Củng cố toán 9 - tập 1

Phương pháp giải: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là d: y = ax + b. Ta cần xác định a và b dựa vào các kiến thức về góc và hệ số góc.. Giải tìm được hệ số góc của d bằng 1.. a) Họ[r]

(1)

 Tài liệu sưu tầm

CỦNG CỐ TOÁN TẬP

(2)

PHẦN A ĐẠI SỐ

CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA BÀI CĂN BẬC HAI

I.TĨM TẮT LÍ THUYẾT

1/ Căn bậc hai

- Căn bậc hai số thực a không âm số thực x cho x2 = a - Chú ý:

- Số dương a có hai bậc hai, hai số đối nhau: số dương kí hiệu

a , số âm kí hiệu − a

- Số có bậc hai - Số âm khơng có bậc hai

2/ Căn bậc hai số học

- Với số a không âm, số a gọi bậc hai số học a

- Chú ý: Ta có a x x2 x a

≥ 

= ⇔  =



3/ So sánh bậc hai số học

Ta có : a < b ⇔ ≤ <0 a b

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Tìm bậc hai bậc hai số học số

Phương pháp giải:

• Nếu a > bậc hai a ± a; bậc hai số học a a

• Nếu a = bậc hai a bậc hai số học a • Nếu a < a khơng có bậc hai khơng có bậc hai hai số

học

1A Tìm bậc hai bậc hai số học số sau:

a) b) 64 c)

16 d) 0,04

1B Căn bậc hai bậc hai số học số sau bao nhiêu?

a) -81 b) 0,25 c) 1,44 d) 140 81

Dạng 2: Tìm số có bậc hai số học số cho trước

Với số thực a≥0 cho trước ta có a2chính số có bậc hai số học a

2A Mỗi số sau bậc hai số học số nào?

a) 12 b) -0,36 c) 2

7 d) 0,

3

2B Số có bậc hai số học số sau đây?

a) 13 b)

− c)

2 d) 0,12

0,

Dạng 3: Tính giá trị biểu thức chứa bậc hai

(3)

Với số a≥0 ta có a2 =a vµ ( )a =a 3A Tính:

a) b)

25 c)

2

( 6)

− − d)

2

3

 

−

 

 

3B Tính:

a) 121 b) 16

25 c) ( )

2

− d)

2

3 − 

 

 

4A Tính giá trị biểu thức sau:

a) 0,5 0,04 0,36+ b) − − + −− −

25

4

16 25

4B Thực phép tính: a) 81−1 16

3 b) −

1 25 16

Dạng 4: Tìm giá trị x thỏa mãn biểu thức cho trước

Phương pháp giải: Ta sử dụng ý: • = ⇔ = ±

x a x a

• Với số a 0≥ , ta có x a= ⇔ =x a2 5A Tìm giá trị x biết :

a) 9x2 – 16 = b) 4x2 = 13 c) 2x2 + = d) − 2x 1+ + =2

3

5B Tìm x, biết:

a) 3x2 = b) 2x+ =1 3

c) 2x 0+ + = d) x2−4x 13 3+ =

Dạng 5: So sánh bậc hai số học

Phương pháp giải:

Ta có : a < b⇔ ≤ <0 a b

6A So sánh:

a) 2 b) 17 1+ c) 15 1− d) 1− 0,2 6B Tìm số lớn cặp số sau:

a) 11 30 b) 1+ c) 1− d) -10 −3 11 7A Tìm giá trị x, biết:

a) 2x <1

3 b) − + ≥

1

3x

2

7B Tìm x thỏa mãn:

a) − + >2x b) 2x 1− ≤3

2

(4)

8A* Chứng minh:

a) số vô tỉ b) 2+ số vô tỉ

8B* Chứng minh:

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

9 Tìm bậc hai bậc hai số học số sau: a) 225 b) 49

289 c) 2,25 d) 0,16

10 Mỗi số sau bậc hai số học số nào? a) b) − − 

 

3

4 c)

3

2 d) 0, 25

0, 11 Tính:

a) 225

9 b) − −( )

2

111 c)

2

1 400

 

− 

  d)

2

7

 

−

 

 

12 Tính giá trị biểu thức sau: a) 25−9 16+ 144

5 81 b) − +

1 0,5 0,09 0,25

4

c) −3 64

16 d)

− −

− + −

−

289 0,09

10

16

13 Tìm giá trị x biết:

a) –x2 + 324 =0 b) 16x2 – = c) =

−

2

x d) − + =

2

4x 4x 14 So sánh cặp số sau:

a) 2+ b) 1− c) 0,5 2− d) −3 −2 15* So sánh : 2015+ 2018 2016+ 2017

16 tìm x thỏa mãn:

a) x 5+ ≥ b) − + >2x c) x 31+ ≤ d) 3x 2− < 17* Tìm x biết:

a) 2x 1− ≥ x 1+ b) 2x ≤ x2 18 Chứng minh:

19* Cho biểu thức : P x 2x 3= − −

a) Đặt t= 2x 3− Hãy biểu thị P theo t

b) Tìm giá trị nhỏ P 20* So sánh:

a) + + + +

1 100 10 b) 4+ 4+ + +

(5)

BÀI CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A = A

I. TĨM TẮT LÍ THUYẾT

Hằng đẳng thức A2 A A A

A A <

≥ 

= = 

− 

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức chứa bậc hai

Phương pháp giải: Sử dụng đẳng thức

2 A A

A A

A A <

≥ 

= = 

− 

1A Thực phép tính:

a) 144 49 0,01 64

−

− b)  0,25− (−15)2 + 2,25 : 169

 

1B Hãy tính:

a)  0,04− (−1,2)2 + 121 81

  b)

2 2

75 : + −( 4) −3 ( 5)− −3

2A Rút gọn biểu thức:

a) (4− 15)2 + 15 b) (2− 3) (2 + 1− 3)2

2B Thực phép tính sau:

a) (2 3− )2 +2 2 b) ( 10 3− ) (2 + 10 4− )2

3A Chứng minh:

a) 11 2+ = +(3 2)2 b) 11 2+ + 11 2− =6

3B Chứng minh:

a) 8 7− =( 1− )2 b) 7− − 7+ = −2

a) 49 12 5− − 49 12 5+ b) 29 12 5+ − 29 12 5−

4B Thực phép tính:

a) 3+ − 3− b) 41 12 5− − 41 12 5+

Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa bậc hai

Phương pháp giải: Sử dụng đẳng thức

2 A A

A A

A A <

≥ 

= = 

− 

5A Rút gọn biểu thức sau:

a) 5 25a2 −25a víi a 0≤ b) 16a4 +6a2

a) 49a2 +3a víi a 0≥ b) 3 9a6 −6a víi a 03 ≤

a) A x (x x 9)( x 3) víi x x

+ + −

= − ≤ ≠

(6)

b)

2

9x 12x

B víi x

-3x

+ +

= ≠

+

a) M x (x 10 x 25)( x 5) víi x 25 x 25 − + + = − ≤ ≠ − b)

4x 4x 1

víi x x

N= − + ≠

−

Dạng 3: Tìm điều kiện để biểu thức chứa bậc hai có nghĩa

Chú ý biểu thức A có nghĩa khiA 0≥

7A Với giá trị x thức sau có nghĩa ?

a)

3x

−

− b)

3x x 2x

−

− +

7B Tìm x để thức sau có nghĩa:

a) 2x 32

2x

−

+ b)

3 5x−

Chú ý rằng,với a số dương , ta ln có: • x2 a2 x a

x a ≥  ≥ ⇔  ≤ − 

• x2 ≤a2 ⇔ − ≤ ≤a x a

8A Các thức sau có nghĩa nà?

a) x2−8x 9− b) 2x

5 x

−

8B Xác định giá trị x để thức sau có nghĩa?

a) x

x

−

− b)

2

4 9x−

Dạng 4: Giải phương trình chứa thức bậc hai

Phương pháp giải: Ta ý số phép biến đổi tương đương liên quan đến thức bậc hai sau

• A B B 02 A B

≥ 

= ⇔  =



• A2 = ⇔B A =B

• A B B 0(hay A 0) A B ≥ ≥  = ⇔  = 

• A2 = B2 ⇔ A = B ⇔ = ±A B

9A Giải phương trình:

a) x2−2x 2x 2+ = − b) x x 2+ − =

9B Giải phương trình:

(7)

10B Giải phương trình:

a) x2−5x 6+ = x 2− b) 4x2−4x 1+ = x2−6x 9+

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

11 Tính:

a) 49 144+ 256 : 64 b) 72 : 36.32 − 225 12 Tính giá trị biểu thức:

a) A= (2− 5) (2 + 2− 5)2 b) B= ( 2− ) (2 + 2− )2 13 Chứng minh: 6 5− =( 1− )2 Từ rút gọn biểu thức:

M= 5+ − 5− 14 Thực phép tính sau:

a) M= 5+ − 5− b) N= 7− − 7+ 15 Thực phép tính sau:

a) P= 11 2+ − 11 2− b) Q= 17 12 2+ − 17 12 2− 16 Rút gọn biểu thức sau:

a) A= 64a2 +2a b) B 9a= −6a3 17* Rút gọn biểu thức sau:

a) A= a2+6a 9+ + a2−6a víi -3 a 3+ ≤ ≤ b) B= a a 1+ − + a a víi a 2− − ≤ ≤

18 Với giá trị x thức sau có nghĩa? a) − −5x 10 b) x2−3x 2+

c) x

5 x

+

− d)

2

x 4x

− + − 19 Giải phương trình sau:

a) x2−6x x+ = − b) 2x 2 2x 3− + − + 2x 13 2x 3+ + − =5

20* Giải phương trình sau:

a) x2 − +9 x2 −6x 0+ = b) x2−2x 1+ + x2−4x 3+ =

21* Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:

a) P= 4x2−4x 1+ + 4x2−12x 9+ b) Q= 49x2−42x 9+ + 49x2+42x 9+

22* Tìm số thực x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau:

(8)

BÀI LIÊN HỆ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

I. TĨM TẮT LÍ THUYẾT

1. Khai phương tích:

1 n

1 n n

Víi A 0, B 0, ta cã: AB A A Më réng: Víi A 0,A 0, ,A ta cã: A A A A A A

≥ ≥ =

≥ ≥ ≥

=

2. Khai phương thương:

Víi A 0, B > 0, ta cã: A A

B B

≥ =

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Thực phép tính

Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức khai phương tích khai phương thương

1A Tính:

a) 25.144 b) 52 13

a) 45.80 b) 28

2A Tính:

a)

16 b)

12,5 0,5

2B Tính:

a) 25

64 b)

230 2,3

3A Thực phép tính:

a) 50 24

3

 

+ −

 

  b) 3+ 2

3B Tính giá trị biểu thức:

a) 3 12

4

 

− +

 

  b) 3−

4A Tính giá trị biểu thức:

a) 16 :

7

 

− +

 

  b) 36 12 : 6−

a) :

3

 

− +

 

  b) 3− : 2

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức khai phương tích khai phương thương

(9)

a)

8− 12 b) 1− +2 4−

a) 15

35 14

−

− b)

5

10

+ +

a) 2t 3t víi t

3

− − ≤

b) x− x2 −1 x+ x2 −1 víi x 1≥

6B Rút gọn biểu thức:

a)

6

4

28y

víi y <

7y b)

4

x + −4 x x + +4 x

a) M x y y x víi x 0, y 0, xy x xy y

+

= ≥ ≥ ≠

+ +

b) N a 2a víi a 0, a 4a a

− −

= ≥ ≠

− +

7B Rút gọn biểu thức sau:

a) Q x y y x víi x 0, y 0, x y x xy y

−

= ≥ ≥ ≠

− +

b) P a a 4 a víi a 0, a

a a

+ + −

= + ≥ ≠

+ −

Dạng 3: Giải phương trình

Phương pháp giải: Khi giải phương trình chứa thức cần ý đến các điều kiện kèm Cụ thể là:

• A B B 02 A B

≥ 

= ⇔  =



• A B B 0( hay A 0) A B

≥ ≥



= ⇔ 

=



8A Giải phương trình sau

a) x2−2x 2x 2+ = − b) x2−2x = 3x− 8B.Tìm x biết:

a) − + + = −x2 x x 3 b) x x− − 2− =9 0

9A Giải phương trình (ẩn y):

1

2 9y 27 25y 75 49y 147 20

5

− − − − − =

9B Tìm y biết:

1

4y 20 y 9y 45

3

− + − − − =

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

10 Tính:

(10)

11 Làm tính:

a)

81 b)

0,5 12,5

12 Làm tính:

a) 1,6 250+ 19,6 : 4,9 b) 53 4

13 Thực phép tính sau:

a) M=(20 300 15 675 75− + ) b) N=( 325− 117 208 : 13+ )

14 Thực phép tính:

a) P 12 27

18 48 30 162

− +

= −

− +

b) Q 3 2 ( 3)

3

+ +

= + − +

+

15 Rút gọn biểu thức sau:

a)

3

u v u v

A víi u 0, v 0,vµ u v

u v

− +

= − ≥ ≥ ≠

−

+

b) B 2u uv 3v víi u 0, v vµ u v 2u uv 3v

+ −

= ≥ ≥ ≠

− +

16 Rút gọn biểu thức sau:

a)

2

x 2x 2

M víi x

x

− +

= ≠ ±

−

b) N 2 x víi x - x 2x 5

+

= ≠

+ +

17 Giải phương trình sau:

a) t

2t

− =

+ b)

2

25t − =9 5t 3−

18 Giải phương trình sau:

a) −2x2+ = −6 x 1 b) t 5 4t 20 9t 45 3

(11)

BÀI BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

I.TĨM TẮT LÍ THUYẾT

1/ Đưa thừa số dấu

2

A B= A B Víi B 0≥ 2/ Đưa thừa số vào dấu

2

A B A A B

A B A

 ≥

 = 

− <



3/ Khử mẫu biểu thức dấu bậc hai

2

A AB

AB víi B vµ AB

B = B = B ≠ ≥

4/ Trục thức mẫu

• A A B

B

B =

• m m( A B)

A B

− =

−

+

• m m( A B)

A B

+ =

−

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Đưa thừa số dấu căn, vào dấu

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức sau:

• Cách đưa thừa số A2 dấu căn: A B2 = A B Víi B 0≥

• Cách đưa thừa số vào dấu căn:

2

A B A A B

A B A

 ≥

 = 

− <



1A Đưa thừa số dấu căn:

a) 27x víi x 02 ≥ b) 8xy víi x 0, y 02 ≥ ≤

1B Đưa thừa số dấu căn:

a) 25x víi x 03 > b) 48xy víi x 0, y R4 ≥ ∈

2A Đưa thừa số vào dấu căn:

a) a 13 víi a 0≥ b) a 15 víi a < a

−

2B Đưa thừa số vào dấu căn:

a) a 12 víi a

2 a > b) a víi a 0≤

Dạng 2: So sánh bậc hai

Phương pháp giải: Đưa thừa số dấu căn, vào dấu so sánh

(12)

a) 2 29 vµ 13 b) 5 vµ 3

4 2

3B Tìm số bé cặp số sau:

a) 5 vµ b) 5 vµ

2 37

4A Sắp xếp số 3 5; 6; 29; theo thứ tự tăng dần

4B Sắp xếp số 7 2; 8; 28; theo thứ tự giảm dần.

Dạng 3: Rút gọn biểu thứa chứa bậc hai

Phương pháp giải: Đưa thừa số dấu căn, vào dấu rút gọn

a)

3

100x x

A 4x víi x >

9 x

= − −

b) B 6v v2 4v víi v -3

3

= + + + + ≤

5B Rút gọn biểu thức:

a)

2 15 16u 169u

M 25u víi u >

2 u

= − −

b) N t 4t t2 víi t 2

= + − + − ≤

Dạng 4: Giải phương trình cần đưa thừa số vào dấu

Phương pháp giải: Đưa thừa số dấu căn, vào dấu tính tốn

6A Giải phương trình:

2

a 4a 12 9a 81

25 7 a 18

25 81

− − − − − + − =

6B Tìm x thỏa mãn:

1

18x 8x 2x

3

+ − + + + =

Dạng 5: Khử mẫu biểu thức dấu bậc hai

Phương pháp giải: Cách khử mẫu biểu thức dấu bậc hai

2

A AB

AB víi B vµ AB

B = B = B ≠ ≥

7A Khử mẫu biểu thức dấu bậc hai sau:

a)

3

5x

víi x 0, y >

59y ≥ b)

3

7xy víi x < 0, y > xy

−

7B Khử mẫu biểu thức dấu bậc hai sau đây:

a) 5b3 víi a 0, b

49a > ≥ b)

1 16

ab víi a < 0, b < ab

(13)

Dạng 6: Trục thức mẫu

Phương pháp giải: Cách trục thức mẫu

• A A B

B

B =

• m m( A B)

A B

− =

−

+

• m m( A B)

A B

+ =

−

8A Trục thức mẫu rút gọn:

a)

2 3− b)

3

−

+

8B Trục thức mẫu rút gọn:

a)

5− 3 b)

2

− +

9A Trục thức thực phép tính:

a) M 15 12 ( 11)

6 6

 

= + −  +

+ − −

 

b) N 5 5

1 5

 +  − 

= −  − 

+ −

  

9B Trục thức thực phép tính:

a) P 3 2 ( 3)

3

+ +

= + − +

+

b) Q 5 5

2 5

 −  + 

= −  − 

− +

  

IV. BÀI TẬP VỀ NHÀ

10 Đưa thừa số dấu căn:

a) 5a víi a 02 ≤ b) 18a víi a 02 ≥

c) −9b víi b 03 ≤ d) 24a b víi a;b R4 ∈

11 Đưa thừa số vào dấu căn:

a) x víi x 0≥ b) x 15 víi x 0≤

c) 1 19y víi y

y > d)

1 27

y víi y

3 y ≤

12 Tìm số lớn cặp số đây: a) 2 vµ 3 b) 2 vµ

5 3

(14)

a) 2 23 vµ 10 b) 2 vµ 21

5

14 Sắp xếp số:

a) 2 5; 2; 5; 23 theo thứ tự tăng dần b) 5 2; 13; 3; 47 theo thứ tự giảm dần

15 Rút gọn biểu thức: a)

3

25x 9x 9x

A víi x

4 3x 64

= − − ≥

b) B y 4y 4y2 víi y

2 2

= + − + − ≤

16 Tìm u, biết:

a) 4u 20 u 9u 45

9

−

− + − − =

b) 2 9u 16u 16 27 u

3 81

−

− − − + =

17* Tìm x, y, z biết: x y z 1(x y z)

2

+ + − + − = + +

18 Thực hiệ phép tính:

a) P 15

3 3 3

 

= + + 

− − − +

 

b) Q 14 15 :

1

 − − 

= + 

− − −

 

19* Chứng minh:

1 1

n

1+ 2+ 2+ 3+ 3+ + + n 1− + n = −

BÀI RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

(15)

1 Đê’ rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai, ta cần biết vận dụng linh hoạt phù họp phép biên đổi đơn giản như:

- Đưa thừa sơ' ngồi dâu căn; - Đưa thừa sô' vào dâu căn; - Trực thức mẫu;

- Quy đồng mẫu thức

2 Các toán liên quan đến toán rút gọn biêu thức chứa bậc hai thường là:

- Tìm giá trị biểu thức biết giá trị biến; - Tìm giá trị biến biết giá trị biểu thức;

- Tìm giá trị nguyên biến đê’ biểu thức nhận giá trị nguyên; - Tìm giá trị thực biến đế biểu thức nhận giá trị nguyên; - So sánh biểu thức với sô' biếu thức khác; - Tìm giá trị lớn giá trị nhò cua biêu thức

Dạng Rút gọn biểu thức chúa bậc hai tìm giá trị biểu thúc biết giá trị biến Phương pháp giải:Thực theo hai bước:

Bước Để rút gọn biểu thức chứa bậc hai cho, ta sử dụng phép biên đổi đưa thừa sô' vào dâu căn, trục thúc mẫu, quy đồng mẫu thức cách linh hoạt

Bước Đê’ tìm giá trị biểu thức biết giá trị cùa biên ta rút gọn giá trị biên (nêu cần) sau thay vào biểu thức dược rút gọn tính kết

CÁC BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Rút gọn biểu thúc chứa bậc hai tìm giá trị biểu thức biết giá trị biến

1A Cho biểu thức P x x 1 víi x vµ x

x x x

−

= + − ≥ ≠

− + −

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P trường hợp:

i) x= 2+ + 2−

ii) x 1

2

= −

(16)

1B Cho biểu thức Q : x 1 víi x vµ x x

x x

 − 

 

= +   −  ≥ ≠

−

+ −

   

a) Rút gọn Q

b) Tính giá trị Q trường hợp:

• x= 27 10 2+ − 18 2+ • x 2

2 3

= −

− +

Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa bậc hai tìm giá trị biến biết giá trị biểu thức

2A Cho biểu thức M x x : 2 x víi x vµ x

x x

x x x x

   − 

= +   −  ≥ ≠

−

−  + 

 

a) Rút gọn M

b) Tìm x để M

2

− =

2B Cho biểu thức N x xvíi x

3 x x x

+

 

= −  ≥

+ +

 

a) Rút gọn N

b) Tìm x để N

9

=

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa bậc hai tìm giá trị biến để biểu thức đạt giá trị nguyên

3A Cho biểu thức A x : x víi x vµ x

x

x x

   

= +    −  ≥ ≠

−

− −

   

a) Rút gọn A

b) Tìm x nguyên để M A x x x

2 x x

+ − −

= +

+ + có giá trị nguyên

3B Cho biểu thức A x vµ B = x : x víi x vµ x

x x

 

+ +

=  +  ≥ ≠

− −

−  − 

a) Rút gọn B

b) Tìm x nguyên để C = A ( B – ) có giá trị nguyên

4A Cho biểu thức P 1 : x víi x vµ x

x x x

−

 

=  +  ≥ ≠

+ −

 

a) Rút gọn P

b) Tìm x thực để 7P

3 có giá trị nguyên

(17)

15 x x 1 x

A : vµ B= víi x vµ x 25

x 25 x x x

− + −

= +  ≥ ≠

− + − +

 

a) Rút gọn A

b) Tìm x thực để M= A - B có giá trị nguyên

Dạng 4: Rút gọn biểu thức chứa bậc hai so sánh biểu thức với số (hoặc biểu thức khác)

Phương pháp giải: Để so sánh biểu thức M với số a, ta xét hiệu M-a và xét dấu hiệu này, từ đến kết phép so sánh

5A Cho hai biểu thức

x x

A vµ B= víi x 0, x 1,x 25

x

x x x

− +

= + + ≥ ≠ ≠

−

− + −

a) Rút gọn B

b) So sánh C A.B x x víi

x x

− −

 

= = 

−

 

5B Cho biểu thức:

2 x x x x x

A vµ B= víi x 0, x 9,x 25

x x 25

x

+ +

= − ≥ ≠ ≠

− −

−

a) Rút gọn biểu thức A B b) Đặt P A

B

= so sánh P với

Dạng 5: Rút gọn biểu thức chứa bậc hai tìm giá trị lớn nhất( giá trị nhỏ nhất) biểu thức

Phương pháp giải: Chú ý

- Biểu thức P có giá trị lớn a, kí hiệu Pmax =a nÕu P a≤ với giá trị biến tồn giá trị biến để dấu “=” xảy

- Biểu thức P có giá trị nhỏ b, kí hiệu Pmin =b nÕu P b≥ với giá trị biến tồn giá trị biến để dấu “=” xảy

6A Cho hai biểu thức

x x x x x

A vµ B= víi x 0, x 4,x

x x x x x

= + − + +

= − − ≥ ≠ ≠

− − + − −

a) Rút gọn B b) Đặt P A

B

= Tìm giá trị nhỏ P

6B Cho biểu thức P x x 3x víi x vµ x x

x x

+

= + − ≥ ≠

−

+ −

a) Rút gọn P

(18)

7 Cho biêu thức: M x x x víi x , x 4,x

x x x x

− + +

= − − ≥ ≠ ≠

− + − −

a) Rút gọn M

b) Tính giá trị M X = 11 - 6 c) Tìm giá trị thực x để M = d) Tìm giá trị thực x đê’ M < e) Tìm giá trị X nguyên để M nguyên

_ 3x + V9x-3 VX+1VX-2 ,

8 Cho biêu thức: Q 3x 9x x x víi x vµ x

x x x x

+ − + −

= − + ≥ ≠

+ − + −

a) Rút gọn Q

b) Tính giá trị Q x = + c) Tìm giá trị x đê’ Q = d) Tìm giá trị x để Q > 1

2

e) Tỡm x Z để Q Z∈ ∈ Với x x 1≥ ≠ cho biểu thức:

1 x x x

P :

x

x x x x x x x x x

   + 

= −    + 

+

− − + − + + +

   

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị x đê’ P <

2

c) Tìm giá trị x để P = 1

3

d) Tìm x nguyên đế Pnguyên e) Tìm giá trị nhỏ P

10 Cho biểu thức: P x x : x x víi x vµ x 1,x x

x x

 

+ −

 

= −   −  ≥ ≠ ≠

−

+ +

   

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị x thỏa mãn P <

2

(19)

11* Cho biêu thức N víi x>0 vµ x

x x x x

= − + ≠

+ + −

a) Rút gọn N

b) Tìm giá trị nhỏ N c) Tìm x đê’ biểu thức M = 2 x

N nhận giá trị nguyên

12 Chứng minh đẳng thức sau:

a)

2

2 2

a b a b

a víi a+b>0 vµ b

b a 2ab b

+ = ≠

+ +

b) a b a b 2b b víi a 0, b vµ a b b a

2 a b a b a b

+ −

− − = ≥ ≥ ≠

−

− + −

BÀI CĂN BẬC BA

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Cân bậc ba

• Căn bậc bacủa sô' thực a là sô' thực x cho x3 = a, tó hiệu 3a • Chú ý:

- Mọi sơ' thực a đều có bậc ba

- Căn bậc ba số dương sô' dương; số âm số âm; sô'

2. Các công thức liên quan đến bậc ba

3 3

3

3 3 3

3

a) A<B A B b) A B A B

A A

c) AB A B d) víi B

B B

⇔ < = ⇔ =

= = ≠

Dạng Thực phép tính cớ chúa cán bậc ba

Phương pháp giải:Áp dụng công thức: 3a3 =( )3a =a đẳng thức:

(20)

a3-b3 =(a-b)(a2 +ab+b2)

và nắm vững bảng lập phương sô' đơn giản:

a 2

a3 27 64 125 216 343 512 729 1A Hãy tính:

a) 327 ; b) 3

125; c)

3

64a ; d) 3−8a b2

1B Làm tính:

a) 3729; b) 3

216 ; c)

3343a3; d) 3−512a b3 2A Thực phép tính sau:

3

108 7,2 a)

4 + 0,9 b)

3 3

2 24 81 192− + c)

3

750

160 1,2

250 − d* )

3

3 3

2

4

2 1− − − 2B Thực phép tính:

a)

3

384

3 54 432

3 + − + b)

3

3 27 64 0,064

512 8

− + + −

c) 3−343 33 +381 24− d) 3

3

4

3

+ −

+ 3A Rút gọn biếu thức:

a) A=3125x3+75x2 + + −15 5x b) B= 3x x x x 1+ − −31 x−

3B Chứng minh biếu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào biên x: a) A= 3x x 3x x ( x 2)+ + + − − b)

( ) (3 )3

3 3

B= x 1+ − x 1− +6( x 1)( x 1)− +

Dạng So sánh cảc bậc ba

Phương pháp giải:Đế so sánh bậc ba, ta ý:

3A <3 B⇔ <A B 4A So sánh cặp số sau:

3

a) vµ 23 b) 15 vµ 1263 4B Tìm số nhỏ cặp số sau:

3

a) vµ 43 b) vµ 53 5A So sánh:

3 3

A= 20 14 2+ + 20 14 vµ B = 9− 5B So sánh: 3

3

4 M 7 vµ N=

9

= + + −

(21)

6B Tim x thỏa mãn:

a) 34 2x 4− ≥ b) 3− −x3 3x2 +6x 10 x l− < − −

Dạng Giải phương trình chúa bậc ba

Phương pháp giải:Áp dụng 3A B= ⇔ =A B3 7A Giải phương trình sau:

a) 32x 3+ = ; b) 35 x x 5+ − = 7B Tìm x, biết:

a) 32 3x− = −2 b) 3x 1 x− + = 8A Giải phương trình sau:

a) 3x3+3x2+3x 2x 3+ − = b) 3 3

1

27x 216x x

x

− + =

8B Tìm x thỏa mãn:

a) 31 9x 27x− + 2−27x3 =3x 5− b) 38x2 x3 27

x

+ =

9 Hãy tính:

a) 3512 b)

125

−

c)

3 343a b

216

− d)

3−64a b9 10.Thực phép tính:

a)

3 3

135

54

5 − b) ( )

3 3 3

( 25− 10+ 4) 5+ 11.Rút gọn biểu thức:

a) M 3x= −327x3+27x2+9x 1+ b) N= 38x3+12x2+6x 1+ −3x3

12.Thực phép tính sau:

( )(3 )

3

a) 3− 1− b) 3+ 3+310 3+ 13.So sánh cặp số sau:

a) 2 263 b) 2 vµ 473 14.Tìm sốlớn hơn:

(22)

15.Giải phương trình sau:

a) 32x 1+ = b) 3 x3+2x2 = +x 2

ÔN TẬPCHƯƠNG I

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Xem phần Tóm tắt lý thuyết từ Bài đên Bài

1A Với x>0, cho biểu thức:

1 x x A

A , B= vµ P=

B

x x x x

= +

+ +

a) Rút gọn tính giá trị P x = b) Tìm giá trị thực x để A 3B≤ c) Sosánh B với

d) Tim x thỏa mãn P x+(2 x 3x x 3− ) = − − + 1B Cho biểu thức P x : x 1 x víi x>0 vµ x

x x x x

 − − 

 

= −   +  ≠

+

   

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P biết x

2

=

+

c) Chứng minh P > với x > x 1≠

d)Tim x thỏa mãn: P x x 3= − − x 4− 2A Cho biếu thức:

a a a a

M : víi a , a 4, a

1 a a a a a

   + + + 

= −   + +  ≥ ≠ ≠

+ − − − +

   

a) Rút gọn M b) Tìm a để M<0

c) Tìm a để M > d) Tính giá trị nhỏ M 2B Với a > , a 1≠ cho biểu thức

a a a a 1 a a

N a

a a a a a a a

  − +   + − = − + −   + 

(23)

c) Tìm a để N > d) Tính giá trị nhỏ N- a 3A Với x , vµ x 1≥ ≠ Cho biểu thức

15 x 11 x 2 x

P

x x x x

− − + = + −

+ − − +

a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x= c) Tìm x đểP

2

= d) Tìm x để P nhận giá trị nguyên 3B Với x , x vµ x 1≥ ≠ ≠ Cho biểu thức

x x x 1

P :

x x x x

 + − −    = +   −  − −  + − 

 

a) Rút gọn P b) Tính P x 3= − c) Tìm x để P<1 d) Tìm x nguyên để P nguyên 4A Cho biểu thức E x :

x

x x x x

    = −   + 

− − −  + 

 

a) Tìm điều kiện x để E có nghĩa b) Rút gọn biểu thức E

c) Tìm x để E >

d) Tìm m để có giá trị x thỏa mãn E x m= − x 4B.Cho biếu thức F x 8x : x

4 x

x x x x

   −  = +   − 

−

+ −

    + a) Tìm điều kiện x để F có nghĩa

b) Rút gọn biểu thức F

c) Tính giá trị F biết x 3= −

d) Tìm m để vớimọi giá trị x > 9, ta có: m( x 3)F x 1− > +

III BÀI TẬP VỂ NHÀ

5 Với x , x vµ x 25≥ ≠ ≠ Cho biểu thức

x x 25 x x x

A :

x 25 x x 15 x x

 −   − + −  = −   − + 

− + − + −     a) Rút gọn biểu thức A

(24)

d) Tìm x để A nguyên

6 Cho biểu thức: B 1 a a

a a a a

 + +   

= −  −  − − −     a) Tìm a đê’biểu thức B có nghĩa

b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm a để B

6

>

d) Giả sử a là sơ' ngun, tìm giá trị nhỏ B

7 Với x > x 1≠ , cho biểu thức: C x x x

x

x x x

 + −  + = − 

− + +

  a) Rút gọn C

b) Khi x 7

1 1

= −

− − − + , tính giá trị biểu thức C c) Tim x để C >

d) Tìm x nguyên để C nhận giá trị nguyên

8 Với a>0 a 1≠ Cho biểu thức: M 1 : a

a a a a a

+  

= + 

− − − +   a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm a để M = -1 c) So sánh M với d) Tìm a để M <

9 Cho biểu thức:

1 x x

P

x x x 2 x 2x x

 

− +

 

= −  −  − − − − − −    

a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa b) Rút gọn biểu thức P

c) Tính giá trị P biết x 2= + d) Tìm giá trị lớn P

10 Với x vµ x 1≥ ≠ , cho biểu thức:

2x x x x

N x

x x x x 1 x

 +   +  = −   − 

− + + +

    a) Rút gọn N

b) Khi

2 15 9

x

5 3

 − − 

 

