 18 Giải phương trình sau: a) −2x + = x − b) t − + 4t − 20 − 9t − 45 = = = BAC 600 ⇒ BAO 300 ⇒ AO = 2OB = 2R Vì AO=2R =2OB =300 ⇒ BAC =600 ⇒ BAO 4B Gọi M trung điểm BC AG = AM 10cm Ta tính được= Gọi N trung điểm AB ⇒ MN AC, MN ⊥ AB D,I,G thẳng hàng AG AD AD AD ⇔ = =⇔ =⇔ = AM AN 2AN AB AB + AC − BC AB AB + AC − BC Ta cã AD=r = = ⇔ néi tiÕp ⇔ AB + 3AC = 3BC = AB + AC ⇔ 3AC = 4AB (§PCM) Áp dụng kết ta có AB + AC − BC = AD = 3cm ⇒ ID = DA = 3cm ⇒ IG = DG − ID = 1cm a) Chứng minh C trực tâm tam giác OIK Từ suy KC ⊥ OI H b) IA=12cm Chứng minh ∆KOI cân K Đặt KO = KI = x (x>0) Có IK = IB + BK Hay x = 12 + (x − 9)2 ⇒ x= 12,5 ⇒ IK= 12,5cm Chú ý MD = BD ME = CE a) Tương tự 1A b) i) Áp dụng định lý Pytago tính BH = 3cm Áp dụng hệ thức lược cạnh Góc vng đường cao tam giác Vng, tính được: AB = AC = cm ⇒ PABC =6 cm, S ABC =3 cm ii) Ta có S ABOC = S ABC + S BOC ⇒ S ABOC = cm Cách khác : Áp dụng hệ thức lượng cạnh góc vng đường cao tam giác vng, ta có AB = AC = cm ⇒ PABC =6 cm, S ABC =3 cm ii) Ta có S ABOC = S ABC + S BOC ⇒ S ABOC = cm a) Sử dụng tính chất phân giác trong, phân giác ngồi góc = ICK = 900 ⇒ IBK b) Sử dụng a) ý ACI = ICB = IKC = OCK c) AK cắt BC H Ta có : HC=12cm, AH=16cm AH HC = ⇒ CO = 15cm ∆ACH đồng dạng ∆COH ⇒ AC CO BÀI LUYỆN TẬP TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU 1A Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến Ta có a) AC = CM; BD = DM ⇒ AC+BD=CD b) COM, DOB = COA = DOM = ⇒ COD 900 c) AC.BD=MC.MD= MO2 = R d) Gọi I trung điểm CD Sử dụng tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng đường trung bình hình thang để suy đpcm 1B a) từ CA, CM tiếp tuyến (O) chứng Minh A,C,M,O ∈ đường trịn bán kính OC b) Chứng minh OC,BM vng góc với AM từ suy OC BM (AC + BD)AB AD.AB c) S ACDB = = 2 ⇒ S ACDB nhỏ CD có độ dài nhỏ Hay M nằm cung AB d) Từ tính chất hai giao tuyến ⇒ AC=CM BM=MD, kết hợp với AC BD CN CM = ⇒ MN BD ⇒ MN ⊥ AB ta chứng minh NB MD ; AC phân giác góc EAM từ 2A a) Chú ý: Ab phân giác góc DAM = 1800 DAE b) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến hệ thức đường cao hình chiếu cạnh góc vng lên cạnh huyền tam giác vng DE BAC ⇒ BD.CE = BH.CH = CH = c) ∆HNC nội tiếp đường trịn (M) đường kính HC ⇒ HN ⊥ NC Chứng minh AN tiếp tuyến (M) Do AM ⊥ HN ⇒ AM NC 2B a) Sử dụng tính chất phân giác phân giác ngồi điểm ta có IBK = ICK = 900 ⇒ B,C,I,K ∈ đường trịn tâm O đường kính IK = OCK b) Chứng minh ICA = 900 từ chứng minh OCA Vậy AC tiếp tuyến (O) c) Áp dụng Pytago vào tam giác vuông HAC ⇒ AH=16cm Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông COA ⇒ OH=9cm,OC=15cm 3A a) Tương tự 1B = 900 kết hợp ý a) b) Chú ý OKM ⇒ A,M,B,O,K ∈ đường trịn đường kính OM c) Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông OAM ( chứng minh tam giác đồng