Củng cố toán 9 - tập 2

và y là những số nguyên. b) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho. Hai lần chiều dài hơn ba chiều rộng là 10 m. Tính diện tích hình chữ nhật. Tính các kích thước của khu vườn. Hai [r]

(1)

 Tài liệu sưu tầm

CỦNG CỐ TOÁN TẬP

(2)

PHẦN A ĐẠI SỐ

CHƯƠNG III HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Khái niệm phương trình bậc hai ẩn

* Phương trình bậc hai ẩn x, y phương trình có dạng:

ax + by = c

trong a, b, c số cho trước, a ≠ 0 b ≠ 0

* Nếu số thực x0; y0thỏa mãn ax0 + by0 = c cặp số (x0; y0) gọi

nghiệm phương trình ax + by = c

* Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nghiệp (x0; y0) phương trình ax + by = c

được biểu diễn điểm có tọa độ (x0; y0)

2 Tập nghiệp phương trình bậc hai ẩn

Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c ln có vơ số nghiệp

Tập nghiệm phương trình biểu diễn đường thẳng d : ax + by = c

* Nếu a ≠ và b = 0thì phương trình có nghiệm

c x

a y R  =    ∈ 

đường thẳng dsong song trùng với trục tung

* Nếu a = 0 b ≠ 0thì phương trình có nghiệm

x R c y

b

∈   

= 

và đường thẳng d song song trùng với trục hoành * Nếu a ≠ b ≠ phương trình có nghiệm x Ra c

y x b b ∈

  

= − + 

hoặc y Rb c x y

a a ∈

 

− 

= +

 đường thẳng d cắt hai trục tọa độ Đường thẳng d đồ thị hàm số y ax c

b b = − +

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Xét xem cặp số cho trước có nghiệm phương trình bậc nhất hai ẩn hay không

Phương pháp giải: Nếu cặp số thức (x0; y0) thỏa mãn ax0 + by0= c gọi nghiệm phương trình ax + by = c

1A Trong cặp số (12; 1), (1; 1), (2; - 3), (1; -2), cặp số nghiệm phương trình bậc hai ẩn 2x – 5y = 19

1B Cặp số (-2; 3) nghiệm phương trình phương trình sau: a) x – y = 1; b) 2x + 3y = 5; c) 2x + y = -4;

(3)

2A Tìm giá trị tham số m để cặp số (2; -1) nghiệm phương trình x – 5y =3m –

2B Tìm giá trị tham số m để phương trình bậc hai ẩn

1

m+ −x y= +m có nghiệm (1; -1)

3A Viết phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm (2;0) (-1;-2) 3B Cho biết (0;-2) (2;-5) hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn Hãy tìm phương trình bậc hai ẩn

Dạng Viết cơng thức nghiệm tổng qt phương trình bậc hai ẩn và biểu diễn tập nghiệm mặt phẳng tọa độ

Phương pháp giải: Xét phương trình bậc hai ẩn ax + by = c

1 Để viết công thức nghiệm tổng quát phương trình, trước tiên, ta biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) đưa kết luận công thức nghiệm tổng quát Để biểu diễn tập nghiệm phương trình mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình ax + by = c

4A Viết công thức nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm phương trình sau mặt phẳng tọa độ:

a) 2x – 3y = 5; b) 4x + 0y = 12; c) 0x – 3y =

4B Viết công thức nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm phương trình sau mặt phẳng tọa độ:

a) 2x – y = 3; b) 5x + 0y = 20; c) 0x – 8y = 16

Dạng Tìm điều kiện tham số để đường thẳng ax + by = c thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Ta sử dụng số lưu ý sau giải dạng toán này:

1 Nếu a ≠ b = phương trình đường thẳng d : ax + by = c có dạng d : x = c

d Khi d song song trùng với Oy

2 Nếu a = b ≠ phương trình đường thẳng d : ax + by = c có dạng d : y = c

b Khi d song song trùng với Ox

3 Đường thẳng d : ax + by = c qua điểm M(x0; y0) ax0 + by0 = c

5A Cho đường thẳng d có phương trình

(m – 2)x + (3m – 1)y = 6m – Tìm giá trị tham số m để:

a) d song song với trục hoành; b) d song song với trục tung; c) d qua gốc tọa độ;

d) d qua điểm A(1; -1)

5B Cho đường thẳng d có phương trình:

(2m – 1)x + 3(m – 1)y = 4m – Tìm giá trị tham số m để:

(4)

d) d qua điểm A(2; 1)

Dạng 4* Tìm nghiệm nguyên phương trình bậc hai ẩn

Phương trình giải: Để tìm nghiệm nguyên phương trình bậc hai ẩn ax + by = c, ta làm sau:

Bước Tìm nghiệm nguyên (x0; y0) phương trình

Bước Đưa phương trình dạng a(x – x0) + b(y – y0) = từ dễ dàng tìm nghiệm nguyên phương trình cho

6A Tìm tất nghiệm nguyên phương trình 3x – 2y = 6B Tìm tất nghiệm nguyên phương trình sau: a) 5x – 11y = 4; b) 7x + 5y = 143

7A Cho phương trình 11x + 18y = 120

a) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình

b) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình 7B Cho phương trình 11x + 8y = 73

a) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình

b) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

8 Trong cặp số (0;2), (-1; -8), (1; 1), (3; -2), (1; -6), cặp số nghiệm phương trình 3x – 2y = 13 ?

9 Viết công thức nghiệm tổng quát biểu diễn tập nghiệm phương trình sau mặt phẳng tọa độ:

a) x – 3y = 6; b) 3y – 2x = 3; c) 7x + 0y = 14; d) 0x – 4y = 8; e) 2x – y = 5; g) 3y + x = 10 Cho đường thẳng d có phương trình:

(2m – 3)x + (3m – 1)y = m + Tìm giá trị tham số m để:

a) d // Ox; b) d // Oy;

c) d qua O(0;0); d) d qua điểm A(-3; -2)

11 Tìm phương trình đường thẳng d biết d qua hai điểm phân biệt M(2; 1) N(5; -1)

12 Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: a) 2x – 3y = 7; b) 2x + 5y = 15 13 Cho phương trình: 5x + 7y = 112

a) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình;

b) Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình

BÀI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn

- Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ phương trình có dạng

ax (1) ' ' ' (2)

by c a x b y c

 + =



+ =

(5)

Trong a, b, a’, b’ cá số thực cho trước a2+ b ≠ 0; a’2

+ b’2≠ 0, x y ẩn số

- Nếu hai phương trình (1) (2) có nghiệm chung (x0; y0) (x0; y0) gọi nghiệm hệ phương trình Nếu hai phương trình (1) (2) khơng có nghiệm chung hệ phương trình vơ nghiệm

- Giải hệ phương trình tìm tất nghiệm

- Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm

2 Minh họa hình học tập nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn

- Tập nghiệp hệ phương trình bậc hai ẩn biểu diễn tập hợp điểm chung hai đường thẳng d: ax +by = c d’ : a’x + b’y = c’

Trường hợp d ∩ d’ = A(x0; y0) ⇔Hệ phương trình có nghiệm (x0; y0);

Trường hợp d // d’ ⇔Hệ phương trình vô nghiệm; Trường hợp d ≡ d’ ⇔Hệ phương trình có vơ số nghiệm; - Chú ý:

Hệ phương trình có nghiệm ; ' '

a b a b

⇔ ≠

Hệ phương trình vơ nghiệm ;

' ' '

a b c a b c

⇔ = ≠

Hệ phương trình có vơ số nghiệm

' ' '

a b c a b c

⇔ = =

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

Dạng Khơng giải hệ phương trình, đốn nhận số nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn

Phương pháp giải: Xét hệ phương trình bậc hai ẩn

' ' '

ax by c a x b y c

+ =



 + =



1 Hệ phương trình có ;

' '

a b a b

⇔ ≠

2 Hệ phương trình vơ nghiệm ;

' ' '

a b c a b c

⇔ = ≠

3 Hệ phương trình có vơ số nghiệm

' ' '

a b c a b c

⇔ = =

1A Dựa hệ số a, b, c, a’, b’, c’ dự đốn số nghiệm hệ phương trình sau:

a) 3x ; 6x

y y

− =



− + = −

 b)

2x ; 3x-2

y y

− + = − 

 =



c) 2 ;

3

x y x y

 − =

 

− = −

 d)

2 11

3

x y x y

− = − 



− =



1B Không giải hệ phương trình, dự đốn số nghiệm hệ phương trình sau:

a) 3x ; 0x

y y

− =



 + = −

 b)

0x - 11 ; 2x -

y y

= − 



(6)

c) 2 ; 3 x y x y − + =   − + =  d)

2 2 x y x y  + =   − − = 

2A Cho hệ phương trình x

x y

m y m

+ = 

 + =

 Xác định giá trị tham số mđể hệ

phương trình:

a) Có nghiệm nhất; b) Vơ nghiệm; c) Vơ số nghiệm

2B Cho hệ phương trình

x

m y

x my m

− = 

 − =

 Xác định giá trị tham số mđể hệ

phương trình:

a) Có nghiệm nhất; b) Vô nghiệm; c) Vô số nghiệm

Dạng Kiểm tra cặp số cho trước có phải nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn hay không

Phương pháp giải:Cặp số (x0;y0) nghiệm hệ phương trình ,

' ' '

+ =



 + =



kh nà thỏa mãn hai phương trình hệ

3A Kiểm tra xem cặp số (-4; 5) nghiệm hệ phương trình hệ phương trình sau đây:

a) 2x ;

3x 21

y y

+ = − 

− + =

 b)

1 12 3 x y x y  − = −    + = − 

3B Hãy kiểm tra xem cặp số sau có nghiệm hệ phương trình tương ứng khơng?

a ) ( ; ) v 3x 7; 2x y y − = −   + =

 b )

1 12 3 x y x y  − = −    + = − 

4A Cho hệ phương trình

x

m y m

x m y

− + = − 



− = −

 Tìm giá trị tham số m để hệ

phương trình nhận cặp số (1; 2) làm nghiệm 4B Cho hệ phương trình: x

1

m y m

x my m

+ = 

 − = − −

 Tìm giá trị tham số mđể cặp

số (-2; 1) nghiệm phương trình cho

Dạng Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp đồ thị

Phương pháp giải:Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn

' ' '

+ =



 + =

 phương pháp giải đồ thị, ta làm sau:

Bước 1.Vẽ hai đường thẳng d: ax + by = c d': a'x + b'y = c' trên hệ

(7)

Bước2 Xác định nghiệm hệ phương trình dựa vào đồ thị vẽ Bước 1.

5A Cho hai phương trình đường thẳng:

d1: 2x – y = d2 : x – 2y = a) Vẽ hai đường thẳng d1 d2trên hệ trục tọa độ

b) Từ đồ thị dl d2, tìm nghiệm hệ phương trình:

2x - y = x y   − = 

c) Cho đường thẳng d3 : mx + (2m -1 )y = Tìm giá trị tham số mđể ba

đường thẳng d1, d2 d3đồng quy

5B Cho ba đường thẳng:

dl : x + 2y = 5,d2 : 2x + y = d3 : 2mx + (m - l)y = 3m +

a) Vẽ hai đường thẳng d1 d2trên hệ trục tọa độ

b) Từ đổ thị d1 d2tìm nghiệm hệ phương trình:

2 2x x y y + =   + = 

c) Tìm giá trị tham số mđể ba đường thẳng d1, d2 d3 đồng quy

6 Khơng giải hệ phương trình, xác định số nghiệm cua hệ phương trình sau: a) 3;

2x x y y − =   − =

 b)

2 ; 2x

x y y

+ =



 + =

 c)

3x ; 4x

y y + =   − =  d)

0x - ; 2x+ y y =    =  e)

2 2 ; 3

x y x y + =    + =  g) 0x x y y − =   − = 

7 Hãy kiểm tra xem cặp số sau có nghiệm hệ phương trình tương ứng khơng:

a) (1, 1) 2x 3; y x y − + =   + =

 b) (-2; 1)

2x y x y + = −   + = 

8 Cho hệ phương trình: x

3x

m y m

my m

+ = 

− − = − +

 Xác định giá trị tham số m để

hệ phương trình:

a) Có nghiệm nhất; b) Vô nghiệm; ô nghiệm;

c) Vô số nghiệm; d) Nhận 1; 10

9

 − 

 

  làm nghiệm Cho hai đường thẳng d1 : 2x + y = d2 : x - 4y =

a) Vẽ hai đường thẳng d1 d2trên hệ trục tọa độ

b) Từ đổ thị d1 d2,tìm nghiệm hệ phương trình:

2x y x y + =   − = 

c) Cho đường thẳng d3 : (2m + l)x + my = 2m - Tìm giá trị tham số m

để ba đường thẳng d1, d2 d3đổng quy

BÀI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

(8)

- Để giải hệ phương trình, ta biến đổi hệ cho thành hệ phương trình tương đương đơn giản

- Phương pháp cách biến đổi tương đương hệ phương trình, ta sử dụng quy tắc thế, bao gổm hai bước:

Bước1 Từ phương trình hệ phương trình cho (coi phương trình thứ nhất), ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phương trình thứ hai để phương trình (chỉ cịn ẩn)

Bước2 Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ phương trình giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta hệ phương trình tương đương với hệ phương trình cho

Dạng Giải hệ phương trình phương pháp thế

Phương pháp giải:Căn vào quy tắc thế,để giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp thế, ta làm sau:

Bước1 Từ phương trình hệ phương trình, biểu diên ẩn ẩn cịn lại, sau vào phương trình cịn lại, ta phương trình cịn ẩn

Bước2 Giải phương trình ẩn vừa có, từ suy nghiệm hệ phương trình cho

Chú ý:Để lời giải đơn giản, bước 1, ta thường chọn phương trình có

hệ số có giá trị tuyệt đối khơng q lớn (thường -1) 1A Giải hệ phương trình:

a) 3x ; 5x 23

y y

− = 

 + =

 b)

( 1) ( 1)

x y

 − − =

 

+ + =



1B Giải hệ phương trình: a) ;

2x

x y y

+ =



 − = −

 b)

2 2

x y

− − =

 

+ = − 

Dạng Giải hệ phương trình quy vê hệ phương trình hai ẩn

Phương pháp giải:Ta thực theo hai bước sau:

Bước 1.Biến đổi hệ phương trình cho hệ phương trình hai ẩn

Bước2 Giải hệ phương trình bậc hai ẩn tìm 2A Giải hệ phương trình:

a) 3( 5) 2( 3) ; 7( 4) 3( 1) 14

y x

x x y

− + − =



 − + + − − =



b) ( 1)( 1) ( 2)( 1) 2( 2) 2x

x y x y

+ − = − + −



 − − = −



2B Giải hệ phương trình: a) 5( ) 3( ) 99

3 7x 17

x y x y

x y y

+ − − =



 − = − −

 b)

( 1)( 1) ( 3)( 3)

x y xy

+ − = −



 − − = −



Dạng Giải hệ phương trình cách đặt ẩn phụ

Bước 1.Chọn ẩn phụ cho biểu thức hệ phương trình cho để hệ phương trình bậc hai ẩn dạng

(9)

Bước2 Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp thế, từ tìm nghiệm hệ phương trình cho

3A Giải hệ phương trình: a) 15 ; 35 x y x y  − =    + =  b)

4 5

1 2x

3

1 2x

x y y x y y

 − =  + − − +    + =  + − − + 

3B Giải hệ phương trình: a ) 1 ; x y x y  − =    + =  b )

2x 3x

3

21

3x 2x

y y y y  + = −  − +    − =  + − 

Dạng Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải:Ta thường sử dụng kiến thức sau: - Hệ phương trình bậc hai ẩn

' ' '

+ =



 + =

 có nghiệm

( ) 0

0

;

' ' '

ax by c x y

a x b y c

+ =



⇔  + =



- Đường thẳng d : ax + by = c qua điểm M(x0;y0)

0

ax by c

⇔ + =

4A Cho hệ phương trình 2x x by b ay + = −   − =

 Tìm giá trị a, bđể hệ phương

trình có nghiệm (l;-2)

4B Cho hệ phương trình (3a ) (4a-b+1)y = 35 x 4a 29

b x

b y

+ +



 + =

 Tìm giá trị của a, b

để hệ phương trình có nghiệm (1; -3) 5A Cho hai đường thẳng:

d1 : mx - 2(3n + 2)y = d2 : (3m - 1)x + 2ny = 56

Tìm giá trị tham số m nđể d1, d, cắt điểm I(2; -5)

5B Cho hai đường thẳng:

d1 : 5x - 4y = d2 : x + 2y = m +1

Tìm giá trị tham số mđể dx, d2 cắt điểm trục Oy Từ

đó vẽ hai đường thẳng mặt phang tọa độ

6 Giải hệ phương trình:

a ) ;

3x

x y y

− = 

 − =

 b )

1

2

5x

x y y  − =    − = 

7 Giải phương trình sau: a) 2( ) 3( ) 4;

( ) 2( )

x y x y

+ + − =



 + + − =

 b)

( 1)( 1) ( 3)( 3)

x y xy

+ − = −



 − + = −

(10)

8 Giải phương trình sau: a)

1

2

;

2

1

2

x y x y

 + =

 − −

 

 − =

 − −



b)

1

2x

1

2x

y x y y x y

 + =

 + −

 

 − = −

 + −



9 Cho hệ phương trình (3a 2) 2(2 1) 30 ( 2) 2(3 1) 20

x b y

a x b y

− + + =



 + − − = −

 Tìm giá trị của a, bđể

hệ phương trình có nghiệm (3; -1) 10 Cho hai đường thẳng

d1 : 2mx + 3y = 10 - m d2 : 2x - 2y =

Tìm giá trị tham số m để d1, d2cắt trục Ox Từ vẽ

hai đường thẳng mộ phẳng tọa độ 11 Cho hai đường thẳng:

d1 : 2x + ay = -3 d2 :bx - 2ay =

Tìm giao điểm d1 ,d2 biết d1 qua điểm A(-1;2) d1 qua điểm

B(3;4)

12 Tìm giá trị a vằb để đường thẳng y = ax + b qua điểm M(3; -5),

N(-1; 3)

13 Cho hai đường thẳng:

d1 : mx - 2(3n + 2)y = 18 d2 : (3m - 1)x + 2ny = -37 Tìm giá trị tham số m n để d1,d2cắt I(-5; 2)

BÀI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số, ta sử dụng quy tắc cộng đại số bao gổm hai bước sau:

Bước 1.Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ phương trình cho để phương trình

Bước2 Dùng phương trình ây thay thê'cho hai phương trình hệ phương trình giữ nguyên phương trình ta hệ tương tương với hệ cho

Dạng Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số

Phương pháp giải: Căn vào quy tắc cộng đại số,để giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số, ta làm sau:

Bước 1.Nhân hai vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phương trình đối nhau;

Bước 2.Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ phương trình để thu phương trình ẩn;

(11)

1A Giải hệ phương trình sau: a) 4x 16 ;

4x 24

y y

+ =



 − = −

 b)

3 15 18

x y x y  − = −   − + = 

1B Giải hệ phương trình: a) 2x 11 ;

10x 11 31

y y

− = −



 + =

 b)

7 2x 11

x y  + = −   − − = 

Dạng 2.Giải hệ phương trình quy vê hệ phương trình bậc nhất hai ân

Bước 1.Biến đổi hệ phương trình cho hệ phương trình bậc hai ẩn

Bước2 Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp cộng đại số Dạng 1.

2A Giải hệ phương trình: a) 5( ) 3( ) 99;

3 7x 17

x y x y

x y y

+ − − =



 − = − −



b) ( )( 1) ( )( 1) 2( 1) ( )( 1) ( )( 2) 2x

x y x x y x xy

y x y y x y y

+ − = − + + +



 − + = + − −



2B Giải hệ phương trình sau: a) 4x ; 15 14 x y y x y −  + =   −  + = 

b) ( 3)(2 5) (2x 7)( 1) (4x 1)(3 6) (6x 1)(2 3)

x y y

y y

− + = + −



 + − = − +



Dạng Giải hệ phương trình cách đặt ẩn phụ

Bước 1.Chọn ẩn phụ cho biểu thức hệ phương trình cho để hệ phương trình bậc hai ẩn dạng

Bước2 Giải hệ phương trình bậc hai ân phương pháp thế, từ tìm nghiệm hệ phương trình cho

3A Giải hệ phương trình: a) ; 1 x y x y  + =  − +    − =  − +  b)

7

2

3

4

2

x y x y x y x y

 − =  − + + −    + =  − + + − 

3B Giải hệ phương trình: a) 15 ; 35 x y x y  − =    + = 

b) 13

x x y  − + =   − − = 

(12)

-Hê phương trình bâc hai ẩn

' ' '

+ =



 + =

 có nghiệm

(x0;y0) ⇔

' ' '

+ =



 + =



-Đường thẳng d:ax + by = c đi qua điểm M(x0; y0)

0

ax by c

⇔ + =

4A Cho đường thẳng d : y = (2 + 1)x + 3n -

a) Tìm giá trị n để d đi qua điểm M(-l;-2) cắt Ox tại điểm có hoành

độ

b) Cho biết ra, n thỏa mãn 2m - n =1, chứng minh d ln qua điểm cố

định Tìm điểm cố định

4B Cho đường thẳng d : 2ax - (3b + 1)y - a - 1 Tìm giá trị a và b để d đi qua hai điểm M(-7;6) N(4;-3)

5A Cho ba đường thẳng: d1: 5x - 17y = 8, d2:15x + 7y = 82 d3: (2m - 1)x

– 2my = m + Tìm giá trị để ba đường thẳng đồng quy

5B Cho đường thẳng d:y = (2ra + 3)x – 3m + Tìm giá trị tham số m để dđi qua giao điểm hai đường thẳng d1 : 2x - 3y = 12 d2, : 3x + 4y =

6 Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số: a ) 2x 5;

3x

y y

− = − 

− + =

 b )

2

x y x y x y + −  =    = + 

7 Giải hệ phương trình sau: a) 2( ) 3( ) 9;

5( ) 7( )

x y x y

+ + − =



 + − − =

 b)

( 1)( 3) 27 ( 2)( 1)

x y xy

− + = +



 − + = +



8 Giải hệ phương trình: a) 1 ; x y x y  + = −    − =  b)

7

2 x y x y  − =  − +    + =  − + 

9 Cho hệ phương trình: x x by b ay + = −   − = −

 Xác định hệ số a b biết hệ

phương trình :

a) Có nghiệm (l;-2); b) Có nghiệm ( 1; − )

10 Cho đường thẳng d : m x - 2ny = -3 Tìm giá trị tham số m n đế

4m - 5n = d qua điểm /(-5; 6)

(13)

2x 1 4x 2 2x

2x 2

y y

y

+ + − +

 − =



 − −

 − = − + −



cũng nghiệm phương trình 6mx - 5y = 2m -

BÀI HỆPHƯƠNG TRÌNH BẬCNHẤT HAI ẨN

CHỨA THAM SỐ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Cho hệ phương trình bậc nhât hai ẩn

' ' '

ax by c a c b y c

+ =



 + =

 (*)

1 Để giải hệ phương trình (*), ta thường dùng phương pháp phương pháp cộng đại số

2 Từ hai phương trình hệ phương trình (*), sau dùng phương pháp

hoặc phương pháp cộng đại số, ta thu phương trình (một ẩn) Khi số nghiệm phương trình sốnghiệm hệ phương trình cho.

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Giải biện luận hệ phương trình

Phương pháp giải: Để giải biện luận hệ phương trình (*), ta làm sau:

Bước 1.Từ hai phương trình (*), sau dùng phương pháp cộng đại số, ta thu phương trình (chi cịn ẩn)

Bước2 Giải biện luận phương trình mới, từ đến kết luận giải biện luận hệ phương trình cho

1A Cho hệ phương trình

x

x my m

m y m

+ =



 + = −

 (m tham số)

a) Tìm giá trị để hệ phương trình: i) Có nghiệm Tìm nghiệm đó; ii) Vơ nghiệm;

iii) Vô số nghiệm

b) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm (x; y): i) Hãy tìm giá trị nguyên để x y nguyên

ii) Tìm hệ thức liên hệ x ykhông phụ thuộc

1B.Cho hệ phương trình x

8x

m y

my m

+ = 

 + = +

 (m tham số)

a) Giải biện luận hệ phương trình cho theo

b) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm (x; y):

i) Tìm hệ thức liên hệ xvà y không phụ thuộc ra; ii) Tìm giá trị để: 4x + 3y =

2A.Cho hệ phương trình: x

4x

m y m

y m

− = 

 − = +

 (m tham sổ)

a) Giải biện luận hệ phương trình cho theo

b) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm (x; y): i) Chứng minh 2x + y = 3với giá trị m;

(14)

2B.Cho hệ phương trình 2

x

x y

m y m

+ =



 − =

 (m tham số)

a) Giải biện luận hệ phương trình cho theo m.

b) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm (x; y): i) Tìm hệ thức liên hệ x ykhông phụ thuộc m;

ii) Tìm điều kiện mđể x> y >

Phương pháp giải:Một số toán thường gặp dạng toán là:

Bài toán 1.Tìm điều kiện nguyên tham số để hệ phương trình có nghiệm

(x;y), x y số ngun

Bài tốn2 Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm

(x; y) thỏa mãn hệ thức cho trước 3A Cho hệ phương trình x

5x

m y

my m

− = − 

 − = −

 (mlà tham số) Tìm giá trị

ngun m để hệ phương trình có nghiệm ngun Tìm nghiệm ngun

3B Cho hệ phương trình: x

2 4

m y

x my m

+ = 

 + = −

 (m tham số) Tìm giá trị m

nguyên để hệ phương trình nghiệm (x; y) cho x y nguyên 4A Cho hệ phương trình: x + y

4

m x my

= 

 + =

 (m tham số) Tìm điều kiện tham

số m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x > y > 4B Cho hệ phương trình: x -

2

m y x my

= 

 + =

 (m tham số) Tìm giá trị m để

hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện x > y < Cho hệ phương trình: ( 1)

2

m x my m

x y m

− − = −



 − = +

 (m tham số) Tìm giá trị

tham số m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) biểu thức S = x2 + y2đạt giá trị nhỏ

x

m y

− + =



 + =

 (m tham số)

a) Giải hệ phương trình = 1;

b) Tìm giá trị tham số để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn x - y -

7 Cho hệ phương trình x

1

m y m

x my m

+ = −



 + = +

 (m tham số) Tìm giá trị tham số

của để hệ phương trình: a) Có nghiệm nhất; b) Vô nghiệm;

(15)

8 Cho hệ phương trình: ( 1)

4x

x m y

y

− + =



 − = −

 (m tham số) Tìm giá trị m nguyên

để hệ phương trình nghiệm (x; y) sao cho x y nguyên Cho hệ phương trình:

x

x my m

m y

− = −



 + =

 (m tham số) Tìm giá trị m nguyên

để hệ phương trình nghiệm (x; y) cho x và y nguyên 10 Cho hệ phương trình:

2x

mx y my

− = 

 + =

 (m tham số)

a) Giải biện luận hệ phương trình cho;

b) Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình có nghiệm (x; y)

thỏa mãn x + y = -

2

m m +

11 Cho hệ phương trình:

x+( 1)

mx my m

m y

+ = +



 + =

 (m tham số)

a) Giải biện luận hệ phương trình cho;

b) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm (x;y), gọi M(x;y)

điểm tương ứng với nghiệm (x; y) hệ phương trình

i) Chứng minh M ln nằm đường thẳng cố định m thay đổi

ii) Tìm giá trị m để M thuộc góc phần tư thứ nhất;

iii) Xác định giá trị m để M thuộc đường trịn có tâm gốc tọa độ

bán kính

BÀI GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Các bước giải toán cách lập hệ phương trình: Bước 1.Lập hệ phương trình:

- Chọn ẩn số đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho ẩn số;

- Biểu diên đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết; - Lập hệ phương trình biểu thị tương quan đại lượng

Bước2 Giải hệ phương trình vừa tìm

Bước 3.Kết luận:

- Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn

- Kết luận toán

Dạng Bài toán vê quan hệ số

Phương pháp giải:Ta sử dụng số kiên thức liên quan sau đây:

1 Biểu diễn số có hai chữ số: ab - 10a + btrong alà chữ số hàng chục

< a ≤ 9, a a∈ N, b chữ số hàng đơn vị < b ≤ 9,b ∈ N

2 Biểu diễn số có ba chữ số: abc = 100a + 10b + c, đó, a chữ số hàng

trăm < a ≤ 9,a∈ N, b chữ số hàng chục 0 ≤ b ≤ 9, b ∈ N, c chữ

(16)

1A Cho số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số số lớn số cho 63 Biết tổng số cho số tạo thành 99, tìm số cho

1B Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị 2, viết xen chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị số tăng thêm 630 đơn vị

Dạng Bài tốn làm chung, làm riêng cơng việc

Phương pháp giải: Một số lưu ý giải tốn làm chung, làm riêng cơng việc:

1 Bài tốn làm chung, làm riêng cơng việc cịn có tên gọi khác tốn

suất.

2 Có ba đại lượng tham gia vào tốn là: - Tồn cơng việc;

- Phần công việc làm bong đơn vị thời gian (năng suất); - Thời gian hoàn thành phần tồn cơng việc

3 Nếu đội làm xong cơng việc xngày ngày đội làm

x công việc

4 Thường coi tồn cơng việc

2A Hai bạn A Bcùng làm chung cơng việc hoàn thành sau ngày

Hỏi Alàm ngày nghỉ Bhồn thành nốt cơng việc

thời gian bao lâu? Biết làm xong cơng việc Blàm lâu

A ngày

2B Hai đội xe chở cát để san lâp khu đất Nếu hai đội làm 18 ngày xong cơng việc Nếu đội thứ làm ngày, sau đội thứ hai làm tiếp ngày 40% cơng việc Hỏi đội làm xong cơng việc?

3A Hai vịi nước chảy vào bê sau 48 phút bê đầy Nếu vòi I chảy bong giờ, vòi II chảy hai vịi

chảy

4bể Tính thời gian mơi vịi chảy đầy bể

3B.Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước sau 55 phút đầy bể Nếu để chảy vịi thứ chảy đầy bể nhanh vịi thứ hai Tính thời gian vịi chảy mà đầy bể

Dạng Bài toán chuyên động vật

Phương pháp giải:Một số lưu ý giải toán chuyển động của vật: Có ba đại lượng tham gia quãng đường (s), vận tốc (v)và thời gian (t)

2 Ta có cơng thức liên hệ ba đại lượng s, v và t là: s = v.t.

4A Một ôtô quãng đường ABvới vận tốc 50km/giờ,rồi tiếp quãng đường BCvới vận tốc 45km/giờ.Biết quãng đường tổng cộng dài 165kmvà thời gian

ôtô quãng đường ABít thời gian qng đường BC 30 phút Tính thời gian tô đoạn đường

(17)

chậm lại 10km đến nơi chậm Tính vận tốc xe lúc đầu,

thời gian dự định chiều dài quãng đường AB.

5A Một canô chạy sông giờ, xi dịng 108kmvà ngược dịng

63km.Một lần khác canơ xi dịng 81 kmvà ngược dịng

84km.Tính vận tốc nước chảy vạn tốc canơ lúc nước yên lặng

5B Một canô xi dịng theo khúc sơng ngược dòng vòng giờ, 380km.Một lần khác, canơ xi dịng

1 ngược dòng vòng 30 phút 85km. Hãy tính vận tốc thật (lúc

nước yên lặng) canơ vận tốc dịng nước (biết vận tốc thật canơ vận tốc dịng nước hai lần nhau)

6A Một khách du lịch ơtơ giờ, sau tiếp tàu hỏa quãng đường dài 640/cm Hỏi vận tôc tàu hỏa ôtô, biết tàu hỏa nhanh ôtô 5km?

6B Hai người khách du lịch xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách 38km.Họ ngược chiều gặp sau Hòi vận tốc người, biết

rằng đến gặp nhau, người thứ nhiều người thứ hai 2km?

Dạng Bài toán tỉ số phần trăm

Phương pháp giải:Chú ý rằng, nêu gọi số sản phẩm x số sản phẩm

vượt mức a% (100 + a)%.x.

7A Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ Trên thực tế, xí nghiệp vượt mức 12%, xí nghiệp vượt mức 10% hai xí nghiệp làm tổng cộng 400 dụng cụ Tính số dụng cụ xí nghiệp phải làm

7B Trong tuần đầu hai tổ sản xuất 1500 quần áo Sang tuần thứ hai, tổ

Avượt mức 25%, tổ Bgiảm mức 18% nên tuần này, hai tổ sản xuất

được 1617 Hỏi tuần đầu tô sản xuất bao nhiêu?

Dạng Bài tốn có nội dung hình học

Phương pháp giải:

-Với hình chữ nhật:

Diện tích = Chiều dài xChiều rộng Chu vi = (Chiều dài + Chiều rộng) x2 -Với tam giác:

Diện tích = (Đường cao xCạnh đáy): Chu vi = Tổng độ dài ba cạnh 8A Một tam giác có chiều cao

4 cạnh đáy Nêu chiều cao tăng thêm 3ảm

và cạnh đáy giảm 3dmthì diện tích tăng thêm 12 dm2 Tính chiều cao

và cạnh đáy tam giác

8B.Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 48m Nếu tăng chiều rộng lên bốn lẩn chiều dài lên ba lần chu vi khu vườn 162m Hãy tìm diện tích khu vườn ban đầu

Dạng Bài toán thay đơi thừa số tích

9A Một ôtô từ Ađến Bvới vận tốc thời gian dự định Nếu ơtơ tăng vận tốc

8km/hthì đến Bsớm dự định Nếu ôtô giảm vận tốc 4km/h đến B

(18)

9B Trong hội trường có số băng ghế, băng ghế quy định ngồi số người Nếu bớt băng ghế băng ghế ngồi thêm người thêm chỗ Nếu thêm băng ghế băng ghế ngồi bớt người giảm chỗ Tính số băng ghế hội trường

10 Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720m2, tăng chiều dài thêm 6m giảm chiều rộng 4mthì diện tích mảnh vườn khơng đổi Tính

kích thước mảnh vườn

11 Một hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài thêm 2m chiều rộng 3m diện tích tăng 100m2

Nêu giảm chiều dài chiều rộng 2ra diện tích giảm 68m2 Tính diện tích rộng

12 Hai vòi nước chảy chung vào bể khơng có nước 12 đầy bể Nếu để vịi thứ chảy giợ khóa lại mở tiếp vịi thứ hai chảy 15 75% thể tích bể Hỏi vịi chảy đầy bể?

13 Hai công nhân làm chung hồn thành cơng việc ngày Người thứ làm nửa công việc, sau người thứ hai làm nốt nửa cơng việc cịn lại tồn cơng việc hoàn thành ngày Hỏi người làm riêng hồn thành cơng việc ngày?