= +

 

(25)

11 Cho biểu thức:

x x x

A

4 x

x x

+ + = + +

− − + a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A

c) Tìm giá trị x để A=2

d) Tìm x để A nhận giá trị nguyên 12 Với x vµ x 1≥ ≠ cho biểu thức

( )2 x

x x

B

x x x

 − +  −

= − 

− + +

 

a) Rút gọn B

b) Tính giá trị B x= 5− 3− 29 12 5− c) Tìm giá trị x để B>0

d) Tìm giá trị lớn B 13 Với a vµ a 1> ≠ cho biểu thức

2

a a a

Q

2 a a a

   − +  = −   − 

+ −     a) Rút gọn Q

b) Tìm a để Q<0

c) Tìm giá trị a để Q=-2 d) Đặt T= Q a So sanh T với 14 Cho biểu thức:

1 x x x

P :

x 2 x x x x

 −   +  = −    − 

− − −

    a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa

b) Rút gọn P

c) Tính giá trị P

x

2

− =

d) Tìm m để có x thỏa mãn: P= mx x-2mx+1

ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I ĐỀ SỐ

PHẦN I TRẮC NGHIỆM

(26)

A B -5 C ±5 D 625 Câu Trong số 12 ; 2; 3; 10; số lớn là: A B C D 10 Câu Hàm số

y

3 4x

− =

− xác định

A x

4

< B x

4

≠ − C x

4

> D ∀ ∈x R

Câu Giá trị 5− − bằng:

A B 5+ C 5− D -1 Câu Giá trị x để 4x x

9

− − − = là: A B C D Câu Giá trị (2 7 2− )2 bằng:

A 2 7− B 7 2−

C ±(2 7 2− ) D Không xác định Câu Với a > 0, biểu thức

2 b 2a

a bằng:

A 2b2 B 2ab2 C a b2 D ±2ab2

Câu Một hình lập phương tích 27cm3, cạnh hình lập phương là:

A 27cm B 9cm C 3 D 3cm

PHẦN II TỰ LUẬN

Bài 1: Tính giá trị biểu thức:

a) A 7

7

+ − = +

− + b) ( )

2

B 27

3

= + − −

+

Bài 2: Giải phương trình sau:

a) 25x 50 x 9x 18

5 + − + + + + =

b) x2 −4x 7x 1+ = − Bài 3: Cho biểu thức:

3x x x x

P : víi x vµ x

x x 3 x x

 +   − 

= − +    −  ≥ ≠ − + − −

   

(27)

b) Tính giá trị P x 20 11= − c) Tìm x để P

2

>

d) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức Q 2P x

3

= nhận giá trị nguyên

ĐỀ SỐ

PHẦN I TRẮC NGHIỆM

Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng: Câu Căn bậc hai số học 16 là:

A B ±4 C.256 D -4 Câu Khẳng định sau đúng:

A 5 2> B 5 2= C 20 2< D 5> 50 Câu Hàm số y

3x

=

+ xác định khi: A.x

3

≥ − B x

3

≤ − C x

3

≠ − D x

3

> − Câu Giá trị (1 2)2

2

− +

− bằng:

A 2 2+ B C 2 D

Câu Giá trị x để 4x 9x 18

2 16

+

+ − = − là: A B C D -1

Câu Biểu thức 25x2 −20x 4+

bằng:

A 5x – B – 5x C 5x 2− D 5x + Câu Với a,b > 0, biểu thức a b a

b a + b bằng;

A B 2a

b C

a

b D

2 ab b

Câu Biểu thức 64x y z6 bằng:

A 8x y z3 B x y z3 C 8x y z3 D −8x y z3

Bài Tính giá trị biểu thức:

a) A

1 3

= −

+ − b)

10 5

B

2

− + = − +

− + Bài Giải phương trình sau:

(28)

b) x 4x 9x 18

2

−

− − + − − =

Bài Cho biểu thức A x vµ B víi x 0, x

x x x

= + = ≥ ≠

− − −

a) Tính giá trị B x 3= − b) Rút gọn biểu thức P B

A

= c) Tìm giá trị x để P

3

=

d) Tìm x thỏa mãn: ( x P+ ) − x x 26− − + = − +6x 10 5x

CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT

BÀI NHẮC LẠI VÀ BỔ XUNG CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ I.TĨM TẮT LÍ THUYẾT

1 Khái niệm hàm số

Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x thay đổi cho với giá trị x, ta xác định giá trị tương ứng y y gọi hàm số x( x gọi biến số) Ta viết: y = f(x), y = g(x),

Ví dụ: Ta có y = 2x + hàm số y theo biến x

Lưu ý: Khi x thay đổi mà y nhận giá trị khơng đổi hàm số y = f(x) gọi hàm

2.Giá trị hàm số, điều kiện xác định hàm số

- Giá trị hàm số f(x) điểm x0kí hiệu y0= f(x0)

- Điều kiện xác định hàm số y = f(x) tất giá trị x cho biểu thức f(x) có nghĩa

3 Đồ thị hàm số

- Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp tất điểm M(x;y) mặt phẳng tọa độ Oxy cho x, y thỏa mãn hệ thức y = f(x)

- Điểm M(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) <=> y0=f(x0)

4 Hàm số đồng biến hàm số nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) xác định với giá trị x thuộc R

- Nếu giá trị biến x tăng lên mà giá trị y = f(x) tương ứng tăng lên hàm số y = f(x) gọi đồng biến R

- Nếu giá trị biến x tăng lên mà giá trị y = f(x) tương ứng lại giảm hàm số y = f(x)được gọi nghịch biến R

Nói cách khác, với x1, x2 thuộc R:

+ Nếu x1< x2 mà f(x1) < f(x2) hàm số y = f(x) đồng biến

+ Nếu x1< x2 mà f(x1) > f(x2) hàm số y = f(x) nghịch biến

(29)

Cho x1, x2 thuộc R x1 ≠x2 Đặt 2 f(x ) f(x ) T

x x

− =

− đó: + Nếu T > hàm số cho đồng biến R

+ Nếu T < hàm số cho nghịch biến R

II.BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Tính giá trị hàm số điểm

Phương pháp giải: Để tính giá trị hàm số y = f(x) x0, ta thay x = x0

vào y = f(x) y0 = f(x0)

1A Tính giá trị hàm số:

a) y = f(x) = x2+x-2 x0

2

= b) y f( ) 32 t¹i x0

x

x =

= =

+

1B Tính giá trị hàm số y ( ) x- x2 1+2 t¹i :

f x = −

=

a) x0 = b) x0

4

=

2A Cho hàm số y f= ( )x =3 x 1+mx -2x+ + với m tham số Tìm m để f(3) = f(-1)

2B Tìm m để hàm số y f= ( )x =( m2 +4-m x -2mx) + 5 thỏa mãn điều kiện

f(0) = f(1)

Dạng Tìm điều kiện xác định hàm số

Phương pháp giải: Chú ý :

- Hàm số dạng thức y= A x( ) xác định (hoặc có nghĩa) ⇔A(x) 0≥ - Hàm số dạng phân thức y A(x)

B(x)

= xác định (hoặc có nghĩa) ⇔B(x) 0≠ 3A Tìm điều kiện x để hàm số sau xác định:

a) y

x

= +

+ b)

x

y 2x

x

= − − + − c) y x

1 x

− =

− d)

x y x + = − 3B Tìm tất giá trị x để hàm số sau có nghĩa:

a) y 5x 32

x

+ =

+ b)

4 y x x

x

= − + +

c) y x x

x

− =

− d)

2 x

y

3x

+ − =

+

Dạng Biểu diễn tọa độ điểm mặt phẳng tọa độ Oxy

Phương pháp giải:Để biểu diễn tọa độ điểm M(x0; y0) hệ trục tọa độ

(30)

1.Vẽ đường thẳng song song với trục Oy điểm có hồnh độ x = x0

2 Vẽ đường thẳng song song với trục Ox điểm có tung độ y = y0

3 Giao điểm hai đường thẳng điểm M(x0; y0)

4A Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm A(-2;1), B(0;-1) C(-3/2;-2)

a) Biểu diễn A, B, C Oxy

b) Trong điểm A,B,C điểm thuộc đồ thị hàm số y = f(x) = 2x-1?

4B.Cho điểm M(1;-1), N(2;0), P(-2;2) mặt phẳng tọa độ Oxy

a) Biểu diễn M, N, P Oxy

b) Trong điểm M,N, P điểm thuộc đồ thị hàm số y 1x2

2

=

5A Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD với A(-1;2), B(-3;0), C(2;0),

D(2;2)

a) Vẽ tứ giác ABCD mặt phẳng tọa độ

b) Coi độ dài đơn vị trục Ox,Oy 1cm, tính diện tích tứ giác ABCD

5B Cho tam giác ABC mặt phẳng tọa độ Oxy với A(3;0), B(-2;0) C(0;4)

a) Vẽ tam giác ABC Oxy

b) Tính diện tích tam giác ABC biết đơn vị trục Ox,Oy 1m

Dạng 4: Xét đồng biến nghịch biến hàm số

Phương pháp giải:ta thực cách sau: Cách 1: Với x1, x2thuộc R, giả sử x1 < x2

• Nếu hiệu H = f(x1) - f(x2) < hàm số đồng biến

• Nếu hiệu H = f(x1) - f(x2) > hàm số nghịch biến

Cách 2: Với x1, x2 thuộc R x1≠x2 Xét tỉ số

2 f(x ) f(x ) T

x x

− =

− • Nếu T > hàm số đồng biến

• Nếu T < hàm số nghịch biến

6A Chứng minh:

a) Hàm số y f(x) 3x

4

= = − đồng biến R b) Hàm số y f(x) 1x

2

= = − + nghịch biến R

6B.Với a số, hàm số sau đồng biến hay nghịch biến R?

a) y f(x) 2x 5a

3

= = − + b) y f(x) 5x a2

2

= = + −

III BÀI TẬP VỀ NHÀ 7 Tính giá trị hàm số:

a) f(x) 3x= −2x t¹i x+ 0 =2 b) f(x) 2x t¹i x0

3

= − + =

c) 0

2 2x

f(x) t¹i x

x

(31)

d) f(x) mx= +(2m t¹i x− ) 0 =3 với m số

8 Tìm m để hàm số y f(x)= = x 1+mx+2 − (với m tham số) thỏa mãn

f(5 3) f(2)− =

9 Tìm điều kiện x để hàm số sau xác định: a) y 3x

2 2x

= −

+ b)

2

4

y x 5x

5 2x

= + − +

− c) y x

2 x

+ =

− d)

x

y

5 2x x

= −

− −

10 Cho điểm K(-1;2), M(0;-3) N(4;2) hệ trục tọa độ Oxy a) Biểu diễn K, M, N Oxy

b) Điểm ba điểm thuộc đồ thị hàm số y 2x2 1x 3

= + − 11 Trên mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC biết A(2;5), B(-1; 1) C(3;1)

a) Vẽ tam giác ABC mặt phẳng tọa độ

b) Tính diện tích tam giác ABC biết đơn vị trục Ox,Oy 1m 12 Chứng minh hàm số:

a) y f(x) 4x

2

= = − + nghịch biến R b) y f(x) x

3

+

= = đồng biến R

BÀI 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Hàm số bậc

Là hàm số cho cơng thức y= ax+b a,b hai số cho a 0≠

2 Các tính chất hàm số bậc

- Hàm số bậc xác định với giá trị x thuộc R - Hàm số bậc nhất: + Đồng biến R a >

+ Nghịch biến R a <

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Nhận dạng hàm số bậc

Phương pháp giải:Dựa vào định nghĩa hàm số bậc

1A Hãy xét xem hàm số sau đây, đâu hàm số bậc nhất? Hãy rõ hệ số a b trng trường hợp dod hàm số bậc

a) y 1x

2

= b) y= − +3x 3(x 1)− c) y 2x

4

−

= d) y=(x x 3− )( − −) x2

1B Hãy xét xem hàm số sau đây, đâu hàm số bậc nhất? a) y = b) y x 5 = − + c) y

x

= − d)

2 x

y

5

(32)

2A Tìm m để hàm số sau hàm số bậc nhất:

a) y=(2m2 −6 x m 5) − − b) y=(2 m x+ ) −8x 7+ c) y x m= ( +3 m 1)( + −) d) y x m 52

m m

+ + =

+ − 2B Với giá trị k, hàm số sau hàm bậc nhất?

a) y=(k x 5− − ) + b) y=(k2 −4 x) +(k x 1− ) − c) y k x 3k

k

− = −

+ d)

k

y x 2017

k

+ = +

−

3A Chứng minh hàm số sau hàm số bậc với giá trị tham số m

a) y=(m2 + +m x 9) − b) y= −( m2 +4m x m 3− ) + +

3B Chứng minh hàm số sau hàm số bậc với giá trị tham số m a) y= m2 +1 x− −(1 2m) b) y=(m x 2− + ) −

Dạng 2: Xét tính đồng biến nghịch biến hàm số bậc

Phương pháp giải: xét hàm số bậc y = ax + b với a, b số, a 0≠

- Khi a > 0, Hàm số đồng biến R - Khi a < 0, Hàm số nghịch biến R

4A Các hàm số bậc sau đồng biến hay nghịch biến? sao?

a) y 9x= − b) y 4x

7

= −

c) y 2x 1= ( − −) 4x 1+ d) y=(2x 1− )2 −4x x 1( + ) 4B Các hàm số bậc sau đồng biến hay nghịch biến? sao?

a) y=(2− x 1) − b) y 1(x 3) 1x

4

= + − c) y 9x

3

− +

= − d) y 5x (2x 1)

4

= + − − 5A Tìm m để hàm số:

a) y=(2m x 13− ) − đồng biến R b) y=(4m2 −9 x 2) + nghịch biến R 5B Tìm m để hàm số:

a) y 3m 2x

2

+

= − nghịch biến R b) y= −(3 m x 2m 32) + + đồng biến R

6A Cho hàm số y f(x)= = −( m2 + −m x 3m) + − với m tham số

a) Chứng minh hàm số cho hàm số bậc nghịch biến R

b) Hãy so sánh f(-10) f( 11)−

(33)

a) Chứng minh hàm số cho hàm số bậc đồng biến R b) Hãy so sánh f( 1)− f( − 3)

7 Trong hàm số sau đây, đâu hàm số bậc nhất? Trong trường hợp hàm số bậc nhất, rõ hệ số a, b

a)

2

2x 3x

y

x

+ +

= b) y=(2x x 3− )( + −) 2x2

c) y= x 1+ + d) y x

4

− − = Tìm m để hàm số sau hàm số bậc nhất:

a) y=(9m2 +6m x 65+ ) + b) y m x

m

−

= + + c) y mx= +x m 2− + d) y m x 12 ( )

m 5m

+ +

=

+ +

9 Chứng minh hàm số sau hàm số bậc Các hàm số đồng biến hay nghịch biến?

a) y x= ( − ) b) y x 3x

4

+ − = − c) y x= ( + + −x 1) x 2x( + 3) d) y x 2 x

5

− −

= + + 10 Cho hàm số y f(x)= =(2m2 − +m x 6m 1) − +

với m tham số

a) Hàm số có hàm số bậc khơng? Nếu có rõ hàm số đồng biến hay nghịch biến

b) So sánh f vµ f( ) ( 15 1− ) 11 Tìm m để hàm số :

a) y m m x 18= ( + ) + nghịch biến R b) y m x

2m

= +

+ đồng biến R

12 Cho hàm số y f x( ) (m2 m x 2m)

= = − + + − với m tham số a) Chứng minh hàm số hàm số bậc đồng biến b) Khơng cần tính, so sánh f(− +1 vµ f) (− 0,001)

BÀI ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT I TĨM TẮT LÍ THUYẾT

1 Đồ thị hàm số bậc

Hàm số bậc y = ax + b với a 0≠ có đồ thị đường thẳng, kí hiệu d: y = ax + b

(34)

Xét đường thẳng d: y = ax + b với a 0≠

• Nếu b = ta có d: y = ax qua gốc tọa độ O(0;0) điểm A(1; a) • Nếu b 0≠ d qua hai điểm A(0; b) B b;0

a

−     

3 Chú ý

• Trục hồnh đường thẳng : y = • Trục tung đường thẳng : x =

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số bậc

Phương pháp giải: Xét đường thẳng d: y = ax + b với a 0≠

• Nếu b = ta có d: y = ax qua gốc tọa độ O(0;0) điểm A(1; a) • Nếu b 0≠ d qua hai điểm A(0; b) B b;0

a

−      1A Vẽ đồ thị hàm số bậc sau đây:

a) y= −2x b)y 4x 3= −

1B Vẽ đồ thị hàm số sau mặt phẳng tọa độ: a) y 1x

2

= b) y 1x

3

= − +

Dạng 2: Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng

Phương pháp giải: Cho hai đường thẳng d: y = ax + b d’: y = a’x + b’ Để tìm tọa độ giao điểm d d’ ta làm sau:

*Cách 1: Dùng phương pháp đồ thị ( thường sủ dụng trường hợp d d’ cắt điểm có tọa độ nguyên)

• Vẽ d d’ hệ trục tọa độ • Xác định tọa độ giao điểm hình vẽ

• Chứng tỏ tọa độ giao điểm thuộc d d’ *Cách 2: Dùng phương pháp đại số:

• Xét phương trình hồnh độ giao điểm d d’: ax + b = a’x + b’

• Từ phương trình hồnh độ giao điểm, tìm x thay vào phương trình d (hoặc d’) để tìm y

• Kết luận tọa độ giao điểm d d’

2A Cho hai đường thẳng d : y = 2x + d’: y = x + Bằng phương pháp đồ thị, tìm tọa độ giao điểm d d’

2B Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d: y 1x

2

= − d’: y = -2x + cách vẽ đồ thị

3A Cho đường thẳng:

d: y x 2= − d’: y x 2 2= − − khơng vẽ đồ thị, tìm tọa độ giao điểm d d’

(35)

d: y x

4

= + d’: y= − +x

Dạng 3: Xét tính đồng quy ba đường thẳng

Phương pháp giải:

- Ba đường thẳng đồng quy ba đường thẳng phân biệt qua điểm

- Để xét tính đồng quy ba đường thẳng ( phân biệt) cho trước, ta làm sau:

1 Tìm tọa độ giao điểm hai ba đường thẳng cho

2 Kiểm tra giao điểm vừa tìm thuộc đường thẳng cịn lại kết luận ba đường thẳng đồng quy

4A Cho ba đường thẳng d1: y = 4x – ; d2: y = 3x – d3: y = x +

Chứng minh d1,d2 d3đồng quy

4B Ba đường thẳng d1: 3x – y – = ; d2: y = -2x +3 d3: 3x - 2y - 7=0 có

đồng quy hay không?

5A Cho ba đường thẳng: d1 : y = x - ; d2: y = 2x+3 d3: y = mx+m+1

Tìm m để ba đường thẳng đồng quy 5B Tìm m để ba đường thẳng sau đồng quy:

d1 : y = 3x - ; d2: y = -2x - d3: y = 3mx + 2m +

Dạng 4: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng không qua O

Phương pháp giải: Để tính khoảng cách từ O đến đường thẳng d (không qua O) ta làm sau:

Bước 1: Tìm A,B giao điểm d với Ox, Oy Bước 2: Gọi H hình chiếu vng góc O d, đó:

2 2

1 1

OH = OA + OB

6A* Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: y = 2x – điểm I(3;-2) Hãy tính khoảng cách:

a) Từ O đến d b) Từ I đến d

6B* Cho đường thẳng ∆: y= − +2x điểm M(-1;-3) hệ trục tọa độ Oxy Hãy tính khoảng cách:

a) Từ O đến ∆ b) Từ M đến ∆

Dạng Tìm điểm cố định đường thẳng phụ thuộc tham số

Phương pháp giải:Cho đường thẳng d: y = ax + b phụ thuộc tham số m

1 Điểm I(x0;y0) gọi điểm cố định d I thuộc d với

giá trị m

2 Để tìm điểm cố định d, ta làm sau:

• Gọi I(x0;y0) điểm cố định d => y0= ax0+ b với m

• Biến đổi y0= ax0 + b dạng A(x0;y0)m + B(x0;y0) =

Hoặc A(x0;y0) m

+ B(x0;y0) m + C(x0;y0) =

• Ta có A(x0;y0)m + B(x0;y0) = với m

( )

( 00 00)

A x ;y

B x ;y

 = 

(36)

• Tương tự A(x0;y0) m2 + B(x0;y0) m + C(x0;y0) = với m

( )

0

A x ;y

B x ;y

C x ;y

 =



⇔ =

 =



• Từ tìm x0; y0và kết luận

7A a) Chứng minh điểm I 1;

 −   

  điểm cố định mà đường thẳng

( )

: y 2m x m

2

∆ = − + − qua với giá trị tham số m b) Cho đường thẳng d: y = (2m+1)x + m – với m tham số Tìm điểm cố định mà d qua với m

7B a) Cho đường thẳng d: y = (2m+1)x - 3m + với m tham số Điểm K 3;

2

 −   

  có điểm d ln qua với m hay không

b) Chứng minh đường thẳng ∆: y = (m - 2)x + 3m + qua điểm cố định với giá trị tham số m

Dạng Tìm tham số m cho khoảng cách tự gốc tọa độ đến đường thẳng cho trước lớn

Phương pháp giải :cho đường thẳng d:y =ax+b phụ thuộc tham số m.Muốn tìm m để khoảng cách từ O đến d lớn nhất, ta làm theo hai cách sau :

Cách phương pháp hình học

• Gọi A,B giao điểm d với Ox Oy; H hình chiếu vng góc O d

• Ta có khoảng cách từ O đến d OH tính cơng thức

2 2

1 1

OH = OA + OB

• Từ tìm điều kiện m để OH đạt giá trị lớn Cách 2: Phương pháp điểm cố định

• Tìm I điểm cố dịnh mà d qua

• Gọi H hình chiếu vng góc O d ⇔OH OI≤ = số

• Ta có OHmax= OI <=> d đường thẳng qua I vng góc với OI Từ dó

tìm tham số m

8A* Cho đường thẳng d: y = mx-2m-1 với m tham số Tìm m cho khoảng cách từ O đến d đạt giá trị

a) Nhỏ b) Lớn

8B*Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng

( )

: y m x m

∆ = + + + đạt giá trị

a) Nhỏ b) Lớn

(37)

a) Vẽ d1, d2trên hệ trục tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm d1, d2

10 Cho hai đường thẳng d: y = -3x + d’: y = -x – Tìm tọa độ giao điểm d d’

11 đường thẳng sau có đồng quy khơng? a) d1: y = 3x + 1, d2: y = -x d3: y = x + ½

b) d1: x+y-1=0, d2: y = 3x+5 d3:

1

x y

3

− + = 12 Tìm m để ba đường thẳng sau đồng quy:

a) d : y1 4x

3

= + ,d2: y = x – d3: y = mx + m + 3;

b*)d : y x m 11 = − + ,d2: y = 2x ( ) d : y 2m x

4

= − + 13 Cho đường thẳng d: y = -4x +

a) Vẽ đồ thị hàm số cho

b) Tìm tọa độ giao điểm A, B d với hai trục tọa độ Ox Oy c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến d

d) Tính khoảng cách từ I(-1;-2) đến d e) Tính diện tích tam giác OAB

14 Cho đường thẳng d: y = (m + 2)x+m với m tham số a) Tìm điểm cố định mà d ln qua với m

b) Tìm m để d cắt Ox, Oy A B cho diện tích tam giác OAB = ½ 15* Cho đường thẳng d: (2m – 5)x + y – + m = Tìm m cho khoảng cách từ O đến d là:

a) Nhỏ b) Lớn

BÀI VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG I TĨM TẮT LÍ THUYẾT

Cho hai đường thẳng d: y = ax + b với a 0≠ d’: y = a’x + b’ vớia' 0≠

khi ta có :

1 d d’ song song a a' b b'

=  ⇔  ≠



2 d d’ trùng a a' b b'

=  ⇔  =



3 d d’ cắt ⇔ ≠a a'

Đặc biệt d d’ vng góc với ⇔a.a'= −1

Dạng 1: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng

Phương pháp giải:Cho hai đường thẳng: d: y = ax + b với a 0≠ d’: y = a’x + b’ vớia' 0≠ ta có:

1 d d’ song song a a' b b'

=  ⇔ 

(38)

2 d d’ trùng a a' b b'

=  ⇔ 

= 

3 d d’ cắt ⇔ ≠a a'

Đặc biệt d d’ vuông góc với ⇔a.a'= −1

1A Hãy nhận xét vị trí tương đối hai đường thẳng d d’ trường hợp sau:

a) d: y = 2x – d’: y = 2x + b) d : y 2x

3

= + d' : y 3x

2

= − c) d : y 2x vµ d': y= x 21

2

= − + − d) d : 3y x vµ d': y= 1x

3

= − + − + 1B Cho đường thẳng :

1

4

d : y 3x , d : y= x , d : x y 0,

4 x

d : y x ,d : y 3x 7,vµ d : y

5

= − − + + = = + = + = −

Trong đường thẳng cặp đường thẳng a) Song song b) Vng góc

2A Cho đường thẳng ∆: y=(m2 −2 x m 1) + −

với m tham số Tìm m để: a) ∆ song song vơi đường thẳng d1: y = 2x –

b) ∆ trùng với đường thẳng d2: y = -x –

c) ∆ cắt đường thẳng d3: y = 3x – điểm có hồnh độ x = -1

d) ∆ vng góc với đường thẳng d4:

4

y x

5

= − 2B Cho đường thẳng:

( )

d : y= m x 4m 1− + − d : y 5mx 3m1 = − +

2

d : y 2m x 2m 4= + − d : y3 1x

2

= +

( )

4

1

d : y 3m x

2

= − + Tìm m để:

a) d d 1 b) d d≡ 2 c) d cắt d3tại K có yk=1/2 d) d d⊥

Dạng 2: Xác định phương trình đường thẳng

Phương pháp giải:Để xác định phương trình đường thẳng, ta thường làm sau:

Bước 1: Gọi d: y = ax + b phương trình đường thẳng cần tìm (a,b số) Bước 2: Từ giả thiết đề bài, tìm a,b từ đến kết luận

(39)

a) d qua M(-2;5) vuông góc với d : y1 x

2

= − +

b) d song song đường thẳng d1: y – 3x+4 qua giao hai đường

thẳng d2: y = 2x –

7 d : y 3x

2

= −

3B Cho đường thẳng d: y = ax + b với a, b số Tìm a b biết: a) d qua điểm A nằm Ox có hồnh độ -1 song song với đường thẳng d1: x+y+2=0

b) d vuông góc với đường thẳng d2:

1

y x 2017

3

= − + qua giao điểm d3: y = x – với trục tung

4A cho đường thẳng d: y = ax + b với a, b số Tìm a b biết:

a) d cắt trục tung điểm có tung độ cắt trục hồnh điểm có hồnh độ -2

b) d qua hai điểm A, B với A(1;-3), B(2;1) 4B Tìm số a b để đường thẳng d: y = ax + b

a) Cắt d1: y = 3x – điểm nằm trục Ox, cắt d2: y = 2x –

một điểm nằm trục Oy

b) Đi qua hai điểm I, K với I(1;-2), K(4;2)

5 Cho đường thẳng

d : x y 01 + − = ; d : y2 = −2x 1+ d : y 2x3 = − ; d : 2y x 44 = −

a) Chỉ cặp đường thẳng song song cặp đường thẳng vng góc với

b) Hỏi có cặp đường thẳng cắt ? Cho đường thẳng :

1

d : y (2m 1)= + d : y2 =(m x m− ) + Tìm m để :

a) d1cắt d2 b) d1 song song d2 c) d1trùng d2 d) d1vng góc d2

7 Cho đường thẳng d: y=(m2 +2m x m 1) + + với m tham số Tìm m để: a) d song song với đường thẳng d : y1 =(m x 2+ ) −

b) d vng góc với đường thẳng

1

d : y x

3

− = − c) d trùng với đường thẳng

3

d : y= −m x 1+

d) d qua giao điểm đường thẳng d : y 2x 34 = − d : y5 = − −3x

8 Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau:

(40)

b) d cắt đường thẳng d2 : x – y + = điểm có tung độ vng

góc với đương thẳng d3 : y = – x

c) d qua gốc tọa độ giao điểm hai đường thẳng d : y 4x 34 = −

d : y5 = − +x

d) d cắt trục hoành điểm có hồnh độ qua điểm M(2;3) Cho đường thẳng:

d1: y = 2mx – (m+5) d2: y = (1 – 3n)x + n

a) Tìm điểm cố định mà d1luôn qua với m

b) Gọi I điểm cố định mà d1ln qua Tìm n để d2đi qua I

c) Tìm m để d2đi qua điểm cố định d1

d) Tìm m n để d1 d2 trùng

10 Tìm tập hợp điểm I K nằm mặt phẳng tọa độ sau đây: a) I m 2m 1;

2

+ −    

  b)

2 3m m

K ;

5

− +      

BÀI HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG y ax b a 0= + ( ≠ )

I TĨM TẮT LÍ THUYẾT

Cho đường thẳng d có phương trình y ax b a 0= + ( ≠ ) Khi đó:

• Số thực a hệ số góc d

• Gọi α góc tạo tia Ox d Ta có: + Nếu α< 900 a > a tan= α

+ Nếu α> 900 a < a= −tan 180( − α)

• Khi a > góc tạo Ox d góc nhọn Hệ số a lớn góc αcàng lớn ln nhỏ 900

• Khi a < góc tạo Ox d góc tù Hệ số a lớn góc αcàng lớn ln nhỏ 1800

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Tìm hệ số góc đường thẳng

Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức liên quan đến vị trí tương đối hai đừng thẳng hệ số góc đường thẳng

1A Cho đường thẳng d: y ax b= + Xác định hệ số góc d biết: a) d song song với đường thẳng d1: 2x – y – =

b) d tạo với tia Ox góc α =300

1B Cho đường thẳng d: y ax b= + Xác định hệ số góc d biết: a) d vng góc với đường thẳng d1: y = -2x –

b) d tạo với tia Ox góc α =1350

2A Cho đường thẳng d: y=(m x m− ) − Tìm hệ số góc d biết:

a) d cắt trục tung điểm có tung độ -3 b) d cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 2B Tìm hệ số góc đường thẳng d biết:

(41)

b) d qua điểm P(-1;-3) qua giao điểm hai đường thẳng d1: y = x – d2: y = -4x +

3A Cho đường thẳng d : y = (m2

- 4m + 1)x +2m-1 với m tham số Hãy tìm m để d có hệ số góc nhỏ

3B Tìm m để đường thẳng d : y = (-4m2+ 4m + 3)x + có hệ số góc lớn

Dạng 2: Xác định góc tạo đường thẳng tia Ox

Phương pháp giải:Để xác định góc đường thẳng d tia Ox,ta làm sau:

Cách 1 Vẽ d mặt phẳng tọa độ sử dụng tỉ số lượng giác tam giác vuông cách phù hợp

Cách 2 Gọi α góc tạo tia Ox d Ta có: + Nếu α < 90° a > và a tan= α

+ Nếu α> 900 a < a= −tan 180( − α) 4A Tìm góc tạo tia Ox đường thẳng d biết:

a)d có phương trình y = -x +

b) d cắt Oytại điểm có tung độ cắt Ox tại điếmcố hoành độ −

4B Tìm góc tạo tia Ox đường thẳng d biết: a) d có phương trình y = 2x +1

b)d đi qua hai diêm A(0; 1) B( 3;0)

5A Cho đường thẳng d1: y = x + d2: y x 3= −

a)Vẽ d1, d2 mặt phẳng tọa độ

b) Gọi A, B lần lượt giao điểm d1, d2 với trục hoàng C giao điểm

của d1 d2 Tính số đo góc tam giác ABC

c)Tính diện tích tam giác ABC

5B a) Vẽ đường thẳng d : y x 21 = +

1

d : y x

2

= − − mặt phẳng tọa độ chứng minh chúng cắt điểm A nằm trục hoành

b) Gọi giao điểm d1, d2với trục tung theo thứ tự B C

Tính góc tam giác ABC

c) Tính chu vi diện tích tam giác ABC

Dạng 3: Xác định đường thẳng biết hệ số góc

Phương pháp giải: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm d: y = ax + b Ta cần xác định a b dựa vào kiến thức góc hệ số góc

6A Xác định đường thẳng d biết rằng:

a) d qua điểm A(2;-3) có hệ số góc

4

b) d qua B(2;1) tạo với tia Ox góc 600

c) d qua C(-4;0) tạo với tia Ox góc 1500

(42)

6B Xác định đường thẳng d biết : a) d qua điểm M 4;

5

 −   

  có hệ số góc -3 b) d qua N(-2;-3) tạo với tia Ox góc 1200

c) d qua P(0;-2) tạo với tia Ox góc 300

7 Cho đường thẳng d: y = ax + Tìm hệ số góc d biết rằng: a) d song song với đường thẳng d’: 3x – y – =

b) d vng góc với đường thẳng d’ : 4x 2y 0+ + = c) d qua điểm A(-1;-2)