Dạng) d) Chứng minh OAHB hình bình hành ý A,B thuộc (O;R) suy OAHB hình thoi e) Chứng minh OH ⊥ AB,OM ⊥ AB ⇒ O,H,M thẳng hàng 3B a) Tương tự 3A ⇒ A,P,M,O ∈ đ trịn đường kính PO b) Ta có OP ⊥ AM,B M ⊥ AM ⇒ BM OP c) chứng minh ∆AOP = ∆OBN ⇒ OP=BN lại có BN OP OPNB hình bình hành d) Ta có ON ⊥ PI,P M ⊥ JO mà PM ∩ ON =I ⇒ I trùc t©m ∆POJ ⇒ JI ⊥ PO(1) Chứng minh PAON hình chữ nhật ⇒ K trung im PO IPO cân I ⇒ IK ⊥ PO(2) Lại có APO = OPI = IOP Từ (1),(2) ⇒ J,I,K thẳng hàng 4A Kẻ OM ⊥ CD ∆COD Gäi K =OD ∩ d; ∆COK = ⇒ OK = OD ⇒ OM = OA = R ⇒ CD Là tiếp tuyến b) AC+BD=CM+DM=CD ≥ AB Do (AC+BD)=AB ⇔ CD AB ⇒ ABCD hình chữ nhật ⇔ AC=AO c) AC.BD=MC.MD= OM = 4a 1 ⇒ + = 2 OC OD 4a d) Tương tự 1Bd ⇒ MN BD ⇒ MN ⊥ AB hay MH ⊥ AB; Tõ AC BD, MN BD,NH BD MN NH ⇒ = ⇒ MN = NH BD BD a) PADE =AD+DE=EA=AD+DM+ME+AE=2AB b) MOC MOE 1= = DOM BOM; 2 = ⇒ BOC 2DOE a) Áp dụng tính chất tiếp tuyến A,B,C ta chứng minh b) S ABC = S AIB + S BIC + S CIA Mà ID = IE = IF = r ⇒ S ABC = pr b+c−a = AD BA ⇒ BM = c) Vì AM phân giác BAC MC AC ac Áp dụng tính chất tỉ lệ thức thu BM = c+b BÀI VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN 1A a) Chứng minh = 900 kết hợp BAC BAD = CAE = 900 ⇒ dpcm b) Chứng minh ∆BAD ∆EAC ⇒ AD.AE=AB.AC(đpcm) c) Chứng minh tứ giác OIO’K hình chữ nhật Đường trịn ngoại tiếp ∆OKO' đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ,có đường kính IK mà IK ⊥ BC I 1B a) Tương tự 1A = ⇒ O'MO 900 Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng tính MA = Rr b) Chứng minh S BCOO' = (R + r) Rr c) Chứng minh S BAC BC ∆BAC ∆OMO' ⇒ = S OMO' OO' S OMO' BC 4Rr Rr ⇒ S= = BAC OO'2 R+r d) Tứ giác OBCO’ hình thang vng B vầ C có IM đường trung bình ⇒ IM ⊥ BC = {M} 1 + 2A Gọi I trung điểm AB Chú ý = 2 AI OA O'A Ta tính AB=24cm 2B.a) Chú ý CMA = DNA = 900 b) Vẽ OP ⊥ MA O'Q ⊥ NA Chú ý hình thang vng OPQO’ có EA đường trung bình 3A Vẽ OP ⊥ CA ; O'Q ⊥ AD suy tứ giác OPQO’ hình thang vng P, Q a) Kẻ OP;O'Q ⊥ CD CD ⊥ MA M trung điểm OO’ ⇒ AP=AQ ⇒ AC=AD b) i) Chú ý ∆EAF có AB, EG,FI ba đường cao ii) Sử dụng CD= 2PQ để lập luận, ta có kết luận: CD lớn CD OO' 3B a) Chỉ OI − OK < IK < OI + OK ⇒ (1) (k) cắt b) Do OI=NK, OK=IM ⇒ OM=ON Mặ khác OMCN hình chữ nhật ⇒ OMCN hình vng c) Gọi {L} =KB ∩ MC, {P} =IB ∩ NC ⇒ OKBI Hình chữ nhật BNMI hình vng ⇒ ∆BLC = ∆KOI = OKI = BIK ⇒ LBC = + IBA mµ BIK 900 + IBA = 900 ⇒ LBC + LBI + IBA = cã LBC 1800 d) Có OMCN hình vng cạnh a cố định ⇒ C cố định AB qua điểm C 4A Ta có OD= OC sin BCD ⇒ bán kính đường trịn nhỏ cm 4B Kẻ OE ⊥ AB;OF ⊥ AC Đặt AC=a, AM=b, AN=c a c−b r + = 2 2 a c+b R + = 2 2 Ta chứng minh a + b + c2= 2(R + r ) 5A a) KỴ O'H ⊥ OM; OK ⊥ O'F cã OH=R-r; O'K =R+r Mµ OH = OO'2 − MN = 36 O'K = OO'2 − EF = 64 ⇒ OH = vµ O'K=8 ⇒ R=7cm vµ r=1cm 17 b) R= cm vµ r= cm 2 5B Kẻ O'H OA;O'K OC Tính