14 Một canơ ngược dịng từ bến A đến bến B với vận tốc riêng 10km/giờ, sau lại xi từ bến B trở bên A Thời gian canơ ngược dịng từ A đến B nhiều thời gian canơ xi dịng từ B trở A 40 phút Tính khoảng cách hai bêh A B Biết vận tơc dịng nước 5km/giờ,vận tốc riêng canơ lúc xi dịng lúc ngược dòng

15 Hai xe máy khỏi hành lúc từ hai tỉnh A B cách 90km,đi

ngược chiều gặp sau 1,2 (xe thứ khởi hành từ A, xe thứ hai khởi hành từ B) Tìm vận tốc xe Biết thời gian để xe thứ hết quãng đường AB thời gian để xe thứ hai hết quãng đường AB

16 Hai địa điểm A B cách 200km.Cùng lúc có ơtơ từ A

một xe máy từ B Xe máy ôtô gặp C cách A khoảng 120km.Nếu ôtô khởi hành sau xe máy gặp D cách c

khoảng 24km.Tính vận tốc xe máy ơtơ

17 Có hai phân xưởng, phân xưởng I làm 20 ngày, phân xưởng II làm 15 ngày 1600 dụng cụ Biết số dụng cụ phân xưởng I làm ngày số dụng cụ phân xưởng II làm ngày Tính số dụng cụ phân xưởng làm

18 Trong kì thi, hai trường A, B có tổng cộng 350 học sinh dự thi Kết hai trường có 338 học sinh trúng tuyển Tính trường A có 97% trường B có 96% số học sinh trúng tuyển Hỏi trường có học sinh dự thi

19 Người ta trộn 4kgchất lỏng loại I với 3kgchất lỏng loại II hỗn

họp có khối lượng riêng 700kg/m3.Biết khối lượng riêng chất lỏng loại I

(19)

20 Trong buổi liên hoan văn nghệ, phòng họp chi có 320 chỗ ngồi, số người tới dự hơm có tới 420 người Do phải đặt thêm dãy ghế thu xếp để dãy ghế thêm người ngồi đủ Hỏi lúc đầu phịng có dãy ghế?

ƠN TẬP CHƯƠNG III

Xem phần Tóm tắt lý thuyếttừ Bài đến Bài chương

1A Cho hệ phương trình:

2

x my x y

+ =



 − =

 (m tham số)

a) Giải hệ phương trình với m =

b) Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình cho:

i) Có nghiệm nhất; ii) Vơ nghiệm;

iii) Vơ số nghiệm

1B Cho hệ phương trình mx

3x

y my

− = 

 + =

 (m tham số)

a) Chứng minh hệ phương trình có nghiệm với giá trị tham số m.

b) Gọi (x;y) nghiệm hệ phương trình Tìm giá trị m để:

i)

2

1 ;

m x y

m

+ = −

+ ii)

0

x y

>   < 

2A Cho hệ phương trình:

x

x my m

m y m

+ = +



 + =

 (m tham số)

a) Giải biện luận hệ phương trình cho theo tham số m.

b) Tìm giá trị mngun để hệ phương trình có nghiệm (x; y)với x

và y số nguyên

c) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc m.

2B Cho hệ phương trình: 3x

3

y m x my

+ =



 + =

 (m tham số)

a) Giải hệ phương trình với m = -3

b) Giải biện luận hệ phương trình cho

c) Tìm giá trị mhệ phương trình có nghiệm (x; y)thỏa mãn điều kiện 3x + 4y = -5

3A Một hình chữ nhật có chu vi 110m Hai lần chiều dài ba chiều rộng 10m Tính diện tích hình chữ nhật

3B Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m.Người ta làm lối xung

quanh vườn (thuộc đất vườn) rộng 2m, diện tích cịn lại 4256m2 Tính kích thước khu vườn

(20)

4B Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 hàng đến đị, điểm quy định Vì đội có xe phải điều làm việc khát nên xe phải chở thêm 0,7 hàng Tính số xe độ lúc đẩu?

5A Một canơ xi từ Ađến Bvới vận tốc xi dịng 30km/h,sau lại ngược

từ Bvề A. Thời gian xi thời gian ngược 20 phút Tính khoảng

cách hai bến A Bbiết vận tốc dòng nước 5km/hvà vận tốc riêng

của canô xuôi ngược

5B Một canô chạy sông giờ, xi dịng 81A:m ngược dịng 105km.Một lần khác chạy khúc sơng đó, canơ chạy giờ,

xi dịng 54kmvà ngược dịng 42km.Hãy tính vận tốc xi dịng ngược

dịng canơ, biết vận tốc dòng nước vận tốc riêng canô không đổi 6A Bạn Tuấn vào cửa hàng Bách hóa hỏi mua đơi giày quần áo thể thao, giá tiền tổng cộng 148 000 đồng Một tuần sau trở lại, giá đôi giày giảm 20%, giá quần áo thể thao giảm 40% Bạn Tuân đưa cho cô bán hàng 110 000 đồng; cô bán hàng trả lại cho bạn Tuấn 900 đồng Hỏi giá tiền đôi giày, giá tiền quần áo thể thao chưa giảm giá bao nhiêu?

6B Tháng thứ hai tô sản xuất 900 chi tiết máy Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 10% so với tháng thứ Vì hai tơ sản xuất 1010 chi tiết máy Hỏi tháng thứ tô sản xuất chi tiết máy?

2x

m y

y

+ = 

 − =

 (m tham số)

b) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) cho x, ynguyên dương

8 Cho hệ phương trình: 2x

2x

y m y

+ =



 − =

 (m tham số)

b) Tìm giá trị mđể nghiệm (x; y) hệ phương trình thỏa mãn điều

kiện x > 0, y >

9 Cho hệ phương trình: ( 1)

( 1)

a x y a

x a y

− + =



 + − =

 (alà tham số)

a) Giải biện luận hệ phương trình cho theo a.

b) Trong trường hợp hệ có nghiệm (x; y), tìm: i) Hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc a.

ii) Các giá trị a để x v y thoả mãn 6 x2 - 19y = 10 Cho hệ phương trình 2x

2

y m

x y m

 − = +

 

− = +

 ( m tham số không âm)

a) Giải hệ phương trình với m =

b) Tìm giá trị m cho biểu thức p - x + y đạt giá trị nhỏ

11 Cho hệ phương trình x 10

4

m y m

x my

+ = −



 + =

 (mlà tham số)

(21)

b) Giải biện luận hệ phương trình cho theo tham số

c) Trong trường hợp hệ có nghiệm (x; y), tìm giá trị để:

i) y - 5x = -4; ii) x < y >

12 Tìm hai số biết tổng chúng 17, tổng bình phương số 157 13 Một ruộng hình chữ nhật có diện tích 100m2.Tính độ dài cạnh

của ruộng, biết tăng chiều rộng cua ruộng lên 2m giảm chiều dài ruộng 5m diện tích thừa ruộng tăng thêm 5m2.

14 Một ruộng hình tam giác có diện tích 180m2 Tính chiều dài cạnh đáy ruộng, biết tăng cạnh đáy thêm 4m chiều cao giảm diện tích khơng đổi

15 Để hồn thành cơng việc, hai tổ phải làm chung Sau làm chung tổ hai bị điều làm việc khác, tơ hồn thành nốt cơng việc cịn lại 10 Hỏi tơ làm riêng sau hồn thành cơng việc?

16 Một người xe máy từ Ađến B cách 120km:ra với vận tốc dự định trước Sau 1/3 quãng đường ABngười tăng vận tốc thêm

10km/giờtrên qng đường cịn lại Tìm vận tốc dự định thời gian lăn bánh đường, biết người đến B sớmhơn dự định 24 phút

17 Một người dự định xe đạp từ Ađến B cách 36kmtrong thời gian

định Sau nửa quãng đường người dừng lại nghỉ 18 phút Do đó, để đến Bđúng hẹn người tăng vận tốc thêm 2km/giờtrên quãng đường cịn

lại Tính vận tốc ban đầu thời gian xe lăn bánh đường

18 Một công nhân dự định làm 150 sản phẩm thời gian định Sau làm với suât dự kiến, người cải tiến thao tác nên tăng suất sản phẩm hồn thành 150 sản phẩm sớm dự kiến 30 phút Hãy tính st dự kiến ban đầu

19 Có hai loại quặng chứa 75% sắt 50% sắt Tính khôi lượng loại quặng đem trộn để 25 quặng chứa 66% sắt

20 Có ba thùng chứa tất 80 lít dầu Thùng thứ chứa nhiều thùng thứ hai 10 lít Nêu 26 lít từ thùng thứ sang thùng thứ ba, số dầu thùng thứ hai thùng thứ ba Hỏi số dầu ban đầu ỏ thùng thứ thùng thứ hai?

21 Trong phịng họp có số ghế dài Nếu xếp mơi ghế người có người khơng có chỗ ngồi Nếu xếp ghế người thừa ghế Hỏi phịng học có ghế có người dự họp?

ĐỂ KIỂM TRA CHƯƠNG III

Thời gian làm cho đề 45 phút

ĐỀ SỐ 1 PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)

Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng:

(22)

A x 4;

y R

=   ∈

 B

4 ;

x y R

= −   ∈

 C 4;

x R y

∈   =

 D

x R y

∈   = − 

Câu 2.Phương trình kết hợp với phương trình x -y = để

được hệ phương trình bậc ẩn có vô số nghiệm?

A 2y = 2x-2; B.y = x + 1;

C.2y = 2-2x; D y = 2x-2

Câu 3.Hệ phương trình: 2x

4x

y y

− = 

 − =

 có nghiệm là:

A (2; -3); B (2; 3); C (0; 1); D (-1;1)

Câu 4.Phương trình sau phương trình bậc hai ẩn?

A xy + x = 3; B 2x - y = 0; C x2 + 2y = 1; D x + =

PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)

Bài (2,0 điểm)Giải hệ phương trình sau:

a) ;

2x 15

x y y

− =



 + =

 b)

3

4

1

2

3

1

x y x y

 + =

 + −

 

 + =

 + −



Bài 2.(2,5 điểm) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng chữ số

Nếu đổi chỗ hai chữ số số nhỏ số cho 18 đơn vị

Bài 3.(3,5 điểm) Cho phương trình x + my - m +1 với m tham số.

a) Với m= 1, tìm nghiệm tổng quát vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm

của phương trình hệ trục tọa độ

b) Tìm m để phương trình cho phương trình 2x - y = khơng có nghiệm chung

c) Tìm m để phương trình cho với phương trình mx + y = 3m -1 có ghiệm chung cho tích x.y có giá trị nhỏ

ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)

Câu 1.Cho hai đường thẳng d: y = 2x + d' :y = ax + Ta có d // d' d' có phương trình là:

A y = 3x + B y = 5x + C y = -2x + D Cả sai

Câu 2.Phương trình 4x - 3y = -1 nhận cặp số sau nghiệm:

A (1;-1) B (-1;-1) C (1;1) D (-1; 1)

Câu Với giá trị k phương trình x - ky = -1nhận cặp số (1; 2) làm nghiệm

A k = B k = C k = - D k =

Câu 4.Với giá trị a hệ phương trình

2

y ax y

= +

  + =

 vô nghiệm

A a = B a = l C.a = D.a =

(23)

a) ( 1)( 1)

( 3)( 3)

x y xy

+ − = −



 − − = −

 b)

( 1) ( 1)

x y

 − − =

 

+ + =



c)

15

4

35

x y x y  − = 



 + = 

Bài 2 (3 điểm)Hai đội xe chở cát để san lấp khu đất Nếu hai đội làm 18 ngày xong cơng việc Nếu đội làm ngày, đú đội thứ hai làm tiếp ngày 40% cơng việc Hỏi đội làm xong cơng việc?

Bài 3.(2,0 điểm) Cho hệ phương trình: ( 1)

( 1)

a x y a

x a y

− + =



 + − =

 có nghiệm (x;

y) (a tham số)

a) Tìm hệ thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào a b) Tìm giá trị a thỏa mãn 6x2

+ 17y =

CHƯƠNG IV HÀM SỐ y = ax2(a ≠ 0)

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

BÀI HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0)VÀ ĐỒ THỊ

1 Sự đồng biến nghịch biến hàm số

a) Nếu a > hàm số y = ax2(a ≠ 0) nghịch biến x < đồng biến x >

b) Nếu a < hàm số y = ax2(a ≠ 0)đồng biến x < nghịch viến x

>

2 Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số y = ax2(a ≠ 0)là parabol qua gốc tọa độ O, nhận Oy

làm trục đối xứng (O đỉnh parabol)

- Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh, O điểm thấp đồ thị - Nếu a < đồ thị nằm phía trục hồnh, O điểm cao đồ thị

Dạng Tính giá trị hàm số điểm cho trước

Phương pháp giải: Giá trị hàm số y = ax2tại điểm x = x0 y0 = ax02. 1A Cho hàm số y = f(x) = -2x2

a) Tìm giá trị hàm số x nhận giá trị -2; -2 b) Tìm giá trị a, biết f(a) = -10 +

c) Tìm điều kiện b, biết f(b) ≥ 4b + 1B Cho hàm số y = f(x) = 3x2

a) Tìm giá trị hàm số x nhận giá trị -3; 2và - b) Tìm a biết f(a) = 12 +

c) Tìm a biết f(b) ≥ 6b + 12

(24)

a) Đồ thị hàm số qua điểm A 4; ; 3

     

b) Đồ thị hàm số qua điểm (x0; y0) với (x0; y0) nghiệm hệ phương trình

2x 2

y

x y

+ = − 



− =



2B Cho hàm số y = (2m – 1)x2(m tham số) a) Tìm giá trị m để y = -2 x = -1

b) Tìm giá trị m biết (x;y) thỏa mãn:

i) ;

2x

x y y

− = 

 − =

 ii)

2

x y

+ =  

− = −



3A Một vật rơi độ cao so với mặt đất 100m Quãng đường chuyển động S (đơn vị tính mét) vật rơi phụ thuộc vào thời gian t (đơn vị tính giây) cho công thức S = 4t2

a) Hỏi sau khoảng thời gian giây giây vật cách mặt đất mét?

b) Sau thời gian vật tiếp đất?

3B Một khách du lịch chơi trò Bungee từ tỉnh tháp Macao coa 234 mét so với mặt đất Quãng đường chuyển động S (đơn vị tính mét) người rơi phụ thuộc vào thời gian t (đơn vị tính giây) cho công thức: 13

S= t a) Hỏi sau khoảng thời gian giây du khách cách mặt đất mét?

b) Sau khoảng thời gian du khách cách mặt đất 71,5 mét?

Dạng Xét tính đồng biến nghịch biến hàm số

Phương pháp giải: Xét hàm số y = ax2 (a ≠ 0) Ta có:

1 Nếu a > hàm số nghịch viến x < đồng biến x > Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x > 4A Cho hàm số y = (3m + 2)x2 với

m≠ − Tìm giá trị tham số m để hàm số:

a) Đồng biến với x < b) Nghịch biến với x < c) Đạt giá trị nhỏ d) Đạt giá trị lớn

4B Cho hàm số y = (3m – 4)x2với

m≠ Tìm giá trị tham số m để hàm số:

a) Nghịch biến với x > b) Đồng biến với x > c) Đạt giá trị lớn d) Đạt giá trị nhỏ 5A Cho hàm số y = (-m2

– 2m – 3)x2

(25)

b) Tìm giá trị tham số m để

x=

2

x= − 11

y= −

5B Cho hàm số y =

( 2m− −3 2)x với 3; 2

m≥ m≠ Tìm giá trị tham số

m để hàm số đồng biến với x > nghịch biến với x <

Dạng Vẽ đồ thị hàm số

Phương pháp giải: Ta thực bước sau:

Bước Lập bảng giá trị đặc biệt tương ứng x y hàm số y = ax2 (a ≠ 0)

Bước Biểu diễn điểm đặc biệt mặt phẳng tọa độ vẽ đồ thị dạng parabol hàm số qua điểm đặc biệt

6A Cho hàm số y = ax2(a ≠ 0) có đồ thị parabol (P)

a) Xác định a để (P) qua điểm A(− 2; 4) b) Với giá trị a vừa tìm trên, hãy:

i) Vẽ (P) mặt phẳng tọa độ;

ii) Tìm điểm (P) có tung độ 2; iii) Tìm điểm (P) hai trục tọa độ 6B Cho hàm số y = (m – 1)x2

(m ≠ 0)có đồ thị parabol (P)

a) Xác định a để (P) qua điểm A(− 3;1) b) Với giá trị m vừa tìm trên, hãy:

i) Vẽ (P) mặt phẳng tọa độ;

ii) Tìm điểm (P) có tung độ 1;

iii) Tìm điểm (P) có tung độ gấp đơi hồnh độ 7A Cho hàm số y = x2có đồ thị parabol (P)

a) Vẽ (P) mặt phẳng tọa độ;

b) Trong điểm A(1; 2), B(-1;-2) C(10; -200), điểm thuộc (P), điểm không thuộc (P)?

Dạng Tọa độ giao điểm parabol đường thẳng

Phương pháp giải :Cho parabol (P) : y = ax2(a ≠ 0)và đường thẳng d : y = mx +

n Để tìm tọa độ giao điểm (nếu có) (P) d ta làm sau: Bước Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) d:

ax2 = mx + n (*)

Bước Giải phương trình (*) ta tìm nghiệm (nếu có) Từ ta tìm tọa độ giao điểm (P) d

Chú ý: Số nghiệm (*) số giao điểm (P) d, cụ thể: - Nếu (*) vơ nghiệm d khơng cắt (P)

- Nếu (*) vơ nghiệm kép d tiếp xúc với (P)

- Nếu (*) có nghiệm phân biệt d cắt (P) điểm phân biệt 8A Cho parabol (P) : y = x2và đường thẳng d :

2

y= x a) Vẽ (P) d hệ trục tọa độ

b) Xác định tọa độ giao điểm (P) d

c) Dựa vào đồ thị, giải bất phương trình

(26)

a) Vẽ (P) d hệ trục tọa độ b) Xác định tọa độ giao điểm (P) d c) Dựa vào đồ thị, giải bất phương trình: 2x2

– x – < 9A Cho hàm số y = 2x2có đồ thị (P)

a) Vẽ (P) hệ trục tọa độ

b) Tìm điểm thuộc (P) thỏa mãn:

i) Có tung độ ii) Cách hai trục tọa độ c) Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm phương trình 2x2

– 2m + = theo m

9B Cho parabol (P) : y =

2x

2 a) Vẽ (P) mặt phẳng tọa độ

b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình x2 – 2m + =

10 Không vẽ đồ thị tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số sau: (m tham số)

a) y = x2 y =

2x; b) y = x

2

y = 2x - 1; c) y = x2 y = 2x -3; d) y = -1

2x

2

y = mx +1

2m

2 – 11 Cho hàm số y =

4x

2 Xác định giá trị tham số m để điểm sau thuộc đồ thị hàm số:

a) A(2; m); b) B(− 2; );m c) ( ; ).3

C m 12 Cho hàm số y = (m2

+ 2m + 3)x2(m tham số)

a) Chứng minh hàm số nghịch biến với x < đồng biến với x >

b) Tìm giá trị m biết x = x = -1 y =

13 Cho hàm số

( 3)

y= m+ − x với 4;

3

m≥ − m≠ Tìm giá trị tham số m để hàm số:

a) Nghịch biến với x > b) Đồng biến với x > 14 Cho hàm số y = (3m + 1)x2với

m≠ − Tìm giá trị cua tham số m để đồ thị hàm số:

a) Đi qua điểm A 1;

     

b) Đi qua điểm B(x0;y0) với (x0;y0) nghiệm hệ phương trình:

3x 4x

y y

− =



− + = −



15 Mọt cá heo biểu diễn nhảy lên khỏi mặt nước khoảng 4m nhảy xuống Quãng đường nhảy xuống S (đơn vị mét) cá heo phụ thuộc vào thời gian t (đơn vị tính giây) cho công thức: S = t2

(27)

a) Hỏi sau khoảng thời gian 1,5 giây tính từ lúc cá heo nhảy xuống, cá heo cách mặt nước mét ?

b) Sau thời gian cá heo tiếp nước tính từ lúc cá heo nhảy xuống 16 Cho hàm số y = ax2có đồ thị parabol (P)

a) Tìm hệ số a biết (P) qua điểm M(-2; 4)

b) Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ điểm N(2; 4) c) Vẽ (P) d xác định câu a) b) hệ trục tọa độ d) Tìm tọa độ giao điểm (P) d câu a) b)

17 Cho parabol (P) : y = 2x2 d : y = 2x

a) Vẽ (P) d hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm (P) d

c) Dựa vào đồ thị, giải bất phương trình:

2x

≤

BÀI CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 Phương trình bậc hai ân

- Phương trình bậc hai ẩn(hay cịn gọi phương trình bậc hai) phương

trình có dạng:

ax2 + bx + c = (a ≠ 0)

trong a, b, c sothực cho trước, x ẩn số

- Giải phương trình bậc hai ẩnlà tìm tập nghiệm phương trình bậc

hai ẩn

2 thức nghiệm phương trình bậc hai

Trường hợp 1.Nếu ∆ < phương trình vơ nghiệm. Trường hợp Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép:

1

2a

b x =x = −

Trường hợp 3. Nếu A > phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1,2

2a

b x = − ± ∆

3 Cơng thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) với b = 2b'.Gọi biệt thức A' =

b'2 - ac.

Trường hợp 1.Nếu A' < phương trình vơ nghiệm. Trường hợp 2.Nếu A' = phương trình có nghiệm kép:

1

'

b x x

a = = −

Trưòmg hợp 3.Nếu ∆' > phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1,2

' '

b x

a − ± ∆ =

Chú ý:Trong trường hợp hệ số bcó dạng 2b' ta nên sử dụng để giải phương

trình cho lời giải ngắn gọn

(28)

Dạng Không dùng công thức nghiệm, giải phương tri bậc hai ẩn cho trước

Phương pháp giải:Ta sử dụng cách sau:

Cách 1.Đưa phương trình cho dạng tích

Cách2 Đưa phương trình cho phương trình mà vế trái bình phương

cịn vế phải số.

1A Giải phương trình:

a) 5x2 -7x = 0; b ) - x2+ = 0; c) x2 - x + = 0; d) 3x2 + 12x + = 1B Giải phương trình:

a)

3x 6x 0;

− + = b)

0;

5x

− − = c) x2 – x – = 0; d) 3x2 + 6x + =

2A Với giá trị tham số mthì phương trình 4x2 + m2x + 4m = có nghiệm x = ?

2B Cho phương trình 4mx2 - x - 10m2= Tìm giá trị cua tham số mđể

phương trình có nghiệm x =

Dạng Giải phương trình bậc hai cách sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn:

Phương pháp giải:Sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai để giải

3A Xác định hệ số a,b,c; Tính biệt thức ∆ (hoặc ∆' b = 2b')rồi tìm nghiệm

của phương trình:

a) 2x2 -3x-5 = 0; b) x2 - 6x + = 0; c) 9x2 - 12x + = 0; d) -3x2 + 4x - =

3B Xác định hệ số a,b,c;Tính biệt thức A ( A'nếu b = 2b')rồi tìm nghiệm

của phương trình:

a) x2 – x -11 = b) x2 - 4x + = 0; c) -5x2 – 4x + = 0; d) -2x2 + x - = 4A Giải phương trình sau:

a) x2 + 5x -1 = b) 2x2 - 2x + = 0; c)

3x − −(1 3)x− =1 0; d) -3x2 + 6x + = 4B Giải phương trình sau:

a) 2x2 + 11x -7 = 0; b) 152x2 - 5x +1 = 0; c) x2 - (2 + 3)x + = 0; d) 3x2 - 3x + =

Dạng Sử dụng công thức nghiệm, xác định sô nghiệm phương trình dạng bậc hai

Phương pháp giải:Xét phương trình dạng bậc hai:

ax2 + bx + c = Phương trình có hai nghiệm kép

0

a≠

 ⇔ ∆ =



2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0

a≠

 ⇔ ∆ >



(29)

4 Phương trình vơ nghiệm 0, 0, 0,

a b c

a

= = ≠



⇔  ≠ ∆ <



Chú ý:Nếu b = 2b' ta thay điều kiện ∆ tương ứng ∆’ 5A Cho phương trình mx2 - ( m - ) x + m - = (m tham số) Tìm giá trị mđể phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt;

c) Vơ nghiệm; b) Có nghiệm kép;

e) Có nghiệm d) Có nghiệm;

5B Cho phương trình (m - 2)x2 - 2(m + 1)x + m = (m tham số)

Tìm giá trị để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt; b) Có nghiệm kép;

c) Vơ nghiệm; d) Có nghiệm;

e) Có nghiệm

Dạng Giải biện luận phương trình dạng bậc hai

* Giải biện luận phương trình dạng bậc hai theo tham số m tìm tập nghiệm

của phương trình tùy theo thay đổi m

* Xét phương trình dạng bậc hai

ax2 + bx + c -0 với ∆ = b2 -4ac (hoặc ∆' = b'2- ac).

- Nếu a =0, ta đưa vể biện luận phương trình bậc nhât

- Nêu a≠ 0, ta biện luận phương trình bậc hai theo A

6A Giải biện luận phương trình sau: (ra tham số)

a) x2 + (1 -m)x- = 0; b) (m -3)x2 - 2mx + m - = 6B Giải biện luận phương trình sau: (ra tham số)

a) mx2 + (2m - 1)x + + = 0; b) (m - 2)x2 - 2(m + 1)x + m =

Dạng Một sơ tốn liên quan đến tính có nghiệm củ phương trình bậc hai; Nghiệm chung phương trìnl dạng bậc hai; Hai phương trình dạng bậc hai tương đương

1 Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠0) có nghiệm

⇔A > (hoặc ∆’ ≥ 0)

2 Muốn tìm điều kiện tham số để hai phương trình dạng bậc hai ax2+bx + c = a'x2 +b'x + c'= có nghiệm chung, ta làm sau:

Bước 1.Gọi x0là nghiệm chung hai phương trình Thay x0 vào phương trình để tìm điều kiện tham số

Bước 2.Với giá trị tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem phương trình có nghiệm chung hay khơng kết luận

3 Muốn tìm điều kiện tham số để hai phương trình dạng bậc hai ax2 +bx + c = a'x2 +b'x + c' =0 tương đương, ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1.Hai phương trình vơ nghiệm

Trường hợp 2.Hai phương trình có nghiệm Khi đó:

(30)

- Điều kiện đủ với giá trị tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem phương trình tập nghiệm hay khơng kết luận

7A Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh phương trình b2x2 - (b2 +c2 -a2)x + c2=0 vô nghiệm

7B Gho phương trình x2 +(a + b + c)x + (ab + bc + ca) =0 với a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh phương trình ln vơ nghiệm

8A Cho hai phương trình x2 + ax + b = x2 + cx + d = Chứng minh

hai phương trình có nghiệm chung thì:

(b - d)2+ ( a - c)(ad - bc) =

8B Cho hai phương trình x2 +ax + b = x2 +bx + a =0 1

a+ =b Chứng minh có hai phương trình có nghiệm

9A Cho hai phương trình x2 +x-m = 0 x2 -mx +1 = Tìm giá trị

tham số m để:

a) Hai phương trình có nghiệm chung; b) Hai phương trình tương đương

9B Cho hai phương trình x2 -2ax + = 0 x2-x + a = 0, (a tham số) Với giá trị a thì:

a) Hai phương trinh có nghiệm chung? b) Hai phương trình tương đương?

10 Giải phương trình: a)

2x − −(1 2)x− = 0; b) 3x2 + = 2(x +1);

c)

(2x− 2) −1 = (x + 1)(x-1); d)

2x(x + l) = (x - 1)

2

11 Cho phương trình 2x2 -(4m + 3)x + 2m2 -1 = (m tham số) Tìm giá trị m để phương trình:

e) Có nghiệm

12 Biện luận theo m số nghiệm phương trình:

mx2 - 4(m - 1)x + 4m + = (m tham số)

13 Cho hai phương trình x2 +mx + = x2+ 2x + m = Xác định giá trị tham số m để hai phương trình:

a) Có nghiệm chung; b) Tương đương

BÀI HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Hệ thức Vi-ét

Cho phương trình bậc hai ax2+bx + c = (a 0) Nếu x1, x2là hai nghiệm

phương trình thì:

1

b S x x

a c P x x

a

−  = + = 



 = =



(31)

2 Ứng dụng hệ thức Vi-ét

a) Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0)

- Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm cịn lại

2

c x

a =

- Nếu a - b + c =0 phương trình có nghiệm x1 = -1, nghiệm lại

2

c x

a = −

b) Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu hai số có tổng S tích

bằng Pthì hai số hai nghiệm phương trình:

X2- S X + P =

Dạng Khơng giải phương trình, tính giá trị biêu thức đối xứng các nghiệm

Phương pháp giải:Ta thực theo bước sau:

Bước 1.Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: 0

a≠

 ∆ ≥

 Từ áp dụng hệ

thức Vi-ét ta có:

1 b S x x

a −

= + = c P x x

a

= =

Bước2 Biến đổi biểu thức đối xứng nghiệm đề theo tổng x1 +

x2 tích x1x2sau áp dụng Bước

Chú ý: Một số biểu thức đối xứng nghiệm thường gặp là:

2 2

1 ( 2) 2x1 2 ; A x x x x x S P

• = + = + − = −

3 3

1 ( 2) 3x1 2( 2) S; B x x x x x x x S P

• = + = + − + = −

4 2 2 2 2

1 ( 2) 2x1 2( ) ;

C x x x x x S P P

• = + = + − − −

2

1 ( 2) 4x1

D x x x x x S P

• = − = + − = −

1A Gọi x1, x2là nghiệm phương trình x

- 5x + = Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức:

a) 2

1 2;

A=x +x b) B=x13+x23;

1B Cho phưoug trình: -3x2 - 5x-2 = Với x1,x2là nghiệm phương trình, khơng giải phương trình, tính:

a)

1

;

M x x x x

= + + + b)

1

;

3

N

x x

= +

+ +

c)

2

1

3

;

x x P

x x

− −

= + d)

2

x x Q

x x

= +

+ + 2A Cho phương trình x2

- 2(m - 2)x + 2m -5 = (ra tham số) a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2

(32)

2B Cho phương trình x2

+(m + 2)x + 2m = Với giá trị tham số m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2? Khi đó, tìm biểu thức liên hệ x1, x2khơng phụ thuộc vào

Dạng Giải phương trình cách nhấm nghiệm

Phương pháp giải: Sử dụng ứng dụng hệ thức Vi-ét

3A Xét tổng a + b + c a - b + c tính nhẩm nghiệm phương trình sau:

a) 15x2 -17x + = 0; b) 1230x2 - 4x - 1234 = 0;

c) (2 - 3)x2 + 3x - (2 + 3) = 0; d)

5x - (2 - 5)x - =

3B Tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 7x2 -9x + = 0; b) 23x2 -9x-32 = 0;

c) 1975x2 + 4x - 1979 = 0; d) 31, 1x2 - 50,9x + 19,8 = 4A Cho phương trình (ra - 2)x2

- (2m + 5)x + + = với tham số

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số m

b) Tìm nghiệm phương trình cho theo tham số 4B Cho phương trình (2m - 1)x2

+ (m - 3)x – 6m - = a) Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm x = -2 b) Tìm nghiệm phương trình cho theo tham số 5A Cho phương trình mx2

-3(m + l)x + m2 - 13m - = (ra tham số) Tìm giá trị để phương trình có nghiệm x = -2 Tìm nghiệm cịn lại 5B Tìm giá trị tham số để phương trình x2

+3mx - 108 = (ra tham số) có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại

Dạng Tìm hai số biết tổng tích

Phương pháp giải:Để tìm hai số x, y biết tổng S = x + y tích P = x.y, ta làm sau:

Bước 1.Giải phương trình X2

- S X + P = để tìm nghiệm X1,X2

Bước2 Khi số x, y cần tìm x = X1,y = X2 x = X2, y = X1 6A Tìm hai số u v trong trường hợp sau:

a) u + v = 15,uv = 36; b) u2 + v2 = 13,uv = 6B Tìm hai số u vtrong trường hợp sau:

a) u + v = 4,uv = 7; b) u + v = -12,uv - 20

7A Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm + - 3.

7B Tìm phương trình bậc hai biết nhận -11 nghiệm 8A Cho phương trình x2

+ 5x - 3m= (m tham số)

a) Tìm tham số mđể phương trình có hai nghiệm x1 x2.

b) Với điều kiện mtìm câu a), lập phương trình bậc hai có hai

nghiệm

2

x 22

2

(33)

8B Cho phương trình 3x2 +5x - m = Với giá trị tham số m, phương

trình có hai nghiệm x1 x2? Khi đó, viết phương trình bậc hai có hai nghiệm

2 x

x +

x x +

Dạng Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử

Phương pháp giải:Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm

x1; x2thì tam thức phân tích thành nhân tử:

ax2 + bx + c - a(x – x1 )(x – x2) 9A Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 - 7x + 6; b) 30x2 - 4x - 34; c) x - x + 6; d) 2x - x+ 9B Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 4x2 - 5x +1; b) 21x2 - 5x - 26; c ) x - x+ ; d ) x - x-

Dạng Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai

Phương pháp giải:Xét phương trình ax2 +bx + c -0 ( a ≠ ) Khi đó: Phương

trình có hai nghiệm trái dấu ⇔p <

2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu 0

P

∆ >  ⇔  >



3 Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

0 0

P S

∆ >   ⇔ >

 > 

4 Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

0 0

P S

∆ >   ⇔ >

 < 

5 Phương trình có hai nghiệm trái dâ'u mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương

0

P S

>  ⇔  <



Chú ý:Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔∆ > 0; Phương trình có hai

nghiệm ⇔∆ >

10A Tìm giá trị tham số m để phương trình:

a) x2 -2(m – 1)x + +1 = có hai nghiệm phân biệt trái dấu;

b) x2 - 8x + 2m + = có hai nghiệm phân biệt;

c) x2 - 2(m - 3)x + – 4m = có hai nghiệm phân biệt âm;

d) x2 - 6x + 2m+ = có hai nghiệm phân biệt dương;

e) x2 - 2(m- 1)x - - = có nghiệm dương 1OB Tìm giá trị tham số để phương trình:

a) 2xz - 3(m + 1)x + m2 - - = có hai nghiệm trái dấu; b) 3mx2 + 2(2m +l)x + m= có hai nghiệm âm;

c) x2 + mx+m - = có hai nghiệm lớn m;

d) mx2 - 2(m - 2)x+ 3(ra - 2)= có hai nghiệm dâu

(34)

Phương pháp giải:Ta thực theo bước sau:

Bước Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ∆ ≥

Bước 2.Từ hệ thức cho hệ thức Vi-ét, tìm điều kiện tham số

Bước 3.Kiểm tra điều kiện tham số xem có thỏa mãn điều kiện Bước 1

hay không kết luận

11A Cho phương trình x2 - 5x + m + = Tìm giá trị tham số m để

phương trình có nghiệm phân biệt x1, x2 thòa mãn:

a) |x1| + |x2| = 4; b)3x1 + 4x2=6; c)

2

3;

x x

x + x = − = -3; d) x1(1 - 3x ) + x (1 - 3x1) = m

- 23

11B Cho phuơng trình x2 -mx-m-1 = (m tham số) Tìm giá trị tham số m để phương trình:

a) Có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b) Có hai nghiệm âm phân biệt;

c) Có hai nghiệm trái dấu, nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương;

d) Có hai nghiệm dấu;

e) Có hai nghiệm x1,x2thỏa mãn: x13+x23 = −1; g) Có hai nghiệm x1,x2thỏa mãn: |x1 -x,| ≥

III BÀI TẬP VỂ NHÀ

12 Cho phương trình: -3x2

+ x + l = Với x1, x2là nghiệm phương trình, khơng giải phương trình, tính:

a) 2

1

2

;

A x x x x

= + + + b)

1

2

;

3

B

x x

= +

+ +

c)

1

2 5

;

x x B

x x

− −

= + d)

4

1

x x D

x x

− −

= +

13 Tính nhẩm nghiệm phương trình: a) 16x - 17x + l = 0; c) 2x2 - 40x + 38 = 0; b) 2x2 - 4x - = 0; d) 1230x2 -5x - 1235 = 14 Tìm hai số u, v biết rằng:

a) u + v = -8, uv = -105; b) u + v = 9, uv = -90

15 Cho phương trình x2+ (4m + 1)x + 2(m - 4) = Tìm giá trị tham số để phương trình có hai nghiệm x1, x2 và:

a) Thoả mãn điều kiện x2 - x1 =17;

b) Biểu thức A = (x1 - x2 )

2có giá trị nhỏ nhất;

c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ vào 16 Cho phương trình bậc hai: (m + 2)x2

- 2(m + 1)x + m - = Tìm giá trị tham số để phương trình:

a) Có nghiệm trái dấu;

b) Có nghiệm dương phân biệt;

c) Có nghiệm trái dấu nghiệm dương nhỏ giá trị tuyệt đối nghiệm âm;

d) Có nghiệm x1,x2 thỏa mãn: 3(x1 +x2) = 5x1,x2.