8 Tìm hệ số góc d biết rằng:

a) d qua hai điểm A( )2;1 B 0;1 2( + ) b) d qua C 1;

2

 −   

  đồng quy với hai đường thẳng

2

d : y x

5

= + d2: y = - x +

c) d qua điểm D(0;-1) điểm cố định đường thẳng

3

m 3m

d : y x víi m

m m

−

= − ≠ − − Cho hai đường thẳng

1

d : y x

2

= + d2: y = - x +

a) Xác định góc d1,d2 với tia Ox( làm trịn đến độ)

b) Xác định góc tạo hai đường thẳng d1 d2

c) Gọi giao điểm d1,d2với trục hoành theo thứ tự A,B giao điểm

của hai đường thẳng C Tính chu vi diện tích tam giác ABC( đơn cị đo trục tọa độ centimet)

10 Xác định đường thẳng d biết rằng: a) d qua điểm I 5;

2

   

  có hệ số góc

1

b) d qua điểm J 3;1( ) tạo với tia Ox góc 1500

c) d qua K 4; 3( ) và tạo với trục Ox góc 600

ƠN TẬP CHƯƠNG II I TĨM TẮT LÍ THUYẾT

Xem phần tóm tắt lí thuyết từ đến

1A Tìm tất giá trị x để hàm số sau xác định: a) y 3x

x

+ =

− b)

3 2x

y 3x

x

(43)

c) y 3x x

2 x

− =

− d)

1 x y x + + = − + 1B Tìm x để hàm số sau có nghĩa:

a) y 3x 7= + b) y x

2x + = − c)

x 4x

y

x

− − =

− d) x y x − = −

2A Tìm m để hàm số sau hàm số bậc nhất: a) y=(m2 +6 x 1) + b) y (4m2 x)

9

= − + c) y x 2m= ( +1 3m 1)( − ) d) y x 2m 12

3m 5m

− + =

+ −

2B Tìm giá trị tham số m để hàm số sau hàm số bậc a) y=(m x+ ) − −m x b) y 4x= −(m x 5+ ) +

c) y 2m 7x m

m

−

= − +

+ d) x y

m 2m

− =

+ + 3A Cho hàm số y f x= ( )=(k2 +3k x 4k+ ) +

với k tham số

a) Chứng minh y = f(x) hàm số bậc đồng biến với k b) Không cần tính , so sánh f(−3 11) f(-10)

3B Cho hàm số y f x( ) ( 2 4m 5m x2)

= = − + − + với m tham số

a) Chứng minh hàm số hàm số bậc nghịch biến với m b) Khơng cần tính, so sánh f( )−3 vµ f 1( − 17)

4A Cho hai hàm số y = -x + y = 3x – có đồ thị hai đường thẳng d1 d2

a) Vẽ d1 d2trên hệ trục tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm d1 d2

4B Cho hai đường thẳng d1: y = – 2x d2: y = x +

a) Vẽ d1 d2trên hệ trục tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm d1 d2

5A Xác định phương trình đường thẳng d trường hợp: a) d qua điểm A(4;-5) có hệ số góc -1

b) d qua điểm B(-2;0) cắt đường thẳng d1: y = 4x – điểm nằm

trên trục tung

c) d vng góc với đường thẳng

x

d : y

2

= − − qua giao điểm đường thẳng d3: y = x – d4: y = 3x +

(44)

a) d qua điểm M 4;

5

 −   

  có hệ số góc -3

b) d qua điểm N 2; 3(− − ) tạo với tia Ox góc 1200

6A Cho đường thẳng d: y=(3m x m 2− ) + − với m tham số

a) Tìm giá trị m để d với hai đường thẳng

2 d : y x

3

= + d2: y = x đồng quy

b) Tìm m để d song song với đường thẳng d3: y = 2x +

c) Tìm điểm cố định mà d qua với m

d*) Tìm m để khoảng cách từ góc tọa độ đến d lớn

e*) Tìm m để d cắt Ox, Oy hai điểm A, B cho diện tích tam giác OAB

2

6B Cho đường thẳng d : y=(m x 2m 5+ ) − − với m tham số

a) Tìm m để d với đường thẳng d1: y = -2x d2: y = - 5x đồng

quy

b) Tìm m để d vng góc với đường thẳng d3:

1 2

y x

4

= − c) Tìm điểm cố định mà d ln qua với m

d*) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến d lớn

e*) Tìm m để d cắt Ox, Oy hai điểm A, B cho diện tích tam giác OAB

2

7 Tìm điều kiện x để hàm số sau xác định: a) y 2x 22

x

+ =

+ b)

x y

2

−

= c) 2

3

2x x y

4x

− + =

+ Tìm m để hàm số sau hàm số bậc nhất:

a) y=(7m x m+ ) − b) y 4mx= −2 m x( + ) c) y m x

5m

− = −

+ d)

( )( )

2

m 2x y

m

− + =

+ Cho hàm số y f x= ( )=(m4 +m2 +2 x 3) − với m tham số

a) Chứng minh hàm số hàm số bậc đồng biến b) Khơng cần tính so sánh f vµ f

3

            10 Viết phương trình đường thẳng d biết rằng:

a) d cắt đường thẳng d1: y = -2x – điểm thuộc trục hoành cắt

(45)

b) d qua điểm A 1;

 −   

  sông song với đường thẳng d3: 2x + y = c) d qua điểm B 3;1

2

   

  tạo với tia Ox góc 30

0

11 Cho đường thẳng d:y=(m x m− ) + − với m tham số

a) Tìm m để d đường thẳng d1: y = x + d2: y = – 3x đồng quy

b) Tìm m để d vng góc với đường thẳng d3: x – 3y – =

c) Tìm điểm cố định mà d qua với m d) Tìm khoảng cách lớn từ gốc tọa độ đến d 12 Cho ba đường thẳng

1

d : y 3x; d : y x; d : y x

= = = − + a) Vẽ d1, d2 ,d3trên mặt phẳng tọa độ

b) Gọi A, B giao điểm d3với d1, d2.Tìm tọa độ A B

c) Chứng minh tam giác OAB cân

d) Tính góc tam giác OAB( làm tròn đến độ) ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG II

ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM

Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng: Câu Cho hàm số sau, hàm số bậc là: A y =

x − B

y x

4

= −

C y= 0x - D y= +x Câu Hàm số sau đồng biến R:

A y = 0,9x - B y 2x

5

− + = C y = - 0,5x D x+2y+3=0 Câu Đường thẳng có hệ số góc 2018?

A y = -2018 + 2017 B y 2018x

2

+ =

C 2018x – y + 2017 D 2018x + y + 2017 =

Câu Điều kiện xác định hàm số:

3 x y

x

+ − =

− là: A x 1≠ B x 1≥ C.∀ ∈x  D x > Câu Góc tạo đường thẳng y= 3x 1+ với tia Ox là:

A 600 B 300 C 1200 D 1500

(46)

A (-3;0) B (0;3) C.(0;-3) D.(3;0)

Câu Trong đường thẳng sau, đường thẳng vng góc với đường thẳng d : y = 4x + 4?

a) d' : y x

4

= + b) d' : y= − +x

c) d' : y 1x

4

= − d) d' : y 1x

4

= −

Câu Đồ thị hình vẽ sau hàm số nào?

a) y = -x b) y 1x

2

= − − c) y 1x

2

= − + d) y 1x

2

= +

Bài 1: Gọi d1, d2lần lượt đồ thị hàm số y = -3x + y = x +

a) Vẽ d1, d2trên mặt phẳng tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm M d1, d2

c) Tính góc tạo d2 tia Ox

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d: y = ax + b biết: a) d có hệ số góc -2 qua điểm A(1;4)

b) d song song với đường thẳng d’: y = -0,5x + qua điểm trục hồnh có hồnh độ -1

Bài 3: Tìm m để đường thẳng d: y = (m2+2)x + tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích

8

ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM

Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng: Câu Cho hàm số sau, hàm số bậc là:

A y = x2 −2x 3+ B y= − +2x C y= 2x 1− D y 9= Câu Hàm số sau nghịch biến R:

A y = + 2x B y 2x

2

+ = C.y=( x 1− ) + D 2x - 3y + = Câu Đường thẳng y = -9x + có hệ số góc là:

(47)

Câu Hàm số: y 2m 3x m

+

= −

+ hàm số bậc khi:

A x

2

≠ ± B x> −2 C m 2≠ D ∀ ∈m  Câu Góc tạo đường thẳng y = − +x với tia Ox là:

A 600 B 1500 C 450 D 1350 Câu Hàm số y=( m x 3+ ) − đồng biến R khi:

A.m

2

≥ B m 10

2

> − C m

2

≤ − D m 10

2

< −

Câu Vị trí tương đối hai đường thẳng d: y = x + d’: y = - 2x là: a) Cắt b) Song song

c) Vng góc d) Trùng

Câu Đồ thị hình vẽ sau hàm số nào?

a) y = 2x b) y = -2x + c) y = -2x d) y = -2x -

Bài 1: Cho hàm số sau d: y = x +

a) Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Gọi A, B giao điểm d với Ox, Oy Tính diện tích tam giác OAB c) Tính góc tạo d tia Ox

Bài 2: Cho đường thẳng d: y = (m – 1)x + 2m + m 1≠ a) Tìm m để d qua điểm A(2;7)

b) Tìm m để d song song với đường thẳng d1: y = -4x +

Bài 3: Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d: y = (1-3m)x + m lớn

PHẦN B HÌNH HỌC

CHƯƠNG I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

BÀI HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG

I TĨM TẮT LÍ THUYẾT

Cho tam giác vuông ABC vuông A, đường cao AH Khi ta có hệ thức sau:

(48)

• 2 12 12 hay 12 12 12

AH =AB +AC h =c + b

• BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pytago)

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng tam giác vng

Phương pháp giải:Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Nếu biết độ dài hai sáu đoạn thẳng AB, AC, BC,HA, HB, HC ta ln tính độ dài bốn đoạn thẳng cịn lại

1A Tính x, y hình vẽ sau: 1B Tính x, y hình vẽ sau:

2A Cho tam giác ABC vuông tai A, đường cao AH

a) Cho biết AB = 3cm, AC = 4cm Tính độ dài đoạn thẳng BH, AC, BC AH

b) Cho biết BH = 9cm, CH = 16cm Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC, BC, AH

2B Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH

a) Cho biết AB = 3cm, BC = 5cm Tính độ dài đoạn thẳng BH,CH, AH AC

b) Cho biết AH = 60cm, CH = 144cm Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC, BC, BH

3A Cho tam giác ABC vuông tai A, AH BC⊥ (H thuộc BC) Cho biết AB:AC = 3: BC = 15cm Tính độ dài đoạn thẳng BH HC 3B Cho tam giác ABC vuông A, đương cao AH

Cho biết AB

AC =6 BC = 122cm Tính độ dài đoạn thẳng BH, CH

Dạng Chứng minh hệ thức liên quan đến tam giác vuông

Phương pháp giải: Sử dụng hệ thức cạnh đường cao cách hợp lí theo ba bước:

Bước 1: Chọn tam giác vng thích hợp chứa đoạn thẳng có hệ thức

Bước 2: Tính đoạn thẳng nhờ hệ thức cạnh đường cao Bước 3: Liên kết giá trị để rút hệ thức cần chứng minh

4A Cho tam giác CDE nhọn, đường cao CH Gọi M, N theo thứ tự hình chiếu CD, CE Chứng minh:

a) CD CM = CE CN

b) Tam giác CMN đồng dạng với tam giác CED

4B Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AH đường cao a) Chứng minh: AB2

+ CH2 = AC2 +BH2

b) Vẽ trung tuyến AM tam giác ABC, chứng minh:

2

2 BC

AB AC 2AM

2

+ = +

(49)

5A Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn Gọi I, K hình chiếu B, D đường chéo AC Gọi M, N hình chiếu C đường thẳng AB, AD Chứng minh:

a) AK = IC

b) Tứ giác BIDK hình bình hành c) AC2 = AD AN + AB.AM

5B Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo cắt O Cho biết khoảng cách từ O tới cạnh hình thoi h, AC = m, BD = n Chứng minh: 2

1 1

m +n = 4h

6 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Cho biết AB = 4cm, AC = 7,5cm Tính độ dài đoạn thẳng AH diện tích tam giác ABC

7 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH

a) Biết AH = 6cm, BH = 4,5cm Tính AB, AC, BC, HC

b) Biết AB = 6cm, BH = 3cm Tính AH tính chu vi tam giác vng hình

8 Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Tính diện tích tam giác ABC, biết AH = 12cm, BH = 9cm

9 Cho tam giác ABC biết BC = 7,5cm, AC = 4,5cm, AB = 6cm a) Tính đường cao AH tam giác ABC

b) Tính độ dài BH, CH

10 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Cho biết AB:AC = 3:4 AH = 6cm Tính độ dài đoạn thẳng BH CH

11 Cho tam giác vng với cạnh góc vng 24 Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Tính diện tích hai tam giác vng tạo thành

12 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH biết AB

AC = 7, AH = 15cm

Tính độ dài đoạn thẳng HB HC

13 Cho ABCD hình thang vng A D Đường chéo BD vng góc với BC Biết AD = 12cm, DC = 25cm Tính độ dài AB, BC BD

14 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 15cm a) Tính độ dài đoạn thẳng BD

b) Vẽ AH vuông góc với BD H Tính độ dài đoạn thẳng AH c) Đừng thẳng AH cắt BC DC tai I, K

Chứng minh: AH2 = HI HK

15 Cho hình thang ABCD vng A D Cho biết AB = 15cm, AD = 20cm, đường chéo AC BD vng góc với O Tính :

a) Độ dài đoạn thẳng OB OD b) Độ dài đoạn thẳng AC

c) Diện tích hình thang ABCD

16 Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH, kẻ HE, HF vng góc với AB, AC Chứng minh:

a)

3

EB AB

FC AC

 

(50)

17 Cho tam giác ABC cân A có AH BK hai đường cao Kẻ đường thẳng vuông góc BC tai B cắt tia CA D Chứng minh:

a) BD = 2AH B) 12 12 2

BK = BC +4HA

BÀI TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

I TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 Định nghĩa

Cho góc nhọn α (00 < α <90 )0

Dựng tam giác ABC vuông A cho α =ABC Từ ta có:

AC sin

BC

α = ; cos AB

BC

α =

AC tan

AB

α = ; cot AB

AC

α =

2 Tính chất:

• Với góc nhọn α bất kì, ta ln có:

0 sin< α <1 ; cos< α <1

sin tan

cos

α α =

α;

cos cot

sin

α α =

α ; tan cotα α =1 ;

2

sin α +cos α =1 ; cot2 12

sin

+ α =

α ;

• Nếu hai góc phụ sin góc cosin góc kia, tang góc cơtang góc

• Khi góc nhọn αtăng từ 00đến 900

: + sinα tăng tanα tăng

+ cosα giảm cotα giảm

3 Bảng tỉ số lượng giác cử số góc đặc biệt II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác góc nhọn, tính cạnh, tính góc

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức phần tóm tắt lí thuyết 1A Cho tam giác ABC vuông C có BC = 1,2cm, AC = 0,9cm Tính tỉ số lượng giác góc B Từ suy tỉ số lượng giác góc A

1B Cho tam giác ABC vng A có AB = 1,6cm, AC = 1,2cm Tính tỉ số lượng giác góc B Từ suy tỉ số lượng giác góc C

2A Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Hãy tính sinB sinC làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ tư trường hợp sau:

a) AB = 13cm, BH = 0,5dm b) BH = 3cm, CH = 4cm

2B Cho tam giác ABC cóAB a 5, BC a 3, AC a 2= = = a) Chứng minh tam giác ABC lf tam giác vuông

(51)

3A Cho tam giác ABC vuông A, AB = 5cm, cot B

= Tính độ dài đoạn thẳng AC BC

3B Cho tam giác ABC vuông A, AB = 6cm, tan B 12

= Hãy tính độ dài đường cao AH trung tuyến BM tam giác ABC

Dạng 2: Sắp thứ tự dãy tỉ số lượng giác

Phương pháp giải:Thực theo hai bước:

Bước1: Đưa tỉ số lượng giác toán loại cách sử dụng tính chất: “Nếu hai góc phụ sin góc cơsin góc kia, tang góc cơtang góc kia”

Bước 2: Với hai góc nhọn α β, , ta có: • sinα <sinβ ⇔ α < β • cosα <cosβ ⇔ α > β • ta nα <ta nβ ⇔ α < β

• cotα <cotβ ⇔ α > β

4A Khơng dùng bảng số máy tính so sánh: a) sin200 sin700 b) cos600 cos700 c) tan73020’ tan450 d) cot200 cot37040’ 4B Không dùng bảng số máy tính, so sánh:

a) sin400 sin700 b) cos800 cos500 c) sin250 tan250 d) cos350 cot350

5A Sắp xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ lớn đến bé: a) tan420, cot710, tan380, cot69015’, tan280

b) sin320, cos510, sin390, cos79013, sin380

5B Sắp xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ bé đến lớn: a) tan120, cot610, tan280, cot79015’, tan580

b) cos670, sin560, cos63041’, sin740, cos850

Dạng 3: Dựng góc nhọn α biết tỉ số lượng giác m

n

Phương pháp giải: Dựng tam giác vng có hai cạnh m n, dó hai cạnh m, n hai cạnh góc vng cạnh góc vng cạnh huyền vận dụng định nghĩa tỉ số lượng giác để nhận góc α

6A Dựng góc nhọn α,biết: a)sin

5

α = b) cos

7

α = c) tan

2

α = d) cot

6

α = 6B Dựng góc nhọn α,biết:

a)sin

3

α = b) cos

5

α = c) tanα =2 d) cot

5

(52)

7 Cho tam giác ABC vng A có AB = 60mm, AC = 8cm Tính tỉ số lượng giác góc B Từ suy tỉ số lượng giác góc C

8 Tìm sinα,cotα, tanα biết cos

5

α =

9 Cho tam giác ABC vng A tính tỉ số lượng giác góc Cbiết cosB = 0,6

10 Cho tam giác ABC vuông A, C 30 = 0, BC = 10cm a) Tính AB, AC

b) Kẻ từ A đường thẳng AM, AN vng góc với đường phân giác ngồi góc B Chứng minh MN = AB

c) Chứng minh tam giác MAB ABC đồng dạng Tìm tỉ số đồng dạng 11 Cho tam giác ABC vuông A Biết AB = 30cm, B = α, tan

12

α = Tính cạnh BC AC

12 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Tính sinB, sinC, biết: a) AB = 13, BH = b) BH = 3, CH =

13 Tính giá trị biểu thức:

a) A= cos2520.sin450+sin2520.cos450 b) B= tan600.cos2470 + sin2470.cot300 14 Tìm cosα, tanα,cotα biết sin

5

α =

15 Khơng dùng máy tính bảng số, tính:

a) A= cos2200+ cos2300+ cos2400+ cos2500+ cos2600+ cos2700 b) B= sin250 +sin2250+ sin2450+ sin2650+ sin2850

c) C= tan10 tan20 tan30 tan40 tan880 tan890

16* Cho tam giác ABC vuông A, AB < AC, C = α <450 , đường trung tuyến AM, đường cao AH, MA = MB = MC = α Chứng minh:

a) sin2α=2sinα.cosα b) + cos2α = 2cos2α c) – cos2α = 2sin2α

BÀI MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC

TRONG TAM GIÁC VNG I TĨM TẮT LÍ THUYẾT

• Cho tam giác ABC vng A có BC = a, AC = b, AB = c Ta có: sin B b b a.sin B vµ a = b

a sin b

= ⇒ =

c c

cosB c a.cosB vµ a =

a cosB

= ⇒ =

b b

tan B b c.tan B vµ c =

c tan B

(53)

cot B c b.cot B vµ b =

b cot B

= ⇒ =

•Trong tam giác vng:

Cạnh góc vng = (cạnh huyền) x (sin góc đối) = (cạnh huyền) x (cosin góc kề)

Cạnh góc vng = (cạnh góc vng cịn lại) x (tan góc đơi) = (cạnh góc vng cịn lại) x (cot góc kề)

•Giải tam giác tính độ dài cạnh số đo góc dựa vào kiện cho trước toán

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Giải tam giác vng

Phương pháp giải:Để giải tam giác vuông, ta dùng hệ thức cạnh góc tam giác vng sử dụng máy tính cầm tay bảng lượng giác để tính yếu tố cịn lại

Chú ý: Các toán giải tam giác vuông bao gồm:

- Giải tam giác vuông biết độ dài cạnh số đo góc nhọn; - Giải tam giác vng biết độ dài hai cạnh

1A Cho tam giác ABC vuông A Gọi BC = a, AC = b, AB = c Giải tam giác ABC, biết:

a) b = 10 cm, C = 30° ; b) a = 20cm , B =35°; c) a = 15cm, b = 10cm; d) b = 12cm, c = 7cm

1B Cho tam giác ABC vuông A Gọi BC = a, AC = b, AB = c Giải tam giác ABC, biết rằng:

a) c =3,8 cm, B = 51°; b) a = 11cm, C = 60°

Dạng Tính cạnh góc tam giác

Phương pháp giải: Làm xuất tam giác vuông để áp dụng hệ thức cách kẻ thêm đường cao

2A Cho tam giác ABC có BC = 11 cm, ABC 38 = ° ACB 30  = ° Gọi N chân đường vng góc hạ từ A xng cạnh BC Hãy tính:

a) Độ dài đoạn thẳng AN; b) Độ dài đoạn thang AC

2B Cho tam giác ABC, có BC = cm, B 60 = ° C 40 = ° Hãy tính: a) Chiều cao CH và cạnh AC

(54)

3A Cho tam giác ABC có B 60 , C 50 = °  = ° AC =3,5cm Tính diện tích tam giác ABC (làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai)

3B Tứ giác ABCD có đường chéo cắt O Cho biết AC=4cm, BD = 5cm, AOB 60 = ° Tính diện tích tứ giác ABCD

Dạng Toán ứng dụng thực tế

Phương pháp giải:Dùng hệ thức cạnh góc tam giác vng để giải tình thực tế

4A Một cột đèn có bóng mặt đất dài 7,5 m Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc xấp xỉ 42° Tính chiều cao cột đèn

4B Một cầu trượt công viên có độ dốc 28° có độ cao 2,1 cm Tính độ dài mặt cầu trượt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Dạng Toán tống hợp

Phương pháp giải: Vận dụng linh hoạt số hệ thức cạnh góc tam giác vng để giải tốn

5A Cho tam giác ABC vng A, có AC > AB và đường cao AH Gọi D, E lần lượt hình chiếu H AB, AC

a) Chứng minh AD.AB = AE.AC tam giác ABC đồng dạng với tam giác AED

b) Cho biết BH = cm, HC = 4,5 cm: i) Tính độ dài đoạn thẳng DE;

ii) Tính số đo góc ABC (làm trịn đến độ);

iii) Tính diện tích tam giác ADE

5B Cho hình chữ nhật ABCD Qua B kẻ đường thẳng vng góc với đường chéo AC tại H Gọi E, F, G theo thứ tự trung điểm AH, BH, CD

a) Chứng minh tứ giác EFCG hình bình hành

b) Chứng minh BEG 90 = °

c) Cho biết BH = cm, BAC 30 = ° Tính SABCD SEFCG

6 Cho tam giác ABC vng A, có BC = a, AC = b, AB = c Giải tam giác ABC, biết:

(55)

7 Cho tam giác ABC vng A, có BC = a, AC = b, AB = c Giải tam giác ABC, biết:

a) a = 15 cm, b = 10 cm; b) b = 12 cm, c = cm

8 Cho tam giác ABC có B = 60°, C = 50° AC = 35 cm Tính diện tích tam giác ABC

9 Cho tứ giác ABCD cóA  = D  = 90 ,C ° = 30° , AB=4cm AD = 3cm Tính diện tích tứ giác ABCD

10 Cho tam giác ABC vng A, có đường cao AH, HB = 9cm, HC = 16 cm

a) Tính AB, AC, AH

b) Gọi D E lần lượt hình chiếu vng góc H AB AC Tứ giác ADHE hình gì?

c) Tính chu vi diện tích tứ giác ADHE

d) Tính chu vi diện tích tứ giác BDEC

11.Cho tam giác ABC vuông A Biết AB = cm, BC = cm

a) Giải tam giác vuông ABC (số đo góc làm trịn đến độ)

b) Từ B kẻ đường thẳng vng góc với BC, đường thẳng cắt đường thẳng AC D Tính độ dài đoạn thẳng AD, BD

c) Gọi E, F lần lượt hình chiếu A BC BD Chứng minh hai tam giác BEF BDC đồng dạng

12.Cho tam giác ABC vuông A biết AB = 21 cm, C = 40° Tính độ dài đường phân giác BD ABC, với D nằm cạnh AC

13.Một cột đèn điện AB cao m có bóng in mặt đất AC dài 3,5 m Hãy tính BCA (làm trịn đến phút) mà tia nắng mặt trời tạo với mặt đất

14.Chứng minh:

a) Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh ấy;

b) Diện tích tứ giác nửa tích hai đường chéo nhân với sin góc nhọn tạo hai đường chéo

ƠN TẬP CHƯƠNG I

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Xem phần Tóm tắt lý thuyết từ Bài đến Bài

II BÀI TẬP

(56)

a) AB = cm, AC = cm; b) AB = 15 cm, HB = cm

1B Cho tam giác ABC có đường cao CH, BC = 12 cm, B= 60° C = 40° Tính:

a) Độ dài đoạn thẳng CH AC;

b) Diện tích tam giác ABC

2A Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) có đường cao AH AH = 12 cm, BC = 25 cm

a) Tìm độ dài đoạn thẳng BH, CH, AB AC

b) Vẽ trung tuyến AM Tìm số đo AMH

c) Tính diện tích tam giác AHM

2B Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, AB = 3cm, AC = cm

a) Tính độ dài đoạn thẳng BC AH

b) Tính số đo B C

c) Đường phân giác A cắt cạnh BC tại E Tính độ dài đoạn thẳng BE, CE AE

3A Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH Từ H kẻ HF vng góc với AB (F thuộc AB) kẻ HE vng góc vói AC (E thuộc AC)

a) Chứng minhAFE ACB = 

b) Đường thẳng EF cắt BC tại M Chứng minh ME.MF = MBMC

3B Hình thang MNEF vng M, F có EF đáy lớn Hai đường chéo ME NF vng góc với O

a) Cho biết MN = cm MF = 12 cm Hãy: i) Giải tam giác MNF;

ii) Tính độ dài đoạn thẳng MO, FO;

iii) Kẻ NH vng góc với EF H Tính diện tích tam giác FNE Từ tính diện tích tam giác FOH

b) Chứng minh MF2

= MN.FE

4A Không dùng máy tính, xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ bé đến lớn:

a) sin 24°, cos35°, sin 54°, cos70°, sin 78°;

b) cot24°, tanl6°, cot57°67’, cot30°, tan80°

4B Khơng dùng máy tính, xếp tỉ sốlượng giác sau theo thứ tự tăng dần:

a) sin40°, cos28°, sin65°, cos88°, cos20°;

(57)

5A Cho <x< 90° Chứng minh đẳng thức sau:

a) sin4x+cos4x = l-2sin2xcos2x;

b)sin6x+cos6x = l-3sin2xcos2x 5B Cho 0° < x < 90° Chứng minh:

a) cosx sin x

sin x cosx

− =

+ b)

sin x cosx

1 cosx sin x sin x

+

+ =

+

6 Cho tam giác DEF biết DE = cm, DF = cm EF = 10 cm

a) Chứng minh DEF tam giác vuông

b) Vẽ đường cao DK Hãy tính DK, FK

c) Giải tam giác vuông EDK

d)Vẽ phân giác EM DEF Tính độ dài đoạn thẳng MD, MF, ME

e) Tính sinE tam giác vuông DFK DEF

f) Từ suy ED.DF = DK.EF

7 Cho tam giác ABC vuông A

a) Biết B = 60° BC = cm

i) Tính độ dài cạnh AB, AC

ii) Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho BD = BC Chứng minh: AB AC

BD = CD

b) Đường thẳng song với phân giác CBD kẻ từ A cắt CD tại H Chứng minh: 2

1 1

AH = AC +AD

8 Cho hình vuông ABCD điểm E tùy ý cạnh BC Tia Ax vng góc với AE tại A cắt CD kéo dài F Kẻ trung tuyên AI của tam giác AEF kéo dài cắt cạnh CD tại K

a) Chứng minh AE = AF

b)Chứng minh tam giác AKF, CAF đồng dạng AF2=KF.CF;

c) Cho AB = cm, BE =

4 BC Tính diện tích tam giác AEF

d) Khi E di động cạnh BC, tia AE cắt CD tại J Chứng minh biểu thức

AE.AJ

(58)

9 Cho ABC = 60° ∆ ABC tam giác nhọn a) Tính sinα , tanα, cotα, biêt cos

5

α =

b) Tính cosα, tanα, cotα, biết sin

3

α =

c) Cho tanα = Tính sinα, cosα, cotα

d) Cho cotα = Tính sinα, cosα, tanα 10 a) Tính giá trị biểu thức:

A = cos2 20° + cos2 40° + cos2 50° + cos2 70° b) Rút gọn biểu thức:

B = sin6 a + cos6 a + sin2 a cos2 a

ĐỂ KIỂM TRA CHƯƠNG I

Thời gian làm cho đề 45 phút

ĐỂ SỐ l

PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)

Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng:

Câu Cho tam giác MNP vng M có MH là đường cao, cạnh



3

MN ,P 60

2

= = Kết luận sau đúng? A MP =

2 ; B MP =

4 ; C.MNP 60 = ° ; D MNH 30  = °

Câu Cho tam giác MNP vuông M, đường cao MH Biết NH = cm, HP = cm Độ dài MH bằng:

A B C 4,5 D Câu Cho cos

3

α = với α góc nhọn, sinαbằng: A

9 B

5

3 C

1

3 D

1

Câu Giá trị P= cos220° + cos2400 + cos2500+cos270° bằng: A B C D.0 Câu Cho tam giác ABCvuông A, đường cao AH.Hệ thức

A cosC AB

AC

= B tan B AB

AC

= C cosC HC

HA

= D cosB AC

AB

(59)

Câu Trong tam giác ABC vuông A có AC =3; AB =4 Khi cos B bằng: A

4 B

3

5 C

4

5 D

4

Câu Cho tam giác ABC vuông A, BC = 2AC So sánh sin B; cos B, khẳng định sau đúng?

A sin B < cos B B sin B > cos B; C sin B ≥ cos B; D sin B = cos B

Câu Một người muốn chèo thuyền từ bờ sông A sang bờ sông B theo đường thẳng dài 50m, nhưng dòng nước chảy mạnh nên người bơi lệch 45° so với phương ban đầu Hỏi người bơi sang bờ B, cách vị trí dự định bao xa?

A 20m B 30 m C 40m D 50m

PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)

Bài (2,0 đ)

a) Sắp xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: cot 24°, tan 16°, cot 57°, cot 30°, tan 80°

b) Tính cosα ,tanα cotα biết sinα=1/5

Bài (4,0 điếm) Cho hình thang ABCD biết A = 90°,D= 90° AB < DC Hai đường chéo AC BD vng góc với O

a) Cho AB = cm AD = 12 cm Hãy: i) Giải tam giác ADB;

ii) Tính độ dài đoạn thẳng AO, DO AC;

iii) Kẻ BH vng góc với DC H Tính diện tích tam giác DOH b) Chứng minh BH2 = AB.CD

Chú ý: Số đo góc làm tròn đến độ, độ dài đoạn thẳng làm tròn đến chữ số thập phân thứ

ĐỂ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)

Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng: Câu Tam giác MNP vuông M sinN bằng:

A MP

NP B

MP

MN C

MN

NP D

(60)

Câu Một cột đèn có bóng dài mặt đất 7,5 m Các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất góc xấp xỉ 42° Chiều cao cột đèn (làm tròn đến hàng phần mười) là:

A m; B m; C 6,7 m; D 6,8 m Câu Với α góc nhọn, câu sau câu sai?

A < cosα < B cos2α = l+sin2 α C cot

tan

α =

α D cosα = sin(90° - α)

Câu Cho tam giác ABC vuông A AH là đường cao Cho biết AB = 9, BC = 15 Khi độ dài AH bằng:

A 6,5; B 7,2; C 7,5; D 7,7 Câu Cho cosa = 2/5 với 0° < a < 90° Khi sin a bằng:

A

3 B

4

3 C

3

4 D

3

Câu Cho sina = 3/5 với 0° < a < 90° Khi tana bằng: A

5 B

3

5 C

4

3 D

3

Câu Biểu thức cos4

a + cos2 a.sin2 a +sin2 a bằng : A cos2a B sin2a C D

Câu 8.Một thang dài 3,5 m đặt dựa vào tường, góc "an tồn" chân thang mặt đất để thang không đổ người trèo lên 60° Khoảng cách "an toàn" từ chân tường đến chân thang là:

A m; B.0,5 m; C m; D 1,75 m

Bài (1,5 điểm)Dựng góc nhọnα , biếtcos

3

α = Tính độ lớn góc α Bài (3,0 điểm) Cho tam giác KQP có KQ = cm,KP = 12 cm QP = 13 cm Đường cao KH (H thuộc QP)

(61)

c) Lấy điểm O cạnh QP (O khác P, Q) Gọi hình chiếu cửa O KQ, KP A B Chứng minh AB = KO và hỏi điểm O vị trí AB ngắn nhất?