OH=4,OK=8 §Ỉt CD=x ⇒ AB=2x OO'= 64 + x vµ OO'= 16 + 4x ⇒ x = ⇒ OO' = 80cm a) Chứng minh tứ giác AEIF hình chữ nhật K trung điểm AI BC BC 2 IF.IO’= IC = b) Có IE.IO= IB = 4 2 ⇒ 2(IE.IO + IF.IO')=AB + AC c) PK Là đường trung bình ∆OAI trung trực EA Ta có = ∆PEK = ∆PAK nªn PEK PAK VËy PEK = 900 ⇒ ®pcm d) S ∆ABC BC S ∆IOO' BC ∆ABC ∆IOO' ⇒ = ⇒ S ∆ABC = S ∆IOO' OO' OO'2 IA Mµ BC=2AI';OO'=2a;S ∆OIO' = 2a.IA =a.IA ⇒ S ∆ABC = a R + R' IA = R.R' ≤ a ⇒ IA = Lớn a R=R’ a) Gọi I trung điểm AB, ta có: OI=OA-IA b) Ta chứng minh IC BD OE Mµ OB=BI=IA ⇒ AC=CD=DE a) (O) (I) tiếp xúc với b) Tứ giác ADCE hình thoi c) Có CK ⊥ AB,AD ⊥ DB ⇒ CK AD mµ CE AD ⇒ B,K,D thẳng hàng d) IBK HDK;IKB = = HKD = HDK + IBK = 900 + IKB ⇒ HKD = ⇒ IKH 900 a) Ta có AB = AE + BE = EM + EN Và CD = FD + FC = NF + NE ⇒ AB + CD = 2EF ⇒ AB = EF b) Ta có EM = AB – EB = EF – EN = NF 1A a) HS tự làm b) HS tự làm c) ÔN TẬP CHƯƠNG II IK = = 1 CK AC.sin α = 2 AC sin = α R cos α sin α d) Giả sử BI cắt AM N Vì IK AM ⇒ MO = OP 1 ⇒ 2= + OI OM ON 1 = + = ⇒M≡N 2 OP ON OB 1B a) HS tự chứng minh =ICA ⇒ IMC =ICM b) Ta có IAC IM=IA=IC c) Sử dụng hệ thức lượng cho ∆ AMB ta dùng Pytago cho tam giác AMB d) Kẻ GD AC (D ∈ OC) ⇒ D cố định lại có OI ⊥ AC ⇒ OG ⊥ DG ⇒ G thuộc đường tr ịn đường kính OD cố định 2A a) HS tự làm b) HS tự làm c) Chú ý hình thang vng OEFO’ xét đường trung bình hình thang d) Từ I kẻ đường thảng song song với EF cắt OE M , cắt O’F N Đặt BH=2R; CH= 2R’ ∆IOM vng M có: IM = IO2 − OM = (R + r)2 − (R − r)2 = 4Rr Tương tự , ∆ION có IN = 4R' r Suy IM+IN=EF=AH Vậy Rr + R' r = RR' ⇒ r ( R + R') = RR' ⇒ = r 2B a) HS tự chứng minh RR' ( R + R')2 2 b) Chứng minh KA KO + HB.HO = KH = MO = R2 Không đổi c) Với giả thiết ∆ CMO = 600 COM = 300 = MCA ⇒ ECA đpcm Dùng tính chất phân giác MCE d) Gọi giao điểm CB AD I Do AC BD Gọi giao điểm MI với CD G , chứng minh tương tự ta IM=IG Vậy I trung điểm MG ⇒ I thuộc đường nối trung điểm đoạn vng góc từ M xuống CD a) Chứng minh ∆MEF ∆MOA b) ∆MEF ∆MAO mà AO=OM ⇒ ME=EF c) chứng minh F trực tâm ∆ SAB, AI đường cao, chứng minh A,I,F thẳng hàng d) FA.SM= 2R 1 1 e) S MHO = OH.MH ≤ MO2 = R 2 2 ⇒ M cung AC a) Tứ giác CMHN hình chữ nhật = OAC b) Ta có OCA ACH;ACH CMN = CBA = = + CMN ⇒ OCA 900 Vậy OC ⊥ MN c) Ta có ∆ IOC có E trực tâm suy IN qua M E (đpcm) ⇒ ∆EMA ∆ENB = CMN,CMN = CBA d) Ta có EMA ⇒ EA.EB = EM.EN Tương tự ∆EMH ∆EHN ⇒ EM.EN = EH , ∆ EHC vng H có HD đường cao ⇒ EH = ED.EC Từ ta có đpcm a) ∆MAO = ∆PBO ⇒ MO = OP ⇒ ∆MNP cân Vì đường cao NO đồng thời đường trung tuyến 1 − + 2 b) OI OM ON 1 = + = ⇒ OI = R OP ON OB ⇒ MN tiếp tuyến (O) c) AM.BN=MI.IN= OI = R d) MN.AB ⇒ S AMNB ⇔ MN ⇔ AM = R a) ∆ ABE cân BI vừa đường cao vừa đường phân giác b) Chứng minh K trực tâm ∆ABE ⇒ EK ⊥ AB c) Chứng minh + ABF = KBC + BKC = 