17 Cho phương trình: x2

(35)

a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm giá trị tham số để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt c) Gọi x1, x2là hai nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

A = 2

1 x +x

d) Tìm giá trị để phương trình có nghiệm x1,x2 thỏa mãn: 3

1 19 x +x =

18 Cho phương trình: x2 – (m - 2)x + 2m - = (ra tham số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với

b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Tìm để x1,x2 thỏa mãn: x1 (1 – x2) + x2 (1 – x1) <

BÀI PHƯƠNG TRÌNH QUY VỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 Phương trình trùng phương

- Phương trình trùng phương phương trình có dạng:

ax4 + bx2 + c - (a ≠ 0)

- Cách giải: Đặt ẩn phụ t = x2 (t> 0) để đưa phương trình vẽ phương trình bậc

hai: at2 + bt + c = (a ≠ 0)

2 Phương trình chứa ẩn mẫu thức

Để giải phương trình chứa ẩn mẫu thức, ta có bước giải sau:

Bước 1.Tìm điều kiện xác định ẩn phương trình

Bước2 Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu

Bước 3.Giải phương trình vừa nhận Bước

Bước 4.So sánh nghiệm tìm Bước 3với điều kiện xác định kết luận

3 Phương trình đưa dạng tích

Để giải phương trình đưa vể dạng tích, ta có bước giải sau:

Bước 1.Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải

Bước2 Xét nhân tử để tìm nghiệm

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Giải phương trình trùng phương

Phương pháp giải:Xét phương trình trùng phương:

axA + bx2 + c = (a ≠ 0)

Bước 1.Đặt t = x2 (t ≥ 0) ta phương trình bậc hai:

at2 + bt + c = (a ≠ 0)

Bước 2.Giải phương trình bậc hai ẩn t từ ta tìm nghiệm phương trình trùng phương cho

1A Giải phương trình sau:

a) x4 + 5x2 - = 0; b) ( x + 1)4 - 5(x + 1)2 -84 = Giải phương trình sau:

a) 2x4 + 7x2 + = 0; b) 4x4 + 8x2 - 12 = 0;

Dạng Phương trình chứa ẩn mẫu thức

Phương pháp giải:Để giải phương trình chứa ẩn mẫu thức, ta có bước giải sau:

(36)

Bước2 Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu

Bước 3.Giải phương trình bậc hai nhận Bước

Bước 4.So sánh nghiệm tìm Bước 3với điều kiện xác định kết luận

2A Giải phương trình sau: a) 2x 3x ;

1

x x − =

− −

b) 5 ;

3 5

x x

x x + − − = −

− +

c) 1 : 1

1 1 14

x x x

x x x x

+ − +

 −   − =  − +   −  −

   

2B Giải phương trình sau: a) 2x 3x 3;

1

x x x x

− + − = − +

+ + −

b)

2

3x ;

x

x x x

− + =

− − −

c) 2x 2 ;

2 5x

x− −x− = x − +

Dạng Phương trình đưa dạng tích

Phương pháp giải:Để giải phương trình đưa dạng tích, ta có bước giải sau:

Bước 1.Chuyên vế phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải

Bước2 Xét nhân tử để tìm nghiệm 3A Giải phương trình sau:

a) x3- 3x2 - 3x - = 0;

b) (x - 1)3 + x3 + (x + 1)3 - (x + 2)3 = 0; 3B.Giải phương trình sau:

a) 2x3 -7x2 + 4x + = 0;

b) (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2

Dạng Giải phương pháp đặt ẩn phụ

Bước 1.Đặt điều kiện xác định (nếu có);

Bước 2.Đặt ẩn phụ, đặt điểu kiện ẩn phụ (nếu có) giả phương trình theo ẩn mới;

Bước 3.Tìm nghiệm ban đầu so sánh với điều kiện xác địnl kết luận 4A.Giải phương trình sau:

a) x(x + l)(x + 2)(x + 3) = 8;

b) (x2 + 16x + 60)(x2 +17x + 60) = 6x2;

c) 22x 2

3x − +x 2−3x +5x+2 =

4B.Giải phương trình sau: a) (x2 - 3x)2 - 6(x2 - 3x) -7 = 0; b) x6 +61x3 - 8000 = 0;

c) 10

1

x x x x

+

− =

(37)

Dạng Phương trình chứa biếu thức dấu căn

Phương pháp giải:Làm dấu cách đặt ẩn phụ lũy thừa hai vế

Chú ý: A B B 02

A B

≥  = ⇔ 

=



5A Giải phương trình sau:

a) x−6 x+ = −9 x; b)

1

x + + = −x x 5B Giải phương trình sau:

a) x2- 3x + = (1 - x) 3x−2

b x− +1 7x 1+ = 14x−6

Dạng Một số dạng khác

Phương pháp giải: Ngồi phương pháp trên, ta cịn dùng phương pháp đẳng thức, thêm bớt hạng tử, đánh giá hai vế để giải phương trình Giải phương trình sau phương pháp thêm bớt hạng tử dùng đẳng thức:

a) x4 = 24x + 32; b) x3 = -3x2 + 3x -1;

c ) x4 - x2 + 2x - = 0;

7 Giải phương trình sau phương pháp đánh giá: a) 4

1− +x x =1;

b) 2

4x −4x+ +5 12x − + =12 8.Giải phương trình sau: a) 4x2 – 4x – 6|2x – 1| + = 0; b)

2

25x

11 ( 5)

x x

+ =

+

10 Giải phương trình sau:

a) x4 - 6x2 - 16 = 0; b) (x + 1)4 +(x + l)2 - 20 = 11 Giải phương trình sau:

a)

2

2 4x 11x ; (1 )( 2)

x

x x x

+ = − −

− − + b)

2x 8( 1)

4 (2 )( 4)

x x

x x x x +

+ =

+ − − +

12 Giải phương trình sau: a) (x + 1)(x-3)(x2 - 2x) = -2; b) (6x + 5)2 (3x + 2)(x +1) = 35 c) (x2 + 5x + 8)(x2 + 6x + 8) = 2x2;

d) 4x

4x

x

x −

+ =

−

13 Giải phương trình sau:

a) x3 - x2 - 8x - = 0; b)x3 - x2 - x =

3

BÀI GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Các bước giải tốn cách lập phương trình: Bước Lập phương trình

(38)

- Biểu diễn kiện chưa biết qua ẩn số

- Lập phương trình biểu thị tương quan ẩn số kiện biết Bước Giải phương trình

Bước Đơi chiếu nghiệm phương trình với điều kiện ẩn số (nếu có) với đề để đưa kết luận

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Bài tốn suất lao động

Phương pháp giải: Năng suất tính ti số Khối lượng cơng việc Thời gian hoàn thành

1A Một phân xưởng theo kế hoạch phải dệt 3000 thảm Trong ngày đầu họ thực kế hoạch, nhũng ngày lại họ dệt vượt mức ngày 10 tấm, nên hoàn thành kế hoạch trước ngày Hỏi theo kế hoạch ngày phân xưởng phải dệt tấm?

1B Tháng đầu hai tô sản xuất làm 720 dụng cụ Sang tháng tổ làm vượt mức 12%, tổ vượt mức 15% nên hai tổ làm 819 dụng cụ Hỏi tháng đầu tổ làm dụng cụ?

Dạng Tốn cơng việc làm chung, làm riêng

Phương pháp giải: Ta ý rằng:

- Thường coi khối lượng công việc đơn vị - Năng suất + Năng suất = Tổng suất

2A Hai tổ sản xuất làm chung công việc hồn thành Hỏi làm riêng tổ cần thời gian hồn thành cơng việc, biết làm riêng tổ hoàn thành sớm tổ giờ?

2B Hai nguời làm chung công việc 24 xong Năng suất người thự suất người thứ hai Hỏi người làm cơng việc hồn thành sau bao lâu?

3A Hai công nhân làm chung 12 hồn thành cơng việc Họ làm chung người thứ chuyên làm việc khác, người thứ hai làm nốt cơng việc cịn lại 10 xong Hỏi người thứ hai làm hồn thành công việc?

3B Hai người làm chung cơng việc 15 xong Hai người làm người thứ nhât điều làm công việc khác, người thứ hai tiếp tục làm việc 21 xong cơng việc Hỏi làm mơi người phải làm mói xong cơng việc?

Dạng Tốn quan hệ số

4A Tìm hai số dương biết hai lần số lớn lớn ba lần số bé hiệu bình phương chúng 119

4B Tìm số biết tổng chúng 17 tổng lập phương chúng 1241

Dạng Tốn có nội dung hình học

(39)

5B Một ruộng hình chữ nhật, tăng chiều dài thêm 2m chiều rộng 3m diện tích tăng 100m2 Nếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện tích giảm 68m2 Tính diện tích ruộng

Dạng Tốn chuyển động

Phương pháp giải: Chú ý rằng:

Quãng đường = Vận tốc x Thời gian

6A Một người xe máy từ A đểh B với vận tốc 25km/h Lúc người với vận tốc 30km/h nên thời gian thời gian 20 phút Tính quãng đường AB

6B Lúc giờ, ôtô xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h Khi đến B, người lái xe làm nhiệm vụ giao nhận hàng 30 phút rổi cho xe quay trở A với vận tốc trung bình 30km/h Tính qng đường AB biết ơtơ đến A lúc 10 ngày

7A Hai xe máy khởi hành lúc sáng từ A để đến B Xe máy thứ nhât chạy với vận tốc 30km/h, xe máy thứ hai chạy với vận tốc lớn vận tốc xe máy thứ 6km/h Trên đường xe thứ hai dừng lại nghỉ 40 phút lại tiếp tục chạy với vận tốc cũ Tính chiều dài quãng đường AB, biết hai xe đến B lúc

7B Hai người xe đạp lúc, ngược chiều từ hai địa điểm A B cách 42km gặp sau Tính vận tốc người, biết người từ A nhanh người từ B 3km

8A Lúc sáng, người xe đạp khởi hành từ A với vận tốc 10km/h Sau lúc 40 phút, người khác xe máy từ A đuổi theo với vận tốíc 30km/h Hỏi hai người gặp lúc mây giờ?

8B Một đoàn tàu hỏa từ Hà Nội Thành phố Hồ Chí Minh, 48 phút sau, đoàn tàu khác khởi hành từ Nam Định Thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc nhỏ vận tốc đoàn tàu thứ 5km/h Hai đoàn tàu gặp (tại ga đó) sau 48 phút kể từ đồn tàu thứ khởi hành Tính vận tốc đoàn tàu, biết Ga Nam Định nằm đường từ Hà Nội Thành phố Hồ Chí Minh cách Ga Hà Nội 87km

Dạng Tốn chun động dịng nước

Phương pháp giải: Ta có ý sau:

- Vận tốc tàu xi dịng = Vận tốc tàu nước yên lặng + Vận tốc dòng nước;

-+ Vận tốc tàu ngược dòng = Vận tốc tàu nước yên lặng - Vận tốc dịng nước

9A Một canơ tuần tra xi dòng từ A đến B hết 20 phút ngược dòng tù B A hết Tính vận tốic riêng canơ, biết vận tốc dịng nước 3km/h

9B Một canơ chạy xi dịng từ A đến B chạy ngược dòng từ B đến A hết tâ't Tính vận tốíc canô nước yên lặng, biết quãng sông AB dài 30km vận tơc dịng nước 4km/giờ

(40)

10A Hai lớp 8A 8B có tổng cộng 94 học sinh biết 25% số học sinh 8A 20% số học sinh 8B đạt loại giỏi Tổng số học sinh giỏi hai lớp 21 Tính số học sinh lớp?

10B Tìm số học sinh hai lớp 8A 8B, biết chuyển học sinh từ lớp 8A sang lớp 8B số học sinh hai lớp nhau, nêu chuyển học sinh từ lớp 8B sang lớp 8A số học sinh 8B 11

19 số học sinh lớp 8A?

11 Hai người làm chung cơng việc 12

5 xong Nếu

người làm người thứ hồn thành cơng việc người thứ hai Hỏi làm người phải làm thời gian để xong cơng việc?

12 Năm ngối, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch 600 thóc Năm nay, đơn vị thứ làm vượt mức 10%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 20% so với năm ngối Do đó, hai đơn vị thu hoạch 685 thóc Hỏi năm ngối, đơn vị thu hoạch thóc?

13 Một tổ sản xuất phải làm 600 sản phẩm thời gian quy định với suất quy định Sau làm xong 400 sản phẩm tổ sản xuất tăng suất lao động, ngày làm tăng thêm 10 sản phẩm so với quy định Vì mà cơng việc hồn thành sóm quy định ngày Tính xem, theo quy định, ngày tổ sản xuất phải làm sản phẩm

14 Một tam giác vng có chu vi 30cm, độ dài hai cạnh góc vng 7cm Tính độ dài cạnh tam giác

15 Tìm tất số tự nhiên có hai chữ số biết tổng chữ số tổng bình phương hai chữ số 13 16 Qng đường canơ xi dịng 2,4 lần qng đường canơ ngược dịng Hỏi vận tốc canơ xi dịng, biết vận tốc canô nước yên tĩnh 15km/h

17 Một ôtô chuyển động với vận tốc định để hết quãng đường dài 120km thời gian định Đi nửa quãng đường xe nghỉ phút nên để đến noi giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h nừa quãng đường lại Tính thời gian xe lăn bánh đường

18 Hai sân bay Hà Nội Đà Nang cách 600km Một máy bay cánh quạt từ Đà Nang Hà Nội Sau 10 phút, máy bay phản lực từ Hà Nội bay tới Đà Nằng với vận tốc lớn máy bay cánh quạt 300km/h Máy bay phản lực đến Đà Nang trước máy bay cánh quạt đến Hà Nội 10 phút Tính vận tốc máy bay

19 Người ta trộn gam chất lỏng với gam chất lòng khác có khối lượng riêng nhỏ 0,2g/cm3để chất lỏng có khối lượng riêng

0,7g/cm3 Tìm khối lượng riêng chất lỏng

BÀI BÀI TOÁN VỂ ĐƯỜNG THANG VÀ PARABOL I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

(41)

ax2 = mx + n Ta có bảng sau đây:

Số giao điểm d (P) Biệt thức trình hồnh độ giao điểm ∆ của phương của d (P)

Vị trí tương đối của d (P)

0 ∆ < d không cắt (P)

1 ∆ = d tiếp xúc với (P)

2 ∆ > d cắt (P) hai điểm phân

biệt

1A Cho parabol (P): y =

2

x và đường thẳng d : y = 1 2x+n

a) Với n = 1, hãy:

i) Vẽ (P) d mặt phang tọa độ; ii) Tìm tọa độ giao điểm A B (P) d; iii) Tính diện tích tam giác AOB

b) Tìm giá trị n để: i) d (P) tiếp xúc

ii) d cắt (P) hai điểm phân biệt;

iii) d cắt (P) hai điểm nằm hai phía đơi trục Oy 1B Cho parabol (P): y = x2và đường thẳng d:y = -2x + m

a) Với m = 3, hãy:

i) Vẽ (P) d mặt phẳng tọa độ; ii) Tìm tọa độ giao điểm M N (P) d; iii) Tính độ dài đoạn thẳng MN

b) Tìm giá trị m để: i) d (P) tiếp xúc ii) d cắt (P) không cắt nhau;

iii) d cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ âm 2A Viết phương trình đường thẳng d, biết:

a) d qua hai điểm A, B thuộc (P): y =

4

x và có hồnh độ -2; 4; b) d song song với đường thẳng d': 2y + 4x = tiếp xúc với (P):y = x2; c) d tiếp xúc với (P): y =

3

x

tại điểm C(3; 3) 2B Viết phương trình đường thẳng d, biết:

a) d qua gốc tọa độ điểm M thuộc (P): y = 2x2

có hồnh độ

2;

b) d vng góc với đường thẳng d': x - 3y + l = tiếp xúc với (P) : y = 2;

x c) d tiếp xúc với (P): y = 3x2tại điểm N( 1; 3)

(42)

a) Viết phương trình đường thẳng d chứng minh với giá trị k d ln cắt (P) hai điểm phân biệt A B

b) Gọi hoành độ A,B x1,x2 Chứng minh |xx -x2| ≥ c) Chứng minh tam giác OAB vuông

3B Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(1;2) đường thẳng d:y = -3x + l a) Viết phương trình đường thẳng d' qua M song song với d

b) Cho parabol (P) : y = mx2(m ≠ 0) Tìm giá trị tham số để d (P) cắt hai điếm phân biệt A, B nằm phía trục tung

4A Cho parabol (P) : y = (2m – 1)x2với

m≠

a) Xác định tham số biết đồ thị hàm số qua A(3; 3) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm

b) Một đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung điểm có tung độ 4, cắt (P) điểm A B Tính diện tích tam giác AOB

4B Cho parabol (P) :y = ax2 (a ≠ 0) đường thẳng d : y - 2mx-m + a) Xác định tham số a biết (P) qua A(1;-1);

b) Biện luận số giao điểm (P) d theo tham số

5 Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P) : y = ax2 a ≠ (a tham số) hai đường thẳng d1 : y = x +1 d2 : x + 2y + =

a) Tìm tọa độ giao điểm A dl d2

b) Tìm giá trị a để (P) qua A Vẽ (P) với a vừa tìm c) Viết phương trình đường thẳng d biết d tiếp xúc với (P) A Trong mặt phẳng tọa độ, cho parabol: (P) : y =

4x

− đường thẳng d : y = mx – 2m -1

a) Vẽ (P)

b) Tìm giá trị tham số cho d tiếp xúc với (P)

c) Chứng tỏ d luôn qua điểm cố định A thuộc (P) Cho parabol (P): y = đường thăng d: mx + y =

a) Chứng minh (P) d cắt hai điểm phân biệt A B

b) Xác định m để AB nhỏ Tính diện tích A AOB với m vừa tìm Cho (P): y =

2

x

và đường thăng d qua 7(0; 2) có hệ số góc k a) Chứng minh (P) d cắt hai điểm phân biệt A B

b) Gọi H K hình chiêu vng góc A B trục Ox Chứng minh tam giác IHK vuông I

9 Cho parabol (P): y = x2và đường thẳng d: y – mx - m +1 Tìm giá trị tham số m để d cắt (P) hai điếm phân biệt A B có hồnh độ x1 x2thỏa mãn:

a) |x1| + |x2| = 4; b)xl = 9x2

(43)

b) Tìm giá trị tham số m đẻ đường thẳng d:y =

2

− x + m cắt (P) hai điểm có hồnh độ x1,x2thoả mãn 3xl + 5x2 =

11 Cho parabol (P) :y - x2và đường thẳng d:y - mx - m + a) Tim tọa độ điểm thuộc (P) biết tung độ chúng

b) Chứng minh với giá trị tham số m, đường thẳng d ln cắt parabol (P) hai điểm phân biệt

c) Gọi y1,y2là tung độ giao điểm d (P) Tìm giá trị tham số m để y1 + y2 <

ƠN TẬP CHƯƠNG IV

Xem phần Tóm tắt lý thuyếtcác từ Bài đển Bài chương

1A Cho phương trình 2mx2 - 2(2m - 1)x + 2m -3 = Tìm giá trị m để

phương trình:

e) Có nghiệm

1B Cho phương trình x2 - (a + 2)x + = Tìm ađể phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt;

b) Có hai nghiệm phân biệt trái dấu;

c) Có hai nghiệm phân biệt dấu dương; d) Có hai nghiệm phân biệt dấu âm 2A Cho phương trình:

ax2 + bx + c = 0;

bx2 + 2cx + a- 0;

cx2 + ax + b =

trong a,b,c ≠ 0 Chứng minh có ba phương trình có

nghiệm

2B Chứng minh phương trình

(x - a)(x -b) + (x- b)(x - c) + (x - c)(x - a) = ln có nghiệm với a, b, c.

3A Giải phương trình:

a) 3

2+ +x 5− =x 1; b) (x - 1)2016 + (x - 2)2016 = 3B Giải phương trình:

a) x3 +3x2 +3x - 2008 = 0; b) x4 -3x3 +3x + l =

4A Cho hàm số y = -x2có đồ thị parabol (P) đường thẳng qua N(-l;-2) có hệ số góc k.

a) Viết phương trình đường thẳng d.

b) Tìm giá trị k để (P) dcắt hai điểm phân biệt A, B nằm

hai phía trục tung

c) Gọi A(x1;y1),B(x2;y2). Tìm giá trị k để biểu thức S = x1 + y1 + x2 + y2 đạt giá trị lớn

(44)

b) Chứng minh với giá trị ra, dluôn qua điểm cố định

cắt (P) hai điểm phân biệt A, B.

c) Tìm giá trị để tam giác AOB có diện tích (đon vị diện tích)

5A Cho phưong trình x2 + (m + 2)x + 2m - (m tham số)

a) Giải biện luận phương trình

b) Biết phương trình có nghiệm x = Tìm mvà nghiệm cịn lại

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2thỏa mãn

1 2

2

x x x + x =

d) Tìm giá trị mđể phương trình có nghiệm đổi

e) Tìm giá trị mđể phương trình có hai nghiệm dấu Khi

nghiệm âm hay dương?

g) Đặt A = x2 + x2 - x1x2 +4 với x1 ,x2 nghiệm phương trình

Hãy:

i) Tìm biểu thức A theo m;

ii) Tìm giá trị mđể A = 8;

iii) Tìm giá trị nhỏ Avà giá trị tương ứng

h) Chứng minh biểu thức: p = 2(x1 + x2) + x1x2 - không phụ thuộc vào m.

5B Cho phương trình: x2 - (2a - 1)x – 4a - = (a tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt

b) Gọi x1 ,x2là nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

A = x 2 x +x

c) Tìm giá trị cua ađể phương trình có hai nghiệm trái dấu

d) Tìm giá trị ađể phương trình có hai nghiệm dương

6 Cho phương trình: x2 - (2a - 6)x + -13 = (ra tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt

b) Gọi x1, x2là nghiệm phương trình Tìm giá trị lớn biểu thức A = x1x2 - (x12+x22)

c) Tìm giá trị để phương trình có hai nghiệm đối Cho parabol (P): y = -x2và đường thẳng d:y = mx -

a) Chứng minh dluôn cắt (P) hai điểm phân biệt A B với giá trị

tham số

b) Gọi x1, x2là hoành độ A B.Tìm giá trị tham số để m để

2

1 2 2017 x x +x x =

8 Cho parabol ( P ) : y = x2và đường thẳng d:y = rax + + (ra tham số) a) Tìm giá trị để (P) dcắt hai điểm phân biệt A B.

b) Gọi x1 x2 hoành độ A B.Tìm giá trị để 2

x −x =

c) Tìm giá trị để (P) dcắt hai điểm phân biệt nằm

phía bên trái trục tung

(45)

b) Viết phương trình đường thẳng d'có hệ số góc qua điểm A( 1;2) Tìm để d'cắt (P) hai điểm phân biệt mà hai giao điểm có

hồnh độ lớn c) Cho parabol (P): y =

2x

2và đường thẳng

d: y = mx +

a) Chứng minh với giá trị ra, dluôn cắt parabol (P) điểm phân biệt

b) Gọi x1,x2lần lượt hoành độ giao điểm d parabol

(P) Tìm giá trị để 2

3

x x

x + x = −

11 Cho parabol (P) có đồ thị qua gốc tọa độ qua điểm 1;

A −    a) Viết phưong trình (P)

b) Tìm giá trị để đường thẳng d:y = x + mcắt (P) điểm có hồnh độ x1, x2 cho 3x1 + 5x2 =

ĐỂ KIỂM TRA CHƯƠNG IV

Thời gian làm cho đề 45 phút

ĐỂ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIÊM)

Câu Phương trình -3x2 + 2x+ = có tập nghiệm là:

A 1;5 ;

   

  B

5

1; ;

3

 − 

 

  C

5 1; ;

3

− 

 

  D

5

1;

3

− − 

 

 

Câu 2.Phương trình sau có hai nghiệm phân biệt?

A x2 + = 0; B 9X2 - 6X + = 0;

c 7x2 + 3x + = 0; D 2x2 – x - 11 =

Câu Cho đường thẳng d : y - a x + parabol (P): y = x2 Cho biết d cắt (P)

tại điếm có hồnh độ 3, hỏi giá trị a bao nhiêu?

Câu 4.Cho phưong trình X2 -5x = Khẳng định sau đúng? A Phương trình có hai nghiệm phân biệt dâu

B Phương trình có hai nghiệm trái dâu C Phương trình có nghiệm dương D Phương trình có hai nghiệm

Bài (2,0 điểm)Giải phương trình sau:

a) 2x2 + 13x + 20 = 0; b) x2 - (2 + 3)x + =

Bài (2,0 điểm)

a) Cho phương trình x2 -(2m + 1)x + m(m-l)-0 (m tham số) Tìm giá

trị m để phương trình khơng có hai nghiệm phân biệt dương

b) Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng chữ số tổng bình phương hai chữ số 13

Bài 3 (4,0 điểm) Cho đường thẳng dvà parabol (P) với: d:y-mx + (P):y =

2x

2

(46)

a) Khi m = 1, vẽ d (P) hệ trục tọa độ

b) Chứng minh với giá trị m cho d cắt (P) hai điểm phân

biệt

c) Gọi x1, x2lần lượt hoành độ giao điểm đường thẳng d parabol

(P) Hãy tìm để: i) x1 - 2x2 = 9;

ii) Biểu thức A = 2(xt +x2) - x12−x22 đạt giá trị lớn

ĐỂ SỐ 2 PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)

Câu Phương trình 5x2 - 3x - = có tập nghiệm là: A 1;8 ;

5

   

  B

8 1; ;

5

− 

 

  C

8

1; ;

5

−

 

 

  D

8

1;

5

− − 

 

 

Câu 2.Trong phương trinh sau đây, phương trình có nghiệm kép?

A. x2 + x - = ; B 2x2 - 4x + = 0; C - x2+ x - = ; D 2X2+ =

Câu 3. Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị parabol (P) đường thẳng d: y = x - m

Giá trị mđể (P) ảtiếp xúc với là:

A m = -1; B mra = 8; C m =

16 D m =

Câu 4.Cho phương trình 2x2 - 5x + = Khẳng định sau đúng? A Phương trình có hai nghiệm phân biệt nghịch đảo

B Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm C Phương trình có hai nghiệm trái dấu

D Phương trình có hai nghiệm

Bài 1. (2,0 điểm)Giải phương trình sau:

a) 3x2 -7x + = b) x2- ( -2 2) x - =

Bài 2 (2,0 điểm)Cho đường thăng d:y = 1

2x + 1 parabol (P): y =

2

x a) Tìm tọa độ giao điểm A Bcủa (P) d.

b) Tính diện tích tam giác AOB.

Bài 3. (4,0 điểm)Cho phương trình 2x2 - (m + 4)x + m = (m tham số) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dâu

b) Với m= 5, gọi x1 x2là hai nghiệm phương trình Tính giá trị

M = 2

1 x +x

c) Tìm m để phương trình có nhâ't nghiệm dương

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn < x1 <

x2

PHẦN B HÌNH HỌC

CHƯƠNG III GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN

BÀI GÓC Ở TÂM SỐ ĐO CUNG

(47)

1 Góc tâm

- Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm Ví dụ AOB là góc tâm (Hình 1)

- Nếu 00 < a < 1800thì cung nằm bên góc gọi cung nhỏ, cung nằm bên ngồi góc gọi cung lớn

- Nếu a = 1800thì cung nửa đường trịn

- Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn Góc bẹt chắn nửa đường trịn

- Kí hiệu cung AB AB

2 Số đo cung

- Số đo cung AB kí hiệu sđ AB

- Số cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung Ví dụ: AOB= sđ AB(góc tâm chắn AB) (Hình 1)

- Số đo cung lớn bắng hiệu 3600và số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn)

- Số đo nửa đường tròn 1800 Cung đường trịn có số đo 3600

3 So sánh hai cung

Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau:

- Hai cung gọi chúng có số đo - Trong hai cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn

4 Định lí

Nếu C làm điểm nằm cung AB

Sđ AB = sđ AC + sđCB

Phương pháp giải: Để tính số đo góc tâm, số đo cung bị chắn, ta sử dụng kiến thức sau:

- Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung

- Số đo cung lớn hiệu 3600và số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn)

- Số đo nửa đường tròn 1800 Cung đường trịn có số đo 3600 - Sử dụng tỉ số lượng giác góc nhọn để tính góc

- Sử dụng quan hệ đường kính dây cung

1A Cho hai tiếp tuyến A B đường tròn (O) cắt M, biết



40

AMB=

a) Tính AMO AOM

b) Tính số đo cung AB nhỏ ABlớn

1B Trên cung nhỏ ABcủa (O), cho hai điểm C D cho cung ABđược chia thành ba cung (AC = CD = DB) Bán kính OC OD cắt dây AB lần lượt E F

a) Hãy so sánh đoạn thẳng AE FB

(48)

2A Cho đường tròn (O; R), lấy điểm M nằm (O) cho OM = 2R Từ M kẻ tiếp tuyến MA MB với (O) (A, B tiếp điểm)

a) Tính AOM

b) Tính AOBvà số đo cung AB nhỏ

c) Biết đoạn thẳng OM cắt (O) C Chứng minh C điểm cung nhỏ 

AB

2B.Cho (O; 5cm) và điểm M cho OM = 10 cm Vẽ hai tiếp tuyến MA và MB

(A, B là tiếp điểm) Tính góc tâm hai tia OA và OB tạo

3 Cho đường trịn (O) đường kính AB, vẽ góc tâm AOC = 50° với c nằm (O) Vẽ dây CD vng góc với AB và dây DE song song với AB.

a) Tính số đo cung nhỏ BE.

b) Tính số đo cung CBE Từ suy ba điểm C, O, E thẳng hàng

4 Cho đường tròn (O; R) Gọi H là trung điểm bán kính OB Dây CD vng góc với OB tại H Tính số đo cung nhỏ cung lớn CD

5 Cho tam giác ABC cân A Vẽ đường trịn tâm o, đường kính BC Đường

tròn (O) cắt AB và AC lần lượt M N.

a) Chứng minh cung nhỏ BM CN có số đo b) Tính MON, biết BAC = 40°

6 Cho đường tròn (O; R) Vẽ dây AB = R 2 Tính số đo cung nhỏ cung lớn



AB

7 Cho (O; R) và dây cung MN = R 3 Kẻ OK vuông góc với MN tại K Hãy

tính:

a) Độ dài OK theo R.

b) Số góc MOK MON.

c) Số đo cung nhỏ cung lớn MN.

BÀI LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY

1 Định lí

Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Hai cung căng hai dây

b) Hai dây căng hai cung

2 Định lí

Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Cung lớn căng dây lớn

b) Dây lớn căng cung lớn

3 Bổ sung

a) Trong đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song

b) Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung

(49)

c) Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại

Phương pháp giải:Để giải toán liên quan đến cung dây, cần nắm định nghĩa góc tâm kết hợp với liên hệ cung dây

1A Chứng minh hai cung bị chắn hai dây song song

1B Cho đường trịn (O) đường kính ABvà cung ACcó số đo nhỏ 90°

Vẽ dây CD vng góc với AB dây DE song song với AB.Chứng minh AC = BE.

2A Giả sử ABlà dây cung đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm C D cho  AC=BD. Chứng minh AB CD song song

2B Giả sử ABClà tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AHcắt

đường tròn (O) D Kẻ đường kính AEcủa đường trịn (O) Chứng minh:

a) BC song song với DE;

b) Tứ giác BCED hình thang cân

3A Cho đường trịn (O) đường kính ABvà đường trịn (O') đường kính AO. Các điểm C, D thuộc đường trịn (O) cho B ∈CD BC < BD. Các dây AC

ADcắt đường tròn (O') theo thứ tự E F. Hãy so sánh: a) Độ dài đoạn thẳng OE OF;

b) Số đo cung AE AF đường tròn (O')

3B Cho đường trịn tâm o đường kính AB.Vẽ hai dây AM BN song song với

nhau cho sđ BM < 90° Vẽ dây MD song song với AB. Dây DN cắt ABtại £

Từ R vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng DMtại C Chứng

minh:

a) AB ⊥DN; b) BClà tiếp tuyến đường tròn (O)

4 Cho đường trịn tâm O đường kính AB.Từ A Bvẽ hai dây AC và BD song song với So sánh hai cung nhỏ AC BD.

5 Cho nửa đường trịn (O),đường kính AB C điểm nửa đường trịn Trên cung CA CBlần lượt lấy điểm M N cho

 .

CM =BN Chứng minh:

a) AM = CN; b) MN = CA = CB

6 Cho tam giác ABCcân Anội tiếp đường tròn (O) Hãy so sánh

cung nhỏ AB, AC BCbiết A = 50°

7 Cho đường trịn (O) đường kính AB.Trên nửa đường trịn lấy hai điểm

C, D Kẻ CH vng góc với ABtại H, CHcắt (O) điểm thứ hai E.Kẻ AK

vng góc với CD K, AK cắt (O) điểm thứ hai F.Chứng minh:

a) Hai cung nhỏ CF DB nhau;

b) Hai cung nhỏ BF DE nhau;

c) DE = BF

BÀI GÓC NỘI TIẾP

(50)

Góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh chứa hai dây cung đường tròn gọi góc nội tiếp.

Lưu ý:Cung nằm bên góc nội tiếp gọi cung bị chắn.