Bài (0,5 điểm)Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD CE Chứng minh SADE = SABC.cos

2

A

CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN BÀI SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRỊN

I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1. Đường tròn

Tập hợp điểm cách điểm O cố định khoảng R khơng đổi (R > 0) đường trịn tâm O có bán kính R

Ký hiệu: (O) (O; R)

2. Vị trí tương đối điểm M đường tròn (O; R)

Vị trí tương đối Hệ thức

thứ thứ

M nằm đường tròn (O) OM = K M nằm trọng đường trịn (O) OM<R M nằm ngồi đường tròn (O) OM>R

3. Định lý (về xác định đường tròn)

- Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ đường tròn - Đường tròn qua ba đỉnh tam giác gọi đường tròn ngoại

tiếp tam giác Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm ba đường trung trực tam giác đó,

4. Tính chất đối xứng đường trịn

Đường trịn hình có tâm đối xứng trục đôi xứng. - Tâm đối xứng tâm đường tròn;

- Trục đối xứng đường kính đường trịn II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Chứng minh điểm cho trước nằm đường trịn

Phương pháp giải: Ta có cách sau:

(62)

đường trịn ngoại tiếp tam giác tam giác vng" 1A Chứng minh định lý sau:

a) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông trung điểm cạnh huyền tam giác

b) Nêu tam giác có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tam giác vng

1B Cho tam giác ABC có đường cao BD, CE Chứng minh bốn điểm B, E, D, C cùng nằm đường tròn Chỉ rõ tâm bán kính đường trịn 2A Cho tam giác ABC có đường cao AD và trực tâm H Gọi I, K lần lượt trung

điểm HA, HB Gọi E, F lần lượt trung điểm BC, AC Chứng minh:

a) Bôn điểm E, F, I, K thuộc đường tròn;

b) Điếm D cũng thuộc đường trịn qua bơn điểm E, F, I, K

2B Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với Gọi M, N, P, Q lần lượt trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh M, N, P, Q nằm đường tròn

3A Cho hình thoi ABCD Đường trung trực cạnh AB cắt BD tại E cắt AC F Chứng minh E, F lần lượt tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ABD

3B Cho hình thoi ABCD có cạnh AB cố định Gọi O trung điểm AB, P giao điểm CO BD Chứng minh P chạy đường tròn C, D thay đổi

Dạng Xác định vị trí tương đối điểm đường tròn

Phương pháp giải. Muốn xác định vị trí điểm M đối với đường tròn (O; R) ta so sánh khoảng cách OM vói bán kính R theo bảng sau:

Vị trí tương đối Hệ thức

M nằm đường tròn (O) OM = R M nằm đường trịn (Ọ) OM<R M nằm ngồi đường trịn (O) OM>R

4A Cho tam giác ABC cạnh a, các đường cao BM CN Gọi O trung điểm cạnh BC

a) Chứng minh B, c, M, N cùng thuộc đường trịn tâm O

(63)

nằm ngồi đối vói đường trịn đường kính BC

4B Cho đường trịn (O), đường kính AD = 2R Vẽ cung trịn tâm D bán kính R, cung cắt (O) B C

a) Tứ giác OBDC hình gì? Vì sao?

b) Tính số đo góc CBD, CBO, OBA.  

c) Chứng minh tam giác ABC là tam giác

Dạng Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác số đo góc liên quan

Phương pháp giải:Ta sử dụng cách sau:

Cách 1 Sử dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vuông,

Cách 2 Dùng định lý Pytago tam giác vuông

Cách 3 Dùng hệ thức lượng cạnh góc tam giác vng 5A Cho tam giác ABC vng ở A có AB = cm, AC = 12 cm Tính

bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

5B Cho tam giác ABC cạnh cm Tính bán kính củađường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

6A Cho hình chữ nhật ABCD có AB = cm, BC = 12 cm Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng nằm đường trịn Tính bán kính đường trịn

6B Cho góc BAC = 60° điểm B nằm tia Ax cho AB = cm

a) Dựng đường tròn (O) qua A B cho tâm O nằm tia Ay

b) Tính bán kính đường trịn (O)

7 Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH = cm, BC = cm Đường vng góc với AC tại c cắt đường thẳng AH D

a) Chứng minh điểm B, c thuộc đường trịn đường kính AD

b) Tính độ dài đoạn thẳng AD

8 Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường trịn (O) có đường kính BC, cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D, E

a) Chứng minh CD ⊥ AB BE ⊥ AC

b) Gọi K là giao điểm BE và CD Chứng minh AK ⊥ BC

9 Cho đường trịn (O) đường kính AB Điểm C di động đường trịn, H hình chiếu C AB Trên OC lấy M cho OM = OH

a) Hỏi điểm M chạy đường nào?

b) Trên tia BC lây điểm D cho CD = CB Hỏi điểm D chạy đường nào?

10 Cho hình vng ABCD Gọi M, N lần lượt trung điểm AB, BC Gọi E giao điểm CM DN

a) Tính số đo góc CEN

b) Chứng minh A, D, E, M cùng thuộc đường trịn

(64)

BÀI ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRỊN

I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 So sánh độ dài đường kính dây

Trong dây đường trịn, dây lớn đường kính

2 Quan hệ vng góc đường kính dây

- Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây

- Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây không qua tâm vng góc vói dây

3 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây

- Trong đường tròn:

+ Hai dây cách tâm + Hai dây cách tâm - Trong hai dây đường trịn: + Dây lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây lớn

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức sau đây:

1 Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây ây

2.Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây không qua tâm vng góc vói dây ây

3.Dùng định lý Py tago, hệ thức lượng tam giác vuông

1A Cho đường tròn tâm O, hai dây AB CD vng góc với M Biết AB = 18 cm, CD = 14 cm, MC =4 cm Hãy tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB CD

1B Cho đường tròn tâm O bán kính cm hai dây AB AC

Cho biết AB = cm, AC = 2cm, hãy tính khoảng cách từ O đến dây

2A Cho đường trịn (O;R) có hai dây AB, CD bằng vng góc với I Giả sử IA = cm,IB = cm Tính khoảng cách từ tâm O đến dây 2B Cho đường tròn (O) dây CD Từ O kẻ tia vng góc với CD tại M, cắt (O)

(65)

Biết MC = cm, MD = 12 cm BMD 30  = ° Hãy tính:

a)Khoảng cách từ O đến CD;

b)Bán kính (O)

3B Cho đường tròn (O; cm) Dây AB CD song song, có độ dài cm cm Tính khoảng cách hai dây

Dạng Chứng minh hai đoạn thẳng

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức sau đây:

- Trong đường tròn:

+ Hai dây cách tâm + Hai dây cách tâm

- Trong hai dây đường trịn:

+ Dây lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây lớn

- Dùng phương pháp chứng minh hai tam giác

- Dùng quan hệ cạnh góc tam giác, quan hệ cạnh huyền cạnh

góc vng

4A Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB và dây cung CD Kẻ AE BF vng góc với CD lần lượt E F Chứng minh:

a) CE = DF; b) E F (O)

4B Cho đường trịn (O), đường kính AB Kẻ hai dây AC BD song song Chứng minh AC = BD

5A Cho tam giác ABC nhọn có đường cao BD, CE Chứng minh:

a)Các điểm B, D, C, E thuộc đường tròn;

b)BC>DE

5B Cho đường trịn (O) có dây cung AB CD với AB > CD Giao điểm K của đường thẳng AB CD nằm (O) Vẽ đường tròn (O; OK), đường tròn cắt KA KC lần lượt M N Chứng minh KM < KN

6 Cho đường trịn (O) bán kính OA = 11 cm Điểm M thuộc bán kính AO cách O khoảng cm Qua M kẻ dây CD có độ dài 18 cm Tính độ dài đoạn thẳng MC MD

(66)

góc với AB tại H

a)Tính độ dài đoạn thẳng HA, HB

b)Gọi M, N lần lượt hình chiếu H AC, BC Tính diện tích tứ giác CMHN

8 Cho đường trịn (O) có dây AB = 24 cm, AC = 20 cm, góc BAC 90 < ° O nằm gócBAC Gọi M trung điếm AC Khoảng cách từ M đến AB bằng cm

a)Chứng minh tam giác ABC cân

b)Tính bán kính (O)

9 Cho tam giác ABC có trực tâm H và nội tiếp đường trịn (O) đường kính AD

a)Chứng minh BHCD hình bình hành

b)Kẻ đường kính OI vng góc BC tại I Chứng minh Ị, H, D thẳng hàng

c) Chứng minh AH = 2OI

10.Cho đường trịn (O) có AB là đường kính Vẽ hai dây AD BC song song Chứng minh:

a)AC = BD; b) CD đường kính (O)

11.Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB dây CD Độ dài dây CD không đổi Chứng minh trung điểm I của CD thuộc đường tròn cố định

12.Cho tam giác ABC (AB < AC) có hai đường cao BD CE cắt trực tâm H Lấy I là trung điểm BC

a)Gọi K là điểm đối xứng H qua I Chứng minh tứ giác BHCK hình bình hành

b)Xác định tâm O của đường tròn qua điểm A, B, K, C

c) Chứng minh OI AH song song

d)Chứng minh BE.BA + CD.CA = BC2

13.Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường trịn (O) Điểm M di động thuộc cung BC khơng chứa A Gọi D, E lần lượt điểm đối xứng với M qua AB, AC Tìm vị trí M để độ dài đoạn thẳng DE lớn

14.Cho điểm A nằm đường tròn (O) có CB là đường kính AB < AC Vẽ dây AD vng góc với BC tại H Chúng minh:

a)Tam giác ABC vuông A

b)H trưng điểm AD, AC = CD BC tia phân giác góc ABD;

(67)

BÀI VỊ TRÍ TƯƠNG ĐĨI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN

I TĨM TẮT LÝ THUYỂT

1 Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn

Cho đường tròn (O; R) đường thẳng Gọi d là khoảng cách từ tâm O đường tròn đến đường thẳng Ta có bảng vị trí tương đối đường thẳng đường trịn:

Vị trí tương đối đường thẳng

đường tròn , số điểm chung

Hệ thức d R Đường thẳng đường tròn cắt d<R Đường thẳng đường tròn tiếp xúc

nhau

d = R Đường thẳng đường trịn khơng

giao

d>R

2 Định lý

Nếư đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm

Dạng Cho biết d, R, xác định vị trí tương đối đường thẳng đường tròn ngược lại

Phương pháp giải: So sánh d R dựa vào bảng vị trí tương đốỉ đường thẳng đường trịn nêu phần Tóm tắt lý thuyết

1.Điền vào chỗ trống ( ) bảng sau (R bán kính đường trịn, d khoảng cách từ tâm đến đường thẳng):

R d Vị trí tương đối đường thẳng dường tròn cm cm

6 cm Tiếp xúc cm 7 cm

2A Trên mặt phăng tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 4) Hãy xác định vị trí tương đối đường trịn (A; 3) trục tọa độ

2B Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm B(2; 4) Hãy xác định vị trí tương đối đường trịn (B; 3) trục tọa độ

3A Cho a, b hai đường thẳng song song cách khoảng 2cm Lấy điểm O a vẽ đường tròn (O; cm)

Chứng minh đường tròn tiếp xúc với đường thẳng b

(68)

Lấy điểm O b vẽ đường tròn (O; cm)

Chứng minh đường tròn cắt a hai điểm phân biệt

Dạng Xác định vị trí tâm đường trịn có bán kính cho trước và tiếp xúc

với đường thẳng cho trước

Phương phấp giải: Xác định xem tâm đường tròn cách đường thẳng cho trước khoảng sử dụng tính chất điểm cách đường thẳng cho trước khoảng cho trước

4A Cho đường thẳng xy.Tâm đường trịn có bán kính 1cm và tiếp xúc với đường thẳng xy nằm đường nào?

4B Cho hai đường thẳng a b song song với nhau, cách khoảng h Một đường tròn (O) tiếp xúc với a b Hỏi tâm O di động đường nào?

Dạng Bài liên quan đến tính độ dài

Phương pháp giải:Nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý tính chất tiếp tuyến định lý Pytago

5A Cho đường trịn tâm O bán kính 6cm và điểm A cách O 10 cm Kẻ tiếp tuyến AB với đường trịn B tiếp điểm.Tính độ dài đoạn AB

5B Cho đường tròn (O; R) dâyAB 8R

5

= Vẽ tiếp tuyên song song vói AB, cắt tia OA, OB lần lượt M N Tính diện tích tam giác OMN

6A Cho đường trịn (O; cm) và điểm A chạy đường tròn Từ A vẽ tiếp tuyến xy Trên xy lấy điêm M cho AM = 2 3cm Hỏi điểm M di động đường A chạy (O)?

6B Cho đường tròn (O; cm) và điểm A ngoài (O) Từ A kẻ cát tuyến với (O), cắt (O) B C Cho biết AB = BC và kẻ đường kính COD, tính độ dài đoạn thẳng AD

7 Cho đường thẳng xy đi qua điểm A nằm đường tròn (O; R) Chứng minh đường thẳng xy và đường tròn (O; R) cắt

8 Cho đường tròn (O; cm) và điểm A cho OA = cm Đường thẳng xy qua điểm A Chứng minh đường thẳng xy và đường trịn (O; cm) có điểm chung

9 Cho điểm A cách đường thẳng xy 12 cm

a)Chứng minh (A; 13cm) cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt

(69)

10.Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Lấy

C điểm thuộc (O) gọi d là tiếp tuyến qua c với (O) Kẻ AE BF vng góc với d; CH vng góc vói AB

a) Chứng minh CE = CF CH2 = AE.BF

b) Khi C di chuyển nửa đường trịn, tìm vị trí điểm C để EF có độ dài lớn

BÀI DẤU HIỆU NHẬN BIỂT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRỊN

Dấu hiệu 1. Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng âỳ tiếp tuyến đường tròn

Dấu hiệu 2.Theo định nghĩa tiếp tuyến

II.BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn

Phương pháp giải: Để chứng minh đường thẳng a là tiếp tuyến đường tròn (O; R) tiếp điểm C, ta làm theo cách sau:

Cách 1 Chứng minh C nằm (O) OC vng góc vói a tại C Cách 2 Kẻ OH vng góc a tại H và chứng minh OH = OC = R Cách 3 Vẽ tiếp tuyến a' của (O) chứng minh a ≡ a'

1A Cho tam giác ABC có AB = cm, AC = cm, BC = 10 crn Vẽ đường tròn (B; BA) Chứng minh AC là tiếp tuyến đường tròn (B)

1B Cho đường thẳng d A là điểm nằm d; B là điểm nằm d Hãy dựng đường tròn (O) qua điểm B tiếp xúc với d tại A

2A Cho tam giác ABC cân A có đường cao AH BK cắt I Chứng minh:

a) Đường trịn đường kính AI đi qua K;

b) HK tiếp tuyến đường trịn đường kính AI

2B Cho tam giác ABC có hai đường cao BD va CE căt H

a) Chứng minh bốn điểm A, D, H, E cùng nằm đường tròn

(70)

Dạng Tính độ dài

Phương pháp giải: Nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý tính chất tiếp tun sử dụng cơng thức hệ thức lượng tam giác vuông để tính độ dài đoạn thẳng

3A Cho đường trịn (O) có dây AB khác đường kính Qua O kẻ đường vng góc với AB, cắt tiếp tuyến A của (O) điểm C

a) Chứng minh CB là tiếp tuyến đường tròn

b) Cho bán kính (O) 15 cm dây AB = 24 cm Tính độ dài đoạn thẳng OC

3B Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Vẽ dây AC choCAB 30 = ° Trên tia đối tia BA lấy điểm M cho BM = R Chứng minh:

a) MC tiếp tuyến (O); b)MC R 3=

4A Cho đường trịn tâm O có bán kính OA = R, dây BC vng góc vói OA tại trung điểm M của OA

a) Tứ giác OCAB hình gì? Vì sao?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn B, cắt đường thẳng OA tại E Tính độ dài BE theo R

4B Cho tam giác ABC vuông A, AH là đường cao, AB = cm,BC = 16 cm Gọi D là điểm đôi xứng với B qua H Vẽ đường trịn đường kính CD cắt AC ớ E

a) Chứng minh HE là tiếp tuyến đường tròn

b) Tính độ dài đoạn thẳng HE

5 Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp đường tròn tâm O Vẽ hình bình hành ABCD Tiếp tuyến C đường tròn cắt đường thẳng AD tại N Chứng minh:

a)Đường thẳng AD là tiếp tuyến (O);

b)Ba đường thẳng AC, BD ON đồng quy

6 Cho đường tròn (O) đường thẳng d không cắt (O) Hãy dựng tiếp tuyến (O) cho tiếp tuyến song song vói d

7 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB M là điểm nằm (O) Tiếp tuyến M cắt tiếp tuyến A B của (O) C D Đường thẳng AM cắt OC E, đường thẳng BM cắt OD tại F

a)Chứng minhCOD 90 = °

(71)

c)Chứng minh AB là tiếp tuyến đường tròn đường kính CD

8 Cho tam giác ABC vng A có AH là đường cao Gọi BD, CE là tiếp tuyến đường tròn (A; AH) với D, E là tiếp diêm Chứng minh:

a)Ba điểm D, A, E thẳng hàng;

b)DE tiếp xúc với đường trịn đường kính BC

9 Cho điểm M nằm nửa đường tròn tâm o đường kính AB Qua M vẽ tiếp tuyến xy và gọi C, D lần lượt hình chiếu vng góc A, B xy Xác định vị trí điểm M trên (O) diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn

10 Cho đường tròn (O; cm) và điểm A nằm (O) Qua A kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn lấy điểm B tia Ax cho AB = cm

a) Tính độ dài đoạn thẳng OB

b) Qua A kẻ đường vuông góc với OB, cắt (O) C Chứng minh BC tiếp tuyến (O)

11.Cho đường tròn (O) đường kính AB = 10 cm Bx là tiếp tuyến (O) Gọi C điểm (O) cho CAB 30 = ° E giao điểm tia AC, Bx

a) Tính độ dài đoạn thẳng AC, CE vả BC

b) Tính độ dài đoạn thẳng BE

12 Cho đường trịn (O) đường kính AB Lâỳ điểm M thuộc (O) cho

MA < MB Vẽ dây MN vng góc với AB tại H Đường thẳng AN cắt BM tại C Đường thẳng qua C vuông góc với AB tại K và cắt BN tại D

a) Chứng minh A, M, C, K cùng thuộc đường tròn

b) Chứng minh BK là tia phân giác góc MBN

c) Chứng minh ∆ KMC cân KM tiếp tuyến (O)

d) Tìm vị trí M (O) để tứ giác MNKC trở thành hình thoi

BÀI TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYỂN CẮT NHAU

I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Tính chất hai tiếp tuyến cắt

Nêu hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm thì: - Điểm cách hai tiếp điểm

- Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến

(72)

2. Đường tròn nội tiếp tam giác

- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác gọi đường tròn nội tiêp tam giác, tam giác gọi ngoại tiêpđường tròn

- Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm I đường phân giác góc tam giác

3. Đường tròn bàng tiếp tam giác

- Đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc vói phần kéo dài hai cạnh lại gọi đường tròn bàng tiếp tam giác

- Vói tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp

- Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác góc A là giao điểm hai đường phân giác góc ngồi B C hoặc giao điểm đường phân giác góc A đường phân giác B (hoặc C)

Dạng Chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vng góc

Phương pháp giải: Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt 1A Hai tiếp tuyến B C của đường tròn (O) cắt A

a) Chứng minh AO là trung trực đoạn thẳng BC

b) Vẽ đường kính CD của (O) Chứng minh BD OA song song

1B Hai tiếp tuyến A B của đường tròn (O) cắt M Đường thẳng vng góc với OA tại O cắt MB tại C Chứng minh CM = CO

2A Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường trịn phía AB Từ điểm M nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyên với nửa đường tròn, cắt Ax By lần lượt C D

a) Chứng minh ∆COD ∆AMB đồng dạng

b) Chứng minh MC.MD không đổi M di động nửa đường tròn c) Cho biết OC = BA = 2R Tính AC BD theo R

2B Từ điểm A ở ngồi đường trịn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C tiếp điểm) Kẻ BE⊥ AC CF ⊥ AB (E AC,F AB∈ ∈ ), BE CF cắt H

a) Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng c) Xác định vị trí điểm A để H nằm (O)

Dạng Chứng minh tiếp tuyến, tính độ dài, tính số đo góc

(73)

- Tính chất hai tiếp tuyến cắt - Khái niệm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp

- Hệ thức lượng cạnh góc tam giác vng

3A Cho đường trịn (O) Từ điểm M ngoai (O), vẽ hai tiếp tuyến ME MF (E,F tiếp điểm) cho góc EMO = 30° Biết chu vi ∆MEF 30 cm

a)Tính độ dài dây EF b)Tính diện tích ∆MEF

3B Cho đường trịn (O) Từ điểm M ởngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA MB (A, B tiếp điểm) cho góc AMB= 60° Biết chu vi tam giác MAB 18 cm, tính độ dài dây AB

4A Cho đường tròn (O; R) và điểm A ở ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điếm) Chứng minh BAC = 60° OA = 2R

4B Cho tam giác ABC vng A có AB = cm, AC = 12 cm Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác ABC Tính độ dài IG

5 Hai tiếp tuyến A B của đường tròn (O) cắt I Đường thẳng qua I vng góc vói IA cắt OB tại K Đường thẳng qua O, vng góc vói OA cắt IB ở C

a)Chứng minh KC OI vng góc

b)Biết OA = OB = cm, OI = 15 cm, tính IA IK

6 Từ điểm A nằm bên ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC với (O) B, C là tiếp điểm Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến vói (O), tiếp tuyến cắt tiếp tuyến AB AC theo thứ tự D E Chứng minh chu vi tam giác ADE bằng 2AB

7 Cho đường tròn (O) điểm A nằm (O) Kẻ tiếp tuyên AB, AC với (O) B,C tiếp điểm

a) Chứng minh đường thẳng OA là trung trực BC

b)Gọi H là giao điểm AO BC Biết OB = 2cm OH = cm, tính: i) Chu vi diện tích tam giác ABC;

(74)

8 Cho tam giác ABC cân A, điểm I là tâm đường tròn nội tiếp, điểm K tâm đường trịn bàng tiếp góc A của tam giác Gọi O là trung điểm IK

a) Chứng minh bốn điểm B, I,C, K cùng thuộc đường tròn

b)Gọi (O) đường tròn qua bốn điểm B, I, C, K Chứng minh AC là tiếp tuyến đường trịn (O; OK)

c) Tính bán kính (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm

BÀI LUYỆN TẬP TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU

Xem phần Tóm tắt lý thuyết Bài

II.BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1A Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax, By Điểm M nằm (O) cho tiếp tuyến M cắt Ax, By tại D C Chứng minh:

a) AD + BC = CD; b) COD 90 = ° c) AC.BD = OA2;

d) AB là tiếp tuyến đường trịn đường kính CD

1B Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax, By M là điểm (O) cho tiếp tuyên M cắt Ax, By tại D C Đường thẳng AD cắt BC tại N

a) Chứng minh A, C, M, O thuộc đường tròn Chỉ bán kính đường trịn

b) Chứng minh OC BM song song

c) Tìm vị trí điểm M cho SACDB nhỏ

d) Chứng minh MN AB vng góc

2A Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn (A; AH) Từ B, C kẻ tiếp tuyến BD, CE với (A) trong D, E tiếp điểm

a) Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng

b) Chứng minh BD.CE DE2

4

=

c) Gọi M là trung điểm CH Đường tròn tâm M đường kính CH cắt (Ạ) N với N khác H Chứng minh CN AM song song

2B Cho tam giác ABC cân A Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp K tâm đường trịn bàng tiếp góc A của tam giác

(75)

b) Chứng minh AC là tiếp tuyến (O)

c) Biết AB = AC = 20 cm BC = 24 cm tính bán kính (O)

3A Cho đường tròn (O; R) Từ điểm A (O), kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điếm M bất kì (M khác A), kẻ cát tuyến MNP, gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB, kẻ AC⊥MB, BD⊥MA Gọi H là giao điểm AC BD, I là giao điểm OM AB Chứng minh:

a) Bốn điểm A, M, B, O cùng thuộc đường tròn; b) Năm điểm O, K, A, M, B cùng thuộc đường tròn; c) OI.OM = R2 OI.IM = IA2

d) OAHB hình thoi; e) O, H, M thẳng hàng

3B Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax, lấy P Ax (AP > R) Từ P kẻ tiếp tuyến PM với (O)

a) Chứng minh bôn điểm A, P, M, O cùng thuộc đường tròn; b) Chứng minh BM //OP;

c) Đường thẳng vng góc với AB tại O cắt tia BM tại N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành;

d)Giả sử AN cắt OP tại K; PM cắt ON tại I; PN cắt OM J Chứng minh I, J, K thẳng hàng

4 Cho đường trịn tâm O đường kính AB Gọi d d' là tiếp tuyến A B Lấy C thuộc d, đường thẳng vng góc với OC O cắt d' tại D AD cắt BC tại N

a) Chứng minh CD là tiếp tuyến (O) tiếp điểm M b) Tìm vị trí C d cho (AC + BD) đạt giá trị nhỏ c) Biết AB = 4a, tính giá trị AC.BD 2 2

OC + OD theo a

d) Chứng minh MN vng góc với AB N là trung điểm MH với H giao điểm MN AB

5 Cho đường tròn (O) điểm A (O) Qua A kẻ tiếp tuyên AB, AC với (O) B, C tiếp điểm Lấy M là điểm thuộc cung nhỏ BC Tiếp tuyến qua M với (O) cắt AB, AC lần lượt D E Chứng minh:

a) Chu vi tam giác ADE 2AB; b) DOE 1BOC

2

=

(76)

đường tròn (I) D, E, F Đặt BC = a, CA = b, AB = c a) Chứng minh AD b c a

2

+ − =

b) Gọi r là bán kính (I) Chứng minh SABC = p.r, trong p là nửa chu vi tam

giác ABC

c) Gọi M là giao điểm đoạn thẳng AI với (I) Tính độ dài đoạn thẳng BM theo a, b, c

BÀI VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN

I.TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1.Tính chất đường nối tâm

- Đường nối tâm (đường thẳng qua tâm đường tròn) trục đối xứng hình tạo hai đường trịn

Chú ý:

• Nêu hai đường trịn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm - Nếu hai đường trịn cắt đường nối tâm đường trung trực dây chung

2.Liên hệ vị trí hai đường trịn với đoạn nối tâm d bán kính R r

Vị trí tương đối hai đường trịn (O;R) (O’;r) vói R>r

Số điểm chung

Hệ thức d R, r Hai đường tròn cắt R-r<d<R+r

Hai đường tròn tiếp xúc

1

- Tiếp xúc d = R + r, - Tiếp xúc d = R-r Hai đường trịn khơng giao

0

- Ở d> R + r - (O) đựng (O') d<R-r - (O) (O') tâm d =

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

Dạng Các tốn liên quan đến hai đường tròn tiếp xúc

Phương pháp giải: Áp dụng kiến thức vị trí tương đối hai đường trịn liên quan đến trường hợp hai đường tròn tiếp xúc

1A Cho đường trịn (O) (O') tiếp xúc ngồi A Kẻ tiếp tuyến chung BC với B ∈ (O), C∈ (O’) Tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung BC I ,

a)Vẽ đường kính BOD và CO'E Chứng ba điểm B,A, E C, A, D thẳng hàng

(77)

c)Gọi K là trung điểm DE Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆OKO' tiếp xúc với BC

1B Cho hai đường tròn (O; R) (O'; r) tiếp xúc với A Vẽ tiếp tuyến chung BC với B∈(O), C∈(O') Đường vng góc với OO' kẻ từ A cắt BC M

a)Tính MA theo R r

b)Tính diện tích tứ giác BCO'O theo R r c) Tính diện tích ∆BAC theo R r

d)Gọi I là trung điểm OO' Chứng minh BC tiếp tuyến đường tròn (I; IM)

Dạng Các toán liên quan đến hai đường tròn cắt

Phương pháp:Áp dụng kiến thức vị trí tương đối hai đường tròn liên quan đến trường họp hai đường tròn cắt

2A Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A và B, OA là tiếp tuyến đường trịn (O') Tính độ dài dây cung AB biết OA = 20 cm O'A = 15 cm 2B Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B Một cát tuyến qua A cắt (O) M, cắt (O') N mà A M và N Từ A vẽ đường kính AOC AO'D

a) Tứ giác CMND hình gì?

b)Gọi E là trung điểm OO' Với MA = NA, chứng minh MN tiếp tuyến đường tròn (E; EA)

3A Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B Gọi M trung điểm OO' Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) (O’) ở C D

a)Khi CD ⊥ MA, chứng minh AC = AD

b)Khi CD qua A và khơng vng góc với MA

i)Vẽ đường kính AE của (O), AE cắt (O’) H Vẽ đường kính AF của (O'), AF cắt (O) G Chứng minh AB, EG, FH đồng quy

ii)Tìm vị trí CD để đoạn CD có độ dài lớn nhất?

3B Cho góc vuông xOy Lấy điểm I K lần lượt tia Ox và Oy Đường tròn (I; OK) cắt tia Ox tại M (I nằm O M), đường tròn (K; OI) cắt tia Oy tại N (K nằm O N)

a)Chứng minh (I) (K) cắt

b)Tiếp tuyến M (I), tiếp tuyến N đường tròn (K) cắt C Chứng minh tứ giác OMCN hình vng

c)Gọi A, B là giao điểm (I) (K) B ở miền góc xOy Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng

(78)

Dạng Các tốn liên quan đến hai đường trịn không cắt

Phương pháp: Áp dụng kiến thức vị trí tương đối hai đường trịn liên quan đến trường hợp hai đường trịn khơng cắt

4A Cho hai đường tròn đồng tâm O Biết BC là đường kính đường trịn lớn có độ dài 12 cm Dây CD tiếp tuyến đường tròn nhỏ



BCD 30 = ° Hãy tính bán kính đường tròn nhỏ

4B Cho hai đường tròn đồng tâm O, có bán kính R r Dây MN đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ A B Gọi BC là đường kính đường trịn nhỏ Tính giá trị biểu thức (AC2 + AM2 + AN2) theo R r 5A Cho hai đường tròn (O; R) (O'; r) ở Gọi MN là tiếp tuyến

chung ngoài, EF tiếp tuyến chung (M E thuộc (O), N F thuộc (O')) Tính bán kính đường tròn (O) (O') trường họp sau:

a)OO' = 10 cm, MN = 8cm EF = cm; b)OO' = 13 cm, MN = 12 cm EF = cm

5B Cho hai đường tròn (O; cm) (O'; cm) nằm Gọi AB là tiếp tuyến chung ngoài, CD là tiếp tuyến chung CD của hai đường tròn (A C thuộc (O); B D thuộc (O’) ) Biết AB = 2CD, tính độ dài đoạn nối tâm OO'

6 Cho hai đường tròn (O; R) (O'; R') tiếp xúc A Vẽ tiếp tuyến chung tiếp xúc (O) (O') B C Tiếp tuyến chung cắt BC I Gọi E, F thứ tự giao điểm IO với AB và IO' với AC

a)Chứng minh A, E, I, F cùng thuộc đường tròn Xác định tâm K của đường tròn

b)Chứng minh IE.IO + IF.IO' = 1

2(AB

2

+ AC2)

c) Gọi P là trung điểm OA Chứng minh PE tiếp xúc với (K)

d)Cho OO' cố định có độ dài 2a Tìm điều kiện R R' để diện tích tam giác ABC lớn

7 Cho đường tròn (O; R) một điểm A trên (O) Trên đoạn OA lấy điểm B cho OB = 1

3OA

a) Chứng minh đường trịn đường kính AB tiếp xúc với (O)

(79)

cắt hai đường tròn tâm D E với D nằm C E Chứng minh AC = CD = DE

8 Cho đường trịn (O) đường kính AB C là điểm nằm A O Vẽ đường tròn (I) có đường kính CB

a) Xét vị trí tương đối (O) (I)

b) Kẻ dây DE của (O) vng góc với AC tại trung điểm H của AC Tứ giác ADCE hình gì?

c) Gọi K là giao điểm đoạn thẳng DB (I) Chứng minh ba điểm E, C, K thẳng hàng

d) Chứng minh HK là tiếp tuyến (1)

9 Cho hai đường tròn (O) (O') Kẻ tiếp tuyến chung AB CD (Ạ C thuộc (O), B D thuộc (O')) Tiếp tuyến chung MN cắt AB và CD theo thứ tự E F (M thuộc (O), N thuộc (O')) Chứng minh:

a)AB = EF; b) EM = FN

ƠN TẬP CHƯƠNG II

Xem Tóm tắt lý thuyết từ Bài đên Bài

II. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1A Cho đường trịn (O, R) đường kính AB dây AC không qua tâm O Gọi H trung điểm AC

a) Tính số đo góc ACB chứng minh OH//BC

b) Tiếp tuyên C (O) cắt OH M Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến (O) A

c) Vẽ CK vng góc AB tại K Gọi I là trung điểm CK và đặt CAB a. = Chứng minh IK = Rsinα cosα

d) Chứng minh ba điểm M, I, B thẳng hàng

1B Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, đường thẳng d là tiếp tuyến vói (O) A Trên d lây điểm M, đường thẳng MB cắt (O) C Tiếp tuyến C cắt d tại I

a) Chứng minh O, A, I, C cùng thuộc đường tròn b) Chứng minh I là trung điểm AM

c) Chứng minh:

2

MB.MC OM AB

4

−

=

(80)

nào?