900 AFB = ⇒ FAB 900 ⇒ FA tiếp tuyến (O) d) C di chuyển (O) E di chuyển (B;BA) = S AMNB a) OH.OA= OB = R không đổi b) Chứng minh ∆ ABO= ∆ ACO = c) Vẽ ON ⊥ BM ⇒ BON MON MBx; HBM có BON = = MON = ⇒ MBx HBM nên M cách hai cạnh ⇒ MB phân giác CBx ⇒ đpcm BA BC mà AM phân giác BAC d) Ta có ∆ODA ∆OHI ⇒ OI.OD = OH.OA = R2 Tõ ®ã 3OI+OD ≥ 3OI.OD = 2R ⇒ (3OI + OD)min= 2R ⇔ OI = a) Ta chứng minh b+c−a AE = a + b + c − 2a p a ⇒ AE = =− BAC ∆AIE cã IE=EAtan BAC = (p − a)tan b) Chú ý R 3 BI ⊥ FD vµ CI ⊥ DE Ta cã: + ACB) =1800 − (ABC =1800 − (IBC + ICD) BIC BAC = 1800 − (1800 − BAC) 900 + = 2 =1800 − BIC =900 − α Mµ EDF = c) BH,AI,CK vng góc với EF nên chúng song song ⇒ HBA IAB ( góc so le trong) IAC KCA ; IAC = vµ KCA = mà IAB = nên HBA Vậy BHF CKE d) Do BH DP CK nªn HP BF ⇒ = = PK CE L¹i cã BFP = BD HP = mµ DB=DF vµ CD=CE DC PK BH ⇒ ∆BPH ∆CPK ⇒ BPH = CPE CK ⇒ ∆BPF ∆CEP(g.g) CEF ⇒ PD phân giác BPC mà BPD = CPD ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG II ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM Câu A Câu C Câu A Câu C Câu A Câu C PHẦN II TỰ LUẬN Bài a) Chứng minh ∆ABD = ∆ACD (c.g.c) ⇒ Các tam giác vng ABD,ACD có chung cạnh huyền AD ⇒ B,C thuộc đường trịn đường kính AD b) Ta có HC= 4cm Tính AC=2 cm Xét tam giác ACD vng C có đường cao HC; AC = AH.AD Từ tính AD=10cm Bài a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt chứng minh OM đường trung trực AB, tức OM vng góc AB Áp đụng hệ thức lượng tam giác vuông OAM chứng minh : OI OM= OA = R b) Chứng minh ∆OKI ∆OMH (g.g) ⇒ OK.OH=OI.OM c) Để OAEB hình thoi OA=EB Khi đó, tam giác OAK đều, tức = 600 Sử dụng tỉ số lượng giác góc AOM , tính OM=2OA=2R AOM , tức M cách O khoảng 2R R2 d) Kết hợp ý a) b) ⇒ OK.OH =R ⇒ OK = OH Mà độ dài OH không đổi nên độ dài OK khơng đổi Do đó, điểm K điểm cố định mà AB qua M thay đổi ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM Câu C Câu D Câu A Câu A Câu B Câu C PHẦN II TỰ LUẬN Bài a) Hai tam giác BEC BDC vng có cạnh BC huyền, E,D thuộc đường trịn đường kính BC, tức điểm B,D,E,C thuộc đường trịn đường kính BC b) Xét tam giác BEC vng E có BC cạnh huyền BC>CE Chứng minh tương tự , suy BC>BD Bài a) Ta có + OCA = ECA 900 vµ + OAC = ACH 900 = OCA mµ OAC ( tam giác AOC cân O) = ACH Suy ECA ( phụ với ECA ACH ) ta có đpcm = HAC Khi EAC b) Chứng minh tương tự suy BC phân giác FBH Từ đó, chứng minh BC vng góc HF (1) Tam giác ABC có trung tuyến OC= AB Suy tam giác ABC vuông C , tức BC vng góc với AC (2) Từ (1),(2) suy đpcm c) Ta có : AE+BF =2OC=2R khơng đổi (AE + BF)2 d) Ta có AE.BF ≤ = R2 suy AE.BF lớn = R ⇔ AE=BF=R Điều xẩy C điểm cung AB ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I ĐỀ SỐ Bài a) Ta có P = + − 51 + 14 = + − (7 + 2) = 2( − 1) 6(3 − 3) + 3+2+ =4+ −6 24 B = với x>0, x ≠ ta tìm 0