2 Định lý

Trong đường tròn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn

3 Hệ

Trong đường trịn:

a) Các góc nội tiếp chắn cung

b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung

c) Góc nội tiếp (nhỏ 90°) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng

Dạng Chứng minh hai góc nhau, đoạn thẳng nhau, tam giác đồng dạng

Phương pháp giải:Dùng Hệ phần Tóm tắt lý thuyếtđể chứng minh hai góc nhau, hai đoạn thẳng

1A Cho đường trịn (O) điểm Ikhơng nằm (O) Qua điểm I kẻ hai dây

cung ABvà CD (A nằm I B, C nằm I D)

a) So sánh cặp góc ACI ABD; CAI C BD .

b) Chứng minh tam giác IAC IDB đồng dạng

c) Chứng minh IA.IB = IC.ID

1B Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB.Lấy M điểm tuỳ ý nửa

đường tròn (M khác A B). Kẻ MHvng góc với AB (H∈AB). Trên nửa mặt phang bờ ABchứa nửa đường tròn (O) vẽ hai nửa đường trịn tâm O1, đường kính AH tâm O2, đường kính BH.Đoạn MA MBcắt hai nửa đường tròn (O1) (O2) P Q Chứng minh:

a) MH = PQ;

b) Các tam giác MPQ MBAđồng dạng;

c) PQ tiếp tuyến chung hai đường tròn (O1) (O2)

2A Cho đường tròn (O) có dây cung AB, BC, CA. Gọi M điểm

của cung nhỏ AB.Vẽ dây MNsong song với BCvà gọi slà giao điểm MN

và AC.Chứng minh SM = SC SN = SA

2B Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, đường cao AHvà nội tiếp đường tròn

tâm O, đường kính AM.

a) Tính ACM

b) Chứng minh BAH =OCA.

c) Gọi Nlà giao điểm AHvới (O) Tứ giác BCMN hình gì? Vì sao?

Dạng Chứng minh hai đường thẳng vng góc, ba điểm thẳng hàng

3A Cho đường tròn (O) hai dây MA, MBvng góc với Gọi I, Klần

lượt điểm cung nhỏ MA MB.

(51)

b) Gọi P giao điểm AK BI.Chứng minh P tâm đưòng tròn nội tiếp

tam giác MAS

3B Cho (O), đường kính AB,điểm D thuộc đường trịn Gọi Elà điểm đối xứng

với A qua D

a) Tam giác ABE tam giác gì?

b) Gọi K giao điểm EBvới (O) Chứng minh OD⊥ AK

4A Cho đường tròn (O), đường kính AB S điểm nằm bên ngồi đường trịn SA SBlần lượt cắt đường trịn M, N.Gọi Plà giao điểm BM

AN.Chứng minh SP⊥AB.

4B Cho tam giác ABCnội tiếp đưòng tròn (O), hai đường cao BD và CEcắt

nhau H. Vẽ đường kính AF.

a) Tứ giác BFCH hình gì?

b) Gọi M trung điểm BC.Chứng minh ba điểm H, M, Fthẳng hàng

c) Chứng minh OM =

2AH.

5 Cho đường tròn (O) hai dây song song AB, CD. Trên cung nhỏ ABlấy

điểm Mtùy ý Chứng minh  AMC =BMD..

6 Cho đường tròn (O) hai dây cung AB, ACbằng Qua A vẽ cát

tuyến cắt dây BC Dvà cắt (O) E. Chứng minh AB2 = AD.AE.

7 Cho tam giác ABCcó đường cao AH nội tiếp đường trịn (O), đường kính AD.Chứng minh: AB.AC = AH.AD.

8 Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn (O; R),đường cao AH, biết AB = 8cm, AC = 15 cm, AH = 5cm.Tính bán kính đưịng trịn (O)

9 Cho tam giác ABC (AB < AC)nội tiếp đường trịn (O) Vẽ đường kính MN ⊥ BC(điểm Mthuộc cung BCkhông chứa A) Chứng minh tia AM, ANlần

lượt tia phân giác góc góc ngồi đỉnh Acủa tam giác ABC.

10 Cho nửa (O) đường kính AB = 2Rvà điểm C nằm ngồi nửa đường trịn

cùng phía với nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB chứa nửa đường tròn

CAcắt nửa đường tròn M, CBcắt nửa đường tròn N.Gọi Hlà giao điểm AN BM.

a) Chứng minh CH⊥AB.

b) Gọi I trung điểm CH. Chứng minh MI tiếp tuyến nửa đường tròn

(O)

11 Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B.Vẽ đường kính AC

và ADcủa hai đường tròn Chứng minh ba điểm C, B, Dthẳng hàng

12 Cho đường tròn tâm O đường kính ABvà điểm C chạy nửa

đường tròn Vẽ đường tròn (7) tiếp xúc với (O) C tiếp xúc với đường kính

ABtại D

a) Nêu cách vẽ đường trịn (I) nói

b) Đường trịn (I) cắt cắt CA, CBlần lượt điểm thứ hai M, N.Chứng

(52)

c) Chứng minh đường thẳng CD qua điểm nửa đường trịn (O)

khơng chứa C

BÀI GĨC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYÊN VÀ DÂY CUNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa

Cho đường trịn tâm (O) có Axlà tia tiếp tuyến tiếp điểm A

và dây cung AB.Khi đó, góc BAx góc tạo tia tiêp tuyến dây cung.

2 Định lí

Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn

3 Hệ

Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyên dây cung góc nội tiếp chắn cung

4 Bổ đề

Nếu góc BAx với đỉnh Anằm đường trịn, cạnh chứa dây cung AB có số đo nửa số đo cung ABnằm bên góc cạnh Axlà tia tiếp

tuyến đường tròn

Dạng Chứng minh góc nhau, đẳng thức tam giác đổng dạng

Phương pháp giải:Sử dụng hệ góc tạo tia tiếp tuyên dây cung hệ góc nội tiếp

1A Cho điểm Anằm ngồi đường tròn (O) Qua Akẻ hai tiếp tuyến AB AC

với (O) (B, c tiếp điểm) Kẻ cát tuyến AMN với (O) (M nằm A N).

a) Chứng minh AB2 = AM AN.

b) Gọi H = AO∈BC. Chứng minh AH.AO = AM.AN.

c) Đoạn thẳng AOcắt đường tròn (O) I.Chứng minh Ilà tâm đường tròn nội

tiếp tam giác ABC.

1B Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến A cắt BC I a) Chứng minh 22

IB AB IC = AC

b) Tính IA, IC bắt AB = 20cm, AC = 28cm, BC = 24cm

2A Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Tiếp tuyến A (O) cắt BC P a) Chứng minh tam giác PAC PBA đồng dạng

b) Chứng minh PA2

= PB.PC

c) Tia phân giác góc A cắt BC (O) D M Chứng minh MB2 = MA.MD

2B Cho hình bình hành ABCD, 

90

A≤ Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

cắt AC E Chứng minh BD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB

(53)

Phương pháp giải: Sử dụng hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung hệ hai góc nội tiếp

3A Cho đường tròn (O; R) (O’; R’) tiếp xúc với A (R > R’) Vẽ đường kính AB (O), AB cắt (O’) điểm thứ hai C Từ B vẽ tiếp tuyến BP với đường tròn (O’), BP cắt (O) Q Đường thẳng AP cắt (O) điểm thứ hai R Chứng minh:

a) AP phân giác BAQ; c) CP BR song song với

3B Cho đường tròn (O; R) với A điểm cố định đường tròn Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) lấy M điểm thuộc tia Ax Vẽ tiếp tuyế thứ hai MB với đường tròn (O) Gọi I trung điểm MA, K giao điểm BI với (O)

a) Chứng minh tam giác IKA IABđồng dạng Từ suy tam giác IKM

đồng dạng với tam giác IMB.

b) Giả sử MKcắt (O) c Chứng minh BC song song MA.

4A Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn (O) AB < AC.Đường tròn (7)

qua B C,tiếp xúc với ABtại Bcắt đường thẳng AC tại D Chứng minh OA

BD vuông góc với

4B Cho hai đường trịn (O) (7) cắt C D, tiếp tuyến chung

MNsong song với cát tuyến EDF, M E thuộc (O), N và Fthuộc (7), D nằm

giữa E F. Gọi K, Htheo thứ tự giao điểm NC, MCvới EF.Gọi G

giao điểm EM, FN Chứng minh:

a) Các tam giác GMN DMNbằng

b) GD đường trung trực KH.

5 Cho tam giác ABCnội tiếp (O) Atlà tia tiếp tuyến với (O) Đường thẳng

song song với Atcắt ABvà v4C M N. Chứng minh AB.AM =

AC.AN.

6 Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B. Qua Avẽ tiếp tuyêh Ax

với (O) cắt (O') E. Qua Avẽ tiếp tuyến Ay với (O') cắt (O) D Chứng

minh AB2 = BD.BE.

7 Cho hình thang ABCD (AB//CD) có BD2 = AB.CD. Chứng minh đường trịn

ngoại tiếp tam giác ABDtiếp xúc với BC.

8 Cho hình vng ABCDcó cạnh dài 2cm.Tính bán kính đường tròn qua A Bbiết đoạn tiếp tuyến kẻ từ D đến đường trịn 4cm.

9 Cho nửa đường trịn (O) đường kính ABvà điểm C nửa đường tròn

Gọi D điểm đường kính AB; qua D kẻ đường vng góc với ABcắt BCtại F,cắt ACtại E.Tiếp tuyến nửa đường tròn C cắt EFtại Chứng

minh:

a) I trung điểm CE;

b) Đường thẳng OClà tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ECE 10 Cho tam giác ABCnội tiếp đường trịn tâm O Phân giác góc BACcắt (O)

M Tiếp tuyến kẻ từ M với đường tròn cắt tia AB AClần lượt D E.

(54)

11 Cho tam giác ABC. Vẽ đường tròn (O) qua Avà tiếp xúc với BCtại B.Kẻ

dây BDsong song với AC.Gọi I giao điểm CD với đường tròn Chứng

minh = IBC = ICA.

12 Cho hai đường trịn tâm O O’ tiếp xúc ngồi A. Qua Akẻ cát

tuyến cắt (O) Bvà cắt (O') C Kẻ đường kính BOD CO'E hai

đường tròn

a) Chứng minh BD song song CE

b) Chứng minh ba điểm D, A, Ethẳng hàng

c) Nêu (O) (O') tứ giác BDCElà hình gì? Tại sao?

13 Cho đường tròn (O') tiếp xúc với hai cạnh Ox Oy xOy tại A B. Từ Akẻ tia song song với OBcắt (O') C Đoạn oc cắt (O') E Hai đường thẳng AE OBcắt K. Chứng minh Klà trung điểm OB.

BÀI GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN GĨC CĨ ĐỈNH BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN

Ví dụ 1. Trong Hình 1, góc BIC nằm bên

(55)

1A Từ điểm M nằm đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến MC c cát tuyên

MAB (Anằm M B) A,B,C∈ (O).Gọi D điểm cung

ABkhơng chứa C, CDcắt ABtại I Chứng minh:

a) MCD =BID; b) MI = MC.

1B Cho đường tròn (O) điểm pnằm (O) Kẻ cát tuyến PABvà tiếp

tuyến PTvới A,B,T ∈ (O).Đường phân giác góc ATB cắt ABtại D Chứng

minh PT = PD.

2A Cho tam giác ABCnội tiếp đường trịn (O) Các tia phân giác góc B

và Ccắt I cắt (O) D E. Dây DE cắt cạnh AB AC

lần lượt M N. Chứng minh:

a) Các tam giác AMN, EAI DAIlà tam giác cân;

b) Tứ giác AMIN hình thoi

2B Cho tam giác ABCngoại tiếp đường tròn (/) Các tia AI, BI, CI cắt đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABCtại D, E, F. Dây EFcắt AB, AClần lượt M

N.Chứng minh: a) DI = DB; b) AM = AN;

Dạng Chứng minh hai đường thẳng song song vng góc Chứng minh đẳng thức cho trước

Phương pháp giải:Áp dụng hai định lý số đo góc có đỉnh bên đường trịn, góc có đỉnh bên ngồi đường trịn để có góc nhau, cạnh Từ đó, ta suy điều cần chứng minh

3A Từ điểm P ởngoài (O), vẽ tiếp tuyến PAvới đường tròn cát tuyến PBC

với P, B,C ∈(O).

a) Biết PC = 25cm; PB = 49cm.Đường kính (O) 50cm Tính PO.

b) Đường phân giác góc Acắt PB I cắt (O) D Chứng minh DB

là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆AIB

3B Cho (O) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đường kính

ABlấy điểm E cho AE = R 2. Vẽ dây CF qua E.Tiếp tuyên đường

tròn Fcắt CDtại M,vẽ dây Aỉ cắt CD N.Chứng minh:

a) Tia CF tia phân giác góc BCD;

b) MF AC song song;

c) MN, OD, OM độ dài cạnh tam giác vuông

4A Cho tam giác ABC phân giác AD. Vẽ đường tròn (O) qua A, Dvà tiếp xúc

với BCtại D Đường tròn cắt AB, AClần lượt E F Chứng minh:

a) EF song song BC; b) AD2 = AE.AC; c) AE.AC = AB.AF.

4B Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn tâm O Các tia phân giác góc A B cắt cắt đường tròn theo thứ tự D E Chứng minh:

a) Tam giác BDI tam giác cân; b) DE đường trung trực IC;

c) IF BC song song, F giao điểm DE AC

5 Từ điểm Pnằm ngồi đường trịn (O), kẻ hai cát tuyến PAB PCD (A nằm

giữa P B, C nằm Pvà D), đường thẳng AD BCcắt Q.

(56)

b) Chứng minh PA.PB = PC.PD.

6 Từ điểm Abên (O), vẽ tiếp tuyến ABvà cát tuyến ACD. Tia phân giác góc BAC cắt BC BDlần lượt M N.Vẽ dây BFvng góc với

MN,cắt MNtại H,cắt CD E Chứng minh:

a) Tam giác BMN cân; b) FD2 = FE.FB.

7 Cho tam giác MNPnội tiếp đường tròn tâm (O).Điểm D di chuyển



MP.Gọi E giao điểm MP ND, gọi F giao điểm MD NP.

Chứng minh MFN =MND.

8 Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B C Gọi M, N Ptheo thứ tự điểm

chính cua cung AB, BC AC BPcắt ANtại I, NMcắt ABtại E Gọi D

là giao điểm AN BC Chứng minh:

a) Tam giác BNI cân; b) AE.BN = EB.AN;

c) EI song song BC; d) AN AB

BN = BD

9 Từ điểm M nằm bên ngồi đường trịn (O), vẽ tiếp tuyến MA cát tuyến

MCB với A,B,C∈ (O) Phân giác góc BAC cắt BCtại D, cắt (O) N. Chứng

minh:

a) MA = MD;

b) Cho cát tuyến MCB quay quanh M ln cắt đưịng trịn Chứng minh MB.MCkhơng đổi

c) NB2 = NA.ND

10 Tam giác MNP nội tiếp đường tròn tâm (O), điểm I, K, Hlà điểm

giữa cung MN, NP, PM.Gọi J giao điểm IK MN, G giao điểm HK MP. Chứng minh JG song song với NP.

BÀI CUNG CHỨA GÓC

1 Quỹ tích cung chứa góc

Với đoạn thẳng AB góc a (0° < a< 180°) cho trước quỹ tích điểm M

thoả mãn AMB = a là hai cung chứa góc a dựng đoạn AB

Chú ý:

- Hai cung chứa góc a nói hai cung tròn đối xứng qua AB.Hai điểm A, Bđược coi thuộc quỹ tích

- Quỹ tích điểm Mnhìn đoạn thẳng ABcho trước góc vng

đường trịn đường kính AB.

2 Cách vẽ cung chứa góc a

- Vẽ đường trung trực dcủa đoạn thăng AB;

- Vẽ tia Axtạo với ABmột góc a;

- Vẽ đường thẳng Ayvng góc với Ax. Gọi o giao điểm Ayvới d.

- Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OAsao cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ ABkhông chứa tia Ax. Cung AmB vẽ một cung chứa góc a.

3 Cách giải tốn quỹ tích

(57)

Phần thuận:Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H. Phần đảo:Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T.

Từ đến kết luận quỹ tích điểm Mcó tính chất T hình H.

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Quỹ tích cung chứa góc α

Phương pháp giải:Thực theo ba bước sau:

Bước 1 Tìm đoạn định hình vẽ;

Bước2 Nối điểm phải tìm với hai đầu đoạn thẳng cố định đó, xác định góc a

khơng đổi;

Bước3 Khẳng định quỹ tích điểm phải tìm cung chứa góc a dựng đoạn

cố định

1A Cho tam giác ABC có BC cốđịnh góc Abằng 50° Gọi D giao điểm

của ba đường phân giác tam giác Tìm quỹ tích điểm D

1B Cho tam giác ABCvng A,có cạnh BC cốđịnh Gọi Ilà giao điểm

ba đường phân giác Tìm quỹ tích điểm 1khi điểm A thay đổi

Dạng Chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn

Phương pháp giải:Chứng minh nhiều điểm thuộc nửa mặt phang bờ AB

và nhìn đoạn cố định ABdưới góc khơng đổi

2A Cho nửa đường trịn đường kính AB.Gọi M điểm cung AB. Trên cung AM lấy điểm N. Trên tia đổi tia MA lây điểm D cho MD = MB,trên tia đối tia NBlấy điểm E cho NA = NE,trên tia đối tia MBlấy điểm c cho MC = MA.Chứng minh điểm A, B, C, D, Ecùng thuộc

một đường tròn

2B.Cho I, Olần lượt tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC

với A = 60° Gọi H trực tâm ∆ABC.Chứng minh điểm B, C, O, H, I

cùng thuộc đường tròn Dạng Dạng cung chứa góc

Phương pháp giải: Thực theo bốn bước sau: Bước Vẽ đường trung trực d đoạn thẳng AB; Bước Vẽ tia Ax tạo với AB góc α;

Bước Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax Gọi O giao điểm Ay với d

Bước Vẽ cung AmB, tâm Om bán kính OA cho cung này nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax Cung AmB vẽ cung chứa

góc α

3A Dựng cung chứa góc 550trên đoạn thẳng AB = 3cm 3B Dựng tam giác ABC, biết BC = 3cm, AB = 3,5cm A = 500

4 Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E, tia đối tia CD lấy điểm F cho CE = CF Gọi M giao điểm hai đường thẳng DE BF Tìm quỹ tích điểm M E di động cạnh BC

(58)

trong ngoại tiếp tam giác BIN cắt AI D Hai đường thẳng DN BF cắt E Chứng minh:

a) Bốn điểm A, B, D, E thuộc đường tròn;

b) Năm điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn Từ suy BE vng góc với CE

6 Dựng cung chứa góc 450trên đoạn thẳng AB = 5cm BÀI TỨ GIÁC NỘI TIẾP I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa

(59)

2A Cho tứ giác ABCDnội tiếp (O), Mlà điểm cung AB.Nối M

với D, M với C cắt ABlần lượt E P. Chứng minh PEDClà tứ giác nội tiếp

2B Cho tam giác ABCnhọn nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc đường

trịn Vẽ MHvng góc với BCtại H, vẽ MIvng góc với AC.Chứng minh MIHClà tứ giác nội tiếp

Dạng Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh góc nhau, đoạn thẳng nhau, đường thẳng song song đồng quy, tam giác đồng dạng

Phương pháp:Sử dụng tính chât tứ giác nội tiếp

3A Cho đường trịn (O) đường kính AB.Gọi Hlà điểm nằm O B.Kẻ

dây CD vuông góc với ABtại H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK ⊥ AEtại K.Đường thẳng DEcắt CKtại F Chứng minh:

a) Tứ giác AtìCKlà tứ giác nội tiếp;

b) AHì.AB = AD2;

c) Tam giác ACE tam giác cân

3B Cho nửa (O) đường kính AB.Lấy M ∈ OA (M khơng trùng o A). Qua M

vẽ đường thẳng dvng góc với AB. Trên dlấy N cho ON > R. Nôi NBcắt

(O) c Kẻ tiếp tuyến NEvới (O) (£ tiếp điểm, E và A thuộc nửa mặt

phẳng bờ d). Chứng minh:

a) Bốn điểm O, E, M, Ncùng thuộc đường tròn;

b) NE2 = NC.NB;

c)  NEH =NME (H giao điểm AC d);

d) NF tiếp tuyến (O) với Flà giao điểm HE (O)

4A.Cho đường trịn (O) đường kính AB,gọi I trung điểm OA, dây CD vuông góc với ABtại I Lấy K tùy ý cung BC nhỏ, AKcắt CD H.

a) Chứng minh tứ giác BIHK tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh AHAKcó giá trị khơng phụ thuộc vị ữí điểm K.

c) Kẻ DN⊥ CB, DM ⊥ AC.Chứng minh đường thẳng MN, AB, CDđồng

quy

4B.Cho đường trịn (O; R) điểm Acố định ngồi đường trịn Qua Akẻ hai

tiếp tuyến AM, ANtói đường tròn (M, Nlà hai tiếp điểm) Một đường thẳng dđi

qua Acắt đường tròn (O; R) tại Bvà C (AB < AC) Gọi trung điểm BC.

a) Chứng minh năm điểm A, M, N, O, Ithuộc đường tròn

b) Chứng minh AM2 = AB.AC.

c) Đường thẳng qua B, song song với AMcắt MNtại E. Chúng minh IE song song MC.

d) Chứng minh dthay đổi quanh quanh điểm A trọng tâm G tam giác MBCln nằm đường trịn cơ' định

5 Cho điểm C nằm nửa đường trịn (O) vói đường kính AB sao cho cung 

AClớn cung BC (C ≠ B).Đường thăng vuông góc vói ABtại O cắt dây AC

tại D Chứng minh tứ giác BCDOnội tiếp

(60)

Mở ngồi đường trịn; MA MBthứ tự cắt đường tròn (O) c D Gọi I giao điểm AD BC.Chứng minh MCID MCHB tứ giác nội tiếp

7 Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A, B. Kẻ đường kính ACcủa (O)

cắt đường trịn (O’) F. Kẻ đường kính AE của (O') cắt đưịng trịn (O) G

Chứng minh:

a) Tứ giác GFECnội tiếp; b) GC, FE ABđồng quy

8 Cho tam giác ABCcân A.Đường thẳng xysong song với BCcắt ABtại E

và cắt ACtại F.Chúng minh tứ giác EFCBnội tiếp

9 Cho tam giác ABCvuông A,đường cao AH.Kẻ HEvng góc với ABtại E,Kẻ HFvng góc với ACtại F.Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp

10 Cho tam giác ABCvuông Avà điểm Mthuộc cạnh AC Vẽ đường trịn

tâm O đường kính MC cắt BCtại E.Nối BMcắt đường tròn (O) N, AN cắt

đường tròn (O) D Lấy I đối xứng với M qua A, K đối xứng với M qua E

a) Chứng minh BANC tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh CAlà phân giác BCD.

c) Chứng minh ABED hình thang

d) Tìm vị trí M để đường trịn ngoại tiếp tam giác BIKcó bán kính nhỏ

11 Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn Đường trịn (O; R) có đường kính BCcắt

AB, AC F E; BEcắt CFtại H

a) Chứng minh tứ giác AFHEnội tiếp Từ đó, xác định tâm Icủa đường tròn

ngoại tiếp tứ giác

b) Tia AHcắt BCtại D Chứng minh HE.HB = 2HD.HI

c) Chứng minh bôn điểm D, E, I, F nằm đường tròn

12 Cho đường tròn (O; R) dây CD cố định Điểm M thuộc tia đối tia CD

Qua M kẻ hai tiếp tuyên MA, MBtới đường tròn (Athuộc cung lớn CD) Gọi I trung điểm CD Nối BIcắt đường tròn E (E khác B). Nối OMcắt ABtại H.

a) Chứng minh AE song song CD b) Tìm vị trí Mđể MA ⊥MB.

c) Chứng minh HBlà phân giác CHD.

13 Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm c D thuộc đường trịn, B

điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA;trên tia đối tia AB

lấy điểm S.Nối Svới cắt (O) M, MDcắt ABtại K, MBcắt ACtại H.Chứng

minh:

a)  BMD=BAC. Từ suy tứ giác AMHK nội tiếp;

b) HK song song CD

Cho hình vng ABCD Edi động đoạn CD (E khác c, D) Tia AEcắt đường

thẳng BC F, tia Ax vng góc vói AEtại A cắt đường thẳng DC K. Chứng

minh:

a) CAF =CKF;

b) Tam giác KAF vuông cân;

c) Đường thẳng BDđi qua trung điểm Icủa KF;

d) Tứ giác IMCF nội tiếp với M giao điểm BD AE.

(61)

a) Chứng minh IHM =ICM

b) Đường thẳng HI cắt đường thẳng ABtại K.Chứng minh MK vng góc vói

BK.

c) Chứng minh tam giác MIHđồng dạng vói tam giác MAB.

d) Gọi E trung điểm IHvà F trung điểm AB.Chứng minh tứ giác KMEFnội tiếp từ suy ME vng góc vói EF

BÀI ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRỊN, CƯNG TRỊN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Cơng thức tính độ dài đường trịn (chu vi đường tròn)

Độ dài (C) đường trịn bán kính Rđược tính theo cơng thức:

C = 2πRhoặc C = πd(với d = 2R).

2 Cơng thức tính độ dài cung trịn

Trên đường trịn bán kính R,độ dài lcủa cung n°được tính theo cơng thức:

180

Rn l=π

Dạng Tính độ dài đường trịn, cung trịn

Phươngpháp giải: Áp dụng công thức nêu phần Tóm tắt lý thuyết 1A.Lấy giá trị gần πlà 3,14, điền vào ô trông bảng sau (đơn vị độ dài: cm, làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai)

Bán kính Rcủa

đường trịn

Đường kính d

của đường tròn 16

Độ dài c

đường tròn 30 25,12

1B.Lấy giá trị gần nlà 3,14, điền vào ô trông bảng sau (đơn

vị độ dài: cm,làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai)

Bán kính Rcủa đường trịn 10

Đường kính dcủa đường trịn

Độ dài c đường trịn 9,42 6,28

2A a) Tính độ dài cung 60° đường trịn có bán kính 3dm

b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính 600mm.

2B a) Tính độ dài cung 40° đường trịn có bán kính 5dm

b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính 400mm.

3A Lấy giá trị gần nlà 3,14, điền vào ô trông bảng sau (đon

vị độ dài: cm,làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ đến độ):

Bán kính Rcủa đường trịn 12 22 5,2

Số đo n°của cung tròn 90° 60° 31° 28°

(62)

3B Lấy giá trị gần πlà 3,14, điền vào ô trống bảng sau (đơn vị độ dài: cm,làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ đến độ):

Bán kính Rcủa đường tròn 14 20 4,2

Số đo n°của cung tròn 90° 50° 35° 20°

Độ dài lcủa cung trịn 40,6 30,8 4,2

Dạng Một sơ tốn tổng hợp

Phương pháp giải:Áp dụng cơng thức kiên thức có

4A Cho tam giác ABCvng A có AB = 5cm, B =60° Đường trịn tâm 7,

đường kính ABcắt BC D.

a) Chứng minh AD vng góc vói BC.

b) Chứng minh đường trịn tâm Kđường kính ACđi qua D

c) Tính độ dài cung nhỏ BD.

4B Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB.Vẽ dây CD = R (thuộc cung AD).Nối AC BDcắt M

a) Chứng minh tam giác MCDđồng dạng với tam giác MBA Tìm tỉ số đồng

dạng

b) Cho ABC =30°, tính độ dài cung nhỏ AC

5 Cho π= 3,14 Hãy điền vào bảng sau:

Bán kính R Đường kính d Độ dài C Diện tích S

6

94,2

28,26 Cho đường (O) bán kính OA Từ trung điểm M OA vẽ dây BC ⊥

OA Biết độ dài đường tròn (O) 4π cm Tính: a) Bán kính đường trịn (O);

b) Độ dài hai cung BC đường tròn

7 Cho tam giác ABC có AB = AC = 3cm A= 1200 Tính độ dài đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

8 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường trịn (O) Vẽ phía ngồi tứ giác bốn nửa đường trịn có đường kính bốn cạnh tứ giác Chứng minh tổng độ dài hai nửa đường trịn có đường kính hai cạnh đối diện tổng độ dài hai nửa đường tròn

9 Cho tam giác cân ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Kẻ đường kính AD cắt BC H Gọi M điểm cung nhỏ AC Hạ BK ⊥AM K đường thẳng BK cắt CM E

(63)

c) Tịa BE cắt đường tròn (O; R) N (N khác B) Tính độ dài cung nhỏ MN theo R Giả sử A= 400

10 Cho đường tròn (O; R) với dây cung BC cố định Điểm A thuộc cung lớn BC Đường phân giác BAC cắt đường tròn (O)tại D Các tiếp tuyến đường tròn (O; R) C D cắt E Tịa CD cắt AB K, đường thẳng AD cắt CE I

a) Chứng minh BC song song DE

b) Chứng minh AKIC tứ giác nội tiếp

c) Cho BC = R Tính theo R độ dài cung nhỏ BC đường tròn (O; R)

BÀI DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, HÌNH QUẠT TRỊN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Cơng thức diện tích hình trịn

Diện tích S hình trịn bán kinh R tính theo cơng thức:

S=πR Cơng thức diện tích hình quạt trịn

Diện tích hình quạt trịn bán kính E, cung n0được tính theo cơng thức:

360

R n S=π hay

2

lR S = (l là độ dài cung n0của hình quạt trịn)

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

Dạng Tính diện tích hình trịn, hình quạt trịn loại lương có liên quan Phương pháp giải: Áp dụng công thức kiến thức có

1A Điền vào trống bảng sau (làm trịn kết đến chữ số thập phân thứ nhất):

Bán kính đường tròn

(R)

Độ dài đường trịn (C)

Diện tích hình tròn (S)

Số đo cung tròn n0

Diện tích hình quạt trịn cung n0

12cm 450

2cm 12,5cm2

40cm2 10cm2

1B Điền vào ô trống bảng sau (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ nhất)

Bán kính đường trịn

(R)

Độ dài đường tròn (C)

Diện tích hình trịn (S)

Số đo cung trịn n0

Diện tích hình quạt tròn cung n0

14cm 600

4cm 15cm2

(64)

2A Cho hình vng có cạng 4cm nội tiếp đường trịn (O) Hãy tính độ dài đường trịn (O) diện tích hình trịn (O)

2B Cho hình vng có cạnh 5cm nội tiếp đường trịn (O) Hãy tính độ dài đường trịn (O) diện tích hình trịn (O)

3A Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O; 3cm) Tính diện tích hình quạt trịn giới hạn hai bán kính OA, OC cung nhỏ AC 

40

ABC=

3B Cho tam giác ABC nội tếp đường trịn (O; 6cm) Tính diện tích hình quạt trịn giới hạn hai bán kính OA, OC cung nhỏ AC 

60

ABC= Dạng Bài toán tổng hợp

Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt kiến thức học để tính góc tâm, bán kính đường trịn Từ tính diện tích hình trịn diện tích hình quạt trịn 4A Cho đường trịn (O; R) điểm M cho OM = 2R Từ M vẽ tiếp tuyến MA, MB với đường trịn (A, B tiếp điểm)

a) Tính độ dài cung nhỏ AB

b) Tính diện tích giới hạn hai tiếp tuyến AM, MB cung nhỏ AB 4B Cho đường trịn (O) đường kính AB.Lây M thuộc đoạn AB.vẻ dây CD

vng góc với ABtại M.Giả sử AM = 2cm CD = 3cm. Tính: a) Độ dài đường trịn (O) diện tích đường trịn (O);

b) Độ dài cung CAD diện tích hình quạt trịn giói hạn hai bán kính OC,

OD cung nhỏ CD III BÀI TẬP VỀ NHÀ

5 Cho đường tròn (O; R),đường kính AB cố định Gọi Mlà trung điểm đoạn OB.Dây CD vng góc với ABtại M Điểm E chuyên động cung lớn CD (E

khác A). Nôi AEcắt CD K Nối BEcắt CD H.

a) Chứng minh bôn điểm B, M, E, K thuộc đường trịn

b) Chứng minh AE.AKkhơng đổi

c) Tính theo Rdiện tích hình quạt trịn giói hạn OB, OCvà cung nhỏ BC.

6 Cho nửa đường trịn (O; R)đường kính AB.Vẽ dây CD = R (C thuộc cung

AD).Nối AC BDcắt M

a) Chứng minh CD thay đổi vị trí nửa đường trịn độ lớn góc AMB khơng đổi

b) Cho 

30

ABC= , tính độ dài cung nhỏ ACvà diện tích hình viên phân giói hạn

bởi dây ACvà cung nhỏ AC

ÔN TẬP CHƯƠNG III I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

Xem phần Tóm tắt lý thuyết từ Bài đến Bài chương II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

1A Cho đường trịn (O; R) có đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB M điẻm cung nhỏ AC (M khác A, C), BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB

(65)

c) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C

d) Gọi d tiếp tuyến (O) điểm A; cho P điểm nằm d ao cho hai điểm P, C nằm nưanr mặt phẳng bờ AB AP MB R

MA = Chứng

minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng HK

1B Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC) Hai tiếp tuyến B C cắt M, AM cắt (O) điểm thứ hai D Gọi E trung diểm củ đoạn AD, EC cắt (O) điẻm thứ hai F Chứng minh:

a) Tứ giác OEBM tứ giác nội tiếp; b) MB2 = MA.MB;

c)  BFC=MOC; d) BF song song AM

2A Cho đường trịn (O) điểm M nằm ngồi đường trịn (O) Đường thẳng MO cắt (O) E F (ME < MF).Vẽ cát tuyến MAB tiếp tuyến MC (O) (C tiếp điểm, A nằm hai điểm M B, A C nằm khác phía đường thẳng MO)

a) Chứng minh MA MB = ME.MF

b) Gọi H hình chiêu vng góc điểm c lên đuờng thẳng MO.Chứng minh

tứ giác AHOBnội tiếp

c) Trên nửa mặt phẳng bờ OMcó chứa điểm A,vẽ nửa đường trịn đường kính MF; nửa đường trịn cắt tiếp tuyến E (O) K. Gọi S giao điểm hai đường thẳng CO KF Chứng minh đường thẳng MS KC vng góc

d) Gọi pvà Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFS ABS Tlà trung điểm KS.Chứng minh ba điểm P, Q, Tthẳng hàng

2B Cho tam giác ABCcó hai đường cao BE, CFcắt H.Gọi E' điểm

đối xứng H qua AC, F' điểm đối xứng H qua AB Chứng minh:

a) Tứ giác BCE'F' nội tiếp đường tròn (O);

b) Năm điểm A, F', B, C, E'cùng thuộc đường tròn;

c) AO EF vng góc nhau;

d) Khi Achạy (O) bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

3 Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính BC.Lấy điểm Atrên tia đối tia CB.Kẻ tiếp tuyến AFcủa nửa đường trịn (O) (vói F là tiếp điểm), tia AFcắt

tiếp tuyến Bx nửa đường tròn D R

Cho biết AF = 4R

a) Chứng minh tứ giác OBDFnội tiếp Xác định tâm Icủa đường tròn ngoại tiếp

tứ giác

b) Tính cơsin góc DAB.

c) Kẻ OM ⊥BC (M ∈ AD). Chứng minh BD DM

DM − AM =

(66)

4 Cho tam giác ABCnhọn, có H trực tâm, nội tiếp đường trịn tâm o đường

kính AM = 2R.

a) Chứng minh tứ giác BHCM hình bình hành

b) Gọi Nlà điểm đối xứng M qua AB.Chứng minh tứ giác AHBNnội tiếp

được đường tròn

c) Gọi E điểm đối xứng M qua AC.Chứng minh ba điểm N, H, Ethẳng

hàng

d) Giả sử AB = R Tính diện tích phần chung đường trịn (O) đường

tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN.