2A Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường trịn (O) đường kính BH đường trịn tâm O' đường kính CH, hai đường trịn cắt AB, AC thứ tự E F

a) Tứ giác AEHF hình gì?

b) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung (O) (O’) c) Chứng minh đường trịn đường kính OO' tiếp xúc với EF

d) Cho đường trịn tâm I bán kính r tiếp xúc với EF, (O) (O’) Tính r theo BH CH?

2B Cho đường trịn (O) đường kính CD = 2R, M là điểm thuộc (O) cho MC < MD Gọi K là trung điểm CM, tia OK cắt tiếp tuyến Cx tại A

a)Chứng minh OA //MD Từ suy MA là tiếp tuyêh (O)

b)Gọi B là giao điểm AM và tiếp tuyến Dy của (O), H là giao điểm OB MD Khi M thay đổi, chứng minh (KO.KA + HO.HB) khơng phụ thuộc vị trí M

c)Giả sử CM = R, đường thẳng AB cắt CD tại S Kẻ CE ⊥ AB tại E Chứng minh AE.SM = AM SE

d)Khi M thay đổi, chứng minh giao điểm AD CB luôn thuộc đường cố định

3. Cho AB CD hai đường kính vng góc đường trịn (O; R) Trên tia đối tia CO lấy điểm S, SA cắt đường tròn (O) M Tiếp tuyến M với đường tròn (O) cắt CD E, BM cắt CO F

a)Chứng minh: EM.AM = MF.OA b)Chứng minh: ES = EM = EF

c)Gọi I là giao điểm đoạn thẳng SB và (O) Chứng minh A, I, F thẳng hàng

d)Cho EM = R, tính FA.SM theo R

e)Kẻ MH⊥ AB Xác định vị trí điểm M để tam giác MHO có diện tích đạt giá trị lớn

4. Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Điểm C thuộc (O) cho CA < CB Vói H hình chiếu vng góc C AB, gọi D, M, N theo thứ tự giao đường tròn I đường kính CH với (O), AC BC

(81)

8

b) Chứng minh OC⊥MN

c) VóiE AB= ∩CD , chứng minh điểm E, I,M N thẳng hàng d) Chứng minh ED.EC = EA.EB

5 Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Qua A B vẽ hai tiếp tuyến d d' với (O) Một đường thẳng qua O cắt d ở M và cắt d' P. Từ O vẽ tia vng góc với MP và cắt d' N

a) Chứng minh OM = OP tam giác NMP cân

b)Gọi I hình chiếu vng góc O lên MN Chứng minh OI = R MN tiếp tuyến (O)

c) Chứng minh AM BN = R2

d) Tìm vị trí M để tứ giác AMNB có diện tích đạt giá trị nhỏ

6 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R C là điểm (O) Kẻ BI phân giác góc ABC với I ∈ (O) gọi E là giao điểm AI BC

a) Tam giác ABE tam giác gì? Vì sao?

b) Gọi K là giao điểm AC BI Chứng minh EK ⊥ AB

c) Gọi F là điểm đối xứng với K qua I Chứng minh AF là tiếp tuyến (O) tứ giác AFEK hình thoi

d) Khi điểm C di chuyển (O) E di chuyển đường nào?

7 Cho đường tròn (O; R) B nằm (O) Từ điểm A bất kì nằm tiếp tuyến d tại B với (O), kẻ BH ⊥ AO tại H

a) Khi A di chuyến d, chứng minh tích OH.OA có giá trị khơng đổi

b) Gọi C điểm đối xứng B qua H Chứng minh AC là tiếp tuyến (O) c) Tia đối tia OA cắt (O) M Chứng minh M cách ba đường thẳng BC, AB, AC

d) Với điểm I di chuyển BC, qua A vẽ đường thẳng vng góc với OI tại D Tìm vị trí I BC để (3OI + OD) đạt giá trị nhỏ

8 Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh AB = c, AC = b, BA = a p là nửa chu vi tam giác Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC, AC AB D, E F

a)Chứng minh (I) có bán kính r p a tan( ) BAC

2

= − b)VớiBAC  = α , tìm số đo góc EDF theoα

c) Gọi H, K lần lượt hình chiếu B,C EF Chứng minh:

BHF CKE.∆  ∆

(82)

ĐỂ KIẾM TRA CHƯƠNG II

Thời gian làm đề 45 phút

ĐỂ SỐ l PHẦN I TRẮC NGHIỆM (3 ĐIỂM)

Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng:

Câu Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm của: A Ba đường trung trực tam giác

B Ba đường cao tam giác

C Ba đường phân giác tam giác D Ba đường trung tuyến tam giác Câu Cho hai đường tròn (O; 13 cm), (O’

; cm) OO' = cm Vị trí tương đối hai đường trịn là:

A Tiếp xúc B Tiếp xúc ngoài, C Đồng tâm D Ngồi

Câu Cho đường trịn (O; cm) có dây CD khơng qua O Gọi H là hình chiếu vng góc O CD Biết OH = cm, khi độ dài dây CD bằng:

A cm B cm C cm D cm

Câu Cho MNP tam giác cạnh dài cm Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP bằng:

A cm B cm C 3 cm D cm Câu Đường trịn hình:

A Khơng có trục đối xứng B Có trục đối xứng C Có hai trục đối xứng D Có vơ số trục đối xứng

Câu Cho đường tròn (O; cm) và điểm A năm (O) cho OA = cm Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC tới (O) B, C là tiếp điểm Khi đó, chu vi tam giác ABC bằng:

A 3cm B.6 cm C cm D 3cm

Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH = 2cm, cạnh BC = cm Đường vng góc vói AC tại c cắt đường thẳng AH D

(83)

Bài (4,0 diêm) Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d khơng có điểm chung cho khoảng cách từ O đến d không 2R Qua diêm M d, vẽ tiếp tuyến MA, MB tới (O) với A, B là tiếp điểm Gọi H hình chiếu vng góc O d Vẽ Dây AB cắt OH K cắt OM tại I Tia OM cắt (O) E

a) Chứng minh OM ⊥ AB OI.OM = R2 b) Chứng minh OK.OH = OI.OM

c) Tìm vị trí M d để OAEB hình thoi

d)Khi M di chuyên d, chứng minh đường thẳng AB luôn qua điểm cố định

ĐỀ SỐ

Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng:

Câu Cho đường tròn (O; 25 cm) Khi độ dài dây lớn đường tròn bằng:

A 20 cm B 25 cm C 50 cm D 625 cm

Câu Cho hai đường tròn (O; cm), (O'; cm) OO’= 6cm Vị trí tương đối (O) (O’) là:

A Cắt B Đựng nhau, C Tiếp xúc D Ngoài

Câu Cho đường tròn (O; cm), dây AB có độ dài 6cm Khoảng cách từ tâm đường tròn đến dây AB là:

A cm B cm C 5

3 cm D

5 cm

Câu Cho hình vng MNPQ có cạnh cm Bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng bằng:

A 2cm B cm C 2 3 cm D.2 2 cm

Câu Cho đường tròn (O; 10 cm), điểm I cách O một khoảng cm Qua I kẻ dây cung EF vng góc với OI Khi độ dài dây EF là:

A 16 cm B 12 cm C 10 cm D cm

Câu Cho tam giác ABC vuông A, có AB = 18cm, AC = 24cm Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác bằng:

(84)

Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có đường cao BD CE với D∈ AC E∈AB

a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn b) So sánh độ dài đoạn thẳng BC với đoạn thẳng CE BD

Bài (4,0 điểm)Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Điểm C di động nửa đường tròn (C khác A B) Qua C vẽ tiếp tuyên d với nửa đường tròn Gọi E, F hình chiếu A, B xuống d H là chân đường vng góc hạ từ C xuống AB

a)Chứng minh AC là phân giác góc EAH b)Chứng minh AC HF song song

c) Chứng minh (AE + BF)không đổi C di động nửa đường tròn tâm O

d)Tìm vị trí C nửa đường trịn tâm O để tích AE.BF đạt giá tri lớn

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ

Thời gian làm cho đề 90 phút Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:

a) P 7= + 2− 51 14 2+

b) Q

3 3

= − +

+ − + Bài 2: Cho biểu thức:

6 x

A vµ B víi x > vµ x

x

x x x x

= = + + ≠

−

+ − +

a) Tính giá trị A x=1/4 rút gọn B b) Đặt M A

B

= Hãy tìm giá trị x để M > c) Tìm giá trị x nguyên để M nguyên

Bài (1,5 điếm)Cho hàm số bậc y = (m-4)x+m+l (m là tham số) có đồ thị đường thẳng d Tim m để d:

a) Đi qua điểm A(1; -1) Vẽ d với m vừa tìm b)Song song vói đường thẳng d': y = l-2x

(85)

(với M khác A) Kẻ dây cung AB vuông góc với OM tại H a)Tính độ dài OM AB OH=2 cm

b)Chứng minh tam giác MBA cân MB tiếp tuyến (O)

ĐỀ SỐ

Bài (1,0 điểm).

a) Thực phép tính A

2

= − +

−

b) Rút gọn biểu thức B = sin219°+cos219°+tan 19°- cot71° Bài (2 điểm)

a) Cho biểu thức A Tìm x để A =

x x

= +

− + b) Tính P = A: Từ tìm x để P <

x 1+

c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M x 12

P x

+ =

− Bài (2,5 điếm).

Cho hai hàm số y = 2x+l y = x - l có đồ thị đường thẳng d1 d2

a) Vẽ d1 d2 trên hệ trục tọa độ Oxy

b) Tìm tọa độ giao điểm C d1 d2bằng đồ thị phép tốn

• c) Gọi A B lần lượt giao điểm d1 d2 với trục hoàng Tính diện tích

của tam giác ABC Bài (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B,C tiếp điểm) Gọi H là trung điểm BC

a) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng điếm A, B, C, O thuộc đường trịn

b) Kẻ đường kính BD của (O) Vẽ CK vng góc vói BD Chứng minh AC.CD = CK.AO

c) Tia AO cắt đường tròn (O) M (M nằm A và O) Chứng minh M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

(86)

Bài (0,5 điểm).

Cho số thực x, y không âm thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 ≤ Hãy tìm giá trị lớn biểu thức:

( ) ( )

P x 29x 3y y 29y = + + + 3x PHẦN C ĐÁP ÁN

CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI,CĂN BẬC BA BÀI CĂN BẬC HAI

1A a) Căn bậc hai bậc hai số học b) Căn bậc hai 64 ±8; bậc hai số học 64 c) Tương tự, bậc hai bạc hai số học

16

± và 3

4

d) Các bậc hai bậc hai số học 0.04 lầ lượt ±0,2 0,2

1B Tương tự 1A

a) Không tồn b) ±0,5 0,5 c) ±1,2 1,2 d) 11

9

± và 11

9

2A a) Số có bậc hai số học 12 144

b) Vì -0,36 < nên khơng tồn số có bậc hai số học -036

c) Tương tự, số có bậc hai số học 2

7 7

d) Số có bậc hai số học 0,

3 0, 04

3 2B a) 169 b) Không tồn c)

10 d)

0,144 3A a) Ta có

9= =3 b) Ta có

2

4 2

25 5

  =   =

 

c) Ta có ( )2

6 6

− = − = − d) Ta có

2

3 3

4 4

   

− = =

   

   

3B Tương tự 3A a) 11 b)

5 c) d)

4A a) Ta có 2

0, 0, 04+5 0, 36=0, 0, + 0, =3,1 b) Tương tự, ta có 25 45 53

16 25

− −

− + = − + = −

−

(87)

a) b)

6

− 5A a) Ta có

2

2 4

9 16

3

x − x= ⇔ x =   ⇔ = ±x

 

b) Ta có

2

2 13 13

4 13

2

x = ⇔x =  ⇔ = ±x

 

c) Vì 2

0

x ≥ ⇒ x + > ⇒ ∈∅x

d) Ta có 35

2 6

2 x+ = ⇔ x+ = ⇔ =x

5B Tương tự 5A

a)

3

x= ± b) 13

3

x= c) x∈∅ d) x =

6A a) Ta có 32 =9 vµ 2( )2 =8 mà 9>8 nên 3>2 2

b) Ta có 5 1= + = 16 mà 16+ < 17 (vì 16<17) nên 5< 17 1+

c) Tương tự câu b, 3 1= − = 16 mµ 16− > 15 (vì 16>15) nên > 15

d) Ta cú 1 3= 1- 3<0 mà 0< 0,2 nên 1- 3< 0,2

6B Tương tự 6A

a) 2 30 b) 1+ 2 c) 1− d) −3 11

7A a) Ta có 2x < ⇔1 2x < ⇔ ≤1 2x< ⇔ ≤ <1 x

3 9 18

b) ĐK : − + ≥ ⇔ ≤3x x

2 6

Ta có − + ≥ ⇔ − + ≥3x 3x 25⇔ ≤ −x 49

2 (TMĐK)

7B Tương tự 7A

a) ĐK: x≤ Ta cã -2x+ 1>49 ⇔ < −x 24

2 (TMĐK)

b ĐK: x≥ Ta cã 2x-1≤ ⇔ ≤9 x 13

2 Kết hợp ĐK ta ≤ ≤

1 13

x

2

8A* a) Giả sử 3= m

n số hữu tỉ với m,n Z,n 0∈ ≠ (m,n) =1

Từ 3= m ⇒m2 =3n2 ⇒m 32 ⇒m 3 ⇒m 3k=

n với k Z∈

Thay m=3k vào m2 =3n2 ta n2 =3k2 ⇒n 32 ⇒n 3 Như m,n có ước chung 3, trái với giả thiết (m,n)=1 Vậy số vô tỉ

b) Giửa sử 2+ a= số hữu tỉ Ta có + = ⇒ = −

2

2 a

5 a

2 (1)

(88)

Tuy nhiên, a số hữu tỉ nên a2 −5

2 số hữu tỉ (3) Từ (1),(2), (3) dẫn đến điều vô lý

Vậy 2+ phải số vô tỉ 8B* Tương tự 8A

9) a) ±15 15 b)

17

±

17

c) ±1,5 1,5 d) ±0,4 0,4 10 a) 49 b)

16 c)

2 d)

0,625

11 a) 15

3 b) 111 c) -1

400 d)

12 a) 12 b) -0,35 c) -11

4 d) -13

4

13 a) x = ± 18 b) x =

4

± c) x 13

4

= d) x∈ −{ 1;2} 14 Tương tự 6A

a) 2> + b) 1> − c) 0,5> 2− d) −3 7> 15* Đặt A= 2015+ 2018 B= 2016 + 2017

Ta có A2 =2015 2018 2015.2018 4033 2015.2018+ + = + Tương tự B 4033 2016.2017= +

Mặt khác 2015.2018= (2016-1)(2017+1)= 2016.2017- 2<2016.2017

2

A B A B

⇒ < ⇒ < 16.Tương tự 7A

a) x 22≥ b) x<-24 c) x 484≤ ≤ d) x

3≤ ≤

17* a) ĐK: x

≥ Bình phương hai vế ta tìm x 2≥ (TMĐK) b) ĐK; x 0≥ Bình phương hai vế ta có

2 x

2x x x(x 2)

x

≥ 

≤ ⇔ − ≥ ⇔ 

≤ 

Kết hợp ĐK ta x=0 x 2≥ 18 a) Tương tự 8A

b) Giả sử a+ = số hữu tỉ Suy a Q= − ∈ Mà 7là số vô tỉ, trái với giả thiết ⇒ 3+ số vô tỉ

19* a) Đặt t 2x 3(t 0) x t2

+

= − ≥ ⇒ = từ P 1t2 2t

2

= − + b) Ta có P 1(t 2)2

2

= − − Từ tìm

1

P x

2

(89)

20* a) Đặt a

1 100

= + + + + Ta có

1 1 1

a 100 10

1 > > > > 100 ⇒ > 100 =

b) Ta có

4 4 3

4 4 4 3

< ⇒ + < + < ⇒ + + < < + <

⇒ + + + + < + <

BÀI CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A2 = A

1A a) Ta có

2

49

144 0,01 12 0,1 1,05

64

−  

− =   =

 

b) Ta có

( )

2

2 2

( 0,15 ( 15) 2,25) : 169

0,5 15 1,5 : 13

− − +

= − + = −

1B Tương tự 1A

a) 90 b)

2A a) Ta có (4− 15)2 + 15 = −4 15 + 15 4; (4 > 15) = b) Tương tự (2− 3)2 + (1− 3)2 = −2 3 + −1 3 1=

Chú ý: 2- 3>0 2= 4> 3; 1- 3<0 1= 1<

2B Tương tự 2A

a) b)

3A a) Ta có ( )

2

11 2.3 2+ = + + = +3 ⇒đpcm b) Áp đụng câu a) ta có:

11+ + 11− = 3+ + 6− = ⇒đpcm 3B Tương tự 3A HS tự làm

4A a) Chú ý : ta có 49 12 (2 5) ; 49+12 (2 5)− = − = + Từ rút gon kết -4

b) Chú ý : Ta có 29 12 (3 5) ; 29-12 (3 5)+ = + = − Từ rút gon kết

4B Tương tự 4A

a) Chú ý: 7±4> = ( ±2)2

Từ rút gọn kết

(90)

Từ rút gọn kết -2 5

5A a) Ta có 25a2 - 25a = |5a| - 25a = -50a (vì a< 0) b) Tương tự, 16a4

+ 6a2 = 10a2 Chú ý 16a4 =|4a2|= 4a2 a2 ≥ ∀0 a 5B Tương tự 5A

a) 10a b) 15a3

6A a) Ta có ( ) ( )

( )( )

2

x x

A x

x x

+ − = −

− +

Từ tính A = 3( x - 1) với x 9≤ ≠

b) Ta có

2

x<-3x 3

B

3x 2

1 x>-3

−  +  = =  +  

6B Tương tự 6A

a) Tính M = 4 x +5 với x 25≤ ≠

b) Tìm

1 x<

2 N

1 x>

2

−  =   

(91)

7A a) Ta có

3x

−

− có nghĩa

2

0 3x x

3x

−

⇔ ≥ ⇔ − < ⇔ <

−

b) Ta có 23x

x 2x

−

− + có nghĩa

3x

0

x 2x

−

⇔ ≥ − + Mặt khác 2 ( )2

x −2x 4+ = x 1− + >3 với x Do

3x 2

0 3x x

x 2x

−

≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ − + 7B Tương tự 7A

a) a) x b) x >

2

≥

8A a) Cách Ta có x2 −8x 9− = (x 1)(x 9)− − Từ x2 −8x 9− có nghĩa ⇔

(x + l)(x — 9) ≥ Tìm x≥ x≤

Cách Ta có x2 −8x 9− = (x 4− )2 −25 Từ x2 −8x 9− có nghĩa ⇔

(x - 4)2 ≥ 52 Tìm x ≥ x≤-

b) Ta có 2x

5 x

−

− có nghĩa⇔

2x x

−

− ≥ Tìm ≤ x <

8B Tương tự 8A

a) x ≥ x < b) 2 x 2

3 3

− ≤ ≤

7

9A a) Ta có

( )

2

2x

x 2x 2x

− ≥ 

− + = − ⇔ 

− + = −  Giải ta x =

b) Cách Ta có

( )

2

x x x x

4 x x

4(x 1) x

(92)

Từ tìm x=2

Cách Ta có x x 2+ − = ⇔ x 1 2− + = Từ tìm x=2

9B Tương tự 9A

a) x = b) x =

10A a) Ta có

2

x

x 3x x

− ≥ 

− + = − ⇔ 

− + = − 

Giải ta x=1 x=3

b) Ta có x2 −4x 4+ = 4x2 −12x 9+ ⇔ − =x 2x 3−

Giải ta x=1 x=5

3

10B Tương tự 10 A

a) x = x = b) x = - x =

3

11.Tương tự 1A

a) 86 b)-13 12 Tương tự A

a) A= 2 2− b) B = 3− 13 HS tự chứng minh ( )

2 5− = 1−

Tương tự chứng minh dược 5+ =( 1+ )2

Từ dó tinh dược M = 14 Tương tự 4A

a) M = b) N = -2 15 Tương tự 4A

a) P = 2 b) Q = 16 Tương tự A

(93)

a) Ta có A= + + − = + + − =a a a (3 a) b) Chú ý: a ± a ( a 1)− = − ± Tìm B=2 18 a) x ≤ -2 b) x≥2 x≤l

C)-3≤X<5 d) x=2

19 a) Cách Biên đổi x2 −6x x+ = − ⇔ − = −x x Từ tìm x=7

2

Cách Ap dụng A B B 2 A B

≥  = ⇔ 

=

 ta tìm x =

7

b) Phương trình ⇔ 2x 1− + + 2x 4− + =5

Từ tìm đươc x =

2

20* a) Phương trình

( )

2

x

 − =

 ⇔ 

− =

 Từ tìm x =

b) Phương trinh ⇔ − + − =x x Từ tìm x = x =

21* Chú ý: Sử dụng bâ't đẳng thức |a + ≥ +b a b ( Dấu "="xảy ⇔ab 0≥ a) Ta có P = |2x -1| +|13 - 2x| ≥ |(2x -1)+(3 - 2x)| =

Dấu "=" xảy (2x —1)(3 — 2x) ≥ Từ tìm

1

P x

2

(94)

b) Tương tự, tìm Qmin x

7

= ⇔ − ≤ ≤ 22* Cách Biến đổi đẳng thức dạng:

( ) ( ) ( )

2 2

x 1− − + y 2− − + z 3− − =0 Từ tìm x = 2; y = z= 12

Cách Ta có: x = (x - 1) +1 ≥ x 1− Tương tự: y + = (y - 2) + 4≥ y 2−

(95)

BÀI LIÊN HỆ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VỚI PHÉP KHAI PHƯƠNG 1A a) Ta có 25.144 = 25 144 5.12 60= =

b) Ta có 52 13= 52.13 = 4.13.13= 132 =26

1B a) Thực biến đổi 45.80 = 5.9.5.16 = 25 16 60= b) Tương tự câu a) Ta có

7 28 = 7.28 = 7.7.4 = 49 17=

2A a) Ta có 25 25

16 = 16 = 16 =

b) Ta có 12,5 12,5 25 0,5

0,5 = = =

2B a) Ta có 25 25

64 = 64 =8

b) Ta có 230 230 100 10 2,3

2,3 = = =

3A a) Ta có 50 24 2.6 50.6 24.6

3 3

 

+ − = + − =

 

 

b) Ta có ( )

2

3+ = 3.2 5+ = 1+ = 1+ 3B Tương tự 3A

a) b) 2( 1− )

4A a) Ta có 16 : 16

7 7 7

   

− + = − +

   

   

Từ tìm kết

7

(96)

4B a) Tương tự 4A Tính

3

b) Ta có : 2 : 5

2

− − − = − = = 5A a) Tacó 10 15 5

8 12 4

− = −

− − Từ tính kêt

2

b) Tương tự câu a), tính kết

2

5B a) 21 b) 10

7

− =− =

6A a) Ta có

2

2t 3t 2t 3t t t

t

3 8

− − = − −  = = − ≤

 

 

b) Nhận xét (x− x2 −1)(x+ x2 − =1) x2 −( x2 −1)2 =1 Thực khai phương tích ta kết 6B a) Chú ý y2 = |y| = -y với y < Kết -2y

b) Chú ý ( x4 + −4 x2)( x4 + +4 x2)=(x4 +4) (x )− 2 =4 Thực phép khai phương hai vế ta kết 7A a) Biến đổi tử số = x y( x + y) mẫu số = ( x + y)2 Từ đó, ý điều kiện, rút gọn kết M = xy

x+ y

(97)

Từ đó, ý điều kiện, rút gọn kết N a a

− =

− 7B a) Tương tự 7A Rút gọn Q xy

x y

=

−

b) ( ) ( )( )

2

a a 4+ + = a ;4 a+ − = 2− a a 2+ Từ đó, ý điều kiện, rút gọn kết P = 8A Phương trình

( )2

2

2x

x 2x 2x

− ≥ 

⇔ 

− + = −

 (1)

Giải (1) thu x = 2, thỏa mãn 2x-2 ≥

b) Phương trình 2

2

2 3x x

3

x 2x 3x x x 0

 − ≥ ≤

 

⇔ ⇔ − = −

  + − = Tương tự câu a) ta tìm x=-2

8B a) Ta có

( )

2

x

x x x

− ≥ 

− + + = − ⇔ 

− + + = −

 (1) Giải (1) thu x = 1; x =5

2 không thỏa mãn x 0− ≥

Vậy x∈∅

b) Cách Với x≥ 3, ta phân tích x2 − =9 x x 3− +

Đặt nhân tử chung x 3− , ta thu phương trình tích

x 3(1 x 3) 0− − + =

Giải ta x = (TM x≥3) x = 11

4

−

(98)

Cách 2.Đưa

( )

2

x

x x

(x x

− ≥ 

− = − ⇔ 

− = −  Giải x-3 = 4(x2

-9) ta hai nghiệm x = (TM) x= 11

4

−

(loại

KTM)

9A Biên đổi thu gọn Vê' trái = y 3−

Giải phương trình y 3− =20 thu y = 28

9B Tương tự 9A Biến đổi thu gọn vế trái = y 5−

Giải y 5− =4 thu y=9

10 a) 80 b) 25 11 a) 13

9 b)

12 a) 22 b) 14

3

13 a) M = b) N=10

14 a) 12 6; P5 27 6

3

18 48 30 162

− = − + = ⇒ = −

− +

b) 3 2; 22 Q

3

+ = + + = ⇒ = + 15 a) Chú ý : u3 + v3 =u u v v+

Thực quy đồng A (u v)( u v ) u u v v

u v u v

− − +

= −

− − Thu gon ta A uv

u v

− =

(99)

Mẫu số = ( u − v u v)( − ) Thu gọn ta ( )

( )

2 u v M

2 u v

+ =

−

16 a) Tử số =(x− 2)2 mẫu số =(x− x)( + 2)

Thu M x

x

− =

+

b) Mẫu số =(x− 5)2 thu gon N

x

= +

17.a) Đưa vê' dạng t 2t hay t 2t − = + − = ( + ) Giải phương trình ta t∈∅

b) Đưa dạng 25t2 − =9 4 5t 3( − ) Giải phương trình ta t = 1

5 (loại)

5(TM)

18 a) Đưa phương trình -2x2 + = (x -1)2với x ≥ Giải x=3

5 (TM x≥1)

b) Thu gọn vế trái = 12 t

5 −

Giải phương trình ta tìm t=105

16

(100)

b) Ta có 8xy2 = ( )2y 2x2 = 2y 2x 2y 2x v× y 0= ≤

1B a) Ta có 25x3 =5x x v× x>0 b) Ta có 48xy4 =4y 3x v× y2 ≥0 2A a) Vì a ≥0 nên a 13= 13a2 b) Vì a< nên

2

15 15 15a

a ( a) 15a

a a a

− = − − − = − − = − −

2B Tương tự 2A

a) a 12 3a

2 a = b)

2

a = − 2a

3A a) Ta có

2

29 29 116 vµ 13 117

Mµ 116 117 29 13

5 25 3 3 27

b) Ta cã 2 vµ

4 2 2

25 27 3

Mµ

8 2

= = = < ⇒ <

    =   = =   =

    < ⇒ <

3B a) Ta có = 50; 3= 48⇒ Số bé b) Ta có 25 vµ 36

2 = 24 37 = 37

⇒ Số bé ( v× 25 36) 37 24 > > 37

4A Thực đưa thừa sô' vào căn:

3 5= 45;2 = 24;4 = 32 Từ ta có < 29 5< < 4B Cách Tương tự 4A

Cách 2 Thực đưa thừa số dấu căn: vµ 28 7= = Từ ta có 2> > 8> 28

5 A Thực đưa thừa sơ' ngồi dâu căn: a) Ta có

3

100x x

5 4x 10 x;3 10 x vµ x

9 x

(101)

Từ rút gọn A x=

b) Ta có 3v v+ + = + = − −3 v v v× v -3≤ Từ rút gọn B = v +

5B, Tương tự 5A

a) Tìm M 20 u 10 u 13 u= − − = −3 u víi u 0≥ b) Tìm N t t t víi t

2

= + − − = − ≤ 6A Biên đổi vế trái phương trình ta được:

Vế trái =1 a a2

3 − − −

Cách Đưa phương trình dang:

2 a

a 3 a

a 9(a 9)

≥ 

− = − ⇔ 

− = −



Giải a =3

Cách 2 Điều kiện: a≥

Ta có a a2 a a

3

  − − − = ⇔ −  − + =

  Giải ta a=3 (TM a≥ 3) hoặc a 26

9

= − (KTM a≥ 3)

6B Tương tự 6A Biên đổi rút gọn vế trái ta Vế trái =2 2x

3 + Từ tìm x= 35

2

7A a) Ta có

3

2

5x x 5x x 5xy x x

5xy 5xy

49y = y =7 y = y =7y

b) Ta có 7xy 7xy 3xy2 2 7xy 3xy 3xy

xy x y xy

− = − = − = − −

7B a) Ta có: 5b3 5b 5ab2 12 5ab

(102)

b) Ta có; 1ab 16 ab ab ab2 2 ab

4 ab ab a b

− = − = − = − 8A a) Đưa dạng

A − B cách đưa thừa số vào dấu

1 27 27

8 27 19

2 3 27

+ + = = =

− −

b) Ta có: ( )( )

( )( ) ( )

2

3 5

4

3 5

− − −

− = = = − + − +

8B a) Ta có 2( 3) 10

5

+

= = = −

−

b) Ta có ( )

2

2 2 3

−

− = = − + +

9A a) Thực trục thức ngoặc có

( )

2 15 15

3( 1)

6

−

= = − −

+

Tương tự 2( vµ ) 12 4( 3)

6 2− = + 3− = +

Từ rút gọn M=-115

b) Tính 5 vµ 5

1 5

+ −

= = − + − Từ tìm N=4

9B Tương tự 8A

a) P=2 b) Q=-1

10 a) 5a2 = −a b) 18a2 =3a c) -3b −b d) 24a b4 =2a b 62 11 a) 7x b) - 15x c) 2 19 d) -

y

12 Số lớn là:

(103)

13 Số bé là:

a) 10 b)

5

14 Tương tự 4A

a) 2 5< < 23 b) 13 3< > > > 47 15 a) A 10 x x x 11 x

2

= − − =

b) B y 3(1 2y) y

2 4

= + − − = − −

16 a) Biên đổi Vế trái = u 5− Từ tìm u = b) Biên đổi vế trái =4 u 1− Từ tìm u = 17* Cách Biên đổi dạng:

( ) (2 ) (2 )2

x 1+ − + y 1− − + z 1− − =0 Từ tìm x= 0, y = 4, z =

Cách Ta có x + = (x+ 1) + ≥2 x 1+ ; y-2 = (y-3) + l≥2 y 3− ;

z = (z -1)+1≥2 z 1−

Cộng vê' với vế ta x+y + z ≥2( x 1+ + y 3− + z 1− ) Dâu "=" xảy <=> x = 0, y = 4, z =

18 Tương tự 9A

a) Ta có P 1

2

+

= =

+

b) Ta có Q ( 5) :

7

= − − = − −

(104)

1

2

1

3

2

n n

−

= = − −

+

= − +

= − − − +

Thực rút gọn VT= n -1 =VP(ĐPCM)

BÀI RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

1A a) Rút gọn ta

x

P víi x 0, x

x

b) i) Ta cã x= 2 2 (TM §K x 0, x 9)

+

= ≥ ≠ +

+ + − = ≥ ≠

Thay x=4 vào P tính P=4

5

ii) Tìm x=2 (TM §K x 0, x 9)≥ ≠

Thay x=2 vào P tính P=4

7

+

1B a) Rút gọn ta Q x víi x 0, x x

+

= ≥ ≠ +

b) i) Ta cã x= 5+ −4 2+ =1 (TM §K x 0, x 4)≥ ≠

Thay x=1 vào Q tính Q=

ii) Tìm x=2 (TM §K x 0, x 4)≥ ≠ Thay x=2 vào Q tính Q=8

2

−

2A a) Rút gọn ta M x víi x 0, x x

(105)

b) Ta có M 2x x ( x x 1)( )

2

= ⇔ + − ⇔ + − = Giải ta x=1

4

2B a) Rút gọn ta

( x )

N víi x

3 x x

= ≥

− +

b) Ta có N ( x 2 x 1)( )