5 Cho tam giác ABC có BAC = 45°, góc Bvà C nhọn Đường trịn đường

kính BCcắt AB AClần lượt tai D E Gọi Hlà giao điểm CD BE.

a) Chứng minh AE = BE.

b) Chứng minh tứ giác ADHEnội tiếp Xác định tâm Kcủa đường tròn ngoại

tiếp tứ giác

c) Chứng minh OElà tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.

d) Cho BC = 2a.Tính diện tích viên phân cung DE đường tròn (O) theo a.

6 Cho đường trịn (O) dây BCcố định khơng qua O Trên tia đối

tia BClấy điểm Abất kì Vẽ tiếp tuyến AM, ANtới (O) (M, N

tiếp điểm) MNcắt đưòng AO và BClần lượt H K. Gọi Ilà trung điểm

của BC.

a) Chứng minh: AH.AO = AB.AC = AM2 b) Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp

c) Vẽ dây MP song song với BC.Chứng minh N, I, P thẳng hàng

d) Khi Adi động tia đôi tia BC,chứng minh trọng tâm tam giác MBC

chạy đường tròn cố định

7 Cho đường tròn (O) điểm Mnằm (O) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MBđển (O) (A, B tiếp điểm) Qua Mkẻ cát tuyên MNP (MN < MP) đến

(O) Gọi Klà trung điểm NP.

a) Chứng minh điểm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MBOA đi qua K.

b) Chứng minh tia KM phân giác góc AKB..

c) Gọi Q giao điểm thứ hai BKvới (O) Chứng minh AQ song song NP.

d) Gọi H giao điểm AB MO.Chứng minh: MA2 = MH.MO = MN.MP.

e) Chứng minh bốn điểm N, H, O, Pcùng thuộc đường tròn

g) Gọi Elà giao điểm ABvà KO Chứng minh:

AB2 = 4.HE.HF. (Flà giao điểm AB NP).

h) Chứng minh KEMH tứ giác nội tiếp Từ chứng tỏ OK.OEkhơng đổi

i) Gọi Ilà giao điểm đoạn thẳng MO với (O) Chứng minh I là tâm đường

tròn nội tiếp tam giác MAB.

k) Chứng minh KE KElần lượt phân giác phân giác ngồi góc

.

AKB Từ suy AE.BE = AE.BE.

(67)

m) Giả sử MO = R. Tính diện tích hình quạt giới hạn hai bán kính OA, OB

và cung nhỏ AB.

ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG III Thời gian làm cho đề 45 phút

ĐỀ SỐ

PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)

Khoanh vào câu trả lời câu sau:

Câu Biết tứ giác MNOP nội tiếp đường trịn góc 

120

PMN = , hỏi

khẳng định sau đúng? A 

60

O= ; B 

60

N = ; C 

60

P= ; D 

90

P= Câu Công thức tính độ dài đường trịn tâm O, bán kinh R là: A

R

π ; B 2πR; C

2πR ; D

R

π

Câu Diện tích vành khăn giới hạn hai đường tròn (O; 4cm) (O; 3cm) là: A 25cm2; B 7cm2; C 7πcm2; D 25πcm2

Câu Trong đường trịn, góc tâm chắn cung 1500có số đo là: A 750; B 600; C 900; D 1500 PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)

Bài (2,0 điểm)Cho đường tròn (7; 2cm).Vẽ bán kính IA IB cho AIB =

120° Hãy tính:

a) Độ dài cung nhỏ AB.

b) Diện tích hình quạt trịn giới hạn cung nhỏ AB hai bán kính IA, IB.

Bài (4,0 điểm)Cho đường tròn (O; R)và điểm S ở (O) Qua S kẻ tiếp tuyến SA, SB với (O) A, Blà tiếp điểm Gọi Mlà trung điểm

của SA, BMcắt đường tròn (O) điểm thứ hai C

a) Chứng minh tứ giác OASB nội tiếp b) Chứng minh MA2

= MB.MC

c) Gọi N đối xứng với C qua M Chứng minh C A S =MBS. d) Chứng minh NO tia phân giác ANB.

(68)

Câu Trên đường trịn tâm O bán kính R, lấy hai điểm A, B cho số đo cung lớn AB 2700 Độ dài dây AB là:

A R; B R 3; C 2R 3; D R

Câu Diện tích vành khăn giới hạn hai đường tròn (O; 10cm) (O; 6cm) là:

A

50πcm ; B

64πcm ;

C

60πcm ; D

16πcm

Câu Cho đường tròn (O; R) Từ A (O), kẻ tiếp tuyến AB, tia OA cắt (O) C Biết số đo cung BC 670

, tính số đo OAB:

A 230; B 670; C 1000; D 460 PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)

Bài (3,5 điểm) Một dây AB chai đường tròn (O; R) thành hai cung mà cung gấp ba lần cung Tính:

a) Số đo cung lớn độ dài cung đó; b) Các góc tam giác OAB;

c) Khoảng cách từ tâm O đến dây AB

Bài (4,5 điểm) Cho đường trịn O bán kính R hai điểm A, B nằm đường trịn (AB khơng đường kính) Các tiếp tuyến A, B đường tròn cắt M Kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (C nằm M D) a) Chứng minh tam giác MBC MDB đồng dạng

b) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp

c) Khi AB = R 3, tính bán kinh đường tròn ngoại tiếp tứ giác MAOB theo R

d) Kẻ dây AE (O) song song với MD Nối BE cắt MD I Chứng minh I trung điểm CD

CHƯƠNG IV HÌNH TRỤ, HÌNH NĨN, HÌNH CẦU BÀI DIỆN TÍCH XUNG QUANH

VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH TRỤ I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

Cho hình trụ có bán kinh R chiều cao h Khi đó: Diện tích xung quanh: Sxq = 2πRh

2 Diện tích đáy: S =

R

π

3 Diện tích tồn phần: Stp = 2πRh+2πR2 Thể tích: V =

R h

π

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Tính bán kính đấy, chiều cao, diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình trụ

Phương pháp giải: Vận dụng công thức để tính bán kính đáy, chiều cao, diện tích đấy, diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình trụ 1A Điền kết tương ứng hình trụ vào trống:

Bán kính

đấy (cm) Chiều cao (cm)

Chu vi đáy

(cm)

Diện tích đáy

Diện tích xung quanh

Diện tích tồn phần

(69)

(cm2) (cm2) (cm2)

1

5

10 8π

8 400π

1B Điền kết tương ứng hình trụ vào trống:

Bán kính

(cm)

Diện tích đáy (cm2)

(cm2)

Diện tích tồn phần (cm2)

Thể tích (cm3)

2

2 100π

8 3π

8 400π

2A Một hình trụ có độ dài đường cao gấp đơi đường kính đáy Biết thể tịch hình trụ

128πcm Tính diện tích xung quanh hình trụ

2B Một hình trụ có bán kính đáy 3cm Biết diện tích tồn phần hình trụ gấp đơi diện tích xung quanh Tính chiều cao hình trụ

Dạng Bài tập tổng hợp

Phương pháp giải: Vận dụng cách linh hoạt kiến thức hình học phẳng học kết hợp cơng thức lí thuyết hình trụ kết hợp giải tập 3A Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax, By C D

a) Chứng minh:

i) AC + BD = CD; ii) 

D 90

CO = ; iii) AC.BD =

2

AB

b) Gọi E giao điểm OC AM, F giao điểm MB OD Cho biết OC = 2R, tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ tạo thành cho tứ giác EMFO quay quanh EO

3B Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R) đường kính BC Vẽ đường cao AH tam giác ABC Đường trịn tâm K đường kính AH cắt AB, AC D E

a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật AB.AD = AE.AC

b) Cho biết BC = 25cm AH = 12cm Hãy tính diện tích xung quanh thể tích hình tạo thành cho tứ giác ADHE quay quanh AD

4 Điện kết tương ứng hình trụ vào trống:

Bán kính

(cm)

Diện tích đáy (cm2)

(cm2)

Diện tích tồn phần (cm2)

Thể tích (cm3)

(70)

3 60π

17 20π

20π 28π

5 Cho đường trịn (O) đường kính AB, gọi I trung điểm OA, dây Cd vng góc với AB I Lấy K tùy ý cung BC nhỏ, AK cắt CD H

a) CHứng minh tứ giác BIHK nội tiếp

b) Chứng minh AH.AK có giá trị khơng phụ thuộc vị trí điểm K c) Kẻ DM ⊥ CB, DN ⊥ AC Chứng minh MN, AB, CD đồng quy

d) Cho BC = 25cm Hãy tính diện tích xung quanh hình trụ tạp thành cho tứ giác MCND quay quanh MD

BÀI DIỆN TÍCH XUANH QUANH

VÀ THỂ TỊCH CỦA HÌNH NĨN, HÌNH NĨN CỤT I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Diện tích, thể tích hình nón

Cho hình nón có bán kính đáy R, đường sinh l, chiều cao h Khi đó:

a) Diện tích xung quanh: Sxq = πRl b) Diện tích tồn phần: Stp = πRl+πR2 c) Thể tích:

V = πR h

2 Diện tích, thể tích hình nón cụt

Cho hình nón cụt có bán kính đáy R r, chiều chao h, đường sinh l

a) Diện tích xung quanh: Sxq = π(R+r l) b) Diện tích tồn phần:

Stp = π(R+r l) +πR2+πr2

c) Thể tích: 2

( )

3

(71)

1B Cho hình nón có bán kính đáy r, đường kính đáy d, chiều cao h, đường sinh l, thể tích V, diện tích xung quanh Sxq, diện tích tồn phần Stp Điền kết vào trống bảng sau:

Bán kính r

Đường kính d 20

Chiều cao h 100

Đường sinh l 13

Thể tích V 300π

Diện tích xung quanh Sxq 150π

Diện tích tồn phần Stp

2A Một dụng cụ hình nón có đường dài 15cm và diện tích xung quanh

135πcm

a) Tính chiều cao hình nón

b) Tính diện tích tồn phần thể tích hình nón

2B Một xơ hình nón cụt làm tơn để đựng nước Các bán kính đáy 10cm 5cm, chiều cao 20cm

a) Tính dung tích xơ

b) Tính diện tích tơn để làm xơ (khơng kể diện tích chỗ ghép) Dạng Bài tập tổng hợp

Phương pháp giải: Vận dụng cong thức kiến thức học để tính đại lượng chưa biết từ tính diện tích, thể tích hình nón, hình nón cụt 3A Cho ba điểm A, O, B thẳng hàng, OA = a, OB = b (a, b đơn vị cm) Qua A B vẽ theo thứ tự tia Ax By vng góc với AB Qua O vẽ hai tia vng góc với cắt Ax C, By D

a) Chứng minh tam giác AOC BDO đồng dạng Từ suy tích AC.BD khơng đổi

b) Với 

60

COA= , hãy:

i) Tính diện tích hình thang ABCD;

ii) Tính tỉ số thể tích hình tam giác AOC BOD tạo thành cho hình vẽ quay xung quanh AB

3B Cho hình thang vuông ABCD vuông A B, biết cạnh AB = BC = 3cm, AD = 7cm Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt tạo thành quay hình thang quanh cạnh AB

4 Một hình quạt trịn có bán kính 20cm và góc ởtâm 144° Người ta uốn hình quạt thành hình nón Tính số đo nùa góc đỉnh hình nón

5 Một hình nón có bán kính đáy 5cm và diện tích xung quanh 65 cm

π

Tính thể tích hình nón

6 Một xơ hình nón cụt làm tơn để đựng nước Các bán kính đáy 14cm 9cm, chiều cao 23cm

a) Tính dung tích xơ

b) Tính diện tích tơn để làm xơ (khơng kể diện tích chỗ ghép)

7 Từ khúc gỗ hình trụ cao 15cm, người ta tiện thành hình nón có thê tích lớn Biết phần gỗ bỏ tích 640

cm

(72)

a) Tính thể tích khúc gỗ hình trụ

b) Tính diện tích xung quanh hình nón

BÀI DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH CẦU I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Hình cầu

- Khi quay nửa hình trịn tâm O, bán knhs R vịng quanh đường kính AB cố điịnh ta thu hình cầu

- Nửa đường trịn phép quay nói trê tạo thành mặt cầu

(73)

Loại bóng bóng Quả gơn

Quả khúc cầu

Quả ten-nít

Quả bóng

bàn

Quả bia Đường

kính 42,7mm 6,1 cm

Độ dài đường tròn

lớn

23 cm

Diện tích 1697πcm2

Thể tích 36 nem3

2A Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính cm2) số đo thể tích (tính cm3) Tính bán kính hình cầu

2B Một hình cầu có diện tích bề mặt 1007πm2 Tính thể tích hình cầu Dạng Bài tập tổng hợp

Phương pháp giải: Vận dụng công thức kiến thức học để tính đại lượng chưa biết từ tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu

3A Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax By hai tiếp tuyến với nửa đường tròn A B Lấy tia Ax điểm M vẽ tiếp tuyến MP cắt By N

a) Chứng minh MON APB hai tam giác vuông đồng dạng b) Chứng minh AM.BN = R2

c) Tính tỉ số MON

APB

S

R AM =

d) Tính thể tích hình nửa hình trịn APB quay quan AB sinh

3B Cho tam giác ABC vng cân A có cạnh góc vng a Tính diện tích mặt cầu tạo thành quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vòng quanh cạnh BC

(74)

6 Cho hình câu hình lập phương ngoại tiếp Tính tỉ số phần trăm giữa:

a) Diện tích mặt cầu diện tích xung quanh hình lập phương;

(75)

a) Bình phương thể tích hình trụ sinh hình vng tích thể tích hình cầu sinh hình trịn thể tích hình nón tam giác sinh ra;

(76)

PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)

Khoanh vào chữ chái đứng trước câu trả lời đúng: Câu Thể tích hình trụ

375πcm , chiều cao hình trụ 15cm Diện tích xung quanh hình trụ là:

A

150πcm B 300πcm2 C 75πcm2 D 32πcm2

Câu Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 6cm cố định Quay nửa hình trịn quanh AB hình cầu tích bằng:

A

288πcm B

9πcm C

27πcm D

36πcm

Câu Một hình chữ nhật có chiều dài 3cm, chiều rộng 2cm Quay hình chữ nhật vịng quanh chiều dài hình trụ Khi diện tích xung quanh bằng:

A

6πcm ; B

8πcm ; C

12πcm ; D

18πcm

Câu Diện tích tồn phần hình nón có bán knhs đường tròn đáy 2,5 cm, đường sinh 5,6 cm bằng:

A

20πcm B

20, 25πcm C

20, 5πcm D

20, 75πcm

PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)

Bài (4,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Gọi I trung điểm OA, dây CD vng góc với AB I Lấy K tùy ý cung BC nhỏ, AK căý CD H

a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆BHK qua I

b) Chứng minh AH.AK có giá trị khơng phụ thuộc vị trí điểm K c) Kẻ DN ⊥ CB, DM ⊥AC Chứng minh MN, AB CD đồng quy

d) Cho BC = 25cm Hãy tính diện tích xung qanh hình trụ tạo thành cho tứ giác MCND quay quanh MD

(77)

b) Rút gọn P c) Tìm x để

3

M ≥ − biết M P

Q

=

d) Đặt 4x

A x M x

+

= +

+ Tìm giá trị nhỏ A

Bài (2,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất phải làm 900 chi tiết máy thời gian quy định Do cải tiến kĩ thuật nên tổ vượt mức 15%, tổ hai vượt mức 10% so với kế hoạch Vì hai tổ sản xuất 1010 chi tiết máy Hỏi theo kế hoạch tổ sản xuất phải làm chi tiết máy?

Bài (2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình:

2

3x

1

5x

1

y y

 − =

 +

 

 + =

 +



b) Cho phương trình x2

(m – 1)x – m2 – = với x ẩn m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2thỏa mãn x1 + x2 =2

Bài (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) đường kính AB (AC < BC) Trên dây CB lấy điểm H (với H khác C B) AH cắt đường tròn điểm thứ hai D Kẻ HQ vng góc với AB (với Q thuộc AB)

a) Chứng minh tứ giác BDHQ nội tiếp

b) Biết CQ cắt (O) điểm thứ hai F, chứng minh DF // HQ c) Chứng minh H cách đường thẳng CD, CQ DQ

d) Gọi M, N hình chiếu F AC CB Chứng minh MN, AB, DF đồng quy

Bài (0,5 điểm) Cho x, y ∈R thỏa mãn x + y + xy =

4 Tìm giá trị nhỏ

của biểu thức A = x2 + y2

ĐỀ SỐ Bài (2,0 điểm) Cho biểu thức

3

x x A

x − =

+

3

:

3

x x

B

x x x

  +

= − 

− + +

 

Với x≥0 x≠9

a) Tính giá trị A x = 25 b) Rút gọn B

c) Tìm giá trị x nguyên để A.B có giá trị nguyên

Bài (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình:

(78)

Bài (2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình: ( 1)( 1)

( 3)( 3)

x y xy

+ − = −



 − − = −



b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho prabol (P): y = x2và đường thẳng d: y = 2x + 2m2 – 2m Tìm giá trị m để d cắt (P) cắt hai điểm phân biệt nằm hai phía trục tung Oy

Bài (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R), đường kính AB vng góc với dây cung CD H (HB < R) Gọi M điểm cung nhỏ AC, toa AM cắt đường thăng CD N; MB cắt CD E

a) Chứng minh tứ gics AMEH MNBH nội tiếp b) Chứng minh NM.NA = NC.ND = NE.NH

c) Nối BN cắt (O) K (K ≠ B) Đường thẳng KH cắt (O) điểm thứ hai F Chứng minh ba điểm A, E, K thẳng hàng ∆AMF cân

Chứng minh M di dộng cung nhỏ AC I ln thuộc đường tròn cố định

Bài (0,5 điểm) Cho x, y hai số thực khác Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 22 22 22

4x

( )

y x y

M

x y y x

= + +

+

PHẦN C ĐÁP ÁN

CHƯƠNG III HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1A.* Xét cặp số (12; 1)

Thay x = 12, y = vào 2x - 5y = 19 ta có 2.12 - 5.1 = 19 (ln đúng) Vậy (12; 1) nghiệm phương trình 2x - 5y = 19

* Xét cặp số (1 ; 1):

Thay mặt x = 1, y = vào 2x - 5y = 19 ta có: 2.1 - 5.1 = 19 (vơ lí) Vậy (1; 1) khơng nghiệm phương trình 2x - 5y = 19

* Tương tự trên, ta có cặp số (2; -3) nghiệm, (1; -2) không nghiệm phương trình

1B.Tương tự 1A Ta có (-2; 3) nghiệm phương trình b) d)

2A. Để cặp số (2; -1) nghiệm phương trình mx - 5y = 3m - ta phải có:

2m - (-1) = 3m - ⇔ m =

Vậy với m = (2; -1) nghiệm phương trình cho

2B.Tương tự 2A. Vì (1; -1) nghiệm phương trình nên

1

1 ( 1)

m

m m m

m m

− ≥ 

+ = − ⇔ ⇔ =

+ = −



3A.Gọi phương trình cần tìm có dạng: ax + by = c

Thay nghiệm (2; 0) (-1; -2) vào ax + by = c ta được:

2 2

2

4

c a a b c a b c

b c

 = 

+ =

 ⇒

− − =  −

  =



(79)

Chọn 2

a

c x y

b

= 

= ⇒ = − ⇒ − =



* Chú ý:

- Nếu chọn 0 a c b =  = ⇒  =

 ⇒Loại

- Nếu c ≠ 0, ta chọn c tùy ý Tuy nhiên, nên cân nhắc chọn c hợp lý để tìm a, b số "đẹp"

3B Tương tự 3A Đáp số: -3x - 2y =

4A. a) ;

2 3 x y x ∈    = −  

b)

' x y =   ∈

  c)

x y ∈   = −  

Chú ý: Học sinh tự biểu diễn tập nghiệm phương trình cách vẽ đường thẳng có phương trình

,

3

y= x− x= y= −2 mặt phẳng tọa độ

4B.Tương tự 4A

a) 3' x y x ∈   = −  

b)

' x y =   ∈

  c)

x y ∈   = −  

5A.a) song song với

2

3

m

Ox m m

m − =   ⇔ − ≠ ⇔ =  − ≠ 

b) d song song với

2

m

Oy m m

m − ≠   ⇔ − = ⇔ ∈∅  − ≠ 

c) d qua

(0; 0) ( )

3

O ⇔ ∈O d ⇔ m− = ⇔ =m

d) d qua

(1; 1) ( 2) (3 1)

8

A − ⇔ m− − m− = m− ⇔ =m

5B.Tương tự 5A a) ; ) 1; ) 1; )

m∈∅ b m= c m= d m=

6A. Cách Vì (1; -1) nghiệm 3x - 2y = nên ta có:

1

3( 1) 2( 1) ( )

1

2

x t x y

x y t t

y t = +  − + − = + ⇔ = = ⇒ = − + ∈  

Cách Ta có 5

2

x x x− y= ⇒ =y − = +x −

Đặt 5

( ) x t x t t y t = +  − = ⇒ ∈  = +  

Chú ý: Hai kết cách cách hình thức viết khác biểu diễn tập hợp nghiệm trê,n mặt phẳng tọa độ lại trùng Vì vậy, hai

6B Tương tự 6A

a) 11 ( ) x t t y t = +  ∈  = +

  b)

(80)

7A.Tương tự 6A 18 ( ) 11 x t t y t = +  ∈  = −  

b) Vì x, y ngun dương nên ta có:

6

0

3 18 11

x

t t

y

=  − = − < < ⇒ = ⇒ 

=



8.Tương tự 1A Đáp số: (-1; -8), (3; -2) 9.Tương tự 6A

a) x x y ∈    = −  

; b) 2

1 x y x ∈    = +  

c) x

y =   ∈   d) x y ∈   = −  

; e)

2 x y x ∈   = −  

g) 1

3 x y x ∈    = −  

10.Tương tự 5A

a)

2

m= b)

3

m= ; c) m= −2; d)

13

m=

11.Tương tự 3A 2x + 3y =

12.Tương tự 6A a) ( ) x t t y t = +  ∈  = − +

  ; b)

5 ( ) x t t y t =  ∈  = −  

a) 14 ( ) x t t y = +  ∈  = −

  b) ( ; )x y ∈{(7; 11), (14; 6), (21;1)}

BÀI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1A. a) Ta có a = 3; b = -2; c = 4; a' = -6; b'=4; c' = -8

1 ' ' '

a b c

−

⇒ = = = ⇒Hệ phương trình có vơ số nghiệm

b) Ta có:

' '

a b

a ≠b ⇒Hệ phương trình có nghiệm c) Ta có

' ' '

a b c

a ≠ b ≠ c ⇒Hệ phương trình vơ nghiệm d) Vì b'=0 nên ta xét: ' 3; ' 0 ' '

2

a b a b a = b =− = ⇒ a ≠ b

1B.Tương tự 1A Hệ phương trình

a) Có nghiệm b) Có nghiệm nhất; c) Vơ số nghiệm; d) Vô nghiệm

2A.Xét tỉ số: ' ; ' 1; '

a m b c

m m

a = = b = c = Hệ phương trình: a) Có nghiệm ' '

1

a b m a b

⇔ ≠ ⇔ ≠

b) Vô nghiệm ' ' '

1

m a b c

m m m a b c

= 

⇔ ≠ ≠ ⇔ ≠ ⇔ =



c) Vô số nghiệm ' ' '

2

m a b c

m m m a b c

= 

⇔ = = ⇔ = ⇔ ∈∅

(81)

2B. * Xét m = 0: Hệ phương trình có nghiệm

* Xét m ≠ 0: Tương tự 2A a m) ≠ ±1; b m) = −1; c cm) =1

3A. a) Thay x = -4 y =5 vào -3x + 2y = 21 ta có: -3.(-4) + 2.5 = 21 (Vơ lý)

⇒ (-4; 5) khơng nghiệm hệ phương trình

b) Thay x = -4 y = vào phương trình hệ phương trình thấy thỏa mãn Vậy (-4; 5) nghiệm hệ phương trình cho

3B.Tương tự 3A a) Có; b) Không

4A.Thay x = y = vào hệ phương trình, ta được: 22 2

m m

− + = − 

⇔ = −

 − = −



5

m=

5A.a) Học sinh tự vẽ hình

b) Từ đồ thị (d1) (d2), ta xác định tọa độ giao điểm (d1) (d2) M (3; 1) ⇒(3; 1) nghiệm hệ phương trình cho

c) (d1), (d2) (d3) đồng quy

4 (3;1) ( )

5

M d m

⇔ ∈ ⇔ =

5B.Tương tự 5A a) Học sinh tự vẽ hình; b) (1; 2); c)m = 6.Tương tự 1A hệ phương trình:

a) Có nghiệm nhất; b) Vơ nghiệm;

c) Có nghiệm nhất; d) Có nghiệm nhất; e) Vơ số nghiệm g) Có nghiệm nhất;

7.Tương tự 3A a) Không b) Có

8. Tương tự 2A a) m≠ ±1; b) m= −1; c) m = 1; d) m = -2

9.Tương tự 5A a) Học sinh tự vẽ hình

b) (2; -1); c) m = -5

BÀI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ 1A.Từ PT đầu ⇒ y = 3x - Thay vào PT tìm x =

Thay x = vào y = 3x - tìm y = Vậy nghiệm HPT (3; 4)

b) Tương tự ý a), nghiệm HPT ;

2

 + 

 

 

1B Tương tự 1A

a) (-3; 2) b) Vô số nghiệm

2A. a) HPT cho 21

10 45

x y x y

+ =



⇔  + =



Từ tìm nghiệm HPT (3; 5) b) HPT cho

4

x y x y

− =



⇔  + =



Từ tìm nghiệm HPT 17 ; 11 11

 

 

 

2B.Tương tự A

(82)

3A. a) ĐK: x ≠ y ≠ Đặt u

x =

1

v

y = , ta HPT:

15 9 35

u v u v

− =



 + = 

Giải ta

3

u v

=   = 

Từ nghiệm HPT ban đầu 1 ;

     

b) Tương tự ý a), ta nghiệm HPT 10 19 ;

3

− 

 

 

3B Tương tự 3A

a) 7;

 

 

  b)

7

; 66 11

 

 

 

4A. Thay x = y = -2 vào HPT cho ta được: 2

2

b b a

− = − 

 + =



Giải ta

2

a= b =

4B.Tương tự 4A Tìm a = -2 b = 5A. Vì d1d2cắt điểm I (2; -5) nên

1 I d I d

∈   ∈



Từ ta tìm m = n = -1

5B.Ta có giao điểm d1và trục Oy A(0; -2) Vì A∈d2 nên tìm m = -5

HS tự vẽ hình

6. a) (10; 7) b) 3;3

 

 

 

7. a) 1; 13

2

− − 

 

  b) Vô nghiệm

8 a) 19 4;

 

 

  b)

18 ; 5

 

 

 

9.Tìm a = b = -5 10.Tìm

2

m= HS tự vẽ hình

11. Tìm 1,

2

a= − b= Từ tìm tọa độ giao điểm d1 d2

3 15 ;

I   

12.Tìm 13

8

a= −

8

b= −

13.Tìm m = n = -3

BÀI GIẢI HPT BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ 1A.a) Lấy hai PT trừ cho ta y =

(83)

b) Tương tự câu a) tìm nghiệm HPT 5;        

a) (2; 1) b) Vô nghiệm

2A.a) HPT cho 13 99

6 17 x y x y + =  ⇔  − =

 Từ tìm

4 x y =   = 

b) HPT cho 2

3 x x y = −  ⇔  + =

 Từ tìm

1 x y = −    = 

a) (12; −3) b) 79 ; 51

511 73

− − 

 

 

3A.a) ĐK: x ≠ y ≠ -2 Đặt , 1 a b

x− = y+ = , ta

3 a b a b + =   − = 

Giải ra

1 a b =   =

 Từ tìm

2 x y =   = − 

b) Tương tự câu a) đặt ,

2 a b

x− +y = x+ −y = Từ tìm nghiệm

của HPT (x, y) = (1; 2)

a) 1;

   

  b) 10; 4)

4A. a) Theo đề ta có d qua M (-1; -2) cắt Ox N (2; 0) Từ thay

tọa độ điểm M, N vào d tính được:

2

m= − n = -1

b) Từ 2m - n = ⇒ n = 2m - ⇒ d : y = (2m + 1) x + 6m - Gọi I (x0; y0) điểm cố định d

0

0 0

0

2 (2 6) ( 4)

4

x

x m x y m

x y + =  ⇒ + + − − = ∀ ⇔  − − = 

Giải ta 0 x y = −   = −  Kết luận

4B.Tương tự 4A Đáp số: a= 25

9

b= −

5A.Gọi M = d1∩ d2 Tìm M(5; 1)

Để d1, d2 d3đồng quy M(5; 1) ∈ d3 Từ tìm m =

Thử lại thấy m = 1thoar mãn điều kiện d1, d2 d3đồng quy

5B.Tương tự 5A Đáp số: m = -5

6. a) (14; 11); b) 5;

2

 − 

 

 

(84)

8. a) 53; 47

2

− − 

 

 ; b) (100; 0)

9. a) 9;

4

− − 

 

 ; b)

3 2 ; 2  − − −       

10. Tìm 51,

73 73

m= n= −

11.Tìm 11;

 

 

  nghiệm HPT cho

Thay vào PT 6mx - 5y = 2m - ta thu m =

BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN CHỨA THAM SỐ 1A.Từ phương trình thứ ta có x = 2m - my Thay vào phương trình cịn lại,

ta được: (m2

- 1)y = 2m2 + m - (*)

Số nghiệm hệ phương trình ban đầu số nghiệm (*) a) Khi hệ phương trình:

i) Có nghiệm ⇔ ≠ ±m Nghiệm là: ( ; ) ;2

1 m m x y m m − −   =  − − 

ii) Vô nghiệm 22 1

2

m m m m  − =  ⇔ ⇔ = + − ≠ 

iii) Vô số nghiệm 22 1

2

m m m m  − =  ⇔ ⇔ = − + − = 

b) Với m≠ ±1, hệ phương trình có nghiệm ( ; ) ;2

1 m m x y m m − −   =  − − 

i) Ta có { }

1

1 0; 2 1

2 1 m x m m m m m y m m −  = = − − ∈  − − ⇒ − = ± ⇒ ∈  −  = = + ∈  − −   

ii) Hệ thức không phụ thuộc vào m x + y =

1B.a) Cách 1.Làm tương tự 1A

Cách 2:

* Xét m = ⇒Hệ phương trình có nghiệm 1;

      * Xét m≠0: Với 2

8

m

m m

≠ ⇔ ≠ ± : Hệ Phương trình có nghiệm

nhất ;

2

m m m +    + +   

Với m = 2: Hệ phương trình vơ số nghiệm Với m = -2: Hệ phương trình vơ nghiệm

b) i) Với m≠ ±2: Hệ phương trình có nghiệm

1

( ; ) ;

2

m

x y y x

m m +   = ⇒ = + + +  

ii) 3( 4)

2

m

x y m

m m +

+ = ⇔ + = ⇔ =

+ +

(85)

a) m≠ ± ⇒2 hệ có nghiệm ( ; ) 3; 2 m m x y m m + −   =  + + 

m= − ⇒ hệ vô nghiệm;

2

m= ⇒ hệ vô số nghiệm; b) Với m≠ ±2

i) Thay 3;

2 m m x y m m + − = =

+ + vào hệ thức 2x + y = ⇒Đpcm

ii) 13 6.2 13

2

m m

x y m

m m

+ −

− = ⇔ − = ⇔ =

+ +

a) Với

m≠ − , hệ phương trình có nghiệm

2

( ; ) ;

2

m m x y m m + −   =  + + 

Với

2

m= − , hệ phương trình vơ nghiệm b) i) x + 2y =

ii) 1; 0; 0

2

m

x y m

m m

> > ⇔ > > ⇔ >

+ +

3A.Từ phương trình thứ ta có 2

5

mx

y= + Thay vào phương trình cịn lại ta phương trình (25-4m2

)x = 15 - 6m

Với

2

m≠ ± : Hệ phương trình có nghiệm

3

( ; ) ;

2 5

x y m m   = −  + +  

Khi x y; ∈ ⇔ (2m+5) nhận giá trị ước ⇒ ∈ − − − −m { 4; 3; 2; 1} Các cặp nghiệm nguyên {(−1; ;) (−3; ; 3; ; 1, 0) ( − ) ( )}

3B.Tương tự 3A ( ; ) ; { 1; 0}

2

x y m

m m

 

= − ⇒ ∈ −

+ +

 

4A. Tương tự 3A Với m≠ ±2: Hệ phương trình có nghiệm

3 ; 2 m m    + +    Khi 1 2 1 x m m y m  >  >

 ⇒ + ⇔ − < <  > 

  >

 + 

4B Tương tự 4A 10

15 m

− < <

5.Tương tự 3A Với m≠ −1: hệ có nghiệm (m + 1; m - 3) Khi S = x2

+ y2= 2(m - 1)2 + ≥

⇒ Smin = m =

6. a) (x; y) = (-2; 1); b) Tương tự 2A

3

(86)

7 Tương tự 1A a)m≠ ±1 b) m = -1 c) m =

8.Tương tự 3A m∈ −{ 1; 0}

9.Tương tự 3A

2

4 ( ; ) ;

1

m m

x y

m m

 − + 

=  + + 

 

Đáp số: x y nguyên với m∈ −{ 1; 0;1}

10. Tương tự 1A a) Với giá trị m, hệ phương trình có nghiệm

2

2 5

( ; ) ; ; )

2

m m

x y b m m m

+ −

 

=  =

+ +

 

11.a) Tương tự 2A

Với m ≠ m ≠ 1: Hệ phương trình có nghiệm 1 ;

m

m m

−

 

 

 

Với m = 0: hệ phương trình vơ nghiệm

Với m = 1: hệ phương trnhf vô số nghiệm (2 - 2y; y) với y∈ b) i) gợi ý: Từ ( ; )x y m 1;

m m −

 

=   ta khử m để tìm hệ thức x, y không phụ thuộc m Đáp án: M chạy đường thẳng có phương trình y = -x +

ii) M(x;y) thuộc góc phần tư thứ ⇔ >x y > Đáp số: m > 1;

iii) Gợi ý: ( )

0; 5 1;

2

M∈ ⇔OM = ⇒ ∈ −m    

BÀI GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1A.Gọi số cần tìm * *

, , , ;

ab a∈ b∈ a b≤

Ta có HPT: 63

99

ba ab ab ba

 − =

 

+ =



Giải HPT thu ab=18, ba=81 Từ ta có số cần tìm 18

1B.Gọi số cần tìm *

, , , ,

ab a∈ b∈ a b≤ Ta có HPT:

90 630

a b a

− = 

 =

 Từ thu số cần tìm 75

2A Gọi thời gian A, B xong cơng việc x, y (ngày) (ĐK:

x, y < 6)

Mỗi bạn A, B làm x

1

y cơng việc Ta có HPT:

1 1

x y y x

 + = 

  − = 

Giải HPT thu

18

x y

=   =



Kết luận

2B.Gọi thời gian xe I, xe II làm xong cơng việc x, y (ngày)

(87)

Ta có HPT:

1 1

18

6 40

100 x y x y  + =    + = 

Giải HPT thu 45

30 x y =   =  Kết luận

3A. Gọi thời gian vòi I, vịi II, chảy đầy bể x, y (giờ) (ĐK:

x, y > 5)

Tìm HPT:

1

24

4 3

4 x y x y  + =    + = 

Giải HPT thu

12 x y =   =  Kết luận

3B. Gọi thời gian vịi I, vịi II chảy đầy bể x, y (giờ) (ĐK:

x, y > 3)

Ta có HPT:

1 12 35 x y x y  + =    − = 

Giải HPT thu

5 x y =   =  Kết luận

4A. Gọi thời gian ô tô đoạn đường x, y (giờ) (ĐK: y > x

> 0)

Ta có HPT: 50 45 165

0, x y y x + =   − =

 Giải HPT thu

1, x y =   =  Kết luận

4B. Gọi chiều dài AB cần tìm x (x > 0,km) vận tốc theo dự định y (y >

10,km/giờ)

Theo ta có HPT:

3 10 10 x x y y x x y y  = −  +    = +  −  Giải HPT thu 600

40 x y =   = 

Vậy vận tốc lúc đầu 40km/giờ, thời gian dự định 15 giờ,quãng đường AB dài 600km

5A. Gọi vận tốc riêng canô vận tốc dòng nước x, y (km/h)

(ĐK: x > y > 0) Ta có HPT:

108 63

7

81 84

7

x y x y x y x y

 + =  + −    + =  + − 

Giải HPT thu 24

3 x y =   = 

Vậy vận tốc dịng nước vận tốc canơ 3km/h 24km/h

5B.Gọi vận tốc riêng canơ dịng nước x, y (km/h) (ĐK: x > y

(88)

Ta có HPT:

3( ) 4( ) 380

1

( ) ( ) 85

2

x y x y x y x y

+ + − =

 

 + + − =



Giải HPT ta 55

5

x y

=   = 

Kết luận

6A. Gọi vận tốc ô tô x (km/h) vận tốc tàu hỏa y (km/h) (y > x > 5)

Ta có HPT:

4 640 5 4,

x y x

y x y

+ = =

 

⇔

 − =  =

 

Vận tốc người A 5km/h, vận tốc người B 4,5km/h

7A.Gọi số dụng cụ xí nghiệp I II làm x, y (x, y ∈*)

Ta có HPT: 360 200

112% 110% 400 160

x y x

x y y

+ = =

 

⇔

 + =  =

 

Vậy số dụng cụ xí nghiệp I II phải làm 200 (dụng cụ) 160 (dụng cụ)

7B.Gọi số quần áo tổ A B sản xuất tuần đầu x, y (x,

y ∈*)

Ta có HPT: 1500 900

125% 82% 1617 600

x y x

x y y

+ = =

 

⇔

 + =  =

 

Vậy số quần áo tổ A B làm tuần đầu 900 (bộ) 600 (bộ)

8A.Gọi chiều cao chiều dài đáy tam giác x, y (dm) (x > 0, y >

3)

Ta có HPT:

3

33

1 44

( 3)( 3) 12

2

x y

x y xy

 =

  =

 ⇔

  =



 + − − =



Vậy chiều cao chiều dài đáy tam giác 33dm 44dm

8B.Gọi chiều dài chiều rộng khu vườn x, y (m) (x, y> 0)

Ta có HPT: 24

4 81 15

x y x

x y y

+ = =

 

⇔

 + =  =

 

Vậy chiều dài chiều rộng khu vườn 9m 16m

9A. Gọi vận tốc dự định thời gian dự định ô tô x (km/h), y

(giờ) (x > 4, y > 1) Ta có HPT:

( 8)( 1)

40

6

( 4)( )

3

x y xy

x y x y xy

+ − =

  =

 ⇔

  =

− + = 



Vậy vận tốc dự định ô tô 40km/h thời gian dự định (giờ)

9B.Gọi số băng chế x (ghế) số chỗ ngồi băng ghế y (chỗ) (x >

2, y > 1, x, y ∈)

(89)

Sau bớt băng ghế cịn lại x - ghế Mỗi ghế ngồi thêm người số chỗ ngồi băng ghế y + Khi thêm người so với ban đầu, ta có phương trình (x - 2) (y + 1) = xy +

Lập luận tương tự ta có HPT:

( 2)( 1) 20 ( 3)( 1)

x y xy x

x y xy y

− + = + =

 

⇔

 + − = −  =

 

Vậy số băng ghế 20 (ghế)

10.Gọi chiều dài chiều rộng khu vườn x, y (m) (x > 0, y > 4)

Ta có HPT: 720 30

( 6)( 4) 720 24

xy x

x y y

= =

 ⇒

 + + − =  =

 

Vậy chiều dài chiều rộng khu vườn 30m 24m

11.Gọi chiều dài chiều rộng hình chữ nhật x, y (m) (x> 2, y > 3)

Ta có HPT: ( 2)( 3) 100 22

( 6)( 2) 68 14

x y xy x

x y xy y

+ − = + =

 

⇒

 + − = −  =

 

Vậy chiều dài chiều rộng hình chữ nhật 22m 14m

12. Gọi thời gian vòi I vòi II chảy đầy bể x, y (giờ) (x, y

> 12)

Ta có HPT:

1 1

20 12

5 15 75 30

100 x x y y x y  + =   =  ⇒   =   + = 

Vậy thời gian vòi I vịi II chảy đầy bể 20 30

13. Gọi thời gian người thứ người thứ hai làm x, y

(ngày) (x, y > 4)

Ta có HPT:

1 1

6 12 1 2 x x y y x y  + =   =  ⇒   =   + = 

hoặc 12

6 x y =   = 

Vậy thời gian người thứ người thứ hai làm xong việc ngày 12 ngày ngược lại

14. Gọi thời gian ca nơ ngược dịng từ A đến B xi dịng từ B A

là x, y (giờ) (x > y > 0) Ta có HPT:

8 20

3

15 25

x y x x y y  − =  =  ⇒    =  =   Vậy khoảng cách AB 25.4 = 100km

15.Gọi vận tốc xe thứ xe thứ hai x, y (km/h) (x, y > 0)

Ta có HPT:

1, 1, 90

45 90 90 30 x y x y y x + =  =   ⇒  − =  =  

(90)

16.Gọi vận tốc xe ô tô xe máy x, y (km/h) (x, y>0) Khi xe

xuất phát gặp C tơ xemays quãng đường 120km 80km ta có phương trình 120 80

x = y ;

Khi xe ô tô xuất phát sau xe máy gặp D tơ xe máy quãng đường 96km 104km ta có phương trình 96 104

1

x + = y ;

Ta có HPT:

120 80

60

96 104 40

1

x x y

y x y

 =

  =

 ⇒

  =

  + =



Vậy vận tốc ô tô 60km/h vận tốc xe máy 40km/h

17 Gọi số dụng cụ phân xưởng làm ngày x, y (dụng cụ) (x

> y > 0) (x, y ∈*)

Ta có HPT: 20 15 1600 50

4 40

x y x

x y y

+ = =

 ⇒

 =  =

 

Vậy số dụng cụ phân xưởng I II phải làm 20.50 = 1000 (dụng cụ) 15.40 = 600 (dụng cụ)

18.Gọi số học sinh hai trường x, y (học sinh) (x, y ∈*) Ta có HPT:

350

200

97 96

150 338

100 100

x y

x y x y

+ =

  =

 ⇒

 + =  =





Vậy số học sinh dự thi trường A B 200 học sinh 150 học sinh

19. Gọi khối lượng riêng chất lỏng loại I loại II x,y (kg/m3) (x, y > 0)

4kg chất lỏng loại I 3kg chất lỏng loại II só khối lượng riêng

4 ;

x y (kg/m

3), hỗn hợp sau trộn có khối lượng riêng

( / ) kg m

x+ y

Ta có HPT:

7

700

4 800

600 200

x x y y x y

 =

  =

 + ⇒

  =

 

− = 

Vậy khối lượng riêng chất lỏng loại I 800kg/m3, chất lỏng loại II 600kg/m3

20. Gọi số dãy ghế phòng lúc đầu x (dãy) (x ∈*) Gọi số ghế

mỗi dãy y (ghế) ( y ∈* )

Ban đầu có 320 người nên ta có phương trình xy = 320;

Khi tăng số dãy ghế thêm số người dãy thêm 4, ta có phương trình (x + 1) (y + 4) = 420

Ta có HPT: 320

( 1)( 4) 420 80

xy x

x y y

= =

 

⇒

 + + =  =

 

20 16

x y

(91)

Vậy số dãy ghế lúc đầu phòng dãy 20 dãy

ÔN TẬP CHƯƠNG II 11.a) Học sinh tự giải: ( ; ) 17 1;

5

a y =  

 

b) i) Hệ phương trình có nghiệm

1

m m ⇔ ≠ ⇒ ≠ −

−

ii) Hệ phương trình vơ nghiệm

2

1

m

⇔ ≠ ≠ ⇒ −

−

iii) Hệ phương trình có vơ số nghiệm

1

m

⇔ ≠ = ⇒

− không tồn

m thỏa mãn

1B. a) Ta có

3 m m m −

≠ ⇔ ≠ − với m Vậy hệ có nghiệm với m

b) Sử dụng phương pháp (hoặc cộng đại số) tìm

2

2 5

( ; ) ; 3 m m x y m m + −  

=  + +  Khi i)

2

2 2

2 5

1

3 3

m m m m

x y m

m m m m

+ − + = − ⇔ + = − ⇔ = + + + + ii) 2

0

0 m x m m y m m +  >  >

 ⇔ + ⇔ − < <  <  −

  <

 +



2A.a) Đưa hệ phương trình

( 1)( 1) ( 1)

x my m

m m y m m

= − + + 

 − + = −



+ Nếu m = -1 hệ cho vô nghiệm; + Nếu m = hệ cho có vô số nghiệm;

+ Nếu m≠1 m≠ −1 hệ cho có nghiệm

2 1 m x m m y m +  =  +   =  + 

b) Theo câu c, ta có

2 1 1 , 1 1 m m m x y m m m +  ∈  − ∈    +  + ∈ ⇔ ⇔  ∈  − ∈  +  +       

Từ tìm m = {0; -2} c) Ta có

1 1 1 x m x y y m  = −  + ⇒ − =   = −  + 

2B a)Học sinh tự giải: ( ; ) ; 12

11 11

x y = − −    b) Đưa hệ phương trình

(2 )

x my m y m

= − + 

 − = −

(92)

+ Nếu

m= hệ cho vô nghiệm; + Nếu

3

m≠ hệ có nghiệm

2 m x m m y  =− +  −  −  =  − 

c) Theo câu b ta có

2

3 18 36

3 5

2 3

1 m m m x y m m  = − − + −  + = − ⇒ + = − ⇔  − − = − 

3A.Gọi chiều dài, chiều rộng mảnh đất x, y (m) (ĐK x, y > 0)

Ta có HPT: 55

2 10

x y x y

+ = 

 − =

 Giải HPT thu

35 20 x y =   =  Kết luận

3B.Gọi chiều dài, chiều rộng mảnh đất x, y (m) (ĐK x > y > 4)

Ta có HPT: 140

( 4)( 4) 4256

x y

+ = 

 − − =

 Giải HPT thu

80 60 x y =   =  Kết luận

4A.Gọi thời gian người thứ thứ hai xong cơng việc

là x, y (giờ) (ĐK: x, y > 7)

Mỗi người thứ thứ hai làm x

1

y (công việc)

Ta có HPT:

1

36 50% x y x y  + =    + = 

Giải HPT thu 12

18 x y =   =  Kết luận

4B.Gọi số xe lúc đầu lúc sau x, y (xe) (ĐK: x, y ∈ *

 , x, y > 2)

Ta có HPT:

28 28 0, y x x y  − =    − = 

Giải HPT thu 10

8 x y =   =  Kết luận

5A.Gọi quãng đường AB vận tốc riêng ca nô x (km), y (km/h)

(ĐK: x > 0, y > 5) Ta có HPT:

4 5 30 x x y y y  − =  − +   + = 

Giải HPT thu 80

25 x y =   =  Kết luận

5B. Gọi vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước x, y (km/h)

(93)

Ta có HPT:

81 105

8

54 42

4

x y x y x y x y

 + =  + −    + =  + − 

Giải HPT thu 24

3 x y =   =  Kết luận

6A. Gọi giá tiền đôi giày quần áo trước giảm giá x, y

(đồng) (ĐK: x; y > 0)

Ta có HPT: 148000

80% 60% 101100

x y x y + =   + = 

Giải HPT thu 61500

86500 x y =   =  Kết luận

6B.Gọi số chi tiết máy tổ I tổ II làm tháng, thứ x, y (chi

tiết) (ĐK: x, y > 0)

Ta có HPT: 900

115% 110% 1010

x y x y + =   + = 

Giải HPT thu 400

500 x y =   =  Kết luận

7. a) Học sinh tự giải ( ; ) 12;

5

x y = −   ;

b) Hệ có nghiệm

2 3

m

≠ − ⇔ ≠ −

Khi giải HPT tìm

12 x m m y m  =  +  − +  =  + 

Ta có , 12

3

x y m

m

+ +

∈ ⇒ ∈ ⇒ =

+

  thử lại thỏa mãn

8. a) Học sinh tự giải ( ; ) 13; 17 17

x y =    ;

b) Giải HPT tìm

3 17 17 m x y +  =   −  = 

Ta có ,

5

x y> ⇒ >m

9. a) Đưa hệ phương trình ( 1)

( 2) ( 2)( 1)

y a x a

a a x a a

= − − +



 − = − +



+ Nếu a = hệ cho vô nghiệm; + Nếu a = hệ cho có vơ số nghiệm;

+ Nếu a≠0 a≠2hệ cho có nghiệm

(94)

b) i) ta có 1 1 a x a a x y y a +  = = +  ⇒ − =   = 

ii) Ta có

2

2 1

6 19 19

6 a x y a a a =    − = ⇔  +  − = ⇔ =   

10. a) Học sinh tự giải (x; y) = (2; -2);

b) Với m ≥ 0: hệ phương trình có nghiệm

( ; )x y =( m; 2)− ⇒ =P m− ≥ − ∀ ≥ ⇒2 m P = −2 taij m=

11. a) Học sinh tự giải ( ; ) 2;10 2

x y = − − 

 

b) Đưa hệ phương trình

(2 )(2 ) 10

x my

m m y m

= − + 

 − + = −



+ Nếu m = -2 hệ cho vô nghiệm; + Nếu m = hệ cho có vơ số nghiệm; + Nếu m≠ ±2 hệ co có nghiệm

8 m x m y m −  =  +   =  + 

c) Với m≠ ±2HPT có nghiệm ; 2 m m m −    + + 

 ; giải yêu cầu

bài toán ta tìm

i) m = ii) m >

12. Gọi số cần tìm x, y (ĐK x; y ∈) Ta có 2 217

157 x y x y + =   + = 

Giải HPT thu

11 x y =   =  x y =   = 

Kết luận Hai số cần tìm 11

13. Gọi chiều dài chiều rộng ruộng x, y (m) (ĐK x > 5; y

> 0)

Ta có HPT 100

( 5)( 2) 105

xy

x y

= 

 − + =

 Giải HPT thu

20 x y =   =  Kết luận

14. Gọi chiều cao chiều dài cạnh đáy ruộng x, y (m) (ĐK

x > ; y > 0)

Ta có HPT

1

180

1

( 1)( 4) 180 xy x y  =    − + = 

Giải HPT thu 10

(95)

15.Gọi thời gian tổ I IIl làm xong cơng việc x, y (giờ) (ĐK

x; y > 6)

Trong tổ làm 1;

x y cơng việc

Ta có HPT

1 1 2 10

1

x y x y x

 + = 



 + + = 

Giải HPT thu 15

10 x y =   =  Kết luận

16.Gọi vận tốc thời gian dự định x(km/h), y (giờ) (ĐK x; y > 0)

Ta có HPT

120

40 80

10 xy y x x =    + + =  + 

Giải HPT thu 40

3 x y =   = 

Kết luận Vận tốc dự định 40 (km/h), thời gian lăn bánh đường

40 80

40+40 10+ = 2,6 (giờ)

17.Gọi vận tốc thời gian dự định x (km/h),y (giờ) (ĐK x ; y > 0)

Ta có HPT

36

18 18

10 xy y x x =    + + =  + 

Giải HPT thu 1018 x y =    = 

Kết luận Vận tốc dự định 10 (km/h), thời gian lăn bánh đường

18 18

10+10 2+ =3,3 (giờ)

18. Gọi suất làm công nhân x (sản phẩm) Gọi thời gian

dự định làm xong việc y (giờ) (ĐK x∈ +

 ; y > 0)

Ta có HPT

150

2 2 xy x y x =   −  + + =  + 

Giải HPT thu 2015 x y =    = 

Kết luận NĂng suất dự dự định làm 20 sản phẩm

19. Gọi khối lượng loại quặng x, y (tấn) (ĐK < x, y < 25)

66% sắt có 25 quặng chiếm 16,5

Ta có HPT 25

75% 50% 16,

x y

+ = 

 + =

 Giải HPT thu

16 x y =   =  Kết luận

20 Gọi số dầu thùng x, y (lít) (ĐK: x > 10, y > 0) Số

dầu thùng (x - 10) (lít)

Ta có HPT ( 10) 80

10 26

x x y

x y

+ − + =



 − = +

 Giải HPT thu

42 x y =   =  Kết luận

21.Gọi số ghế số người phòng họp x (ghế) y (người) (ĐK

(96)

Ta có HPT 6( 1) x y x y + =   − =

 Giải HPT thu

15 84 x y =   =  Kết luận

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG III ĐỀ SỐ

PHẦN I TRẮC NGHIỆM

Câu A Câu A Câu B Câu B

PHẦN II TỰ LUẬN

a) Sử dụng phương pháp cộng phương pháp thế, ta tìm được:

1 x y =   = 

b) Điều kiện x≠ −1; y≠2

Đặt

1

a x =

+

1

b y

=

− , ta

3 a b a b + =   + = 

Giải ta a = b = Từ tìm

3 x y =   = 

Bài 2.Gọi số cần tìm là:

; ; ; ,

ab a∈N b∈N a b≤ Theo ta có

18 a b ab ba + =   − = 

Giải ta số cần tìm là: 42

Bài 3. a) Với m = 1, phương trình có nghiệm tổng qt là: y x

x

= − 

 ∈

 

HS tự biểu diễn tập nghiệm hệ trục tọa độ b) Ta có hệ phương trình

2

x my m x y

+ = +



 − = 

Để phương trình khơng có nghiệm chung hệ phương trình

nghiệm 1

2

m

m + m

⇔ = − ≠ ⇒ = −

c) Xét hệ phương trình

3

x my m mx y m

+ = +



 + = −



Với m≠ ±1, HPT có nghiệm nhất: ( ; ) 1;

1 m m x y m m + −   =  + +  Ta có:

2 2

3 1 3( 1) 8( 1)

1 ( 1) ( 1) ( 1)

m m m m m

x y

m m m m m

+ − + + +

= = − +

+ + + + +

Từ tìm x.y có giá trị nhỏ -1 m =

Câu D Câu B Câu B Câu A

(97)

Bài 1.a) Ta biến đổi hệ phương trình:

x y

x y x y

− =

 ⇔ = =

 + = 

b) Biến đổi, ta

3

( 1)

2

3

1

2 2

y x x

x y

 +

 = − −  =

 ⇔

 + 

=

  = −

 

c) Điều kiện x y, ≠0 Đặt a 1;b

x y

= = , ta hệ phương trình:

1 15 2

1 35

3

a b a b

y

 = 

− =

 ⇔

 + = 

  =



Bài 2.Gọi thời gian để đội đội làm xong cơng việc x

và y (ngày) với (x > 0; y > 0)

Mỗi ngày đội đội làm 1 ;

x y (cơng việc)

Theo ta có:

1 1

45 18

6 30

40%

x x y

y x y

 + =

  =

 ⇔

  =

  + =



Vậy đội làm hết 45 ngày xong cơng việc Vậy đội làm hết 30 ngày xong cơng việc

Bài Với a≠0 a≠2 hệ phương trình có nghiệm là: ( ; )x y a 1;

a a +

 

=    

a) Từ 1

1 ;

a

x y x y a a a

+

= = + = ⇒ − =

b) Thay x a 1;y a a

+

= = vào 6x2 - 17y = ta được:

2

5 ( 2)( 3)

3

a

a a a a

a

= 

− + = ⇔ − − = ⇔ 

=



Kết hợp với điều kiện a≠ ⇒ =2 a 3(tm)

CHƯƠNG IV CHƯƠNG HÀM SỐ y = ax2(a ≠ 0)

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

BÀI HÀM SỐ y = ax2(a ≠ 0) VÀ ĐỒ THỊ

1A.a) Tìm f( 2)− = −8; f(0); f(3 2)− = − +34 24

b) Ta có f a( )= − +10 ⇔ = ±a ( 3− 2)

c) Ta có

( ) 6

f b ≥ b+ ⇒ − b ≥ b+ Từ tìm b∈∅

a) Tìm f( 3)− =27; f(2 2)=24, f(1 3)− =39 12 3−

b)ta có a= ±( 1)+ c) Ta có b≥ +1 b≤ −1

2A. a) Thay tọa độ điểm A với 2,

3

(98)

b) Do (-2; 1) nghiệm hệ phương trình 22

2

x y

+ = − 



− =

 nên tương tự Câu a) ta

tìm

m= −

2B.Tương tự 2A.

a) Tìm

m= − b) i)

2

m= ; ii) m =

3A. a) Tính S(3) = 36m; S(5) = 100m ⇒Vật cách mặt đất sau thời gian

giây 100 - S(3) = 64m sau thời gian giây 0m b) Ta có 4t2= 100 Tìm t = 5(s)

3B Tương tự 3A

a) ta có s(4) = 130(m) b) t = 5(s)

4A.a) Ta có 3m + < Từ tính

3

m< − b) Ta có 3m + > Từ tính

3

m> − c) Ta có 3m + > Từ tính

3

m> − d) Ta có 3m + < Từ tính

3

m< −

a)

3

m< b)

3

m> c)

3

m< d)

3

m>

5A. a) Ta có a = -m2 - 2m - = - (m + 1)2 - < 0, ∀m ⇒ĐPCM b) Ta có (-m2 - 2m - 3)1 11

4

−

= Tìm m∈ −{ 4; 2}

5B. Ta có

2

m m

 − − > 



− ≥

 Từ tìm

7

m>

6A. a) Từ A(− 2; 4)∈( )P , tìm a = b) i) Đồ thị hàm số y = 2x2(hình vẽ) ii) Cho y = ta tìm x= ±1

Vậy điểm cần tìm (1; 2) (-1; 2)

iii) Có

0 0

( ; ) ( )

M x y ∈ P ⇒ y = x M cách Ox, Oy nên ta có

2

0 0

x = y ⇒x = ± x Tìm

1

0; ;

2

x ∈ − 

  Vậy điểm cần tìm

1

(0; 0), ;

2

M M  

 

1 ; 2

M −   

a)

3

m= b) i HS tự vẽ ii) 1;1

   

  iii) (0;0), (6;12)

(99)

b) Thay x = 1, y = vào (P), ta đẳng thức A thuộc (P) Tương tự ta có B (-1; -1), C (10; -200) không thuộc (p)

a) Học sinh tự làm

b) Các điểm B, C thuộc (P), điểm A không thuộc (P)

8A.a) Đồ thị (P) d hình vẽ

b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P)

và

:

d x = x

Tìm x =

x= Vậy giao điểm (0; 0) 1;

2

     

c) Dựa vào đồ thị, ta thấy x ≤

x≥ nghiệm bất phương trình

2

x ≥ x

b) i) Ta tìm điểm ( 2; ,) (− 2; 4) ii) Ta tìm điểm (0; 0), 1 1

; , ;

2 2

−

   

   

   

c) Ta có: 2x2 = 2m - Đường thẳng d : y = 2m - song song với trục hồnh Dựa vào đồ thị, ta có:

* Với

m= : Phương trình có nghiệm x = * Với

2

m> : Phương trình hai nghiệm 1,2

2

m x = ± − ; * Với

2

m< : Phương trình vơ nghiệm

a) Học sinh tự vẽ đồ thị hàm số

2

y= x

b) Với m = 2: Phương trình có nghiệm x = Với m > 2: Phương trình có hai nghiệm x12 = ± 2m−4 Với m < 2: Phương trình vơ nghiệm

10. a) Hai giao điểm O (0;0) 1;

M   

b) Tìm N(1;1) c) Không tồn giao điểm d) Ta có

2

( 4; 8), (4 ; 8)

2

m m

K − −m − m− H −m + m−

11. a) Ta có m = b) Ta có

2

m= c) Ta có m= ±

(100)

a) Ta có 2

2 ( 1)

m + m+ > − m+ + > (luôn đúng)

b) Ta có

2

m + m+ = Tìm

1

m m

 = − + 

= − −



a) Tìm

3 m

−

≤ < b) Tìm

3

m>

a) Tìm m = b) Tìm

m= −

a) Ta có S(,15) = 2,25(m) ⇒ cá heo cách mặt trước sau 1,5 giây 1,75 mét

b) Tính t = giây

16. a) Tìm a =

b) Ta có d qua O nên d :y = mx Vì d qua N(2; 4) nên = 2m Tìm m = Vậy d : y = 2x

c) Đồ thị (p) d hình vẽ

d) Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x2

= 2x Tìm

được

2

x x

=   =



Vậy tọa độ giao điểm (P) d là: (0; 0) (2; 4)

b) Tọa độ giao điểm (P) d (0; 0) 9;

      c) Tính

0

4

x ≤ ≤

BÀI CƠNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1A. a) Ta có

5x −7x= ⇔0 x x(5 −7)=0 Tìm 0;7

x∈    

b) Ta có 2

3x x

− + = ⇔ = Tìm x= ± c) Ta có

6 ( 1)( 5)

x − x+ = ⇔ x− x− = Tìm x∈{ }1;5 d) Ta biến đổi thành 3(x + 2)2= 11 Tìm 33

3

x= − ±

a) Tìm x={2 3; 0} b) Vơ nghiệm c) Tìm 37

2

x= ± d) Vơ nghiệm

2A.Thay x = vào phương trình ta có 4.12 + m2+ 4m = Tìm m = -2

Tìm 11

5

(101)

3A. a) Ta có a = 2, b = -3, c = -5 Tính ∆ = 49 > Phương trình có hai nghiệm phân việt: 1,2

5 1;

2

b

x x

a

− ± ∆  

= ⇒ ∈ − 

 

b) ta có a = 1, b = -6, b' = -3, c= Tính ∆' = Ta tìm x∈{ }4; c) Ta có a = 9, b = -12, c = Tính ∆ = Phương trình có nghiệm kép

1

2

x =x =

d) Ta có a = -3, b = 4, c = -4 Tính ∆ = -32 < Phương trình vơ nghiệm

a) Tìm 1,2

1

x = ± b) Tìm x =

c) Tìm 1;

5

x∈ − 

  d) Tìm x∈∅

4A.Tương tự 3A

a) Tìm 5 ;

2

x∈  − − − 

 

 

b) Tìm 2

x= c) Tìm

3

,

3

x = x = − d) Tìm 6 6

;

3

x∈  + − + 

 

 

4B Tương tự 3A, 4A

a) Tìm 1,2

11

x =− ± b) Tìm x∈∅ c) Tìm x∈{ }2; b) Tìm

3

x

5A. Xét ∆' = (m - 1)2 - m(m - 3) = m +

a) Phương trình có nghiệm phân biệt

0

m≠

 ∆ >

 ⇔Tìm m≠0, m> −1

b) Xét 3( )

2

m= ⇒ x− = ⇔ =x TM

Xét m≠0 Phương trình có nghiệm kép '

m

≠

 ⇔ = −

∆ = 

c) Tương tự, ta tìm m < -1 d) Tìm m =

e) Tìm m≥1; m≠0

5B Tương tự 5A

a) Tìm 1,

m>− m≠ b) Tìm

4

m= − d) Tìm

4

m<− d) Tìm m = e) Tìm m =

4

(102)

6A. a) Ta có

2 0,

m m m m

∆ = + + ≥ ∀ ⇒ ∆ = +

* ∆ = ⇔ = −0 m 1: Phương trình chó có nghiệm kép: 1 2

m x =x = − * ∆ > ⇔ ≠ −0 m 1: Phương trình chó có nghiệm phân biệt: x1 =m x, 2 = −1

b) Với m= ⇒3 Phương trình có dạng:

x x

− − = ⇔ = − Với m≠ ⇒ ∆ =3 ' 9m−18

* ∆ < ⇔ <' m 2: Phương trình vơ nghiệm

* ∆ = ⇔ =' m 2: Phương trình có nghiệm kép:

3 m x x m = = −

* '

2

m m

≠  ∆ > ⇔  >

 : Phương trình có nghiệm phân biệt:

9 18 , m m x m ± − = −

6B Tương tự 6A

a) Với m= ⇒ =0 x 2;

Với n≠ ⇒ ∆ = −0 12m+1

* '

12

m

∆ < ⇔ > : Phương trình vô nghiệm

*

12

m

∆ = ⇔ = : Phương trình có nghiệm kép: 1 2

2 m x x m − = = * 0 1 12 m m ≠   ∆ > ⇔  <

 : Phương trình hai có nghiệm phân biệt:

1 12

, m m x m − ± − =

b) Với

2

3

m= ⇔ =x ; Với m≠ ⇒ ∆ =2 ' 4m+1:

* '

4

m −

∆ < ⇔ < : Phương trình vơ nghiệm

* '

4

m −

∆ = ⇔ = : Phương trình có nghiệm kép: 1 2

2 m x x m + = = − * 0 1 m m ≠   ∆ > ⇔  > −

 : Phương trình có hai nghiệm kép: 1,2

1

2 m m x m + ± + = −

7A Ta có ∆ = − −(b c a b c)( − +a b c a b c)( + − )( + +a) Từ chứng minh ∆ <0

7B. Ta có 2

2 2

a b c ab bc ca

∆ = + + − − −

Vì

a< + ⇒b c a <ab ca+ Tương tự ta có b2 <ab bc+ c2 <ca bc+ Từ suy

0

∆ <

8A.Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình Ta có: (a c x− ) = −d b Nếu a≠c

d b x

a c − =

− Thay x0vào phương trình ta ĐPCM Nếu a = c b = d ⇒ĐPCM

8B. Ta có 2

1 a b 4(a b)

∆ + ∆ = + − + Từ 1 1

2 a b 2ab

a+ = ⇒ + =b

Từ ta có 2

1 a b 2ab (a b)

(103)

9A a) Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình Ta biến đổi (1 + m) x0= m +1 Tìm m = -1 m =

b) Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1:Hai phương trình vô nghiệm 2,

m − ⇒ − <

Trường hợp 2: JHai phương trình có nghiệm tập nghiệm giống

1

m ⇒ = −

Vậy

4

m −

− < < hai phương trình tương đương

a) Tìm a∈∅ b) Tìm 4< <a

10. Tương tự 1A a) Tìm

;

2

x∈ − 

  b) Tìm x∈∅

c) Tìm

2;

x∈  

 

  d) Tìm

5 17

2

x∈  ± 

 

 

a) 17

24

m> − b) 17

24

m= − c) 17

24

m<−

d) m∈∅ e) 17

24

m≥−

12. a) m≠0, m> −1 b) m= −1 c) m< −1 d) m=0 e) m≥ −1

a) Tìm m = m = -3 b) Tìm 1< <m 2

BÀI HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1A. Ta có ∆ =13> ⇒0 PT cho có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có 2

5

x x x x

+ =



 =



a) Ta có 2 2

1 ( 2) 2 2.3 19 A=x +x = x +x − x x = − =

b) Ta có 3

1 ( 2) 2( 2) 80 C=x +x = x +x − x x x +x = c) Ta có

( )

4 2 2

1 2

4

4 4

1 2

( ) 2( )

1 343

( ) 81

x x x x x x

D

x x x x x x

+ + −

= + = = =

d) Ta có E= x1−x2 = (x1+x2)2−4x x1 = 13

a) Ta có 25

6

M = − b) Ta có 13

14

N = c) Ta có 49

4

P= − d) Ta có 17

12

Q= −

2A. a) Ta có

' (m 3) 0, m

∆ = − ≥ ∀

(104)

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có 1

2

x x m

x x m

+ = −



 = −



Biểu thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m là: x1+x2−x x1 =1

Phương trình có hai nghiệm x x1 với m

Biểu thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m là: 2(x1+x2)+x x1 = −4

3A. a) Ta có 15 ( 17) 1 1, 2 15

a b c+ + = + − + = ⇒x = x =

b) Ta có

1234

0 1,

1230

a b c− + = ⇒x = − x =

c) Ta có a b c+ + = ⇒ =0 x1 1,x2 = − −7

d) Ta có

2 1,

5

a b c− + = ⇒x = − x =

a) Ta có

2 1,

7

x = x = b) Ta có

32 1,

23

x = − x = c) Ta có

1979 1,

1975

x = x = − d) Ta có

198 1,

311

x = − x =

4A. a) Ta thấy a b c+ + =(m− + −2) ( 2m− + + = ⇒5) m Phương trình ln có

nghiệm x = không phụ thuộc vào m

b) Với m = 2: Phương trình có nghiệm x =

Với m≠2: Phương trình có hai nghiệm x =

2 m x m + = −

4B. a) Thay x = -2 vào phương trình cho, ta có

( )( ) (2 )( )

2m−1 −2 + m−3 − −2 6m− =2 (luôn đúng) ⇒ĐPCM

b) Với

m= : Phương trình có nghiệm x = -2 Với

2

m≠ : Phương trình có hai nghiệm 2;3

2 m x m +   ∈ −  −  

5A. Thay x = -2 vào phương trình ta tìm m = m =

* Với m = 1, ta có:

6 16

2 x x x x =  − − = ⇔  = − 

* Với m = 2, ta có:

13

2 26

2 x x x x  =  − − = ⇔  = − 

5B.Tương tự 5A Tính m = 4; x2 = -18

6A. a) Ta có u v, hai nghiệm phương trình sau

( ) ( )

{ }

2 12

15 36 ( , ) 12;3 , 3;12

X

X X u v

X

= 

− + = ⇔  = ⇒ ∈



b) Ta có ( )2 2

2 13 2.6 25

5

u v

u v u v uv

u v + =  + = + + = + = ⇔  + = − 

(105)

2

5

3

X

X X

X

= 

− + = ⇔ 

=



Vậy ( ) ( ) ( ) (u v, ∈{ 2;3 , 3; , − −2; ,) (− −3; 2)}

a) Không tồn u v, thỏa mãn 42 - 4.7 = -12 <

b) Tìm ( ) (u v, ∈ − −{ 2; 10 ,) (−10; 2− )}

7A. Ta có (2+ 3) (+ −2 3)=4 (2+ 3)(2− 3)=1

Do 2+ 2− nghiệm phương trình sau: X2 - 4X + =

7B.Tương tự 7A Tìm phương trình X2 + 4X -77 =

8A. a) Ta có ∆ =25 12+ m≥0 Tìm 25

12

m≥ −

b) Ta có ( )