8

= ⇔ − − = Giải ta x 4;1

4

  ∈   

3A a) Rút gọn ta A x víi x 0,x

x

+

= ≥ ≠ + b) Rút gọn ta M x

x

= − +

+

Để M nguyên, ta cần có x N,∈ ( x ¦ (7)+ ∈) Từ tìm x=6

3B a) Rút gọn ta B x víi x 0,x

x

+

= ≥ ≠ + b) Rút gọn ta C

x

− =

−

ta có C nguyên, ( x 2− ∈) ¦ (2) Giải ta x∈{0,1,6,16} Ta có c nguyên <=> (yfx —2) e ư(2)

4A a) Rút gọn ta P x

=

+ víi x 0,x 4≥ ≠ Đặt M 7P

3

= Ta có M 14

3 x

=

+ víi x 0,x 4≥ ≠

Cách Tìm được < M

3

(106)

Từ tìm x =64

9 ; x =

4B a) Rút gọn ta A x

=

+ víi x 0,x 25≥ ≠

b) Ta có M x

1 x

=

+ víi x 0,x 25≥ ≠

Cách 1 Tìm ≤M < Mà M Z∈ ⇒ M = Từ tìm x = (TMĐKvíi x 0,x 25≥ ≠ ) Cách Đặt x n

1+ x = với n nguyên

Ta có x n 0 n n

1 n

= ≥ ⇒ ≤ < ⇒ = −

Từ tìm x = (TMĐK víi x 0,x 25≥ ≠ ) 5A a) Rút gọn ta B x

x

+ =

− víi x 0,x 1≥ ≠

b) Rút gọn ta C x x

x

+ +

= víi x>0,x 1≠ Xét hiệu C-3 = ( )

2 x

0 x

−

> víi x 0,x 25,x 1≥ ≠ ≠ Từ ta có C>

5B a) Rút gọn ta A x x

=

+

x B

x

=

− víi x 0,x 25,x 9≥ ≠ ≠ b) Ta có P x

x

− =

+ P-1 =

8

x 3+ < nên P< 6A a) Rút gọn ta B x

x

+ =

− víi x 0,x 4,x 9≥ ≠ ≠ b) Tìm B x x

x

+ + =

(107)

Ta có P ( x 1) ( x ) 4

x x

= + + ≥ + = + +

Dấu"=" xảy x x x

+ = ⇔ =

+ (TMĐK víi x 0,x 4,x 9≥ ≠ ≠ ) Vậy tìm Pmin = ⇔ =4 x

6B

a) Rút gọn ta P

x

=

+ víi x 0,x 9≥ ≠ b) Tìm đượcPmin = ⇔ =1 x

7

a) Rút gọn ta M x

x

+ =

− víi x 0,x 4,x 9≥ ≠ ≠

b) Từ x 11 2= − ⇒ x 3= − (TMĐK víi x 0,x 4,x 9≥ ≠ ≠ ) Thay x 3= − vào M tính M = - 2

c) Tìm x = 49 d) Ta có M <

x

⇔

− < Từ tìm x 9,x 4≤ < ≠ e) Ta có M

x

= +

− víi x 0,x 4,x 9≥ ≠ ≠

Từ điều kiện x M nguyên ta tìm x = {l; 16; 25; 49} a) Gợi ý: x− x ( x 2)( x 1)+ = + +

Rút gọn ta Q x

x

+ =

− víi x 0,x 1≥ ≠ b) Ta có x = 1+ (TMĐK)

Thay x = 1+ vào Q tìm Q 3

3

+

= c) Ta có Q = <=> x= (TMĐK)

d) Ta có Q x x x

2 2( x 1)

+

> ⇔ > ⇔ − > ⇔ >

−

e) Tương tự 3A Ta có Q = +

(108)

Từ tìm x∈ {0;4;9} a) Rút gọn ta P x

x

− =

+ víi x 0,x 1≥ ≠ b) Ta có P x

2 2( x 1)

− < ⇔ <

+ Từ tìm x 9,x 1≤ < ≠ c) Giải x 1

3 x

− =

+ tìm x = (TMĐK) d) Ta có P

x

= −

+ • Từ điều kiện P nguyên, tìm x = e) Từ P

x

= −

+ tìm Pmin = -1 <=> x =

10 a) Rút gọn thu P x

x

− =

+ víi x 0,x 4,x 1≥ ≠ ≠ Ta có P x

2

< ⇔ <

Giải kết hợp điều kiện ta x 16,x 1,x 4≤ < ≠ ≠

c) Tương tự 6A Ta có P

x

= −

+ Từ tìm

1

P x

2

= − ⇔ =

11 a) Rút gọn ta N x= − x 1+ với x > x 1≠

b) Ta có

2

1 3

N x

2 4

 

= −  + ≥

  Dâù ”=” xảy

1 x

4

⇔ =

Vậy

3

N x

4

= ⇔ =

c) Trường hợp Xét x = O => M = O∈ Z Trường hợp Xét x 0≠

2

0 M

1 1

x 1 2 x. 1

x x

(109)

Khả Với M = 1, tìm x = ± 3 5 (TM) Khả năng2 Với M = 2, tìm x = (KTM) Vậy giá trị tìm x = x = ± 12 a) Sử dụng công thức: A2 A A Khi A A Khi A<0

≥ 

= =  −



Ta có VT =

2

2 2

a b

a b a b a b

a VP(§PCM)

b a 2ab b b a b

+ = + = =

+ + +

b) ( ) ( )

( ) ( )

2

a b a b 2b

VT

a b

2( a b) 2( a b)

a b a b 4b 4 ab 4b 2 b

VP(§PCM)

a b

2( a b) a b 2( a b) a b

+ −

= − +

− − +

+ − − + −

= =

−

− + − +

BÀI CĂN BẶC BA 1A a) Ta có 27 = 33 =3

b) Ta có

3

3 1

125 5

  =   =

 

c) Ta có.3 64a3 = ( )4a =4a

d) Ta có −8a b3 = (−2ab2)3 = −2ab2 1B Tương tự 1A

a) b)

6 c) 7a d) -8a

2 b

2A a) Ta có

3

108 7,2 108 7,2

27

4 0,9

4 + 0,9 = + = + =

(110)

Tương tự 81 3; 192 3= 3 =

Thay vào đê tìm kết 53

c)Tính được 3 3

3

750

3, 160 1,2

250 = =

Thay vào đê tìm kết −3 33 d) Ta có

2

3 3

3

3 3

2 2.( 2 1)

2

2 ( 1)( 2 1)

+ +

= = + + − − + + Thay vào đề thu kết

2B Tương tự 2A a) Chú ý

3

3 3 3

3

384

4 2; 54 2, 432

3 = − = − =

Từ tìm kết 2

b) Biến đổi 3 29 ; 64 4; 3 0,064

512

− = − = − =−

Từ tìm kết

8

−

c) Biến đổi −343= −7; 81 3; 243 = 3 − = −2 23 Từ tìm kết

d) Biến đổi

( )

2

3 3

3

3 3

1 2

3

2 2 1

− + − +

= =

+ +

Từ tìm kết q 23

3

− +

3A a) Chú ý 125x3 + 75x2 + 15x +1 = (5x+l)3

Từ rút gọn A =

(111)

Từ rút gọn B x= −1

3B a) Chú ý ( )

3 x x 3x x 1+ + + = x 1+ Rút gọn P = -1 (ĐPCM)

b) Chú ý ( )

2

3 x 1± = ±x x +3 x 13 ± Từ rút gọn Q = (ĐPCM)

4A a) Biên đối 2 33 = 8 33 = 24 Từ thu 2 33 > 23 b) Biên đổi 15 3.5 125= = Từ thu 15 126<

4B Tương tự 4A

a) Số nhỏ fr) Sô nhỏ hon 5 63

5A Chú ý ( )

3

2

3

20 14 2+ = +3.2 3.2 2+ + = 2+

Tương tự 20 14 2− =(2− 2)3 Từ đó, rút gọn A = Vì

3

4 9= < nên A<B

5B Tương tự 5A

Biến đổi để 7 (1+ = + 2) ; (13 − = − 2)3

Từ tìm M =

Vì

3

4 4

2

= = > nên M > N

6A a) Lập phương hai vế biên đổi ta x >63 b) Tương tự câu a), ta tìm x ≤ -1

6B Tương tự 6A a) x≤-30 b)x<l

7A a) Lập phương hai vế biến đổi ta tìm x = 13

b)Biên đổi x+ =5+x, lập phương hai vế biến đơì ta tìm x = -6; x = -5 x = -4

7B Tương tự 7A a) x 10

3

(112)

b)Rút gọn VT =−2 x3 Từ tìm x = - 8B Tương tự 8A

a) Rút gọn VT = -3x Từ tìm x =

b)Rút gọn VT =2 x3 + x2 =3 x3 Từ tìm x = ±27 a) b)

5

−

c) 7ab2

6

−

d) − 4a b3 10.a) Thu gọn kết -

b) Cách Nhân phá ngoặc thu gọn kết

Cách Chú ý ( ) ( )

3 3

3 3 3

( 25 − 10 + 4)( 5+ 2)= + =7 11.a)Chú ý 27x3 +27x2 +9x 1+ =(3x 1+ )3

Từ tìm M = -

b) Chú ý 8x3 + 12x2 + 6x+1 = (2x +1)3 Từ tìm N = x+l

12 a) Cách Nhân phá ngoặc (4- 3)( 3-1)=6 3-10 Và lưu ý 3-10 = ( 3-1)3

Từ thu kết 3-1

Cách ý (4 3)( 1) ( 1) ( 1) ( 1)− − = − − = − b) Ta có 310 3+ = 1+

Từ thu kết 1+

13 a) 27 26 b) 6= > 3 = 48> 47 14 a) Số lớn 4 23 = 54 c) Số lớn 22

(113)

1A a) Rút gọn A x x

x x

+ + =

+

x x

P

x

+ +

= với x≥0 Với x = 4, tính P =7

2

Ta có A B≤ ⇔ −x x 0+ ≤ ⇔ =x (TMĐK)

b)Xét hiệu (B - 1) chứng minh hiệu âm Từ ta có B < với x >

c) Biên đổi ĐK cho dạng: ( x − 5)2 +( x 1)− − =0 Từ ta tìm x = (TMĐK)

1B a) Rút gọn ( )

x P

x

+

= với x > x≠1 b) Ta biến đổi x = 1−

Từ tìm P 3

+ =

c)Gợi ý: Xét hiệu (P- 2) chứng minh hiệu dương với x > x≠1

d)Biên đổi điều kiện cho dạng ( x - 2)2 = - x 4− Từ tìm x = (TMĐK)

2A a) Rút gọn với M a víi a 0, a 4, a

a

−

= ≥ ≠ ≠

+

b) Ta có M 0< ⇔ <a

Kết hợp với điều kiện ta ≤ a < c)Tương tự ý b), tìm a∈∅

d ) Ta có M

a

= − ≥ −

+ với a 0, a 4, a 9≥ ≠ ≠ Từ tìm Mmin = − ⇔ =2 a

2B a) Rút gọn N 2a a víi a >0 vµ a a

+ +

(114)

b) Tìm a = 1

4 a =

c) Tìm a > a≠1 d) Ta có N a a 2

a

− = + +

Áp dụng bâ't đẳng thức Cơsi ta tìm được:

(N− a ) =2 2+ ⇔ =a 3A a) Rút gọn P x

x

− =

+ x 0, x 1≥ ≠ b) Vói x = 9, tính P 13

6

− = c) Với P

2

= , Ta tìm x

121

=

d) Ta có P 17

x

= − +

+ Ta có

17

P Z Z

x

∈ ⇔ ∈ + Cách Vì 17 17

3 x

< ≤

+ nên { }

17

1;2;3;4;5 x 3+ ∈

Từ tìm x 25 64 121; ; ; ;196

25 16

 

∈   

Cách Đặt 17 n Z x 17 3n 0 n 17

n

x

−

∈ ⇒ = ≥ ⇒ < ≤ +

Từ tìm x 25 64 121; ; ; ;196

25 16

 

∈    3B a) Rút gọn P x

x

− =

− a 0, a 1, a 9≥ ≠ ≠

b) Ta biến đổi x = 1− , tính P

13

−

(115)

c) Ta có P x

x

< ⇔ < ⇔ < − Kết họp với ĐK => 0≤ x<9 x≠ l d) Ta có P

x

= +

− với a 0, a 1, a 9≥ ≠ ≠ Đế P ngun x ¦ (2)− ∈

Kết hợp vói ĐK ta x∈e{4; 16; 25} 4A a) ĐK: x>0 x≠l

b) Rút gọn E =x

x

−

với x>0 x≠l c) Ta có E > <=> x >

d) Từ giả thiết ta có m x= + x 1−

Từ ĐK x >o x≠1 ta tìm m > -1 m ≠ 4B a) ĐK: x > 0,x ≠4 x ≠

b) Rút gọn F 4x

x

=

− vói x > 0,x ≠ x ≠ c) Ta biến đổi x F 16 40

13

− = − ⇒ = d) Từ giả thiết ta có m x

4x

+

> với x >

Màx

4x 18

+ <

với ∀ x > nên ta tìm m

18

≥ a) Rút gọn A

x

=

+ với x 0, x 25, x 9≥ ≠ ≠ a) Tương tự 1B

b) Tìm x >4, x≠9 x≠25 c) Tương tự 3A Tìm x = a) Điều kiện: a > 0, a ≠ a ≠ b) Rút gọn B = a

3 a

−

với x 0, x 1, x 4> ≠ ≠

c) Tìm a > 16

d) Chú ý a Z∈ kết hợp vói điều kiện => a ≥ Từ ta lập luận

1

B

3

(116)

Kết luân Bmin a

3

−

= ⇔ =

7 a) Rút gọn C

x

=

− với x >0 x≠l b) Tìm x = 2, tính C =

c) Ta có C 1> ⇔ < <1 x

d) Tương tự 3B Tìm x∈ {2; 3} a) Rút gọn M a

a

−

= với a>0 a≠l b)Ta có M a

4

= − ⇔ = (TMĐK)

c) Ta biên đổi x = 1+ Từ tìm P=1-

d) Đánh giá đượcP≤ − +1 Dấu " = " xảy <=> x= Từđó kết luận Pmax = − +1 2⇔ =x

10 a) Rút gọn N= x 1− vớix 0;x 1≥ ≠ b)Tìm x = Từ tính N = c) Ta có N = <=>x = 16 (TMĐK) d) Ta có Nmin = − ⇔ =1 x

11 a) Điều kiện: x 0;x 4≥ ≠ b) Rút gọn A x

x

=

+ với x 0;x 1≥ ≠ c) Tìm x = − ⇔ ∈∅4 x

d) Tương tự 3A Tim x =

12 a) Rút gọn B= − +x x với x 0;x 1≥ ≠

b) Tìm x = (Khơng TMĐK x 0;x 1≥ ≠ ) nên không tồn B c) Từ B > tìm x <

Kết hợp vói điều kiện ta x 1≤ <

(117)

13 a) Rút gọn Q a

a

−

= với x 0;x 1> ≠ b) Ta có Q < 0⇔ a >

c)Ta có Q= − ⇔ = +2 a 2

d) Ta có T-l = - a <0 với a>0 a≠ =>T<1 14 a) Điểu kiện: x > x ≠

b) Rút gọn P x

2

−

= với x 0;x 1> ≠

c) Biến đổi x P

2

− −

= ⇒ =

d) Ta có ( )

2

2m

P mx x 2mx x

2m

−

= − + ⇔ = − Bằng lập luận, tìm m

2

≥ m<0

ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I ĐỂ số1

Câu A Câu D Câu B Câu A Câu B Câu B Câu B Câu D PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)

Bài a) Ta có ( ) ( )

2

7

A

7

+ −

= +

− −

Từ tìm A =

b) Ta có B 3 4( 1)

2

(118)

Từ tìm B = 5 +

Bài a) Phương trình <=> 25(x 2) (x 2) 9(x 2)

5 + − + + + + =

Biên đổi đưa dạng (x 2)+ =

Từ tìm nghiệm phương trình x = 79 b) Cách Phương trình <=> |x - 2| = 7x -1

Từ sử dụng phương pháp chia khoảng biến đổi tương đương ta tìm

3 x

8

=

Cách 2 Phương trình

( )2

2

7x

x 4x 7x

− ≥ 

⇔ 

− + = −  Giải ta tìm x

8

=

Bài a) Rút gọn ta P

x

=

+ với x 0;x 9≥ ≠

b) Tìm x = 11 3− Thay vào P ta P 11

11

= c) Giải ta ≤ < x <

d) Ta có Q

x

= −

+ với x 0;x 9≥ ≠

Từ điều kiện Q nguyên ta ta tìm được x∈ {0;9} Tuy nhiên có x = thỏa mãn

ĐỂ SỐ

(119)

PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM) Bài a) Tính A

2

= b) Tính B= 2

Bài a) Ta biên đổi |2x—7| = Từ tìm x∈{l; 6} b) Ta biến đổi dạng x 6− =

Từ tìm x = 38 (TMĐK)

Bài a) Ta biến đổi x 2= − Tính B =

3

−

b) Rút gọn P x

x

+ =

− với x 0;x 4≥ ≠ c) Ta có P x x

3

= ⇔ = ⇔ =

Đối chiêu điều kiện thâỳ không thỏa mãn ⇒ ∈∅x

d) Ta biến đổi dạng

14 3x x 5x (1)+ = − +

Cách 1: Ta có (1) (1)⇔( x 2− − ) (2 + 5x 5− )2 =0 Cách 2.Ta có (l) (5 x) 5

2 x x

 

⇔ −  = − = + − +

  Từ tìm x=

CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT

BÀI NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT 1A a) Thay x0=1/2 vào f(x) ta được:

2

0

1 1

y f

2 2

     

=    = + − = −      

b) Tương tự thay ( )

3 x vµo y f x ta tính y

2

= = = 1B Tương tự 1A:

a)

2 b) Không tồn

2A Tìm f(3) = 9m + f(-1) = m + Giải f(3) = f(-1) tìm m = 1/4

2B Tìm f(0) = f 1( )= m2 + −4 3m 5+

(120)

Ta có f(0) = f(1)

( )

2

3m

m 3m

≥ 

⇔ + = ⇔ 

+ =



Giải ta m 2

=

3A a) Hàm số xác định⇔ + ≠ ⇔ ≠ −x x b) Hàm số xác định 2x 1 x

2 x

− ≥ 

⇔ − ≠ ⇔ ≤ ≠



c) Hàm số xác định x 0 x 1 x

≥ 

⇔ − > ⇔ ≤ <



d) Hàm số xác định x 1 x x

+ ≥ 

⇔ − ≠ ⇔ − ≤ ≠



3B Tương tự 3A

a) Với giá trị x b) − ≤ ≠7 x

c) x 1≤ ≠ d) x

3

− < ≤ 4A a) Học sinh tự vẽ hình

b) * Xét điểm A(-2;1):

Thay x = 2; y = vào y = 2x – ta = 2.(-2) -1 (vơ lí) Vậy điểm A(-2;1) khơng thuộc đồ thị hàm số y = 2x –

* Tương tự B(0;-1) thuộc C(-3/2;-2) không thuộc đồ thị hàm số y = 2x –

4B Tương tự 4A

a) Học sinh tự vẽ hình

b) Các điểm M, N khơng thuộc, điểm P thuộc đồ thị hàm số 5A a) Học sinh tự vẽ hình

b) Từ hình vẽ nhận thấy ABCD hình thang vng đáy AD BC, chiều cao CD Từ áp dụng cơng thức tính diện tích hình thang tính

SABCD=8cm2

5B Tương tự 5A

a) Học sinh tự vẽ hình b) Ta có SABC 1OC.AB

2

= mà CO = 4m, AB = 5m nên SABC=10m

6A a) Cách Với x1, x2 ∈ , giả sử x1< x2 Ta có:

( )1 ( )2

1

f x 3x vµ f x 3x

4

= − = −

Xét hiệu H = f(x1) - f(x2) = 3(x1 - x2) < Vậy hàm số cho đồng biến

Cách Với x1, x2∈ ,x1 ≠x2 Xét tỉ số ( ) ( )2

2

f x f x

T

x x

−

= = > − Vậy hàm số cho đồng biến

(121)

6B Tương tự 6A

a) Hàm số nghịch biến b) Hàm số đồng biến Tương tự 1A

a) f 2( )=9 b) f

4

  =     c) f( )6

3

= d) f 3( )=5m 1− Tõ f 3( ) f , tìm m = ( )

3

− − = Tương tự 3A

a) x

2

≠ b) x

2

− ≤ ≠ c) x

4

≤ ≠ d) x 3,x

2

≤ ≤ ≠ 10 a) Học sinh tự làm b) M(0;-3) thuộc đồ thị

11 a) Học sinh tự vẽ hình

b) Gợi ý: Kẻ AH BC⊥ Tính S 1AH.BC 8m2

= = 12 Học sinh tự làm

BÀI HÀM SỐ BẬC NHẤT 1A a) Là hàm số bậc với a

2

= b =

b) Thu gọn y = -3, không hàm số bậc c) Biến đổi y 1x

2

= − hàm số bậc với a 1, b = -3

2

= d) Thu gọn y = -2x – 3, hàm số bậc với a = -2 b = -3 1B Tương tự 1A, Chỉ có y = -x + hàm số bậc với a = -1 b = 2A a) Là hàm số bậc ⇔ =a 2m2 − ≠6 0 Giải m≠ ± 3

b) Là hàm số bậc hệ số x2bị triệt tiêu Giải m = -2

c) hàm số bậc ⇔ (m2 +3 m 1)( + ≠) 0 Giải m > -1

d) Đưa hàm số dạng y 2 m x 2

m m m m

+

= +

+ − + − Là hàm số bậc 2m

m m

+ > 

⇔ 

+ − ≠

 Giải − <1 m 1≠ 2B a) Điều kiện k Giải k k ≠ ≠

b) Điều kiện k2 Gi¶i k k

=

= − 

− ≠



c) iu kin k Giải k

k

− > 

− ≠ <  + ≠

(122)

d) Điều kiện k Gi¶i ®ỵc k k

≥

 ≤ ≠ 

− ≠ 

3A a) Biến đổi

2

1

a m

2

 

= +  + ≠

  với m b) Biến đổi a= −(m 2− )2 − ≠3 với m 3B a) a = m2 +1 xác định khác với m

b) a = m 0− + ≠ với m

4A a) Vì a = -9 < => Hàm số nghịch biến R b) Vì a= 4/7 > 0=> Hàm số đồng biến R

c) Thu gọn y = 2x-2 => a = => Hàm số đồng biến R d) Thu gọn y = -8x + => a = -8 => Hàm số nghịch biến R 4B a) a 2= − 0> => Hàm số đồng biến R

b) a

12

−

= => Hàm số nghịch biến R c) a = -3 => Hàm số nghịch biến R

d) a = 0− > => Hàm số đồng biến R

5A a) Hàm số đồng biến <=> 2m – > Giải m

>

b) Hàm số nghịch biến ⇔4m2 − <9 0 Giải ta m

2

− < < 5B Tương tự 5A

a) m

3

< − b) − m< < 6A a) Ta có

2

1

a m

2

 

= − −  − <

  với m

Vì hàm số cho hàm số bậc nghịch biến R

b) Ta có − = −10 100< − 99 = −3 11 Mà hàm số cho nghịch biến nên f(−10)> −f( 11)

6B Tương tự 6A

a) Vì a=(k 1+ )2 + >2 với k nên hàm số cho hàm số bậc đồng biến R

b) Vì 0, 2− > − 0< ⇒ 1− > − Mà hàm số cho đồng biến nên f( 1− >) (f 2− 3)

7 a) Không hàm số bậc

(123)

d) Hàm số bậc với a

= − b

4

= − Tương tự 2A

a) m

3

≠ − b) − <4 m 3≠ c) m∉∅ d) − ≤2 m≠ −1 Tương tự 4A

a) Biến đổi y = -3x + hàm số bậc nghịch biến b) Biến đổi y 3x 19

4 12

= + hàm số bậc đồng biến c) Biến đổi y=(2− x 6) + hàm số bậc đồng biến d) Biến đổi y x

30

= − + hàm số bậc nghịch biến 10 Tương tự 6A

a) Vì

2

1

a m

4

 

=  −  + >

  với m nên hàm số cho bậc đồng biến

b) Vì hàm số đồng biến 1= − = 16 1− > 15 1− nên f 3( )>f( 15 1− )

11 a) -3 <m < b) m > m < -3/2 12 Tương tự 10 học sinh tự làm

BÀI ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT

1A a) Gọi d đường thẳng có phương trình y = -2x - Cho x = => y = => d qua O(0;0)

- Cho x = => y = -2 => d qua A(1;-2)

Hs biểu diễn điểm A hệ trục tọa độ vẽ d đường thẳng qua hai điểm O, A

b) Gọi d đường thẳng biểu diễn đồ thị hàm số y = 4x – - Cho x = => y = -3 => d qua A(0;-3)

- Cho y = => x = 3/4 => d qua B(3/4;0)

Hs biểu diễn điểm A, B hệ trục tọa độ vẽ d đường thẳng qua hai điểm A, B

1B Tương tự 1A học sinh tự làm

2A Hs tự vẽ d : y = 2x + d’: y = x + hệ trục Oxy Từ đồ thị dự đoán d cắt d’ I(2;5) Thay tọa độ I vào d d’ thấy thỏa mãn Vậy I(2;5) tọa độ giao điểm d d’

2B Tương tự 2A Tìm (2;-2) tọa độ giao điểm d d’ 3A Chú ý d: y=(2 x− ) d’:y=( x 2− ) −

(124)

(2 x− ) (= x 2− ) − Giải phương trình tìm x= − Thay x= − 2vào d( d’) tìm y= − +4 Vậy d cắt d’ điểm

(− 2; 4− + 2) 3B Tương tự 3A

Tìm 10; 7

   

  tọa độ giao điểm d d’

4A a) Gọi I d= ∩1 d2 Tìm I(2;5),Thay tọa độ I vào d3thấy thỏa mãn

Vậy d1, d2, d3đồng quy

4B Tương tự 4A

Tìm B(2;-1) tọa độ giao điểm d1 d2 Thay tọa dộ B vào

d3thấy không thỏa mãn Vậy d1,d2 d3 không đồng quy

5A Tìm B(-7;-11) tọa độ giao điểm d1 d2 Thay tọa dộ B vào

d3tìm m = Với m = => d3: y = 2x + trùng với d2

Vậy khơng có giá trị m để d1,d2 d3 đồng quy

5B Tương tự 5A

Tìm A(1;-5) giao điểm d1 d2 Điều kiện cần để d1,d2 d3

đồng quy A d∈ Từ tìm

6 m

5

= − Thử lại, với m

= − , ta có d3:

18

y x

5

= − − không trùng với d1 d2

Vậy để ba đường thẳng đồng quy m

= −

6A a) Gọi A, B giao điểm d với Ox, Oy

Tìm A(1;0) B(0;-2) => OA = 1, OB = Gọi H hình chiếu vng góc O d => OH khoảng cách từ O đến d

Sử dụng công thức 2

1 1

OH = OA + OB tính OH=

b) Qua I kẻ d’ vng góc với Ox Oy, d’ cắt d điểm C(3;4) B(0;-2) Gọi K hình chiếu vng góc I d => IK khoảng cách từ I đến d Sử dụng công thức 2

1 1

IK = IC +IB tính

6 IK

5

= 6B Tương tự 6A

a)

5 b)

6 5

7A a) Thay x 1,y

2

(125)

( )

( ) ( )

0

0 0

0

y 2m x m 2, m

2x m x y 0, m

2x

x y

⇒ = + + − ∀ ⇒ + + − − = ∀ + =  ⇒  − − = 

Từ tìm 1;

2

− −   

  điểm cố định d 7B Tương tự 7A

a) Thay tọa độ K vào d thấy khơng thỏa mãn Từ kết luận K khơng điểm cố định d

b) Tìm ( -3;7) điểm cố định d

8A a) Khoảng cách từ O đến d có nhỏ 0⇔ ∈O d Từ tìm m =

b) Cách 1: Xét hai trường hợp:

• Trường hợp Nếu m = => d: y = -1 => khoảng cách từ O đến d • Trường hợp Nếu m 0≠ => d cắt hai trục Ox, Oy

2m A ;0 m +    

  B(0;-2m-1)

Gọi H hình chiếu vng góc O lên d Từ 2

1 1

OH =OA +OB , tìm

( )2

2 2m OH m + =

+ Chú ý: Ta có

( )2

2

2 m

OH OH

m

−

− = − ≤ ⇒ ≤

+

Với m 0≠

Kết hợp trường hợp ta OHMAX = 5⇔m 2=

Cách 2: Gọi I điểm cố định d Ta tìm I(2;-1) Với m gọi H hình chiếu vng góc O d ⇒OH OI≤ = 5, m∀ Từ

MAX

OH = ⇔ ⊥d OI Tìm m = 8B tương tự 8A

a) Khoảng cách từ O đến d có giá trị nhỏ 0, đạt O thuộc d từ tìm m = -2

b) Cách Xét trường hợp:

• Trường hợp 1: Với m = − ⇒ ∆1 : y 1= ⇒d O;( ∆ =) • Trường hợp 2: Với m≠ − ⇒ ∆1 cắt Ox, Oy tại:

( )

m

A ;0 vµ B 0;m

m

+

−  +  + 

 

Gọi H hình chiếu vng góc O lên ∆ => d(O; ∆) = OH

Từ 2

1 1

OH =OA +OB , tìm

( )2

2

m OH

m 2m

+ =

+ + HS tự chứng minh OH2 ≤2, m∀ ≠ −1

(126)

Kết hợp trường hợp ta OHMAX = ⇔m 0=

Cách 2: Tìm I(-1;1) điểm cố định ∆ Lập luận tương tự cách 8A Tìm m = a) HS tự vẽ hình

b) Từ hình vẽ, dự đốn d1∩d2 =I 2;1( ) chứng tỏ dự đoán

cách thay tọa độ I vào d1, d2để kiểm tra

10 Xét phương trình hồnh độ giao điểm d d’ để tìm hồng độ x=-3/2 Thay x=-3/2 vào d d’ tìm y = -7/2 Vậy d d’ giao (-3/2;-7/2)

11 a) Đồng quy điểm 1; 4

−      b) Không đồng quy d2 ≡d3

12 a) Tìm d1∩d2 = − −I 6; 7( ) Thay tọa độ I vào d3tìm m =

b) Tìm d1∩d2 =I m;2 2m( − − ) Thay tọa độ I vào d3tìm được:

2

16m 32m 15 m hc m =

4

− + = ⇔ =

• Víi m d1 d : y x3 lo¹i

4

= ⇒ ≡ = + ⇒

• Víi m d : y x1 1; d : y 2x vµ d : y = 3x + 2 3

4 4

= ⇒ = − = đôi phân biệt

nên thỏa mãn

Vậy điều kiện để ba đường thẳng đồng quy m = 5/4 13 a) HS tự vẽ hình

b) Tìm A 3;0

   

  B(0;3)

c) Tìm OA = ¾ Và OB = Từ tính khoảng cách từ O đến d

3 17 OH

17

=

d) Qua I, kẻ đường thẳng song song với Ox Oy, cắt d

5

M ;

4

 −   

  N(-1;7) Tính IM = 9/4 IN = nên khoảng cách từ I đến d 17

17

e) Tìm OAB

1

S OA.OB

2

∆ = =

(127)

b) Giao điểm d với hai truc Ox, Oy là: A m ;0 m

−   +    B(0;m) Tính OAB

1 m S

2 m

∆ = + Từ S = ½ tìm m = m = -1

15 Tương tự 8A

a) m = b) OHMAX 10 m

2

= ⇔ =

BÀI VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1A a) Ta có d d' a = a' b b'

b) Ta có d cắt d' a a'≠ c) Ta cã d d' v× a.a' = -1⊥

d) Đưa d dạng d: y 1x d d' v× a = a', b = b'

3

−

= + ⇒ ≡ 1B Tương tự 1A

a) Các cặp đường thẳng song song: d1//d5 d2//d3

b) Các cặp đường thẳng vng góc: d2 ⊥d4 d3 ⊥d4

2A a) Ta có

2

1

m 2

d

m

 − =

∆ ⇔ 

− ≠ − 

 Giải m = b) Ta có

2

1

m

d

m

 − = − ∆ ≡ ⇔ 

− = −

 Giải m = -1

c) Thay x = -1 y = -5 vào ∆ tìm m = -2, m = Thử lại thấy m = -2 m = thỏa mãn

d) Ta có d4 (m2 2)4 Giải m=

5

∆ ⊥ ⇔ − = − ± 2B Tương tự 2A

a) m = -3/4 b) m = -3/2 c) m = -9/4 d) m = m = 7/3

3A a) Gọi d: y = ax + b với a, b số Từ d d⊥ tìm a = Vì d qua

M nên -2a + b = Từ tìm d: y = 2x +

b) Gọi d : y = ax + b với a, b số Từ d d nên a = -3 b 4≠ Tìm

được

1

d d I ;

2

  ∩ =  − 

  Vì d qua I nên

1

a b

2 + = − Từ tìm

d : y 3x

= − − 3B Tương tự 3A

a) d: y = -x – b) d: y = 3x –

4A a) Gọi d: y = ax + b với a, b số Vì d cắt Oy điểm có tung độ nên qua điểm (0;5) Từ tìm b =

(128)

Kết luận d: y 5x

= +

b) Gọi d: y = ax + b với a, b số Thay tọa độ A B vào d ta

a b

2a b

+ = − 

 + =

 Từ tìm d: y = 4x –

4B Tương tự 4A a) d: y 1x

2

= − b) d: y 4x 10

3

= −

5 a) Cặp đường thẳng song song d2và d3 Các cặp đường thẳng vng góc d2

và d4, d3 d4

b) Có cặp đường thẳng cắt

6 a) m≠ −2 b) m = -2 c) Không tồn m d) m = m = 1/27 a) Tìm m = 2( ý loại m = -3 d trùng d1)

b) Tìm m = -3 m =

c) Tìm m = ( ý loại m = -1 d d )

d) Ta có d4 cắt d5tại I(-1;-5) Thay tọa độ I vào d tìm m = -3

m =

8 a) Đưa d1về dạng

1

y x

2

−

= + Kết y 1x

2

− = −

b) Đưa toán d qua A(1;2) vng góc với d3 Kết d: y = x+1

c) Đưa toán d qua O(0;0) B 9; 5

   

  Kết d:

3

y x

2

= d) Đưa dạng d qua N(5;0) M(2;3) Kết d: y= − +x a) d1luôn qua điểm cố định

1

I ;

2

 −      b) Thay tọa độ I vào d2tìm n = 11

c) d2luôn qua điểm cố định

1

K ;

3

   

  Thay toạ độ K vào d1 tìm m = -16

d) Tìm m = -16, n = 11

10 Giả sử I(x1;y1)

1 m x 2m y +  =  ⇒  −  = 

Khử m từ hệ điều kiện ta

1

4x −3y − =3 Từ kết luận I nằm đường thẳng y 4x

= − b) Tương tự, K nằm đường thẳng y 5x 23

9

(129)

BÀI HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG y ax b a 0= + ( ≠ ) 1A a) Chuyển d1 dạng y = 2x –

Ta có d d1 a

b

=  ⇔  ≠ −



 Vậy hệ số góc d a = b) Vì a = 300 < 900 a tan tan300

3

⇒ = α = = Vậy hệ số góc d a

3

= 1B a) Từ d d⊥ 1 tìm a

2

=

b) Vì a 90> ⇒ = −a tan 180( −1350)= −1

2A a) Từ d cắt Oy điểm có tung độ -3 tìm m = Từ tìm hệ số góc d a = -2

b) Từ d cắt Ox điểm có hồnh độ tìm m = 10 Từ tìm hệ số góc d a =

2B a) Gọi phương trình đường thẳng d có dạng y = ax + b Vì d qua M, N nên tìm a = 3/2, b = Vậy hệ số góc d 3/2

b) Tìm d1cắt d2tại M(2;-5) Đưa toán d qua P(-1;-3)

M(2;-5) Giải tìm hệ số góc d -2/3

3A Ta có: a m= −4m 1+ =(m 2− )2 − ⇒5 amin = − ⇔5 m 2= 3B Ta có: a 4m2 4m (2m 1)2 amin m

2

= − + + = − − + ⇒ = ⇔ = 4A a) Cách 1: Vẽ d hệ trục tọa độ (HS tự vễ hình)

Gọi A, B giao điểm d với Oy, Ox Ta có góc tạo d Ox là:

 (  )

0 0

180 ABO 135 vi ABO 45

α = − = = Cách 2:

( ) ( )

0 0

a a tan 180 tan 180

180 45 135

= − < ⇒ = − − α ⇒ − α = ⇒ − α = ⇒ α = b) Tương tự tìm α =300

4B Tương tự 4A

a) Ta cóa tan= α = ⇒ α ≈2 63 26'0

b) Chú ý: 1800 AOB vµ tanAOB  OA VËy gãc =1500

OB

α = − = = α 5A a) HS tự vẽ hình

b) Ta cú CAB CAx mà tanCAx a =  = = ⇒1 CAB 45 = Ta cú tanCBx a = 2 = 3⇒CBA 120 Từ ACB 15 =  =

c) Tính ABC ( )( ) ( )

1

S 3 §V DT

2

∆

+

= + + = 5B a) HS tự vẽ hình Chứng minh d1∩d2 =A 2;0(− )

b) Tính BAC 75 ,ABC 45 ,ACB 60 =  =  =

(130)

c) Chu vi= +3 2+ (ĐVDT) SABC=3(ĐVDT)

6A Gọi phương trình đường thẳng d: y = ax + b a) Vì d có hệ số góc 1/4 nên a = 1/4

( )

1

d : y x b §iĨm A 2; d nªn b =

4

− ⇒ = + − ∈ b) Vì d tạo với trục Ox góc 600

nên a=

( ) d nªn b

V× B 2;1 ∈ = 1-2

c) Tương tự câu b) ý

( 0) 3 a tan 180 150 Tìm d: y = - x

3 3

−

= − − = − 6B Tương tự 6A

a) d : y 3x

5

= − + b) d : y= − 3x− 2( + 3) c) d : y 3x

3

= −

7 a) Chú ý chuyển d’ dạng y = ax + b Kết a = b) Chú ý chuyển d’ dạng y = ax + b Kết a = 1/2 c) Kết a =

8 Tương tự

a) a = -3 b) a = 43/6

c) Chú ý điểm M(-1;-2) điểm cố định thuộc d’.Đưa toán d qua hai điểm M(-1;-2) D(0;-1) Giải tìm hệ số góc d

9 a) Tương tự Kết α =1 27 ,0 α =2 1350

b) Tương tự Kết góc d1 d2bằng 108

c) Tìm A 8;0 , B ;0 , C 0;4(− ) ( ) ( )

Tính OA = 8cm, OB = 4cm, OC = 4cm

Từ AB = 12cm, AC = cm, BC 2= cm Chu vi P 12 2= + + Diện tích S = 24cm2

10 Tương tự

a) d : y 1x

3

= + b) y 3x

3

= − + c) d : y= 3x 3−

ÔN TẬP CHƯƠNGII

1A a) x 4≤ ≠ b) x

3

− ≤ ≠ c) x≠ ±4 d) − ≠ <2 x 1B a) Với giá trị x b) x

2

(131)

2A a) Với x b) m

2

≠ ± c) m

3

> d) m

3

− ≠ < 2B a) m≠ −7 b) Khơng có giá trị m

c) m 7;m

2

≠ ≠ − d) ∀ ∈m  3A a) Vì

2

3

a k

2

 

= +  + >

  với k nên hàm số bậc đồng biến

b) Vì −3 11= − 99 > − 100 = −10

( ) ( ) ( )

và y = f x hàm số đồng biến nên f −3 11 > −f 10 3B a) Vỡ

2

a m

5

 

= −  −  − <

  với m nên hàm số bậc nghịch biến

b) Vì − = −3 16 1> − 17 y = f(x) hàm nghịch biến nên

( ) ( )

f − <3 f 1− 17

4A a) Học sinh tự vẽ hình

b) Từ hình vẽ ,dự đoán d1∩d2 =I 1;2( ) Thay tọa độ I vào d1, d2để kết

luận I tọa độ giao điểm cần tìm 4B Tương tự 4A

a) Học sinh tự vẽ hình b) Tìm d1∩d2 =I 2;3( )

5A Gọi d: y = ax + b với a, b số cần tìm

A ) Vì d có hệ số góc -1 => a = -1 Kết hợp với A 4; 5( − ∈) d, tìm b = -1 Vậy d: y = -x –

b) Từ B 2;0(− )∈d => b = 2a Ta có d cắt d1tại A(0;-1) nên b = -1 Từ

d: y 1x

2

= − −

c) Từ d d⊥ ⇒ =a Tìm giao điểm d3 d4 M(-3;-5)’

Vì M(−3;−5)∈ ⇒d b=1 d: y = 2x + 5B Tương tự 5A

a) d: y 3x

5

= − + b) d : y= − 3x− +(3 3) c) d : y x

3

(132)

b) Để

3m 2 d d

m

− = 

⇔ 

− ≠ 

 Giải m = 4/3 c) Gọi M(x0,y0) điểm cố định d

=> y0 = (3m-2)x0+ m - ,∀m

=> (3x0 + 1)m –(2x0 + y0 +2) = 0,∀m

0

3x

2x y

+ = 

⇒  + + =

 Tìm

1 I ; 3 − −      d) Theo câu c) d qua I 1;

3

− −     

max

Kẻ OH d H OH OI không đổi nên:

OH OI H I

⊥ ⇒ ≤

= ⇔ ≡ Phương trình đường thẳng OI: y = 4x

Vì OI d m

12

⊥ ⇒ =

e) Tìm d cắt Ox, Oy

( ) ( ) ( ) AOB AOB m

2 m

A ;0 B 0;m với m Tính S

3m 3m

1

Từ S , tìm m 3m Giải m = m = ∆ ∆ − −   − ≠ =  −  −   = − = −

6B Tương tự 6A

a) d1 d2cắt N(3;-6) Từ N(3;-6) ∈ d tìm m = -4

b) Từ d d⊥ giải m = -5

c) Tìm I(2;-3) điểm cố định d d) Theo câu c), d qua I(2;-3)

max

Kẻ OH d H OH OI không đổi nên:

OH OI H I

⊥ ⇒ ≤

= ⇔ ≡ Phương trình đường thẳng OI: y 3x

2

= − -Vì OI d m

3

⊥ ⇒ = −

( )

AOB

2

1 2m

)Tìm S 2m với m -1

2 m

7 Gi¶i 2m m tìm m=-4 hoặ

e

c m = ∆ + = + ≠ + − + = + a) ∀ ∈x  b) x 7≥ c) x≠ −1

8 a) m

7

≠ − b) m = c) m 7, m -1

5

(133)

10 a) d : y x

3

= − − b) d : y 2x

2

= − − c) d : y x

2

= − 11 a) m = -3 b) m = -1 c) M(1;0) d) OHmax=

12 a) HS tự làm b) Tìm A(1;3) , B(3;1) c) Vì OA OB= = 10 => Tam giác OAB cân O

    

  

1 )Ta cã : AOB AOx BOx mµ tanAOx tanBOx

3

nên AOB 53 OAB OBA 64

d = − = =

≈ ⇒ = ≈

ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG II

PHẦN I TRẮC NGIỆM

Câu

Đáp án B A C D A B C D

PHẦN II TỰ LUẬN Bài a) HS tự làm

b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm d1 d2: x+3 = -3x +

Giải phương trình tìm x

= thay vào d1( d2) tìm y = 7/2 Từ kết luận M 7;

2

   

  tọa độ giao điểm d1 d2

c) Xét tam giác vng OCD, ta có:

 OC 

tan ODC ODC 45

OD

= = ⇒ = Vậy góc tạo d2 tia Ox

0 45

α = Bài a) Vì d có hệ số góc -2 nên a = -2 => d: y = -2x + b

Vì A 1;4( )∈d nên b =

Do phương trình đường thẳng cần tìm là: y = -2x + b) Ta có d d' a 0,5 d : y 0,5x b víi b

b

= − 

⇔ ⇒ = − + ≠

≠ 



Đường thẳng d qua điểm trục hồnh có hồnh độ -1

 b = -0,5( TMĐK) Vậy d: y = -0,5x – 0,5

Bài Gọi A, B giao điểm d với Ox Oy Tìm ( )

2

AOB AOB

1

A ;0 ,B 0;1

m

1 1

Ta cã S OA.OB Từ S ta tìm m =

2 m

∆ ∆

−   +   

= = = ±

+

(134)

PHẦN I TRẮC NGIỆM

Câu

Đáp án B C D C D B A C

PHẦN II TỰ LUẬN Bài a) HS tự làm

b) Xét tam giác vng AOB, ta có: OAB

1

S OA.OB 2.2 (§V DT)

2

∆ = = =

c) Xét tam giác vng AOB, ta có:

 OB 

tan OAB OAB 45

OA

= = = ⇒ = Vậy góc tạo d tia Ox α =450 Bài a) Điểm A(2;7)∈ d nên = 2(m – 1)+ 2m + <=> m =

b) Ta có d d1 m m 2m

− = − 

⇔ ⇔ = − + ≠





Bài Cách Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Với m d O;d( )

3

= ⇒ = Trường hợp 2:

( )

2

2 2

1 m

Với m d qua hai điểmA 0;m B ;0

3 3m

1 1 9

Ta cã

OH OA OB m 2

 

≠ ⇒  

−

 

 

= + =  −  + ≥

 

Kết hợp trường hợp ta max

2

OH m

3

= ⇔ = Cách Tìm I 1;

3

   

  điểm cố định d Dựng OH d⊥ , Ta có OH OI≤

(không đổi ) => OH lớn <=> OH = OM hay H M≡ - Viết phương trình OM : y = x

- Vì OM d⊥ => m = 2/3

CHƯƠNG I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

BÀI HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1A Hình Sử dụng định lí Pytago hệ thức cạnh góc vng hình chiếu lên cạnh huyền tam giác vng, tính x = 3,6, y = 6,4

Hình 2: Sử dụng định lí Pytago hệ thức liên quan đường cao, cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng, tính x 35 74, y = 74

74

(135)

Hình x= 5,y 5= Hình 2: x ,y

4

= = 2A Tương tự 1A

a) HB 1,8cm; CH 3,2cm; AH 2,4cm; BC 5cm= = = = b) AB 15cm; AC 20cm; AH 12cm; BC 25cm= = = = 2B Tương tự 1A

a) HB 1,8cm; CH 3,2cm; AH 2,4cm; A C 4cm= = = = b) AB 65cm; AC 156cm; BC 169cm;BH 25cm= = = =

c) AB 5cm; BC 13cm;BH 25cm; CH 144cm

13 13

= = = =

3A Đặt AB = 3k; AC = 4k Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC thu k = Từ tính : BH = 5,4cm, HC = 9,6cm

3B Tương tự 3A Tính BH = 50cm, CH = 72cm

4A a) Áp dụng hệ thức cạnh góc vng hình chiếu lên cạnh huyền tam giác vuông HCD HCE ta có CD.CM = CE.CN (= CH2)

b) Sử dụng a) để suy tỉ lệ cạnh Từ chứng minh

CMN CDE

∆ ∆ (c-g-c)

4B a) Sử dụng định lí Pytago cho tam giác vng HAB HAC để có đpcm b) Chứng minh tương tự câu a)

c) Sử dụng định lí Pytago cho tam giác vuông AHM 5A a) HS tự chứng minh

b) HS tự chứng minh

c) Chú ý ∆AKD∆ANC(g.g), ∆ABI∆ACM(g.g) Từ tính AD.AN AB.AM

5B Kẻ đường cao OH tam giác vuông OAB Áp dụng hệ thức đường cao tam giác vuông ý O trung điểm AC BD để suy điều phải chứng minh

6 Tương tự 1A Tính ABC

50

AH cm, S 15cm

17

= = Tương tự 1A

a) AB = 7,5cm, AC = 10cm, BC = 12,5cm, HC = 8cm

b) AH 3cm, P= ABC =18 3cm, P+ ABH = +9 3cm,PACH = +9 3cm Tương tự 7A Tính SABC = 150cm2

9 a) AH = 3,6cm b) BH = 4,8cm, CH = 2,7cm

10 Sử dụng hệ thức cạnh góc vng đường cao tam giác vng, tính BH =4,5cm, CH = 8cm

11 Tương tự 10 Độ dài đường cao 6,72 ( đvđd)

Diện tích hai tam giác vng tạo thành : 6,5856 77,4144( đv dt) 12 Tương tự 10 Tìm HB 75cm,

7

= HC = 21cm

13 Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông BDC ý độ dài đường cao hạ từ B xuống CD AD, ta tính : AB = 9cm, BD =15cm, AB = 16cm, BC = 15cm, BD = 20cm

14 a) BD = 17cm b) AH 120cm 17

(136)

15 a) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ABD, tính BD = 25cm, OB = 9cm, OD = 16cm

b) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông DAC tính OA = 12cm, 100

AC cm

3

=

c) Tính S 1250cm2

=

16 a) Sử dụng hệ thức cạnh góc vng hình chiếu lên cạnh huyền cạnh huyền tam giác vuông HBA HCA

b) Tương tự a) áp dụng hệ thức đường cao hình chiếu cạnh góc vuông lên cạnh huyền tam giác vuông ABC

17 a) Chứng minh AH đường trung bình tam giác BCD

b) Sử dụng hệ thức đường cao cạnh góc vng tam giác vuông BCD áp dụng câu a)

BÀI TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN 1A Sử dụng tỉ số lượng giác, tính :

3 4

sin B ;cosB ;tan B ;cot B

5

4

sin A ;cosA ,tan A ;cot A

5

= = = =

⇒ = = = =

1B Tương tự 1A

2A a) Áp dụng tỉ số lượng giác cho tam giác vuông ABH để tính sinB, từ

đó suy sinC

b) Áp dụng hệ thức lượng cạnh góc vng hình chiếu lên cạnh huyền tam giác vng ABC để tính AB Sau làm tương tự câu a)

2B HS tự làm

3A Áp dụng tỉ số cotB tam giác vuông ABC định lí Pytago tính AC = 8cm, BC= 89cm

3B Áp dụng tỉ số tanB tam giác vuông HAB hệ thức lượng tam giác vng, tính AC cm30

13

= , BM 601cm

4

=

4A Sử dụng bước phần phương pháp giải dạng 2, Ta có: a) sin200 < sin700 b) cos600 > cos700

c) tan73020’ > tan450 d) cot200 > cot3704’ 4B a) Tương tự 4A.a b) Tương tự 4A.b

c) Chú ý tỉ số lượng giác sin cos có giá trị khoảng (0;1) d) Tương tự c)

5A Sử dụng bước phần phương pháp giải dạng 2, Ta có:

(137)

b) Tương tự câu a) ta có :

cos79013’= sin10047’ < sin320 < sin380< cos510= sin390 5B Tương tự 5A

6A Dựng tam giác vuông ta có:

a) Độ dài cạnh góc vng 3, cạnh huyền 5, góc đối diện với cạnh góc vng góc α

b) Độ dài cạnh góc vng 4, cạnh huyền 7,góc cạnh góc vng cạnh huyền góc α

c) Độ dài hai cạnh góc vng 2, góc đối diện với cạnh góc vng độ dài góc α

d) Độ dài hai cạnh góc vng 6, góc đối diện với cạnh góc vng độ dài góc α

6B Tương tự 6A HS tự làm HS tự làm

8 Gợi ý: Sử dụng công thức sin2α

+cos2α=1 Tương tự

10 a) HS tự làm

b) Chú ý hai đường phân giác ngồi đỉnh vng góc c) Chú ý BM phân giác góc ABC Từ tính số đo góc tam giác MAB suy ĐPCM

Chú ý Hai tam giác MAB ABC tam giác nửa Từ tính tỉ số đồng dạng 1/2

11 HS tự làm

12 a) Tương tự 3A b) Tương tự 3B

13 Chú ý sin2α+cos2α=1, hai góc phụ tihf có sin , cos tan, cot

14 Tương tự

15 Tương tự 5A 5B 16 Góc 2α =AMH

a) Ta có sin AH 2AH 2.AB.AC2 2sin cos

AM BC BC

α = = = = α α b)

2

HM HC 2HC AC

1 cos2 2cos

AM AM BC BC

+ α = + = = = = α

2

HM HB 2HB AB

1 cos2 2sin

AM AM BC BC

− α = − = = = = α

BÀI MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG

1A a) Sử dụng tỉ số cosC sinC, tính a 20

3

= cm, c 10

3

= cm B 60 = b) Sử dụng tỉ số sinB cosB, tính được:

(138)

c) Sử dụng định lý Pytago tỉ số sinB, tính được: c 5 cm, sinB=10 B 41,8 , C 48,2 

15

= ⇒ ≈ ≈ d) Tương tự c) ta có

a 193 cm, tanB=12 B 59,7 , C 30.3 

7

= ⇒ ≈ = 1B tương tự 1A

2A a) Cách Sử dụng tỉ số lượng giác tam giác vuông NAB NAC có BN.tanB = NC.tanC , Chú ý BN + NC = BC tính

BN 4,67cm;≈ ⇒AN 3,65cm;≈ Cách Gợi ý: Kẻ CH vng góc với

AB H

b) Xét ∆ANC vng có: AC AN AC 7,3cm

sin C

= ⇒ ≈

2B a) Áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng HCB có

AC

CH 3 cm , 5,28cm

sin C

= ≈

b) Tương tự, áp dụng Pytago hệ thức cạnh góc tam giác vng, tính được:

AH,BH⇒AB 3,93cm.= Ta có S 13 3.3,93 10,21cm2

2

= ≈ 3A Kẻ AH BC⊥ H Áp dụng hệ thức cạnh

góc ∆AHC vng H, tính AH 2,68cm vµ HC 2,25cm≈ ≈

Tương tự tam giác vng HAB, tính ABC

BH 1,34cm≈ ⇒BC 3,59cm, S≈ ≈4,81cm 3B Gợi ý: Kẻ AH CK vng góc với BD

4A a) Áp dụng hệ thức cạnh đường cao cột đèn AB, bóng cột đèn mặt đất AC Áp dụng hệ thức cạnh đường cao ∆ABC Vng A, ta tính AB 6,75m≈

4B Tương tự 4A Độ dài cầu trượt 2,1 0 4,5m sin 28

= ≈ 5A a) Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông

AHC

∆ ∆AHB ta có:

(139)

trong tam giác vng ∆ABC tính AH = 3cm ⇒ DE = 3cm

Trong ∆AHB vng ta có:

tan ABC AH ABC 56 , S ADE 27cm2

HB 13

= ⇒ ≈ =

5B a) Chú ý EF đường trung bình tam giác HAB b) Chứng minh F trực tâm tam giác BEC sử dụng a) c) Sử dụng tỉ số sinA tam giác vuông HAB tỉ số tanA tam giác vuông BAC để t

ính AB, CB AC, EC Tương tự 1A 1B Tương tự 1A 1B

8 Tương tự 3A ta có ABC

S ≈509,08cm Kẻ BH⊥DC H

Chú ý diện tích ABCD tổng diện tích ABHD BHC 10 Tương tự 5A

11 a) HS tự làm b) HS tự làm c) Tương tự 5A Ta có ∆BEF BDCω ∆ (c.g.c)

12 ABD 25 = Áp dụng tỉ số lượng giác tam giác vng ABD ta có:

21

BD 21,19cm

cos25

= ≈ 13 Tương tự 4A

14 a) Giả sử tam giác ABC có A 90< , kẻ đường cáo BH Ta có BH=AB.sinA



ABC

1

S AC.BH AB.AC.sin A

2

∆

⇒ = = b) Giả sử tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O

có AOB = α <900, Kẻ AH BD ⊥ H CK ⊥BD K

ta có : AH=OA.sinα ABD

1

S BD.AH BD.OA.sin

2

⇒ = = α Tương tự:

CBD

ABCD ABD CBD

1

S BD.CK BD.OC.sin

2

1 1

S S S BD.OA.sin BD.OC.sin BD.AC.sin

2 2

= = α

⇒ = + = α + α = α

(140)

18 13 12 13

BC 13cm, AH cm, BH= cm

13 13

27 13

vµ CH= cm

13

= =

b) Tìm BC=25cm, AC=20cm,

HC=16cm AH=12cm 1B a) Tìm CH=6 cm,

0

6

AC 10,55cm

sin80

= ≈ b) Ta có

2

ABC ABC

1

S 3.(6 1,83) S 40,69cm

2

= + ⇒ ≈

2A a) Tìm BH=9cm, CH=16cm, AB=15cm, AC=20cm b) Tìm AMH 73,74 ≈

c) Tìm

AHM

S =21cm

2B a) Tính BC =5cm, AH 12cm

= b) Tìm B 53,13 ,C 36,87 ≈  ≈

c) Tính

15 20

BE cm, CE= cm vµ

7

12

AE= cm

7

=

3A a) Ta có

 

AEF MCE (c.g.c) AFE ACB

∆ ω ∆

⇒ = b) Ta có

MFB MCE (g.g) ME.MF MB.MC

∆ ω ∆ ⇒ =

3B a) i) Tính NF=15cm

 

MFN 37 vµ MNF 53≈ =

ii) Tìm MO 36cm, FO=48cm

5

= iii) Tìm

FNE

S =96cm

Cách 1: Ta có FOH FOH

FNE

S FO FH

S 34,56cm

S = FN FE =25⇒ ∆ =

Cách 2: Gợi ý Kẻ đường cao OK ∆FOH⇒ FOH

S∆ =34,56cm

b) Ta có MFN FEM (g.g) MF MN MF2 MN.FE

FE FM

(141)

4A a) Ta có cos70 ( sin 20 ) sin 24= < <sin 54 <cos35 ( sin 55 ) sin 78= < b) Ta có tan16 ( cot 74 ) 57 670 = < ' <cot 300 <cot 240 <tan80 ( cot10 )0 = 4B a) Ta có cos880 <sin 40 ( cos50 ) cos280 = < <sin65 ( cos25 ) cos200 = < b) Ta có: cos67 18'( tan 22 42 ) tan32 480 = ' < ' <tan 56 320 ' <cot 28 36 ( tan61 24')0 ' = 5A a) Ta có

( )3

6 2 2 2 2

sin x cos x+ = sin x cos x+ −3sin xcos x(sin x cos x) 3sin xcos x+ = −

5B Ta có cosx sinx (1 cosx)(1 cosx) sin x2 sin x cos x 12

sinx cosx

− = ⇔ − + = ⇔ + = +

( đúng)

Từ ta có điều phải chứng minh

b) Ta có ( )

2

sin x cosx 2cosx

VT VP

sinx(1 cosx) sinx(1 cosx)

+ + +

= = = ⇒

+ + ĐPCM

6 a) Ta có ∆DEF vng

2 2

DE +DF =FE b) Tìm

 ' 

24 32

DK cm vµ HK= cm

5

KDE 36 52 vµ KED 35 8'

=

≈ =

d) Tìm DM=3cm, FM=5cm EM=3 cm e) ta có

 DK  DE

sin DFK , sinDFE

DF EF

DK DE

DF.DE DK.E F

DF EF

= =

⇒ = ⇒ =

7 a) i) Tìm AB=3cm AC=6 3cm

ii) Ta có AB AB cosABC cos60 cosACD AC

BD = BC = = = = CD

b) Ta có 2 2 2

AH = AC +AD

8 a) Ta có ∆ABE = ∆ADF (g.c.g)⇒AE=AF

b) Ta cú AKF CAF (vì F chung FAK=FCA=45 )   

AF CF

AF KF.CF

KF AF

⇒ = ⇒ = c) Tính

AEF

93

S cm

2

= d) Ta có: AE.AJ=AF.AJ=AD.FJ

AE.AJ

AD FJ

(142)

9 a) Tìm sin 24

α =

1

cot ,tan 24

24

α = α =

b) Tìm cos 5,tan ,cot

3

α = α = α = c) Tìm cos 1,cos ,sin

2 5

α = α = ± α = ± d) Tìm tan 1,sin ,cos

3 10 10

α = α = ± α = ± 10 a) Tính A=2 b) Tính B=1

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I ĐỀ SỐ

PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM) Câu D Câu C Câu A Câu C Câu3 B Câu A Câu B Câu D PHẦN II TỰ LUẬN ( ĐIỂM) Bài a) Ta có

0 0 0

cot 24 tan66 ,cot 57 tan33 vµ cot30 tan60

tan16 tan33 tan60 tan66 tan80

tan16 cot 57 cot 30 cot 24 tan80

= = =

⇒ < < < < ⇒ < < < <

b) Ta có

2 2 sin cos

cos sin cos = ,tan vµ cot =

5 cos 12 sin

α α

α = − α ⇒ α α = = α =

α α Bài a) i) Tính DB=15cm

 

ADB 37 vµ ABD 53≈ ≈ ii) Tính AO=7,2cm, DO=9,6cm AC=20cm iii) Kẻ OK ⊥DC K DH=AB=9cm, DC=16cm DK=5,76cm OK=7,68cm

Từ

DOH

OK.DH 7,68.9

S 34,56cm

2

= = = b) DO ∆BAD đồng dạng với ∆ADC (g.g)

2

AD AB.CD BH AB.CD

⇒ = ⇒ = (ĐPCM)

(143)

PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM) Câu A Câu A Câu D Câu D Câu3 B Câu C Câu B Câu D PHẦN II TỰ LUẬN ( ĐIỂM)

Bài * Dựng góc nhọn α, biết cos

α =

Dựng tam giác vng có cạnh huyền 3, cạnh góc vng có độ dài 2, góc kề cạnh góc vng có độ dài góc α cần dựng

* Ta có cos 48 110 '

3

α = ⇒ α ≈ Bài a) Ta có:

2 2

PK +QK =169 PQ= ⇒ ∆KQP Vng K

b) Ta có:

  

0

0 0

PK 12 sin PQK

PQ 13 PQK 67 22'

KPQ 90 67 22' 22 38'

= = ⇒ ≈

⇒ = − =

Theo hệ thức lượng tam giác vng ta có KH.PQ=KP.KQ KH 60cm

13

⇒ =

2 PK 144

PK PH.PQ PH cm

PQ 13

= ⇒ = = c) Tứ giác AKBO có

  

min

AKB KAO KBO 90

AKBO Là hình chữ nhật AB KO

AB OK KH AB KH AB KO KH O H

= = =

⇒ ⇒ =

⇒ = ≤ ⇒ = ⇔ = = ⇔ ≡ Bài Ta có

2 ADE

ABC

AD AE

ABD ACE (g-g)

AB AC

S AE

S AC

∆ ⇒ =  

⇒ =    



(144)

2 ADE

ABC

2 ADE ABC

AE

ACE cã cosA

AC S

cos A S

S S cos A

∆ =

⇒ =

CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN BÀI SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN TÍCH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRỊN 1A a) Giả sử ∆ABC vng A Gọi O trung điểm BC

OA OB OC O

⇒ = = ⇒ tâm đường trịn qua A,B,C b) Ta có OA OB OC OA 1BC ABC

2

= = ⇒ = ⇒ ∆ vuông A

1B Đường tròn ( )O ngoại tiếp ∆ABC với BC đường kính Gọi O trung điểm BC Chứng minh B,C,D,E nằm O;BC

2

      2A a) Chứng minh IFEK hình bình hành

có tâm O Chứng minh IK⊥KE⇒IFEK

là hình chữ nhật ⇒I,F,E,K thuộc (O;OI) b) Ta có IDE 90 = ⇒tam giác IDE

vng D

Chứng minh KD⊥DF⇒ ∆KDF vuông

2B Ta có MNPQ hình chữ nhật tâm O ⇒M,N,P,Q thuộc (O;OM)

3A Tính chất: Trong hình thoi, đường chéo trung trực hai cạnh AB AC Nên E tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Tương tự, F tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABD

3B Gọi I giao điểm hai đường chéo hình thoi Chứng minh P trọng tâm ∆ABC

Kẻ PQ AI BQ 2AB Q

3

⇒ = ⇒



Cố định ⇒P thuộc đường trịn đường kính QB

(145)



0

BC

BNC 90 N O;

2 BC

BMC 90 M O;

2 B,C,M,N

  = ⇒ ∈      = ⇒ ∈    ⇒

Cùng thuộc đường tròn tâm O;BC

     

b) ∆ABC có G trực tâm đồng thời trọng tâm AOB

∆ vuông O có R ON a

= = Ta có

2

2 a a

OA a R

4

= − = >

⇒A nằm ngồi ( O)

Ta có OG 1OA a R

3

= = < ⇒G nằm ( O)

4B a) HS Tự chứng minh

b) Tính CBO CBD ABO 30  = = =

Chứng minh ∆ABC cân A có ABC 60 = ⇒ ∆ABC

5A Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vng ABC, ta có BC=13cm

⇒R=6,5cm

5B Gọi O giao đường trung trực ∆ABC Khi O tâm đường trịn ngoại tiếp ∆ABC Gọi H giao điểm AO BC Ta có : AH= cm;

2

OA AH cm

3

= =

6A Gọi O giao điểm AC BD, Ta có:

OA=OB=OC=OD ⇒A,B,C,D thuộc (O;R=7,5cm) 6B a) Dựng đường thẳng d trung trực AB,

d cắt tia Ay O suy (O;OA) đường tròn cần dựng

HS tự chứng minh

b) Tính OA 2cm

= a) Ta có ACD 90 = ⇒C thuộc Đường trịn đường kính AD

Chứng minh ABD 90 = ⇒ B thuộc đường trịn đường kính AD ⇒

(146)

b) Tính AD=10cm

8 a) Có O trung điểm BC

Mà D O; BC1

2

 

∈  ⇒OB=OD=OC

⇒∆BDC vuông D⇒CD⊥AB Tương tự BE⊥AC

b) Xét ∆ABC có K trực tâm ⇒AK ⊥BC

9 a) Gọi EF đường kính

AB

O; cho EF AB

2

  ⊥  

 

Xét trường hợp C chạy nửa đường tròn EBF Chứng minh

 

OMB OHC (c.g.c)

OMB OHC 90

∆ = ∆

⇒ = =

Vậy M chay đường tròn đường kính OB

Chứng minh tương tự C chạy nửa đường tròn EAF , ta M chạy đường trịn đường kính OA

b) Chứng minh ∆ADB cân A ⇒AD=AB nên D chạy (A;AB)