( )

2 2

1 2

2

2 50 12

x x m

S

x x x x m

+ +

= + = =

Và

( )2

2 2

1 1 2

2

9

P

x x x x m

= = = Với ĐK 25

12

m

≠ ≥ ta có 2

2

x 2

2

x hai nghiệm

của phương trình bậc hai 2

2

50 12

0 : 2(6 25)

9

X X ha m X m X m m

+

− + = − + + =

Điều kiện 25

12

m≥ − Phương trình tìm 10

3

m m X X

m m +

+ + =

+ + (Điều

kiện: 25

2

12

m

− ≠ ≥ − )

9A. a) Ta có x2 - 7x + = (x - 1) (x - 6) b) Ta có 30x2 - 4x - 34 = 30 ( 1) 17

15

x+ x− 

 

c) Ta có x−5 x+ =6 ( x−2)( x−3) d) Ta có 2( 1)

x− x+ = x−  x−   

a) Ta có ( )

4

x − x+ = x− x−   

b) Ta có ( ) 26

21 26 21

21

x − x− = x+ x−    c) Ta có 4( 1)

4

x− x+ = x−  x−    d) Ta có 12 12( 1)

12

x− x− = x−  x+   

10A.a) Phương trình có nghiệm trái dấu ⇔ac< ⇔ < −0 m

b) Phương trình có nghiệm phân biệt

8 4(2m 6) m

⇔ ∆ = − + > ⇔ <

(106)

2

0

2

0 2( 3)

1

0

m m m S m m P m 

∆ > − + > 

<  



⇔ < ⇔ − < ⇔ ≠   >  − >

 

d) Phương trình có nghiệm phân biệt dương

0 32

0

2

m

S m

P m

∆ > − >

 

−

 

⇔ < ⇔ > ⇔ < <  >  + >

 

e) Vì 2

(m 1) 4( m) (2m 1) 15 0, m

∆ = − − − − = − + > ∀ ∈

⇒Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt

Phương trình có dungd nghiệm dương ⇔ac= − − <3 m Tìm m> −3

a) Tìm − < <1 m b) Tìm

2 m m >   ≤ − − 

c) Tìm m< −1 d) Tìm − ≤ <1 m

11A. Ta có

5 4(m 4) 4m

∆ = − + = −

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

4

m ⇔ ∆ > ⇔ < Theo hệ thức Vi-ét ta có

1

5

x x x x m

+ =



 = +



a) ta có x1 + x2 = ⇔4 (x1+x2)2−2x x1 2+2 x x1 =16

2m 2m

⇒ + = − Tìm m∈∅

b) Ta có 3x1+4x2 = ⇔6 3(x1+x2)+x2 = ⇒6 x2 = −9

Vì x = -9 nghiệm phương trình nên ta có ( )−9 2−5.( )− + + =9 m Tìm m= − ±3 13

11B.Tương tự 10A 11A

a) Tìm m x =   = −

 b) Tìm

1 m x < −   ≠ − 

c) Tìm − < <1 m d) Tìm 2 m x < −   ≠ − 

3) Tìm m= −1 g) Tìm

5 m m ≥   ≤ − 

a) Ta có 11

9

A= − b) Ta có 16

87

B= − c) Ta có C=9 d) Ta có D= −41

a) Ta có

1 1,

16

x = x = b) Ta có x1= −1,x2 =3 c) Ta có x1=1,x2 =19 d) Ta có

247 1,

246

x = − x =

(107)

a) Tìm ( ) (u v, ∈{ 7; 15 ,− ) (−15; 7)} b) Tìm ( ) (u v, ∈{15; ,− ) (−6;15)}

15.a) Tìm m= ±4 b) Ta có Amin =33⇔ =m

c) Ta có hệ thức x1+x2+2x x1 = −17

a) Tìm − < <2 m b) Tìm 9

2

m m >  

− < < − 

c) Tìm − < < −2 m d) Tìm m∈∅

17.Tương tự 10A 11A

a) ta có ∆ =25> ∀ ∈0, m  b) Tìm m< −3 c) Ta có

25

2

A = ⇔ =m − d) Tìm

0

m m

= −   =



18. a) Ta có

4(m 3) 0, m

∆ = − ≥ ∀ ∈

b) Tìm m >

BÀI PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1A.a) Đặt

0

x = ≥t , ta có:

5

t + − =t Giải ta t = (TM) t= −6 (loại)

Từ tìm x= ±1 b) Đặt

(x+1) = ≥t

Sau tìm t ta tìm x= − ±1

1B. a) x∈∅ b) x= ±1

2A a) ĐK: x≠1 x≠2

Quy đồng mẫu thức, giải được: x= ± 19−3 b) Tìm đượck x= −17 x= − ±1 31 c) Tìm x =

2B. a)

4

x= − x=5 b) x=1 c)

2

x= x=5

3A.a) Đưa PT dạng:(x− 2)(x+ 2)(x+ =3) Từ tìm x∈ ±{ 2; 3− }

b) Tìm x=4

3B. a)x=1 33

x= ± b) 1;

x= x= 10

3

x=

4A.a) Đặt

3

y=x + x+ Giải ta y= ±3

Từ tìm 17

x= − ± b) Xét hai trường hợp

Trường hợp 1: Với x = 0, thay vào thấy khơng nghiệm

(108)

Từ tìm x = 15 x = -4

c) Trường hợp Xét x = 0, thay vào thấy không nghiệm

Trường hợp Xét x≠0, chia tử mẫu cho x sau đặt y 3x x

= + Giải ta

được y = -11 y = Từ tìm 11 97

6

x= − ±

4B. a) 37

2

x= ±

2

x= ± b) x = x = -5

c)

4

x=

3

x= −

5A.a) ĐK: x≥0; Biến đổi phương trình ta

3 3 0

x− = − x ⇔ x− ≤ ⇔ ≤ ≤x

b) PT 2 2

3

3 8

8

7

x x

x x x x

≤  − ≥

 

⇔ ⇔ ⇔ =

= + + = − +

 

5B a) x=1 b) x=1hoặc x=5

6. a) Thêm

4x hai vế PT, ta (x2+2)2 =(2x+6)2

Giải ta x= ±1 b) Tìm 13

1

x=

− c) Tìm

1

2

x= − ±

7.a) ĐK:

0≤ ≤ ⇒x 1− ≥ −x x

x≥x⇒VT ≥ − + = =1 x x VP Dấu "=" xảy 1

1

x x

− = =

 

⇔ ⇒

− = =

 

Kết luận

b) Tìm

x=

8 Đặt ( )

2x− =1 t t≥0 ⇒ − + =t 6t Tìm t từ tìm x∈ −{ 2; 0;1;3} b) PT

2

5

2 11

5

x x x x

x x

 

⇔ −  + =

+ +

 

Đặt

5

x t

x+ = , tìm t= −11 t =1 Từ tìm 21

2

x= ±

10 a) x= ±2 b) x=1 x= −3

11. a)

5

x= b) Vô nghiệm

12. a) x= ±1 x= ±1 d) x= ±2

c) 17

2

(109)

13. a) x= −1 x= ±1 b)

1

x=

−

BÀI GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 1A. Gọi số thảm phân xưởng phải dệt ngày theo kế hoạch x

(ĐK: *

x∈N )

Theo ta có phương trình: 3000 3000 10

x x x

− − = +

+ Giải phương trình ta x = 100 (TMĐK)

Kết luận

1B. Tương tự 1A, tháng đầu tổ tổ làm 300 420 sản

phẩm

2A.Gọi suất tổ là: x ( x > 0, phần công việc/giờ); Năng suất tổ

là

2−x (phần công việc/giờ)

Thời gian tổ làm xong cơng việc là:

xgiờ; Thời gian tổ làm xong cơng việc là;11

2−x

giờ; Theo có phương trình: 1

3

2

x = −x− Giải phương trình ta

3

x=

Vậy thời gian tổ 1, tổ hồn thành cơng việc

2B.Người thứ hồn thành vơng việc 40

Người thứ hai hồn thành vơng việc 60

3A.Người thứ hai làm xong cơng việc 15

3B.Nếu làm mình, người thứ làm xong công việc 22 30 phút,

người thứ hai làm 45

4A.Gọi số lớn a; số bé

3

a− Ta có phương trình: 2

119

a

a − −  =

 

Giải phương trình ta a = 12 Vậy số lớn 12, số bé

4B.Gọi số thứ a, số thứ hai 17 - a

Theo đề ta có phương trình: 3 ( )3

17 1241

a + −a = Giải phương trình ta có = a =

Vậy số lớn 9, số bé

5A.Chiều rộng khu vườn 60m; Chiều dài khu vườn 80m 5B.Diện tích ruộng 308m2

(110)

Vì thời gian thời gian 20 phút nên thời gian

t− (giờ) Từ ta có phương trình

25 30

t= t− 

 

Giải phương trình ta t = (giờ) Vậy quãng đường AB 50km

6B.Quãng đường AB 60km

7A.Gọi quãng đường AB x km ( x > 30)

Thời gian xe máy thứ chạy

30

x giờ, thời gian xe máy thứ hai chạy

2 36

x

+ (giờ)

Theo đề ta có phương trình:

30 36

x = x + Giải phương trình ta x = 120

Vậy quãng đường AB 120km

7B. Vận tốc người từ A đến B 12km/h người từ B đến A

9km/h

8A.Gọi thời điểm hai người gặp lúc x(giờ) (x > 0);

Theo ta có phương trình: ( ) 26

10 30

3

x− = x−   ; Giải phương trình ta x = 9, 5; hay lúc 30 phút hai người gặp lúc 30 phút

8B.Đoàn tàu từ Hà Nội thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc 40km/h; đoàn tàu

từ Nam Định thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc 35km/h

9A. Gọi vận tốc riêng canô v (km/h) Theo đề ta có phương trình:

( ) ( )

4

3

3 v+ = v−

Giải phương trình ta v = 15 (km/h)

9B.Vận tốc canô nước yên lặng 16km/h

10A.Gọi số học sinh lớp 8A x ( x> 21); Số học sinh lớp 8A 94 - x Theo đề

bài ta có phương trình: 25 20 ( )

94 21

100x+100 −x =

Giải phương trình ta có x = 44

Vậy số học sinh lớp 8A 44 em, 8B 50 em

10B.Số học sinh lớp 8A 33 em, 8B 27 em

11 Người thứ làm mìnhtrong xong cơng việc;

Người thứ hai làm xong cơng việc

12 Đơn vị thu hoạch 350 thóc; đơn vị thu hoạch 250 thóc 13.Theo quy định ngày tổ sản xuất phải làm 40 sản phẩm

14.Độ dài cạnh tam giác vuông 5cm, 12cm 13cm 15.Đáp số: 23 32

16.Vận tốc canoo xi dịng 180 / 11 km h

(111)

18.Vận tốc máy bay cánh 600km/h; Vận tốc maysbay phản lực

900km/h

19.Khối lượng riêng hai chất 0,8g/cm3; 0,6g/cm3

BÀI BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG PARABOL 1A a) Với n=1, ta : 1

2

d y= x+ i) HS tự làm

ii) Xét PT hoành độ giao điểm d (P): 1 2

x x

− − = Giải ta x1 = -1 x2 =

Từ tìm 1;1 ; (2; 2)

A−  B

 

iii) Tính AOB

S = cách sau:

Cách Gọi H, K hình chiếu vnggóc A, B trục Ox Khi SAOB = SAHKB - SAHO- SBKO

Cách Gọi I giao điểm d Oy, M, N hình chiếu vng góc A, B lên trục Oy Khi

1

2

AOB AOI BOI

S =S +S = AM OI+ BN OI

Cách Gọi T hình chiếu vng góc O d Khi đó: AOB

S = OT AB b) PT hoành độ giao điểm d (P): x2

- x - 2n = i) d tiếp xúc với (P) ⇔ ∆ =0 Từ tìm

8

n= − ii) d cắt (P) hai điểm phân biệt ⇔ ∆ =0

Từ tìm

n> −

iii) d cắt (P) hai điểm nằm hai phía trục Oy⇔ac<0 Từ tìm n >

1B.a) Với m = 3, ta d : y = -2x +

i) HS tự làm

ii) Xét PT hoành độ giao điểm d (P): x2

+ 2x - = Giải ta xM = -3 xN =1

Từ tìm M(-3; 9), N(1; 1)

iii) Độ dài ( ) (2 )2

4

N M N M

MN = x −x + y −y = b) PT hoành độ giao điểm d (p): x2

+ 2x - m = i) d tiếp xúc với (P) ⇔ ∆= Từ tìm m = -1 ii) d cắt khơng cắt ⇔∆< Từ tìm m < -1 iii) d cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ âm

0 0

S P

∆ >   ⇔ <

 > 

Từ tìm − < <1 m

(112)

Theo đề ta có: A B, ∈( )P ⇒ A( 2;1), (4; 4)− B Do

1

2 1

, :

4

2

a b a

A B d d y x a b

b 

− + = =

 

∈ ⇒ ⇔ ⇒ = +

+ =

  =

b) PT đường thẳng d có dạng: y= − +2x bvới

2

b≠ PT hoành độ giao điểm d (P) là: x2

+ 2x - b = d tiếp xúc với ( )P ⇔ ∆ = + = ⇔ = − ⇒ = − −' b b y 2x c) Gọi PT đường thẳng d có dạng y = ax + b

PT hoành độ giao điểm d (p) là:

ax -

x

b= , với

3

a b

∆ = +

Để d tiếp xúc với (P) điểm C(3;3)

0

: 3 3

a

d y x

a b b

∆ = =

 

⇔ ⇒ = −

 + =  = −

 

2B.Gọi PT đường thẳng d có dạng y = ax + b

a) Vì ( ) 1; 2

M∈ P ⇒M   

Do

0

, 1 1

2

b O M d

a b =  

∈ ⇒  + =

 Tìm

1

a b

=   =



Từ d : y = x

b) Vì d ⊥d' nên d có dạng: y = -3x + b

PT hồnh độ giao điểm d (P) x2

+ 6x - 2b = Vì d tiếp túc với (P) nên ∆ ='

Từ tìm :

d y= − −x

c) PT hoành độ giao điểm d (P) 3x2

- ax - b = Vì d tiếp xúc với (P) điểm N (1; 3) nên

3

a b

∆ =   + = 

Từ tìm d : y = kx -

3A. a) Ta có d : y = kx -

PT hoành độ giao điểm d ( )

:

P x +kx− = Ta có:

4

k

∆ = + > với k⇒ĐPCM b) Ta có: 2

1 4 2

x −x =k + ≥ ⇒ x −x ≥ c) Sử dụng định lý Pitago đảo

3B.a) Tìm d' :y= − +3x b) Tìm

4 m

− < <

4A. a) Thay tọa độ điểm A vào PT (P) tìm

3

m= Khi ta parabol ( )

:

P y= x

(113)

Từ

.4

AOB

S = AB = (đvdt)

4B.a) Tìm y = -x2

b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) d x2

+ 2mx - m + = có

∆ = m2 + m -

Với ∆ > ⇔ >0 m m < -2 d cắt (P) hai điểm phân biệt

- Với ∆ = ⇔ =0 m m = -2 d tiếp xúc (P)

- Với ∆ < ⇔ − < <0 m d không cắt (P)

5. a) A(− −2; 1) b)

4

a=− ( )

:

4

P y= − x c) y= +x

6.a) HS tự vẽ hình

b) Tìm m = -1

c) d qua A(2; -1) thuộc (P)

7.a) PT hoành độ giao điểm d (P):

2

2x +mx− =

Vì a, c trái dấu (hoặc

4

m

∆ = + > ) ∀m nên ta có ĐPCM b) Gọi x1, x2là hai nghiệm PT hoành độ giao điểm

1 2

( ; ), ( ; )

A x mx B x mx

⇒ − − x1+x2 = −2 ,m x x1 = −4

2

(4 16)( 1)

AB m m

⇒ = + +

min AB

⇒ = m =

Từ SAOB =

8.a) PT hoành độ giao điểm d (P) có a, c trái dấu

b) Sử dụng định lý Pitago đảo

9. a) m = -2 m = b) m = 10 m = 10

9

10. a)

4

y=− x b)

16

m= −

11. a) ( 2; 2) (− 2; 2)

b)

' (m 1) m

∆ = − + > ∀

c)

2 m

− < <

ÔN TẬP CHƯƠNG IV

1A. a)

2 m

− < ≠ b)

2

m= −

c)

2

m<− d) 1,

m= − m=

e)

2

m≥−

1B. a) a > a < -6 b) a∈∅ c) a > 2; d) a < -6

2A.Chứng minh được: ' ' '

1

∆ + ∆ + ∆ > ⇒ ĐPCM

2B. Ta có: 2

(114)

3A. a) Biến đổi phương trình thành 3

5− = −x 2+x Sau lập phương hai

vế đặt

2+ =x t.Khi phương trình trở thành t2 - t - = Giải ta t = -1 t =

Từ tìm x = -3 x =

b) Cách Dễ thấy x = x = nghiệm phương trình Đặt ( )2016 ( )2016

1

A= x− + x− Ta nhận thấy x > x < A > Khi < x < A<

Cách Đặt a = x - Phương trình trở thành 2016 2016

( 1)

a + −a =

Nhận xét phương trình có nghiệm 0≤ ≤a

2016 2016 2

( 1) ( 1) (1 )

a + −a ≤a + −a = − a −a

Vậy phương trình có nghiệm

1

a x

= =

 

⇔ ⇔

= =

 

Kết luận: Phương trình có tập nghiệm S ={ }1;

3B.a) Biến đổi phương trình (x + 1)3 = 2009 Từ tìm

1 2009

x= − + ; b) Biến đổi phương trình (x2

- 2x - 1) (x2 - x - 1) =

1

1 2,

2

x= ± x= ±

4A. a) d : y = kx + k - 2;

b) Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) là: x2

+ kx + k - = Ta có a, c trái dấu ⇔ <k 2;

c) 15 1( 2)

4

ma x

S = − ⇔ =k TM k<

4B.a) Khi m = d : y = x + HS tự vẽ hình

b) d ln qua điểm cố định M (0;1)

Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) có a, c trái dấu có

1

m m ∆ = + > ∀ c) m= ±2

5A.a) Với m = phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -2;

Với m≠2 phương trình có nghiệm phân biệt x1 = -2 x2 = -m b) m = -3 nghiệm lại x = -2;

c) m = 2; d) m = -2;

e) m > hai nghiệm âm;

g) i) A = m2 - 8m + 8; ii) m = 0; iii) Amin = -8 ⇔ m = 4;

5B. a)

(2a 3) a

∆ = + + > ∀ ∈ b) min

2

A = ⇔ =m −

c)

4

a> − ; d) a∈∅

6. a)

(2m 7) 39 0, m

∆ = − + > ∀ ∈ b) m

471 27

16

a x

A = − ⇔ =m c) m=3

(115)

b) 2017

2

m=

8.a) m≠ −2; b) m=0;m= −4 c) m< −1; m≠ −2

9.a) Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) có nghiệm kép x = ⇒ y = 2;

b) m >

10.a) Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) có a, c trái dấu;

b) m= ±1

11. a) y = -x2 b) m = -20

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV ĐỀ SỐ

Câu C Câu A Câu D Câu C

Bài 1.Giải ta được: a) 4;

2

x∈ − − 

  b) x∈ − +{ 3;3+ 3}

Bài 2.a) PT có hai nghiệm phân biệt dương

8

( 1)

m

S m

P m m

∆ = + > 



⇔ = + >  = − > 

Giải ta m >

Từ kết luận: PT khơng có hai nghiệm phân biệt dương ⇔ ≤m

b) Gọi chữ số hàng chục hàng đơn vị a b

( * )

, 9; ,

a∈ a≤ b∈ b≤ Theo đề bài, ta có: 2

5 13

a b a b

+ = 

 + =



Giải ta a = 2, b = a = 3, b = Kết luận

Bài 3.a) HS tự làm

b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P): x2

= 2mx - = Cách Vì

' m m

∆ = + > ∀ nên tacos ĐPCM

Cách Vì ac = -4 < nên PT ln có hai nghiệm trái dấu chúng phân biệt (ĐPCM)

c) i Từ giả thiết theo hệ thức Vi-ét, ta có:

1

4

x x

x x

= − 

 − =



Giải ta x1 = 1, x2 =2m nên tìm

3

m= − 15

4

m=

ii) Ta có

1 2

2( ) ( )

A= x +x − x +x + x x

Áp dụng hệ thức Vi-ét biến đổi ta được: A = -(2m - 1)2 - Từ tìm

1

2

A = − ⇔ =m

(116)

Câu B Câu D Câu B Câu A

PHẦN II TỰ LUẬN Bài 1. a) 2;

3

   

  b) {− −1 2; 2− 2}

Bài 2.a) Tìm 1;1

2

A− 

  B (2; 2) tọa độ giao điểm d (P) b) HS tự vẽ d (P) hệ trục tọa độ Oxy

Cách Gọi H, K hình chiếu vng góc A, B trục Ox Khi đó: SAOB =SAHKB−SAHO−SBKO

Từ tìm

2 AOB

S = (đvdt)

Cách Gọi I giao điểm d Oy, M, N hình chiếu vng góc A, B lên trục Oy Khi đó:

1 2

AOB AOI BOI

S =S +S = AM OI+ BN OI

Từ ta tìm AOB

S = (đvdt)

Cách Gọi T hình chiếu vng góc O d T đồng thời thuộc đường thẳng qua O vng góc với d Từ tính OT AB áp dụng công

thức

2 AOB

S = OT ABta tìm

2 AOB

S = (đvdt)

Bài 3.a) PT có hai nghiệm x1, x2, trái dấu ⇔ac < Từ tìm m < b) Với m = 5, phương trình có dạng 2x2

- 9x + =

Cách Áp dụng công thức nghiệm PT bậc hai, nghiệm x1, x2 thay vào M tìm 61

4

M = Cách Biến đổi

1 2

( )

M = x +x − x x áp dụng hệ thức Vi-ét ta tìm

61

M = c) Vì

16

m m

∆ = + > ∀ nên PT ln có hai nghiệm phân biệt

Xét ba trường hợp:

Trường hợp Ta có

1

0

0 0

x x

x x m

x x

+ > 

< ⇔ ⇔ >

> 

<

Trường hợp Ta có x1< <0 x2 ⇔ac< ⇔ <0 m Trường hợp Ta có

1

(0)

0

f

x x m

x x

= 

= < ⇔ + > ⇔ =



Kết luận

d) Ta có 2

1

0

1 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)

x x x x m

x x

∆ >  

< < ⇔ − − > ⇔ ∈∅  − + − >



(117)

1A. a) Chứng minh OM tia phân giác

góc AMB Từ ta tìm AMO=20 ,0 AOM =700

b) sđ  

140

AmB=AOB=

⇒sđ 

220

AnB=

1B.a) Chứng minh ∆OEA= ∆OFB⇒AE=FB b) Chứng minh OEF =OCD⇒AB/ /CD

2A. a) Sử dụng tỉ số lượng giác tam giác

vuông ∆AMO ta tính AOM =600 b) Tính 

120

AOB= , sđ 

120

ABC= c) Ta có  AOC=BOC⇒ AC=BC

Chứng minh 

120

AOB=

3.a) Tính sđ 

50

BC= b) Chứng minh sđ 

180

CBE=

, ,

C O E

⇒ thẳng hàng (ĐPCM) * Cách khác: sử dụng 

90

CDE= ⇒ĐPCM

4. Chứng minh ∆BOC ∆BOD tam giác nên suy sđ CDnhỏ = 1200và sđ 

CD lớn

= 2400

5. a)Chứng minh ∆BOM = ∆CON(c.g.c), từ suy BM =CN

b) Tính 

100

MON =

6.Tính sđ AB nhỏ = AOB=900 Suy đ AB lớn = 2700

7.a) Tính

2

R OK =

b) Tính  

60 , 120

MOK = MON=

c) HS tự làm

BÀI LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY 1A Trường hợp 1: Tâm O hai dây

Kẻ OM ⊥AB suy OM ⊥ CD N Ta chứng minh  AOM =BOM (1) Tương tự CON =DON (2)

Từ (1), (2) ⇒ AOC=BOC⇒ AC=BD

Trường hợp 2: Tâm O nằm khoảng hai dây Kẻ OM ⊥AB suy OM ⊥ CD N

Tương tự  AOC=BOC⇒ AC =BD

1B. Ta chứng minh  AD=BE, mà CD ⊥AB nên Từ suy

* Cách khác:Chứng minh  AOC=BOE ⇒ĐPCM

(118)

Ta chứng minh CK =KD Từ ta có OK ⊥ CD, OK ⊥ AB ⇒ CD//AB

2B.a) HS tự chứng minh

b) Ta chứng minh BE =CD từ suy BE = CD tứ giác BDEC hình thang cân

3A. a) Ta chứng minh E trung điểm AC nên

1

OE= BC

Tương tự ta có

OF = DB Mà BC < BD ta suy OE < OF b) Chứng minh AE2

= AO2 - OE2 AF2 = AO2 - OF2

Từ ta có

AE2 > AF2 ⇒ AE > AF

⇒sđ AE sđ AF

3B.a) HS tự chứng minh

b) Ta chứng minh tứ giác BCEN hình bình hành ⇒ BC = EN

Do BCDE hình bình hành

⇒ BC = ED; DE = EN

⇒ BA ⊥EN ⇒ BA ⊥ BC

⇒BC tiếp tuyến

4. Ta chứng minh ∆ABC= ∆BDA từ suy  

AC=BD

5.a) HS tự chứng minh

b) Chứng minh   MN =CA=CB ⇒ĐPCM

6.Gợi ý: Đưa so sánh góc tâm để kết luận 7 a) HS tự chứng minh

b) Từ giả thiết ta có AB đường trung trực

   

CE⇒BC=BE⇒BF=DE

c) Sử dụng mối liên hệ cung dây

BÀI GÓC NỘI TIẾP 1A.a) HS tự chứng minh

b) ∆IAC∆IDB(g.g)

c) Sử dụng kết câu b)

1B.a) MPHQ hình chữ nhật ⇒ MH = PQ

b) Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông chứng minh đượcMP MA =MQ MB ⇒MPQ∆MBA c)  PMH =MBH ⇒PQH =O QB2 ⇒PQlà tiếp tuyến (O2)

Tương tự PQ tiếp tuyến

(119)

⇒  NAS =ANS

⇒ SA=SN⇒SM =SC

2B. a) Ta có 

90

ACM = (góc nội tiếp)

b) ta có ∆ABH ∆AMC g g( )

   ,

BAH OAC OCA OAC

⇒ = =

 

BAH OCA

⇒ =

c) 

90

ANM =

MNBC

⇒ hình thang

/ /

BC MN

⇒ ⇒ sđBN = sđCM  

CBN BCM

⇒ = nên BCMN hình thang cân

3A. a) Chú ý:

, , ( )

M A B∈ O AMB=900⇒ ĐPCM

b) Gợi ý: Chứng minh AK BI phân giác góc A, B tam giác MAB

3B.a) Chứng minh ∆BAE cân B

b) Chứng minh DO//BE (tính chất đường trung bình)

Mà 

( 90 )

AK ⊥BE AKB= ⇒AK ⊥DO

4A.Gợi ý: Chứng minh P trực tâm tam giác SAB 4B.a) Chứng minh BFCH hình bình hành

b) Sử dụng kết câu a), suy HF qua M c) Chú ý: OM đường trung bình ∆AHF ⇒ ĐPCM

5. Do AB//CD ⇒sđAC = sđBD ⇒ĐPCM

6. Chứng minh được: ∆ABDđồng dạng ∆AEB (g-g)

⇒ĐPCM

7.Gợi ý: Xét tam giác đồng dạng để chứng minh 8.Gợi ý: Sử dụng kết Bài

⇒ AO = 12cm

9. Chứng minh BM =MC⇒AM phân giác

trong

Mặt khác:

90

MAN =

⇒ AN phân giác

10.a) HS tự chứng minh

b) Gọi CH ∩AB=K

Chứng minh ∆MIC cân I  

ICM IMC

⇒ =

Tương tự OMA =OAM Chứng minh 

90

IMO=

⇒ĐPCM

11.  

180

ABD+ABC=

(120)

12. a) Vẽ tiếp tuyến C cắt đường AB P Phân

giác CPB cắt OC I Vẽ đường trịn tâm I bán kính

IC, đường trịn cần tìm b) Do 

90

ACB= nên 

90

MCN =

⇒MN đường kính (I) ⇒ĐPCM

c) Chứng minh MN//AB nên ID ⊥ MN ⇒  

MD=ND hay CD tia phân giác ACB⇒ĐPCM

BÀI GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG

1A. a)  

2

ABM =ANB= sđBM

Chứng minh được: ∆ABM ∆ANB (g.g)

⇒ĐPCM

b) Chứng minh AO ⊥ BC áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABO sử dụng kết câu b) ⇒ AB2 = AH.AO

c) Chứng minh    ABI =CBI BI( =CI)⇒BI phân giác ABC Mà AO tia phân giác BAC⇒I tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC

1B.Chứng minh được: ∆BAI ∆ACI(g.g)

2

AB IB AB IB AC IA AC IA

⇒ = ⇒ =

Mặt khác: IA2

= IB.IC

⇒ĐPCM

b) Do ∆BAI ∆ACI(g.g) AI BI AB

CI AI CA

⇒ = ⇒

24

35

IA IC

IA cm IC IA

−

⇒ = = ⇒ =

IC = 49cm

2A.a) HS tự chứng minh

b) Tương tự 1A

c) Chứng minh được:  BAM =MBC Từ chứng minh được:

2

MAB MBD MB MA MD

∆ ∆ ⇒ =

2B.Gọi BD∩AC=I

Ta có   

2

(121)

3A.a) Sử dụng AQ//O'P

 '

QAP O AP

⇒ = ⇒ĐPCM

b) CP//BR (cùng vng góc AR)

3B. a) IAK IBA IA IK

IB IA

∆ ∆ ⇒ =

Mà IA IM IM IK IB IM

= ⇒ =

IKM IMB ⇒ ∆ ∆ b) Chứng minh được:

  / /

IMK =KCB⇒BC MA (ĐPCM)

4A.Kẻ đường kính AF

Chứng minh   1 90

A +B = ⇒AO⊥BD

4B. Ta có:

     ,

DMN = =E GMN DNM =NFD=GNM GMN DMN

⇒ ∆ = ∆

b) Chứng minh MN đường trung trực GD

(1)

GD EF

⇒ ⊥

Gọi J giao điểm DC MN Ta có JM JN CJ

DH DK CD  

=  

 

Mặt khác: JM =JN (cùng JC JD

⇒DH = DK (2) Từ (1) (2) ⇒ĐPCM

5.Chứng minh ∆AMN∆ACB (g.g)

⇒ĐPCM

6.HS tự chứng minh

7.Chứng minh được: ∆DBC∆BAD⇒ DBC=BAD ⇒sđ 

2

DBC= sđBmD

⇒BC tiếp tuyến (o)

8. Kẻ đường kính BF F, A, D thẳng hàng Gọi

DE tiếp tuyến kẻ từ D Khi ta có: DE2 = DA.DF ⇒AF = 6cm Từ tính OB= 10cm

10. BAM =CAM ⇒BM =MC⇒OM ⊥BC⇒BC/ /DE

11.HS tự chứng minh 12.HS tự chứng minh 13.HS tự chứng minh

BÀI GĨC CĨ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÌN

(122)

1A. a)   

2

MCD=BID= sd CD b) Sử dụng kết câu a)

1B.Tương tự 1A HS tự làm

2A. a)   

2

AMN= ANM = sd ED

Suy ∆AMN cân A Kéo dài AI cắt đường tròn (o) K Chứng minh tương tự, ta có ∆AIE

∆DIA cân E D

b) Xét ∆AMN cân A có AI phân giác Suy AI ⊥ MN F MF = FN Tương tự với ∆EAI cân E, ta có: AF = IF Vậy tứ giác AMIN hình hình hành Mà AI ⊥ MN ⇒ĐPCM

2B Tương tự 2A HS tự làm

3A. a) Chứng minh PA2 = PC.PB PA2 = PO2 = OA2⇒tính PO

b) Chứng minh   1

2

DBC=DAB= CAB ⇒ĐPCM

3B a) Học sinh tự chứng minh

b) Chứng minh   AFM =CAF(=ACF)⇒MF/ /AC c) Chứng minh:MFN =MNF⇒ ∆MNF cân

M ⇒MN =MF

Mặt khác: OD = OF = R

Ta có MF tiếp tuyến nên ∆OFM vuông ⇒ ĐPCM

b) ∆ADE∆ACD (g-g)

⇒ AD2 = AE.AC

c) Tương tự: ∆ADF∆ABD⇒ AD2 = AB.AF ⇒ ĐPCM

4B. a) 

2

BID= sđ DE =DBE⇒ ∆BID cân D

b) Chứng minh tương tự: ∆IEC cân E, ∆DIC cân D

⇒ EI = EC DI = DC

⇒DE trung trực CI c) F ∈ DE nên FI = FC

   / /

FIC FCI ICB IF BC

⇒ = = ⇒

5. a) Ta có: 

2

BPD= (sđ BD - sđAC), 

2

AQC= (sđ 

BD + sđAC)  

BPD AQC

⇒ + = sđ BD = 1400



70

BCD

(123)

b) HS tự chứng minh

6.a) HS tự chứng minh ∆BMN cân B b) ∆EDF ∆DBF g g( )

DF EF BF DF

⇒ =

2

DF EF BF

⇔ =

8 a) Chứng minh tương tự 4B ý a) b) M AB



NE

⇒ phân giác BNA

BN EB AN EA

⇒ = (tính chất đường phân giác) ⇒ BN.AE = NA.BE

c) Chứng tinh tương tự 4B

d) Chứng minh ∆ABN ∆DBN⇒ĐPCM/

10.KG đường phân giác MKP MG MK GP KP

⇒ = (1)

KJ đường phân giác  MJ MK MKN

JN KN

⇒ = (2)

Chứng minh được: KN = KP (3) Từ (1); (2); (3) MG MJ

GP JN

⇒ = ⇒ĐPCM

BÀI CUNG CHỨA GÓC

1A. Ta có   

50 130

A= ⇒ + =B C

  

65 115

DBC+DCB= ⇒BDC =

⇒ Quỹ tích điểm D hai cung chứa góc 1150 dựng đoạn BC

Tính 

135

BIC=

⇒ Quỹ tích điểm I hai cung chứa góc 1350 dựng đoạn BC

2A. Các tam giác ∆ANE,∆AMC ∆BMD vuông cân

  

45

AEB ADB ACB

⇒ = = =

Mà AB cố định nên điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn

2B.Chứng minh 

120

BIC=

 

2 120

BOC BAC

⇒ = =  0

180 60 120

BHC

⇒ = − = (góc

nội tiếp góc tâm)

⇒H, I, O nhìn BC góc 1200

(124)

I, H thuộc đường tròn

3A. Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB = 3cm, dựng trung

trực d AB;

Bước 2:Vẽ tia Ax tạo với AB góc 550 ;

Bước 3:Vẽ Ay⊥ Ax cắt d O;

Bước 4: Vẽ cung AmB tâm O, bán kính OA cho

cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax

AmB là cung cần vẽ

3B HS tự thực Bài toán có nghiệm hình 4.Chứng minh được:

   

90

CBF+BEM =MDF+DEC=



90

BMD

⇒ = nên M thuộc đường trịn đường kính

BD Mà E ∈BC nên quỹ tích điểm M là cung 

BC đường trịn đường kính BD

5.a) Chứng minh  ABE=ADE

b) Chứng minh được:  ACB=BNM (đồng vị)

⇒ C, D, E nhìn AB góc nên A, B, C, D, E thuộc đường tròn

⇒ BC đường kính ⇒ 

90

BEC=

6.Tương tự 3A

BÀI TỨ GIÁC NỘI TIẾP 1A.Xét tứ giác AMHN có:

  0

90 90 180

AMH+ANH = + +

⇒ĐPCM

Xét tứ giác BNMC có:

 

90

BNC=BMC= ⇒ĐPCM

1B.HS tự chứng minh 2A. Ta có: 

2

AED= (sđAD + sđMB)

1

= sđ   

180

DM =MCD ⇒DEP+PCD=

⇒ PEDC nội tiếp

2B. Ta có:  

90

MIC=CHM =

⇒ MIHC nội tiếp (hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc vuông)

3A.a) Học sinh tự chứng minh

(125)

c)  

2

EAC=EDC= sđ EC, EAC =KHC

(Tứ giác AKCH nội tiếp)

⇒  EDC=KHC⇒ DF//HK (H trung điểm DC nên K trung điểm FC)

⇒ĐPCM

3B.a) Học sinh tự chứng minh

b)  

2

NEC=CBE= sđ CE

⇒∆NEC ∼∆NBE (g.g) ⇒ĐPCM c) ∆NCH ∼∆NMB (g.g)

⇒ NC.NB = NH.NM = NE2

∆NEH ∼∆NME (c.g.c)

⇒ NEH =EMN

d)  EMN=EON (Tứ giác NEMO nội tiếp) ⇒ NEH =NOE⇒ EH ⊥ NO

⇒ ∆OEF cân O có ON phân giác ⇒

 

EON =NOF

⇒∆NEO = ∆NFO  

90

NFO=NEO= ⇒ĐPCM

4A. a)  

180

HIB=HKB=

⇒Tứ giác BIHK nội tiếp

b) Chứng minh được: ∆AHI ∼∆ABK (g.g)

⇒ AH.AK = AI.AB = R2(không đổi)

c) Chứng minh MCND hình chữ nhật từ

⇒ĐPCM

4B. a) Chú ý:   

90

AMO=AIO= ANO=

b)  

2

AMB=MCB= sđ MB ⇒∆AMB ∼∆ACM (g.g)

⇒ĐPCM

c) AMIN nội tiếp

⇒  AMN =AIN

BE//AM ⇒  AMN =BEN

⇒ BEN = AIN⇒Tứ giác BEIN nội tiếp ⇒  BIE=BNM

Chứng minh được: BIE =BCM ⇒ IE//CM d) G trọng tâm ∆MBC ⇒ G ∈ MI Gọi K trung điểm AO ⇒ MK = IK =

2AO

Từ G kẻ GG'//IK (G' ∈ MK)

' '

3

GG MG MG

IK AO IK MI MK

⇒ = = = = không đổi (1)

2

' '

3

(126)

thuộc ( ';

3

G AO)

5.Học sinh tự chứng minh 6 Học sinh tự chứng minh 7 Học sinh tự chứng minh

8 Gợi ý:Chứng minh BEFC hình thang cân

9. Gợi ý:  AFE=AHE (tính chất hình chữ nhật

 

AHE=ABH (cùng phụ BHE)

10.a) Học sinh tự chứng minh

b) Học sinh tự chứng minh c) Học sinh tự chứng minh d) Chú ý:

   ,

BIA=BMA BMC =BKC

⇒ Tứ giác BICK nội tiếp đường tròn (T), mà (T) đường tròn ngoại tiếp ∆BIK Trong (T), dây BC khơng đổi mà đường kính (T) ≥ BC nên đường kính nhỏ BC

Dấu "=" xảy 

90

BIC I A M A

⇔ = ⇒ ≡ ⇒ ≡

11.HS tự làm

12.a) HS tự chứng minh

b) OM =R

c) MC MD = MA2 = MH.MO

⇒ MC MD = MH.MO

⇒∆MHC ∼∆MDO (c.g.c)  

MHC MDO

⇒ = ⇒ Tứ giác CHOD nội tiếp

Chứng minh được:  MHC=OHD  

CHB BHD

⇒ = (cùng phụ hai góc nhau)

13 HS tự chứng minh 14.a) HS tự chứng minh

c) Tứ giác ACFK nội tiếp (i) với I trung điểm KF ⇒BD trung trực AC phải qua I

d) HS tự chứng minh

15.HS tự chứng minh

b) HS tự chứng minh c) HS tự chứng minh d) ∆MIH ∆MAB

2

MH IH EH EH MB AB FB FB

⇒ = = =

MHE MBF ⇒ ∆ ∆

 

MFA MEK

⇒ = (cùng bù với hai góc nhau)

(127)

BÀI ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN 1A

Bán kính R đường trịn 4,78 Đường kính d đường trịn 18 16 9,56 Độ dài C đường tròn 56,52 50,24 18,84 30 25,12

1B

Bán kính R đường tròn 1,5 10 2,5 Đường kính d đường trịn 20 16 Độ dài C đường tròn 9,42 62,8 15,7 6,28 50,24

2A. a) l=π dm; b) C=600πmm;

2B. a) 10 ;

9

l = π dm b) C=400πmm;

3A

Bán kính R đường tròn 12 38,8 22 5,2 16,8 Số đo n0của cung tròn

900 600 80,30 310 280 Độ dài l cung tròn 18,8 40,6 30,8 2,8 8,2

3B

Bán kính R đường tròn 14 46,5 20 4,2 12 Số đo n0của cung tròn

900 500 88,30 350 200 Độ dài l cung tròn 22 40,6 30,8 2,6 4,2

4A. a) ADB góc nội tiếp đường kính AB ⇒AD⊥BD

b) Do 

90

ADC = nên D∈đường tròn ( ;

AC k ) c) ∆IBD cân I có B =600

⇒∆IBDđều ⇒  

5 60

5

60

180

BD

BID l cm

π

= ⇒ = =

4B.a) Khi M hay M nằm đường trịn ∆MCD ∆MBA có góc ⇒ĐPCM

Tỷ số đồng dạng là:

2

(128)

b)   

30 60

3 AC

R ABC= ⇒ AOC= ⇒l =π

Bán kính R Đường kính d Độ dài C Diện tích S

5 10 31,4 78,5

3 18,84 28,26

15 30 94,2 706,5

3 18,84 28,26

6. a) 2πR=4π ⇒ =R 2cm

b) 

60

AOB= (∆OAB đều)



120

BOC

⇒ =



BC

l nhỏ = 120

180

R

cm

π π

=

và lBC lớn =

3πcm

7.  

120 60

A= ⇒OAC= OAC

⇒ ∆ ⇒ =R AC=30cm

2

C πR πcm

⇒ = =

8 Đặt AB = a; BC = b; CD = c; AD = d

( )

2

2 2

AB

a

C π π a

= = Tương tự ( )

2

CD

C πc

= Vậy ( ) ( )

( ) 2

AB CD

C C

a c

π

+ = +

Có ( ) ( )

( ) 2

BC CD

C C

b d

π

+ = +

Tứ giác ABCD ngoại tiếp, kết hợp tính chất tiếp ⇒ a + c = b + d ⇒ĐPCM

9.HS tự làm

10. a) AD phân giác BAC

⇒D điểm BC⇒OD⊥BC

Mà DE tiếp tuyến ⇒ĐPCM b) 1

2

ECD sđCD  =DAC =BAD⇒ĐPCM

c)  

60 120

2

P

HC= ⇒HOC= ⇒BOC=



0

.120

180

BC

R

l π πR

⇒ = =

BÀI DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, HÌNH QUẠT TRỊN 1A.

Bán kính

đường trịn (R) đường trịn (C) Độ dài hình trịn (S) Diện tích

Số đo cung trịn n0

Diện tích hình quạt trịn

cung n0

(129)

2cm 12,6cm 12,6cm2 351,10 12,5cm2

3,6cm 22,4cm 40,7cm2 900 10,2cm2

1B.

Bán kính

đường tròn (R) đường tròn (C) Độ dài Diện tích hình trịn (S)

Số đo cung trịn n0

Diện tích hình quạt trịn

cung n0

2,2cm 14cm 15,2cm2 600 2,6cm2

4cm 25,1cm 50,3cm2 107,40 15cm2

4,4cm 27,6cm 60cm2 94,80 16cm2

2A.

2 , ( ) , ( )

R= cm C O = π cm S O = πcm

3A.

3

S= πcm

3B.Giải tương tự 3A

4A. a)

3

R

l= π ; b)

2

3 ( ) 3

R

S = R −π = −π R

4B. a) AC=4cm⇒BC =4 3cm

4 , 16

R cm C πcm S πcm

⇒ = ⇒ = =

b) ∆AOC ⇒ AOC=600

  4.120

120

180

CAD

COD l π πcm

⇒ = ⇒ =

2

8

16

2

S cm

π

⇒ = =

5. a) Chú ý: 

90

KMB= 

90

KEB= ⇒ĐPCM

b) ∆ABE∆AKM g g( )

AE AB AM AK

⇒ =

2

AE AK AB AM R

⇒ = = không đổi

c) ∆OBCđều



60

6

R BOC S π

⇒ = ⇒ =

6 a) Chứng minh ∆COD ⇒AMB=600

b)   

30 60

3 AC

(130)

ÔN TẬP CHƯƠNG III 1A.a) Chứng minh  

90

HCB=HKB= b)  ACK =HBK (CBKH nội tiếp)

Lại có:  

2

ACM =HBK= sđ AM  

ACM ACK

⇒ =

c) Chứng minh được:

∆MCA = ∆ECB (c.g.c) ⇒ MC = CE

Ta có:  

2

CMB=CAB= sđ CB = 450

⇒∆MCE vuông cân C d) Gọi PB∩HK =I PB

Chứng minh ∆HKB đồng dạng với ∆AMB (g.g)

HK MA AP AP BK

HK

KB MB R R

⇒ = = ⇒ =

Mặt khác: ∆BIK ∆BPA (g.g) (ĐPCM)

1B. a)  

90

OBM =OEM =

⇒Tứ giác OEBM nội tiếp

b) Chứng minh được: ∆ABM ∆BDM (g.g)

MB MA MD

⇒ =

c) ∆OBC cân O có OM vừa trung trực vừa phân giác

 1

2

MOC BOC

⇒ = = sđ BC

Mà 

2

BFC= sđ BC⇒ MOC=BFC

d)  

90

OEM =OCM = ⇒ Tứ giác EOCM nội tiếp

  

MEC MOC BFC

⇒ = = mà góc vị trí đồng vị ⇒FB/ /AM

b) MH.MO = MA.MB (=MC2)

( )

MAH MOB c g c

⇒ ∆ ∆

 

MHA MBO

⇒ =

   

180

MBO+AHO=MHA+AHO= ⇒AHOB nội tiếp

c) MK2 = ME.MF = MC2⇒ MK = MC

( )

MKS MCS ch cgv SK SC

∆ = ∆ − ⇒ =

⇒MS đường trung trực KC

(131)

d) Gọi MS∩KC=I

( )

MI MS =ME MF =MC ⇒EISFnội tiếp đường tròn tâm

P ⇒ PI = PS (1)

MI.MS = MA.MB(=MC2) ⇒ EISF nội tiếp đường tròn tâm P ⇒ PI = PS (1)

MI.MS = MA.MB (=MC2) ⇒ AISB nội tiếp đường tròn tâm Q ⇒ QI = QS (2)

Mà IT = TS = TK (do ∆IKS vuông I) (3)

Từ (1), (2) (3) ⇒ P, T, Q thuộc đường trung trực IS ⇒P, T, Q thẳng hàng

2B a) ∆CHE' cân C ⇒CE H ' =CHE'

∆BHF' cân B ⇒BF H ' =BHF' Mà ⇒CHE '=BHF' (đối đỉnh)

 ' '

CE H BF H

⇒ =

⇒Tứ giác BCE'F' nội tiếp đường trịn tâm (O) b) Có    BFC'=BE C' =CHE'=CAB

Vậy A, F', E' chắn BC góc

⇒ điểm B, F', A, E', C thuộc đường tròn tâm (O)

c) AF' = AE' (=AH) ⇒AO trung trực EF ⇒ AO

⊥ E'F' ∆HE'F' có EF đường trung bình ⇒ EF//E'F'

⇒ AO ⊥ FE

d)  

90

AFH =AEH = ⇒AFHE nội tieps đường trịn

đường kính AH Trong (O): Kẻ đường kính AD, lấy I trung điểm BC

1 ,

OI AH BC

⇒ = cố định ⇒OI không đổi ⇒Độ dài AH khơng đổi

⇒Bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆AEF không đổi

3 a) Chứng minh DBOF nội tiếp đường tròn tâm

I trung điểm DO

b) 2 

cos

3

R AF OA OF AF DAB

AO

= + = ⇒ = =

c) AMO ADB g g( ) DM OB

AM OA

∆ ∆ ⇒ =

mà   MOD=ODB=ODM ⇒DM =OM

DB DB AD DM OM AM

⇒ = = Xét vế trái BD DM AD DM

DM AM AM −

− = =

d) tan tan

3 4

R R

DB= AB DAB= = R⇒OM = AO DAB=

13 OMDB

R S

(132)

2 ( , )

1

(13 )

OMDB ngoai OMDB O R

R

S =S − S = − π

4. a) BH ⊥ AC CM ⊥ AC ⇒ BH//CM Tương tự ⇒ CH//BM

⇒ BHCM hình bình hành

b) Chứng minh BNHC hình bình hành

⇒ NH//BC

⇒ AH ⊥ NH ⇒ AHM = 900

Mà ABN =90 ⇒Tứ giác AHBN nội tiếp

c) Tương tự ý b, ta có: BHEC hình bình hành Vậy NH HE//BC ⇒N, H, E thẳng hàng

d) 

90

ABN = ⇒AN đường kính đường trịn ngoại

tiếp tứ giác AHBN

 

2 , 120

AnB

AN =AM = R⇒S AB=R ⇒ AmB=

1

2

AOB ABM

R S = S =



2

ata (4 3)

12

tAOB AOB

AmB

R

S =S −S = π−



2

2 (4 3)

can tim AmB

R

S S π

⇒ = = −

c) ∆AEH vng nên ta có:

KE =KA= AH

⇒∆AKE cân K  

KAE KEA

⇒ =

∆EOC cân O⇒OCE =OEC H trực tâm ⇒ AH ⊥ BC

Có    

90

AEK+OEC=HAC+ACO= (K tâm ngoại tiếp) ⇒ OE ⊥ KE d) HS tự làm

6.a, b, c HS tự làm

d) Gợi ý: G' ∈OI mà ' '

IG

G

IO = ⇒ thuộc (

1 ';

3

G R)

b) HS tự chứng minh c) HS tự chứng minh d) HS tự chứng minh e) HS tự chứng minh

g) OHE FHM OH HE

HF HM

∆ ∆ ⇒ =

⇒ OH.HM = HE.HF

(133)

2

4

AB

OH HM AH AB HE HF

⇒ = = ⇒ =

h)  

90

MHE=MKE= ⇒Tứ giác KEMK nội tiếp ⇒ OK.OE=OH.OM = OB2 = R2

i) Do  IB=IA⇒MBI = ABI⇒BIlà phân giác ABM Mà IM phân giác AMB⇒I tâm đường tròn nội

tiếp ∆ABM

k) Xét đường tròn qua điểm M, B, O, K, A có MA = MA

   

MB MA MKB MKA

⇒ = ⇒ =

⇒ KM phân giác góc BKA, mà KE ⊥ KM

⇒ KE phân giác KA AE AE AF KB BE BE BF

⇒ = ⇒ =

⇒ AE.BF = AF.BE

1) HS tham khảo 4B, Tứ giác nội tiếp Kết luận: G thuộc đường trịn J' bán kính

3JO với

trung điểm OM J' thỏa mãn '

3

AJ

AJ = m) Học sinh tự giải

Câu A Câu 2.B

Câu C Câu D

Bài 1.a) 

120

AIB= góc tâm (O; R) nên

sđ

120

AB=

Áp dụng cơng thức tính độ dài cung tròn

180

Rn l=π với R = 2cm; n0

= 1200

Độ dài cung nhỏ AB là: 2.120

180

l=π = π cm

b) Diện tích hình quạt trịn giới hạn cung nhỏ AB hai bán kính IA, IB phần tô màu xám

Áp dụng công thức:

360

R n

S =π với R = 2cm; n0 = 1200 Tính

3

S = π cm

Bài 2. a)   0

90 90 180

SAO+SBO= + = Tứ giác OASB nội tiếp

b)  

2

MAC=CBA= sđCA

( )

MAC MBA g g

(134)

Từ suy MA2

= MB.MC

c) Có MA2 = MB.MC, mà MA = MS SM MC MC MS

⇒ =

Chứng minh ∆MSB∆MCS

   

MBS CSM hay MBS CSA

⇒ = =

d) Chứng minh  NAS=MBS(Vì = CSA) ⇒Tứ giác NAOB từ giác nội tiếp

Chứng minh  ANO=ONB

⇒ĐPCM

Bài 3. - Diện tích phần trắng là: 2π (cm2) - Diện tích phần gạch sọc là: 4π-2π=2π (cm2) Hai phần có diện tích

Câu A Câu 2.D

Câu B Câu 4.A

Bài 1. a) AnB− cung lớn; AmB− cung nhỏ

Vì sđAnB + sđAnB = 3600; mà sđAnB= 3sđAnB;

nên sđAnB= 2700và độ dài cung 

AnB

2

R l= π b) Vì ∆OAB vng cân 

90

AOB

⇒ =  

45

OAB=OBA=

c) Vì 2( ; )

2

R

AB=R ⇒OH = OH ⊥ AB H∈AB

Bài 2. a) Vì  

2

MBC=MDB= sđCB nên chứng minh

( )

MBC MDB g g

∆ ∆ −

b) Vì  

180

MBO+MAO= nên tứ giác MAOB nội tiếp

c) Đường trịn đường kính OM đường tròn ngoại tiếp tứ giác

2

MO MAOB⇒ =r Gọi H giao điểm AB với OM

3 ;

2

R OH AB AH BH

⇒ ⊥ = =

Giải tam giác vuông OAM, đường cao AH ta OM = 2R ⇒ r= R

d) Ta có   

2

sđ DE s

M BI = + đ BC   

2

sđ AC s

(135)

Vì AE song song CD⇒sđ DE sđ AC = ⇒ MIB=M BA

Do tứ giác MAIB nội tiếp hay điểm A, B, O, I, M nằm đường trịn kính MO

Từ ta có 

90

MIO= ⇒OI ⊥CD hay I trung điểm CD

CHƯƠNG IV HÌNH TRỤ, HÌNH NĨN, HÌNH CẦU

BÀI DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH TRỤ 1A. Ta thu kết bảng sau:

Bán kính đáy (cm)

Chiều cao (cm)

Chu vi đáy (cm)

Diện tích đáy (cm2)

Diện tích xung quanh

(cm2)

Diện tích tồn phần (cm2)

Thể tích (cm3)

1 2π π 4π 6π 2π

5 10π 25π 40π 90π 100π

4 10 8π 16π 80π 112π 160π 25 16π 64π 400π 528π 1600π

1B.Tương tự 1A Bán kính đáy (cm)

Chiều cao (cm)

Chu vi đáy (cm)

Diện tích đáy (cm2)

(cm2)

Thể tích (cm3)

2 4π 4π 12π 12π 20π

2 25 4π 4π 100π 100π 108π 1,5 3π 2,25π 24π 18π 28,5π

40 80π 1600π 400π 8000π 3600π

2A. Vì h = 2R nên V = πR2h = πR2.2R=2πR3 Mặt khác: V = 128π ⇒ R = 4cm

⇒ h = 8cm, Sxq = 2πRh = 64πcm

2B.Tương tự 2A.

Diện tích tồn phần gấp đơi diện tích xung quanh nên: 2π Rh + 2πR2=2.2π R2⇒ 2πRh = 2πR2 ⇒ R = h Vậy chiều cao hình trụ 3cm

3A. a) i) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt có CA = CM DM = DB

nên AC + BD = CM + DM = CD;

ii)      1

( ) 90

2

COD=COM +MOD= AOM +MOB = AOB= iii)

2

( )

4

AB COA ODB g g AC BD OA OB

∆ ∆ ⇒ = =

b) với OC = 2R, OM = r, chứng minh 

30

MCO=



60

MOC

⇒ = Từ tính EM = OM sin 600

=

2

(136)

2

0

60 ;

2 xq

R R

OE=OM cos = S = π ME OE =π (đvdt) Và

3

2

8

R

V =π ME OE= π (đvtt)

3B Tương tự 3A

a) Ta có   

90

AEH = ADH =DAE= ⇒ Tứ giác ADHE hình chữ nhật

Lại có AB.AD = AH2

= AE.AC nên AB.AD = AE.AC b) HB = 9cm, HC = 16cm (Lưu ý: AB < AC nên HB < HC)

2

36 48 3456 62208

, , ,

5 xq 25 125

HD= cm HE= cm S = πcm V = πcm

4A.Tương tự 1A Bán kính đáy (cm)

Chiều cao (cm)

Chu vi đáy (cm)

Diện tích đáy (cm2)

(cm2)

Thể tích (cm3)

5 12 10π 25π 120π 170π 300π 10 20π 100π 60π 260π 300π 10 17 20π 100π 340π 540π 1700π

2 4π 4π 20π 28π 20π

5.Tương tự 3A

a) Tứ giác BIHK nội tiếp (tổng hai góc đối 1800 )

b) Chứng minh AH.AK = AI.AB =

2R.2R = R

2⇒ĐPCM

c) MCND hình chữ nhật ⇒ MN, AB, CD đồng quy I trung điểm CD

d) Tam giác OCA  

30 , 60

ABC MCD

⇒ = =

Tính 25 25

2 25 ,

2

CD= CI = = cm CM = cm

25 625

,

2 xq

MD= cm S = πCM MD= πcm

BÀI DỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH NĨN, HÌNH NĨN CỤT

1A.Ta thu kết bảng sau:

Bán kính r 10

(137)

Chiều cao h 10 12

Đường sinh l 10 20 13

Thể tích V 125 3

π

1000π 100π

Diện tích xung quanh Sxq 50π 200 3π 65π Diện tích tồn phần Stp 75π (300 + 200 3)π 90π

1B.Ta thu kết bảng sau:

Bán kính r 10

Đường kính d 20 10

Chiều cao h 100 5 12

Đường sinh l 1009 15 13

Thể tích V 300π 500

3

π

100π Diện tích xung quanh Sxq 9π 150π 65π

Diện tích tồn phần Stp (9 + 9)π 250π 90π

2A. a) h = 12cm d)Stp = 216π cm

, V = 324π cm3

2B. ( ) 3500

75 17 125 ,

3 xq

S = + π V = πcm

3A. a)  AOC=ODB (cùng phụ BOD) ⇒∆AOC ∼∆BDO (g.g)

AC AO BO BD

⇒ =

⇒AC.BD = a.b (khơng đổi)

b) Ta có    

60 , 30 , 3,

3

b COA=ODB= ACO=DOB= AC=a BD=

i) 3( )(3 )

6

ABCD

a b a b

S = + +

ii)

3B Tính Sxq =50 ,π V =79π

4 Tính sin α = 0,4 ⇒α = 23035'

5.Tính V = 100cm3 6. a) V = 9706πcm3 ≈ 9,7l

b)

(81 23 554) 622, 36

S =π + ≈ cm

7. a)

960

V = πcm ; b) Sxq =136cm2

(138)

1A.Ta thu kết bảng sau:

Bán kính

hình cầu 0,4mm 6dm 0,2m 100km 6hm 50dam Diện tích mặt cầu 16 25π mm2 144π dm2 25π m2 40000π km2 144π hm2 10000π dam2 Thể tích hình cầu 32 375 π mm3 288π dm3 375π m3 4000000 π km3 288π hm2 500000 π dam3

1B.Ta thu kết bảng sau:

Loại bóng Quả bóng gơn Quả khúc cơn cầu ten-nít Quả Quả bóng bản Quả bia

Đường kính 42,7mm 7,32cm 13cm 6cm 61cm

Độ dài đường tròn lớn

134,08 mm

23cm 13π 6πcm 61πmm

Diện tích 5728,03 mm2

168,33 cm2

169π cm2

36πcm2 3721π cm2 Thể tích 40764,51

mm3 205,36 cm3 2197 π cm3

36πcm3 226981

6 π

mm3

2A.Tính R = 3cm 2B.Tính 500

3

V = πm

3A.a), b) HS tự chứng minh

c) 25

2 16 MON APB S R AM S

= ⇒ = d)

3

V = πR

3B.Tính S = πa2

4B.Tính h=6 2cm

5.a) Tính

xq

S

S = b) Tính

2 hc ht V V =

6.a) Tính 78, 5%

xq

S

S = b) Tính 52, 4%

hc hlp

V

V =

7.a) Tính

64

S= πcm 256

3

V = π cm

b) Tính

211, 32

S = πcm

ƠN TẬP CHƯƠNG IV 1A.a) Tính r = 1,44cm ⇒ Smc = 4πr2 = 26,03cm2

b) Ta có 3

15,8 1, 56

3 c

V = πR = cm ⇒ =R cm

2

1

2, 53

hn

V πR h πcm

⇒ = ≈

1B.Tính

3

(139)

2A.Khi quay hình chữ nhật quanh cạnh BC:

2

tp tru

S = πAB AD+ πAB =S

Khi quay cạnh CD:

2

tp tru

S = πAD AB+ πBC =S

Mặt khác: 2

1 2 2

S =S ⇔ πAD AB+ πAB = πAD AB+ πBC ⇔ AB = BC ⇒ ABCD hình vng

2B. Ta có 2

2 2

tp

S = π BC AB+ πBC = π a a+ πa = πa

Ta có: 2

.2

V =πBC AB=πa a= πa

3. a)

1

2

;

xqN

S =πAC BC=πb b +c =S

2 2

;

xqN

S =πAB BC=πc b +c =S S S ⇒ ≠ b) 2 1 3 N

V = π AC AB= πb c;

2

1

3

N N N

V = π AB AC= πc b⇒V ≠V

4. a)

20, 25

tp

S = πm b)

30, 24

tp

S = πm

5. a)

2 3

3

2

htABCD

AB AB

V =π  BC=π =π R

  (1)

3

4 hc

V = πR (2)

3

1

3

hn

EF

V = π  GH = πEF

  Tính GO= 3R

3 3 3 8 hn

V π R πR

⇒ = = (3) Từ (1), (2) (3) ⇒ĐPCM

b) 2

3 (4),

tpht hc

S = πR S = πR (5)

2 2

3

4 4

tphn

S = πEF = π R = πR (6) Từ (4); (5) (6) ⇒ĐPCM

6 a) Dễ dàng tính

2 ,

AC= cm AB= cm Shn =πAC BC =8π

2

1

3

hn

V πAC AB π

⇒ = =

b) Tính

12

tp

S = πcm

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV ĐỀ SỐ

Câu D Câu A Câu D Câu D

(140)

Bài 1 a) Dung tích xơ là: 2 1 2

1

( )

3

V = πh r +r r +r với r1 = 5cm, r2 = 10cm; h = 20cm

Thay số liệu tính tốn ta

3663

V  cm

b) Tính đường sinh xơ dạng hình nón cụt

20,

l cm

Diện tích tơn để làm xơ mà khơng kể diện tích

chỗ ghép

1 (1 2)

xq

S =S +S =π r +r l+πr với S1 diện tích đáy nhỏ đáy xô

Thay số vào tính tốn ta

1048, 76

S  cm

Bài 2. a) Sử dụng tứ giác nội tiếp chứng minh PMO =PAO PNO =PBO⇒ ∆MON ∆APB đồng dạng (g.g)

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: MP = MA NP = NB

Mặt khác MP.NP = PO2

PO = R ⇒ AM.BN = R2 (ĐPCM)

c) Ta có

2

R R AM = ⇒MP=

Mặt khác 2

2

R

AM = ⇒BN = R⇒PN = R Từ tìm

2

R MN =

Vì ∆MON ∆APB đồng dạng nên

25 16

MON APB

S MN

S AB

∆ ∆

 

=  =

 

d) Khi quay nửa đường trịn đường kính AB xung quanh AB ta hình cầu với tâm O bán kính R' = OA = R

Thể tích hình cầu

3

V = πR (đvdt)

ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM

Câu D Câu A Câu D Câu D

PHẦN II TỰ LUẬN Bài 1 a) HS tự làm

b) Ta có ∆AHI đồng dạng với ∆ABK (g.g)

AH AK AI AB R

⇒ = =

c) Chứng minh I trung điểm CD

Từ MCND hình chữ nhật suy MN CD cắt trung điểm đường ⇒ĐPCM

d) Chứng minh 

60

IOC= ⇒ ∆ACOđều nên



30

(141)

Chứng minh ∆CBD nên CD = CB ⇒ CD = 25cm

Áp dụng tỉ số lượng giác 

( 90 )

CDM M

∆ = ta

tính được: MD = 12,5cm MC21, 7cm

Từ tính diện tích xung quanh hình trụ tạo thành cho tứ giác MCND quay quanh MD là:

2

2 542,

xq

S = πrh= πcm

Bài 2. a) Gọi thể tích hình trụ hình nón lần

lượt V1 V2 Hình trụ hình nón có bán kính r = 7cm

Ta tích hình cần tìm là:

2

1 2

1

V = +V V =πr h + πr h

với h1; h2 chiều cao ứng với hình trụ hình nón

Thay số ta V = 416,5πcm3

b) Thể tích hình nón cụt là: 2 1 2

1

( )

3 nc

V = πh r +r r +r Thay số vào tính toán ta

276,

nc

V = πcm Thể tích hình nón là:

3 n

V = πr h

Thay số ta

315,8 n

V = πcm

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II ĐỀ SỐ

Bài 1. a) Từ x= −7 3, tìm x= −2 Thay vào Q tính ta 3

Q− −

b) Rút gọn 3

x P

x + =

−

c) Tìm

3

P M

Q x − = =

+

Giải

3

M ≥ − ta tìm 9 4≤ ≠x

d) Tìm

3

x A

x + =

+

Ta có ( 1) 6

3

x x A

x x

+ + +

= ≥ =

+ +

Từ đến kết luận Amin = ⇔ x =

* Cách khác: 16

3

x

A x

x x

+

= = − +

+ +

= 16 16

3

x

+ + − ≥ − =

+

(142)

Bài 2. Gọi số chi tiết máy tổ hai sản xuất x y (x, y ∈

*

 ; x, y < 900)

Theo đề ta có hệ phương trình: 900

1,15 1,1 1010

x y

+ = 

 + =



Giải x = 400 y = 500

Vậy theo kế hoạch tổ hai phải sản xuất 400 500 chi tiết máy

Bài 3.a) Cách Đặt

1 u

y+ = ta

3

x u x u

− =



 + =



Giải ta

x=

4

u= Từ tìm y =

Cách Cộng vế với vế hai phương trình, ta 8x = Từ tìm

2

x= y = b) Vì x1x2 = -m

2

- < ∀m nên phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt trái dấu

Cách Giả sử x1 < < x2

Từ giả thiết thu − +x1 x2 =2 Biến đổi thành ( )2

1 x +x − x x =

Áp dụng định lý Vi-ét, tìm m =

5

m= −

Cách Bình phương hai vế giả thiết biến đổi dạng

( )2 ( )2 2

1 2 2 4( 1)

x +x − x x + x x = ⇒ m− + m + = Do x x1 = −x x1 2)

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta tìm m =

m= −

Bài 4.a) Tứ giác BDQH nội tiếp  

180

BDH+BQH = b) Vì tứ giác ACHQ nội tiếp ⇒CAH =CQH

Vì tứ giác ACDF nội tiếp ⇒CAD =CFD

Từ có CQH =CFD mà góc vị trí đồng vị ⇒ DF//HQ

c) Ta có HQD =HBD (câu a)

  

2

HBD=CAD= sđ CD  

(143)

 

HQD HQC QH

⇒ = ⇒ phân giác CQD

Mặt khác chứng minh CH phân giác góc QCD

Trong tam giác QCD có H giao ba đường phân giác nên H tâm đường tròn nội tiếp ⇒H cách cạnh CD, CQ, DQ

d) Vì CMFN hình chữ nhật nên MN CF cắt trung điểm đường

Trong tam giác FCD có MN//CD MN qua trung điểm CF nên MN qua trung điểm DF

Mặt khác AB qua trung điểm DF nên đường thẳng MN, AB, DF đồng quy

Bài 5. Ta có: 2

2 , 2

2

x + ≥ x y + ≥ y 2

2

x +y ≥ xy Cộng vế với vế BĐT ta được:

( 2) ( )

3

2

x +y + ≥ x+ +y xy =

2

A x y

⇒ = + ≥ Từ tìm

1

2

A = ⇔ = =x y

ĐỀ SỐ Bài 1.a) Thay x = 25, ta tính 10

7

A= b) Rút gọn

3

B x

=

−

c) Ta có 2

2

A B

x

= − ∈ ⇒ + ∈

+  Ư(4) Từ tìm x = 0, x =

Bài 2. Gọi thời gian đội chpr hàng số hàng đội cần chở ngày theo kế

hoạch x (ngày) y (tấn/ngày) ĐK: x∈*;x>1

Theo đề ta có hệ phương trình 200

( 1)( 4) 216

xy

x y

= 

 − + =



Giải ta x = 10; y = 20 (TMĐK) Kết luận

bài 3.a) Biến đổi hệ phương trình ban đầu ta hệ

3 12

x y x y

− = 

 + = 

Từ tìm x = 2, y =

b) Phương trình hồnh độ giao điểm d (p): x2 - 2x - m2 + 2m = (1)

d cắt (P) hai điểm phân biệt nằm hai phía trục tung Oy ⇔ (1) có hai nghiệm trái dấu Từ tìm

0

m m

>   <



Kết luận

0

m m

(144)

Bài 4.a) HS tự chứng minh

b) Chứng minh ∆NMC∆NDA ∆NME NHA−

c) Chứng minh ∆ANB có E trực tâm ⇒AE ⊥BN mà có AK ⊥BN nên có ĐPCM

Chứng minh tứ giác EKBH nội tiếp, từ có  AKF = ABM d) Lấy P G trung điểm AC OP

Chứng minh I thuộc đường tròn (G, GA)

Bài 5.Biến đổi M, ta

( )

2

2 2

2

4x y x y x y M

y x x y y x

x y

y x

   

= + + = +  + 

 

   

+ +

 

 

Đặt a x,b y

y x

= = ta ab = 1, suy a2

+ b2≥ Từ ta có

( ) ( )

2 2

2

2 2

3

4

2

2 4

a b a b

M a b

a b a b

+ +

= + + = + + −

+ +

+

≥ + - =

Dấu "=" xảy a b x y

x y

=  ⇔ = = ± ⇔  = −

Định dạng
Số trang	144
Dung lượng	4,16 MB