10 a) Chứng minh ∆CMB= ∆DNC⇒NCE CDN = Từ chứng minh CEN 90=

b) Ta có A,D,E,M thuộc trịn đường kính DM

c) Gọi I trung điểm CD, chứng minh AI song song với MC

ADE

⇒ ∆ cân A

⇒B,E,D thuộc (A;AB)

(147)

Tính OH = MK = 3cm OD= OB = 10 cm

Từ tính OK = 41 cm

1B Gọi OH,OK Lần lượt khoảng cách từ O đến AB,AC

Tính OH 41cm

= OH = 2 cm

2A a) Gọi OH,OK khoảng cách từ O đến dây Ta có: OH = OK = 1cm

b) Tính R = 10 cm 2B Đặt OH = xcm

Ta có OM = x - cm

Áp đụng định lý Pytago ta tìm x= 10cm 3A a) Gọi OH khoảng cách từ O đến CD ⇒ MH = 4cm

Tính OH 3cm

= b) Tính OD 39cm

3

=

3B Gọi HK đường thẳng qua O vng góc với AB CD,

(148)

OK=3cm, OK=4cm

⇒HK=7cm HK=1cm

4A a) Gọi I Trung điểm CD ⇒IC=ID

Xét hình thang AEFB , I trung điểm EF ⇒IE=IF Từ suy CE=DF

b) Ta có EAB FBA bù nên có góc tù góc nhọn

Giả sử EAB 90 > ⇒ ∆EAO

có OE > AO =R⇒E ngồi đường trịn mà OE=OF nên F ngồi đường trịn

4B Đường thẳng qua O vng góc với AC BD H K (

H AC,K BD∈ ∈ )

Ta có ∆AOH= ∆BOK(g.c.g)⇒AK BK= ⇒AC BD=

5A a) B,C,D,E thuộc đường trịn đường kính BC

b) BC đường kính, ED dây khơng qua tâm ⇒ĐPCM

5B Tương tự 5A

6 Kẻ OE CD,E CD⊥ ∈ Ta có

CO=11cm, CE= 9cm, ⇒OE=2 10cm OM=7cm⇒ME=3cm

⇒MC=6cm, MD=12cm; MD= 6cm, MC= 12cm

(149)

c) Tính HM cm 13

= HN cm

13

= Từ tính

CMHN

216

S cm

13

=

8 a) Vẽ MH⊥AB H; CH⊥AB K

⇒MH đường trung bình

CAK AM 10cm

∆ ⇒ =

AH = 6cm ⇒AK = 12cm ⇒AK 1AB

2

= Từ chứng minh ∆ABC cân C

b) Ta có CK = 2MH = 16cm đặt OC = x⇒OK = 16 – x Từ tính CO = 12,5cm

9 a) Ta có BD CH vng Góc với AB; BH CD vng Góc với AC

b) Ta có I trung điểm BC ⇒I trung điểm HD c) Ta có OI đường trung bình ∆AHD⇒AH 2OI= 10 Học sinh tự CM

11 Ta có I thuộc đường trịn tâm O bán kính

2 CD 2

R OA 4OA CD

4

= − = −

(150)

A,B,K,C nằm đường tròn đường kính AK

c) Ta có OI đường trung bình ∆AHK⇒OI AH d) Gọi AH cắt BC M Ta có BE.BA = BM.BC

và CA.CD = CM.BC ⇒ ĐPCM

13 Kẻ

 

AH DE t¹i H

Tõ DAE 2BAC DAH BAC

⊥ =

⇒ =

Từ DE=2DH; AD=AM=AE Suy DH=AD.sinDAH Từ DEmax ⇔AM 2R= 14 a) Vì OA=OB=OC

ABC

⇒ ∆ vuông A b) HS tự chứng minh c) Chứng minh

 

   

ABC CBD

MµCDH CBD ABC CDH

=

= ⇒ =

BÀI VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

R d Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn

5cm 3cm Cắt 6cm 6cm Tiếp xúc 4cm 7cm Không giao 2A (A;3) Không giao với Ox tiếp xúc với Oy 2B (B) Cắt Oy hai điểm phân biệt

(B) không cắt Ox

3A O thuộc a a b nên O cách b khoảng 2cm

⇒(O;2cm) tiếp xúc với b 3B Kẻ OH a⊥ H

(151)

4A Tâm đường tròn nằm hai đường thẳng a,b song song với đường thảng xy cách xy khoảng 1cm

4B O nằm đường thẳng song song với a,b khoảng h

2

5A ∆ABC vng B, từ suy AB= 8cm 5B Tiếp tuyến MN, tiếp điểm K Vì AB MN Nên OH⊥AB Tính OH 3R

5

= Từ tính

2 OMN

4

KN R S R

3

= ⇒ =

6A Tính OM = ⇒ M di chuyển (O;4cm)

6B Chứng minh OB đường trung bình tam giác CDA, suy AD = 4cm

7 Kẻ OH vng góc với xy suy OH OA≤ Mặt khác A nằm đường tròn (O;R) nên OA R≤

8 Kẻ OH vng góc với xy suy OH OA≤ Mặt khác A nằm đường tròn (O;R) nên OA=R ⇒đpcm

9 a) Kẻ OH vng góc với xy OH =12cm <R (O) cắt xy hai điểm B,C

b) Tìm BC = HC = 10cm

10 a) Chứng minh OC đường trung bình hình thang AEFB nên C trung điểm EF Chứng minh AE=AH, BH=BF nên

2

CH = HA.HB=AE.BF b) Ta có

{ }



max

BE (O) H FE AH AB

FE AB C điểm AB

∩ = ⇒ = ≤

⇒ = ⇒

(152)

1A Ta có



2 2

0

BC AB AC

BAC 90 BA AC

= +

⇒ = ⇒ ⊥

1B Trung trực AB cắt đường thẳng vuông góc với d A O Đường trịn

(O;OA) đường tròn cần dựng

2A a) Chứng minh BKA 90 = b) Gọi O trung điểm AI

Ta có:

+ OK = OA ⇒OKA OAK = + OAK HBK (cïng phô ACB) =  + HB = HK ⇒HBK HKB = + ⇒OKA HKB = ⇒HKO 90= 2B a) Gọi O trung điểm AH OE = OA = OH = OD

b) Tương tự 2A 3A a)

 

OAC OBC(c.g.c)

OBC OAB 90

∆ = ∆

⇒ = = ⇒ĐPCM

b) Sử dụng hệ thức lượng tam giác vng OBC tính OC=25cm

3B a) Vì OCB tam giác nên BC=BO=BM=R



OCM 90

⇒ = ⇒ MC tiếp tuyến (O;R) b) Ta có

2 2

2

OM OC MC

MC 3R

= +

⇒ =

4A a) OA vng góc với BC M

⇒M trung điểm BC

⇒OCAB hình thoi b) Tính BE=R

4B a) Gọi O trung điểm CD

Từ giả thiết suy tam giác ABD tam giác ODE

⇒DE = DH = DO = BC

4

⇒HEO 90 =

(153)

b) HE =

5 a) Tam giác ABC cân A nội tiếp (O) OA BC

OA AD (v× AD BC)

⇒ ⊥

⇒ ⊥ 

⇒AD tiếp tuyến (O)

b) Chứng minh ON tia phân giác AOD mà ∆OAC cân O nên ON

là đường trung tuyến ⇒ON cắt AC trung điểm I AC⇒ON,AC,BD qua trung điểm I AC

6 Từ O hạ OH vuông góc với d OH cắt (O) A B Qua A B kẻ đường vng

góc với OA OB ta hai (hoặc d tiếp tuyến (O)) tiếp tuyến song song với d

7 a) Dễ thấy AMB 90 hay EMF 90 =  = tiếp tuyến CM,CA



OC AM OEM 90

⇒ ⊥ ⇒ = Tương tự ⇒OFM 90 = Chứng minh ∆CAO= ∆CMO⇒AOC MOC = ⇒OC tia phân giác AMO

Tương tự OD tia phân giác BOM suy



OC ⊥OD⇔COD 90=

b) Do ∆AOMcân O nên OE đường phân giác đồng thời đường cao



OEM 90

⇒ = chứng minh tương tự OFM 90 = Vậy MEOF hình chữ nhật

c) Gọi I trung điểm CD I tâm đường trịn đường kính CD IO=IC=ID Có ABDC hình thang vng A B nên IO AC BD  IO vng góc với AB Do AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD

8 a) Vì BH, BD tiếp tuyến (A;AH)

 

HAD 2HAB

⇒ =

Vì CH,CE tiếp tuyến (A;AH)

 

HAE 2HAC

⇒ =

   

HAD HAE 2(HAB HAC) 180

⇒ + = + =

⇒D,A,E thẳng hàng b) Tương tự 7c

(154)

Mà O Là trung điểm AB OM vng góc với CD( tiếp tuyến (O)

⇒ AD+BC=2OM=2R Chú ý CD≤ AB ( hình chiếu đường xiên)

ABCD

2

S (AD BC).CD

2

R.CD R.AB 2R

⇒ = +

= ≤ =

Do SABCDlớn CD=AB hay M điểm nửa đường trịn đường kính AB

10 Hình vẽ tượng tự 3A a) Tính OB=10cm

b) Ta có ∆OBC = ∆OBA(c.g.c)⇒ BC tiếp tuyến đường trịn (O)

11 a) Tính BC=5cm

5

AC 3cm, CE = cm

3

=

b) Tính BE 10 3cm

=

12 a) CKA CMA 90 = = ⇒C,K,A,M thuộc đường trịn đường kính AC b) ∆MBN cân B có BA đường cao, trung tuyến phân giác c) ∆BCD cã BK⊥CD vµ CN⊥BN nên A trực tâm ∆BCD

⇒ D,A,M thảng hàng

Ta có ∆DMC vng M có MK trung tuyến nên ∆KMC cân

   

K KCM KMC

lại có KBC OMB nên

KMC OMB KCB KBC 90

⇒ = =

+ = + = Vậy KMO 90 =

mà OM bán kính nên KM tiếp tuyến (O)

d) MNKC hình thoi



MN CK CM=CK KCM

KBC 30 AM R

⇔ = ⇔ ∆

⇔ = ⇔ =

(155)

⇒AB = AC ⇒ A thuộc trung trực BC OB = OC ⇒O thuộc trung trực BC

b) Sử dụng a) ý CD đường kính (O) nên CBD 90 =

1B Sử dụng tính chất giao hai tiếp tuyến  

OC AM ⇒OMC COM=

OCM

⇒ ∆ cân O

2A a) HS tự chứng minh b)

2

COM ODM

MC.MD OM c) AC=R

BD.AC MC.MD R R

BD

∆ ∆ ⇒ =

= = ⇒ =



2B a) HS tự chứng minh

b) Chi A,H,O nằm đường thẳng vng góc với BC;

c) Để H (O)∈ OH=OC ⇒COA 60 =

3A a) Chứng minh



EMF 60 MEF

EF=10cm

= ⇒ ∆

⇒

(156)

 

BAC 60 BAO 30

AO 2OB 2R

= ⇒ = ⇒ = = Vì AO=2R =2OB

 

BAO 30 BAC 60

⇒ = ⇒ =

4B Gọi M trung điểm BC Ta tính AG 2AM 10cm

3

= =

Gọi N trung điểm AB⇒MN AC, MN ⊥AB

D,I,G thẳng hàng

néi tiÕp

2

AG AD AD AD

AM AN 2AN AB

AB AC BC AB AB AC BC

Ta cã AD=r

2

AB 3AC 3BC AB AC

3AC 4AB (§PCM)

⇔ = = ⇔ = ⇔ =

+ − + − = ⇔ =

⇔ + = = + ⇔ =

Áp dụng kết ta có

AB AC BC

AD 3cm

2

ID DA 3cm IG DG ID 1cm

+ −

= =

⇒ = = ⇒ = − =

5 a) Chứng minh C trực tâm tam giác OIK Từ suy KC ⊥OI H b) IA=12cm

Chứng minh ∆KOI cân K Đặt KO = KI = x (x>0) Có

2 2

IK IB BK

Hay x 12 (x 9)

x 12,5 IK 12,5cm

= +

= + −

⇒ = ⇒ =

6 Chú ý MD = BD ME = CE a) Tương tự 1A

b) i) Áp dụng định lý Pytago tính BH= 3cm

Áp dụng hệ thức lược cạnh

Góc vng đường cao tam giác Vng, tính được:

2

ABC ABC

AB AC cm= = ⇒P =6 cm, S =3 cm ii) Ta có SABOC =SABC +SBOC ⇒SABOC =4 cm2

(157)

ABC ABC

AB AC cm= = ⇒P =6 cm, S =3 cm ii) Ta có SABOC =SABC +SBOC ⇒SABOC =4 cm2

8 a) Sử dụng tính chất phân giác trong, phân giác ngồi góc

 

IBK ICK 90

⇒ = =

b) Sử dụng a) ý ACI ICB IKC OCK   = = = c) AK cắt BC H Ta có : HC=12cm, AH=16cm

ACH

∆ đồng dạng COH AH HC CO 15cm

AC CO

∆ ⇒ = ⇒ =

BÀI LUYỆN TẬP TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU 1A Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến

Ta có

a) AC = CM; BD = DM

⇒ AC+BD=CD b)

   



COA COM, DOM DOB COD 90

= =

⇒ = c) AC.BD=MC.MD=MO2 =R2

d) Gọi I trung điểm CD Sử dụng tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng đường trung bình hình thang để suy đpcm 1B a) từ CA, CM tiếp tuyến (O) chứng

Minh A,C,M,O ∈ đường trịn bán kính

OC

b) Chứng minh OC,BM vng góc với AM từ suy OC BM

c) SACDB (AC BD)AB AD.AB

2

+

= = ACDB

S

⇒ nhỏ CD có độ dài nhỏ Hay M nằm cung AB

d) Từ tính chất hai giao tuyến ⇒AC=CM BM=MD, kết hợp với AC BD

ta chứng minh CN CM MN BD MN AB

NB =MD ⇒  ⇒ ⊥

2A a) Chú ý: Ab phân giác góc DAM ; AC phân giác góc EAM từ



DAE 180=

b) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến hệ thức đường cao hình chiếu

(158)

vuông BAC

2 DE

BD.CE BH.CH CH

4

⇒ = = =

c) ∆HNC nội tiếp đường trịn (M) đường kính

HC⇒HN⊥NC

Chứng minh AN tiếp tuyến (M) Do AM⊥HN⇒AM NC

2B a) Sử dụng tính chất phân giác phân giác ngồi điểm ta có

 

IBK ICK 90= = B,C,I,K

⇒ ∈ đường tròn tâm O đường kính IK b) Chứng minhICA OCK =

từ chứng minh OCA 90 = Vậy AC tiếp tuyến (O)

c) Áp dụng Pytago vào tam giác vuông HAC ⇒AH=16cm Sử dụng hệ thức lượng

tam giác vuông COA ⇒OH=9cm,OC=15cm 3A a) Tương tự 1B

b) Chú ý OKM 90 = kết hợp ý a) A,M,B,O,K

⇒ ∈ đường trịn đường kính OM c) Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông OAM ( chứng minh tam giác đồng Dạng)

d) Chứng minh OAHB hình bình hành ý A,B thuộc (O;R)

suy OAHB hình thoi

e) Chứng minh OH⊥AB,OM⊥AB⇒ O,H,M thẳng hàng 3B a) Tương tự 3A

A,P,M,O

⇒ ∈ đ tròn đường kính PO b) Ta có OP ⊥AM,BM⊥AM⇒BM OP c) chứng minh ∆AOP= ∆OBN⇒ OP=BN lại có BNOP OPNB hình bình hành d) Ta có ON⊥PI,P M⊥JOmà

Chứng minh PAON hình chữ nhật ⇒K trung điểm PO Lại có APO OPI IOP  = = IPO cân IIKPO(2) T (1),(2) J,I,K thng hng

(159)

OM CD

Gäi K =OD d; COK COD

OK OD OM OA R CD

⊥

∩ ∆ = ∆ ⇒ = ⇒ = = ⇒

Là tiếp tuyến

b) AC+BD=CM+DM=CD≥ AB Do (AC+BD)=AB

CD AB ABCD

⇔  ⇒ hình chữ nhật

⇔AC=AO

c) AC.BD=MC.MD=OM2 =4a2

2 2

1 1

OC OD 4a

⇒ + = d) Tương tự 1Bd

MN BD MN AB hay MH AB; Tõ AC BD, MN BD,NH BD

MN NH

BD BD

⇒ ⇒ ⊥ ⊥

⇒ = ⇒ =

   

a) PADE =AD+DE=EA=AD+DM+ME+AE=2AB

b)

   



1

DOM BOM; MOE MOC

2

BOC 2DOE

= =

⇒ =

6 a) Áp dụng tính chất tiếp tuyến A,B,C ta chứng minh b c a AD

+ − = b) SABC =SAIB +SBIC +SCIA

Mà ID = IE = IF = r ⇒SABC = pr

c) Vì AM phân giác BAC BM BA

MC AC

⇒ = Áp dụng tính chất tỉ lệ thức thu BM ac

c b

=

+

BÀI VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN 1A a) Chứng minh



BAC 90= kết hợp

 

BAD CAE 90= = ⇒dpcm

b) Chứng minh ∆BAD∆EAC⇒ AD.AE=AB.AC(đpcm)

c) Chứng minh tứ giác OIO’K hình chữ nhật

Đường trịn ngoại tiếp ∆OKO' đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ,có đường kính IK mà IK⊥BC I

(160)



O'MO 90

⇒ = Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng tính MA = Rr

b) Chứng minh SBCOO' =(R r) Rr+ c) Chứng minh

2 BAC

OMO'

BAC

S BC

BAC OMO'

S OO'

S BC 4Rr Rr

S

OO' R r

  ∆ ∆ ⇒ =     ⇒ = =

+



d) Tứ giác OBCO’ hình thang vng B vầ C có IM đường trung bình

{ }

IM BC M

⇒ ⊥ =

2A Gọi I trung điểm AB Chú ý 12 2 2

AI =OA + O'A

Ta tính AB=24cm

2B.a) Chú ý CMA DNA 90 = = b) Vẽ OP⊥MA O'Q ⊥NA

Chú ý hình thang vng OPQO’ có EA đường trung bình

3A Vẽ OP ⊥CA;O'Q⊥AD suy tứ giác OPQO’ hình thang vng P, Q a) Kẻ OP;O'Q CD⊥ CD MA⊥

và M trung điểm OO’ ⇒ AP=AQ

⇒AC=AD

b) i) Chú ý ∆EAF có AB, EG,FI ba đường cao ii) Sử dụng CD= 2PQ để lập luận, ta có

kết luận: CD lớn CD OO'

3B a) Chỉ OI OK− <IK OI OK< + ⇒ (1) (k) cắt

b) Do OI=NK, OK=IM ⇒OM=ON

Mặ khác OMCN hình chữ nhật ⇒OMCN hình vng c) Gọi { }L =KB∩MC, P{ }=IB∩NC⇒OKBI

Hình chữ nhật BNMI hình vng

    

 

  

0

BLC KOI

LBC OKI BIK mµ BIK IBA 90

LBC IBA 90

cã LBC LBI IBA 180

⇒ ∆ = ∆ ⇒ = =

+ = ⇒ + =

+ + =

(161)

⇒C cố định AB qua điểm C 4A Ta có OD= OC sinBCD

⇒bán kính đường tròn nhỏ cm 4B Kẻ OE⊥AB;OF ⊥AC

Đặt AC=a, AM=b, AN=c

2

a c b

r

2

a c b

R 2 −     =  +      +     =  +     

Ta chứng minh

2 2 2

a +b +c =2(R +r ) 5A a)

2 2

KỴ O'H OM; OK O'F

cã OH=R-r; O'K =R+r

Mµ OH OO' MN 36

O'K OO' EF 64

OH vµ O'K=8 R=7cm vµ r=1cm

17

b) R= cm vµ r= cm

2 ⊥ ⊥ = − = = − = ⇒ = ⇒ 5B 2 2

KỴ O'H OA;O'K OC

Tính OH=4,OK=8

Đặt CD=x AB=2x

OO' 64 x vµ

OO' 16 4x

x OO' 80cm

⊥ ⊥ ⇒ = + = + ⇒ = ⇒ =

6 a) Chứng minh tứ giác AEIF hình chữ nhật K trung điểm AI

b) Có IE.IO=

2 BC

IB

4

= IF.IO’=

2 BC IC = 2

2(IE.IO IF.IO')=AB AC

⇒ + +

c) PK Là đường trung bình ∆OAI trung trực EA Ta có

 



PEK PAK nªn PEK PAK

VËy PEK 90 ®pcm

∆ = ∆ =

= ⇒

(162)

2 2

ABC IOO'

ABC

IOO'

2

OIO' ABC

2

S BC S BC

ABC IOO' S

S OO' OO'

1 IA

Mµ BC=2AI';OO'=2a;S 2a.IA a.IA S

2 a

R R'

IA R.R' a IA

2

∆ ∆

 

∆ ∆ ⇒ =  ⇒ =  

= = ⇒ = +

 

= ≤  = ⇒  



Lớn a R=R’

7 a) Gọi I trung điểm AB, ta có: OI=OA-IA b) Ta chứng minh

IC BD OE

Mµ OB=BI=IA⇒AC=CD=DE

 

8 a) (O) (I) tiếp xúc với b) Tứ giác ADCE hình thoi

c) Có

CK AB,AD DB

CK AD mµ CE AD

⊥ ⊥

⇒  

⇒B,K,D thẳng hàng d)

        

0

HKD HDK;IKB IBK

HKD IKB HDK IBK 90 IKH 90

= =

⇒ + = + = ⇒ =

9 a) Ta có AB = AE + BE = EM + EN Và CD = FD + FC = NF + NE

⇒AB + CD = 2EF ⇒AB = EF

b) Ta có EM = AB – EB = EF – EN = NF

ÔN TẬP CHƯƠNG II 1A a) HS tự làm

(163)

IK CK AC.sin

2

1

AC sin Rcos sin

= = α

= α = α α

d) Giả sử BI cắt AM N Vì

2 2

IK AM MO OP

1 1

OI OM ON

1 1

M N

OP ON OB

⇒ = ⇒ = +

= + = ⇒ ≡



1B a) HS tự chứng minh

b) Ta có IAC ICA = ⇒IMC ICM = IM=IA=IC

c) Sử dụng hệ thức lượng cho ∆AMB ta dùng Pytago cho tam giác AMB

d) Kẻ GD AC (D OC) ∈ ⇒ D cố định

lại có OI⊥AC⇒OG⊥DG

G

⇒ thuộc đường tr ịn đường kính OD cố định

2A a) HS tự làm b) HS tự làm

c) Chú ý hình thang vng OEFO’ xét đường trung bình hình thang

d) Từ I kẻ đường thảng song song với EF cắt OE M , cắt O’F N Đặt BH=2R; CH= 2R’

IOM

∆ vuông M có:

2 2 2

IM =IO −OM =(R r)+ − −(R r) =4Rr Tương tự , ∆ION có IN2 =4R'r

Suy IM+IN=EF=AH Vậy

2

2 Rr R'r RR'

RR'

r( R R') RR' r

( R R')

+ =

⇒ + = ⇒ =

+

(164)

b) Chứng minh KA KO + HB.HO = KH2 =MO2 =R2 Không đổi

c) Với giả thiết ∆CMO



 

0

COM 60

ECA MCA 30

=

⇒ = =

Dùng tính chất phân giác ngồi MCE đpcm d) Gọi giao điểm CB AD I Do AC BD

Gọi giao điểm MI với CD G , chứng minh tương tự ta IM=IG Vậy I trung điểm MG ⇒I thuộc đường nối trung điểm đoạn vng góc từ M xuống CD

3 a) Chứng minh ∆MEF ∆MOA

b) ∆MEF ∆MAO mà AO=OM ⇒ME=EF c) chứng minh F trực tâm ∆SAB, AI đường cao, chứng minh A,I,F thẳng hàng d) FA.SM=2R2

e) SMHO 1OH.MH 1 MO2 1R2

2 2

= ≤ =

⇒M cung AC

4 a) Tứ giác CMHN hình chữ nhật b) Ta có OCA OAC =

   

 

CBA ACH;ACH CMN OCA CMN 90

= = ⇒ + = Vậy OC⊥MN

c) Ta có ∆IOC có E trực tâm suy IN qua M E (đpcm)

d) Ta có EMA  CMN,CMN CBA EMA ENB

EA.EB EM.EN

= = ⇒ ∆ ∆

⇒ =

 Tương tự ∆EMH ∆EHN⇒EM.EN EH=

 , ∆EHC vng H có HD

là đường cao

EH ED.EC

⇒ = Từ ta có đpcm

5 a)∆MAO= ∆PBO⇒MO OP= ⇒ ∆MNP cân Vì đường cao NO đồng thời đường trung tuyến b)

2 2

1 1

OI OM ON

1 1

OI R

OP ON OB

− +

= + = ⇒ =

(165)

AMNB AMNB

min

S S

2

MN AM R

= ⇒ ⇔ ⇔ =

6 a) ∆ ABE cân BI vừa đường cao vừa đường phân giác b) Chứng minh K trực tâm

ABE EK AB

∆ ⇒ ⊥ c) Chứng minh

    

0

AFB ABF KBC BKC 90 FAB 90

+ = + = ⇒ =

⇒FA tiếp tuyến (O)

d) C di chuyển (O) E di chuyển (B;BA)

7 a) OH.OA=OB2 =R2 không đổi b) Chứng minh∆ABO=∆ACO c) Vẽ ON BM⊥ ⇒BON MON = có BON MBx; MON HBM   = =

 

MBx HBM

⇒ =

⇒ MB phân giác CBx nên M cách hai cạnh BA BC mà AM phân giác BAC⇒ đpcm

d) Ta có

2

min

ODA OHI OI.OD OH.OA R

Từ 3OI+OD 3OI.OD 2R R

(3OI OD) 2R OI

3

∆ ∆ ⇒ = = ≥ =

⇒ + = ⇔ =



a) Ta chứng minh



b c a AE

2

a b c 2a

AE p a

2

BAC AIE cã IE=EAtan

2 BAC

(p a)tan

+ − =

+ + −

⇒ = = − ∆

= −

(166)

    

 

0

0 0

0

BI FD vµ CI DE Ta cã:

1

BIC 180 (IBC ICD) 180 (ABC ACB)

2

1 BAC

180 (180 BAC) 90

2

Mµ EDF 180 BIC 90

2

⊥ ⊥

= − + = − +

= − − = +

α

= − = −

c) BH,AI,CK vuông góc với EF nên chúng song song ⇒HBA IAB =

( góc so le trong)

     

vµ KCA IAC mµ IAB IAC nªn HBA KCA ;

VËy BHF CKE

= = =

∆ ∆

d)

   

  

BD HP

Do BH DP CK nên mà DB=DF CD=CE

DC PK

HP BF BH

BPH CPK BPH CPE

PK CE CK

L¹i cã BFP CEF BPF CEP(g.g)

mà BPD CPD PD phân gi¸c cđa BPC

=

⇒ = = ⇒ ∆ ∆ ⇒ = = ⇒ ∆ ∆

= ⇒

 

 

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG II ĐỀ SỐ

PHẦN I TRẮC NGHIỆM

Câu A Câu C Câu A Câu C Câu A Câu C PHẦN II TỰ LUẬN

Bài a) Chứng minh ∆ABD = ∆ACD (c.g.c)

⇒Các tam giác vng ABD,ACD có chung cạnh huyền AD

⇒B,C thuộc đường trịn đường kính AD b) Ta có HC= 4cm

Tính AC=2 cm

Xét tam giác ACD vng C có đường cao HC; AC2

= AH.AD Từ tính AD=10cm

Bài a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt chứng minh OM đường trung trực AB, tức OM vng góc AB Áp đụng hệ thức lượng tam giác vuông OAM chứng minh : OI OM=OA2 =R2

b) Chứng minh

OKI OMH (g.g)

OK.OH=OI.OM

∆ ∆ ⇒



(167)

c) Để OAEB hình thoi OA=EB Khi đó, tam giác OAK đều, tức



AOM 60= Sử dụng tỉ số lượng giác góc AOM, tính OM=2OA=2R , tức M cách O khoảng 2R

d) Kết hợp ý a) b) OK.OH R2 OK R2

OH

⇒ = ⇒ = Mà độ dài OH không đổi nên độ dài OK khơng đổi

Do đó, điểm K điểm cố định mà AB qua M thay đổi ĐỀ SỐ

PHẦN I TRẮC NGHIỆM

Câu C Câu D Câu A Câu A Câu B Câu C PHẦN II TỰ LUẬN

Bài a) Hai tam giác BEC BDC vng có cạnh BC huyền, E,D thuộc đường trịn đường kính BC, tức điểm B,D,E,C thuộc đường trịn đường kính BC

b) Xét tam giác BEC vng E có BC cạnh huyền BC>CE Chứng minh tương tự , suy BC>BD

Bài a) Ta có

   

 

0

ECA OCA 90 vµ ACH OAC 90 mµ OAC OCA

+ = + =

=

( tam giác AOC cân O) Suy ECA ACH =

Khi EAC HAC = ( phụ với ECA ACH) ta có đpcm b) Chứng minh tương tự suy BC phân giác FBH

Từ đó, chứng minh BC vng góc HF (1) Tam giác ABC có trung tuyến OC=1

2 AB Suy tam giác ABC vuông C , tức

là BC vng góc với AC (2) Từ (1),(2) suy đpcm

c) Ta có : AE+BF =2OC=2R khơng đổi d) Ta có

2

(AE BF)

AE.BF R

4

+

≤ = suy AE.BF lớn =R2 ⇔

AE=BF=R

(168)

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I ĐỀ SỐ

Bài a) Ta có P 7= + − 51 14 2+ = +7 (7− + 2) 0= b) Ta có Q 2( 1) 6(3 3)

2

− −

= + + + = + Bài Tìm A 24

5

= B

x

− =

− với x>0, x≠4 ta tìm 0<x<1 c) Ta có M Z x

x

= − + ∈ ⇒ ∈ Ư(2) từ tìm x=1

Bài Vì d qua A nên thay tọa độ A vào phương trình d ta tìm m=1

HS tự vẽ d trường hợp m=1

b) Để (d) (d') m m m

m 1 m

− = − =  

⇒ ⇔ ⇒ = + ≠ ≠

 



Bài a) Tính AH= Từ suy AB=

và OM=4,5cm

b) Với ∆ MAB cân MH trung tuyến vừa đường cao;

ta có ∆ MAO =∆ MBO

MB OB

⇒ ⊥ ⇒MB tiếp tuyến (O) c) Dễ thấy MA2 =MH.MO

( Theo hệ thức lượng tam giác vuông)

Chứng minh

 

2

MBE MBD

MB ME.MD MA

MH.MO ME.MD

EHM ODM(c.g.c)

EHM ODM

∆ ∆

⇒ = =

⇒ =

⇒ ∆ ∆

⇒ =



d) Kẻ

HOA ABD

BK AD

1

ta cã S S BK.AD

2

⊥

= =

Vì BK 3≤ ⇒SHOAlớn B điểm cung AD AM=OA =3

Bài ĐK;

3

2

x,y

ta cã x y y x

x y

(x y)(x xy y )

x y

≥ −

+ − = + −

−

⇔ − + + + =

+ + +

(169)

Từ tìm y=x

Thay y=x vào T ta T=x2

+2x+10 Từ tìm Tmin = ⇔ = = −9 x y

ĐỀ SỐ

Bài a) Ta có A 3

2

= − + = − + + =

−

b) B sin 19= +cos 192 +tan190 −tan190 =1

Bài a) Tìm A ; víi x 0, x Tõ A=1 x

x

= ≥ ≠ ⇒ =

−

b) Tìm P x Từ P<0 điều kiện x 0, x ta tìm x<1 x

+

= ≥ ≠ ≤

−

c) ( )

2 x

x 12 x 12

M 4

P

x x x

+

+ +

= = = + ≥

− + +

Vậy Mmin = ⇔ =4 x Bài a) HS Tự làm

b) Tìm C(-2;-3) tọa độ giao điểm d1 d2 c) Kẻ

ABC

CH AB (CH Ox)

1

S CH.AB (dvdt)

2

⊥ ⊥

= =

Bài a) A,H,O thẳng hàng AH,AO vng góc với BC HS tự chứng minh A,B,C,O thuộc đường trịn đường kính OA b) Ta có

  

KDC AOD (cïng phô OBC)

KDC COA (g.g)

AC.CD=CK.AO

=

⇒ ∆ ∆ ⇒



c) Ta có

 

MBA 90= −OBM MBC 90 = −OMB

Từ suy M tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC d) Kẻ CD∩AC P= Chứng minh ∆ACP cân A

CA AB AP A

⇒ = = ⇒ trung điểm CK Bài Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có;

1 32x 29x 3y

32x(29x 3y) ( ) (61x 3y)

2

32

+ +

(170)

2

1

32y(29y 3x) (61y 3)

32

x y

P 2(x y)

2

+ ≤ + + +   ⇒ ≤ + ≤  + =

 

Định dạng
Số trang	170
Dung lượng	3,75 MB