II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1 Tớnh độ dài đoạn thẳng
3. Đường trũn bàng tiếp tam giỏc
- Đường trũn tiếp xỳc với một cạnh của một tam giỏc và tiếp 1 xỳc vúi phần kộo dài của hai cạnh cũn lại gọi là đường trũn bàng tiếp tam giỏc.
- Vúi mỗi một tam giỏc, cú ba đường trũn bàng tiếp.
- Tõm của đường trũn bàng tiếp tam giỏc gúc Alà giao điểm của hai đường phõn giỏc cỏc gúc ngoài tại B và C hoặc là giao điểm của đường phõn giỏc gúc Avà đường phõn giỏc ngoài tại B(hoặc C).
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuụng gúc
Phương phỏp giải: Dựng tớnh chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
1A. Hai tiếp tuyến tại B và C của đường trũn (O) cắt nhau ở A.
a) Chứng minh AOlà trung trực của đoạn thẳng BC.
b) Vẽ đường kớnh CDcủa (O). Chứng minh BD và OA song song.
1B. Hai tiếp tuyến tại A và Bcủa đường trũn (O) cắt nhau tại M. Đường thẳng vuụng gúc với OAtại Ocắt MB tại C. Chứng minh CM = CO.
2A. Cho nửa đường trũn tõm O, đường kớnh AB.Vẽ cỏc tiếp tuyến Ax, By với nửa đường trũn cựng phớa đối với AB. Từ điểm M trờn nửa đường trũn (M khỏc A, B)
vẽ tiếp tuyờn với nửa đường trũn, cắt Ax và By lần lượt tại C và D. a) Chứng minh ∆COD và ∆AMB đồng dạng.
b) Chứng minh MC.MD khụng đổi khi Mdi động trờn nửa đường trũn. c) Cho biết OC = BA = 2R. Tớnh AC và BD theo R.
2B. Từ điểm Aở ngoài đường trũn (O; R)kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là cỏc tiếp điểm). Kẻ BE⊥ AC và CF ⊥ AB (E AC,F AB∈ ∈ ), BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giỏc BOCH là hỡnh thoi. b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng. c) Xỏc định vị trớ điểm Ađể H nằm trờn (O).
Dạng 2. Chứng minh tiếp tuyến, tớnh độ dài, tớnh số đo gúc
- Tớnh chất của hai tiếp tuyến cắt nhau. - Khỏi niệm đường trũn nội tiếp, bàng tiếp.
- Hệ thức lượng về cạnh và gúc trong tam giỏc vuụng.
3A. Cho đường trũn (O). Từ một điểm M ở ngoai (O), vẽ hai tiếp tuyến ME và MF (E,F là tiếp điểm) sao cho gúc EMO = 30°. Biết chu vi ∆MEF là 30 cm.
a)Tớnh độ dài dõy EF. b)Tớnh diện tớch ∆MEF.
3B. Cho đường trũn (O). Từ một điểm M ởngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và
MB (A, Blà tiếp điểm) sao cho gúc AMB= 60°. Biết chu vi tam giỏc MAB
là 18 cm,tớnh độ dài dõy AB.
4A. Cho đường trũn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường trũn. Vẽ cỏc tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điếm). Chứng minh BAC = 60° khi và chỉ khi
OA = 2R .
4B. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AB = 9 cm, AC = 12 cm. Gọi I là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC, Glà trọng tõm của tam giỏc ABC.Tớnh độ dài IG.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
5. Hai tiếp tuyến tại A và Bcủa đường trũn (O) cắt nhau tại I. Đường thẳng qua I
và vuụng gúc vúi IAcắt OB tại K. Đường thẳng qua O, vuụng gúc vúi OA cắt
IBở C.
a)Chứng minh KC và OI vuụng gúc nhau.
b)Biết OA = OB = 9 cm, OI = 15 cm, tớnh IA và IK.
6. Từ một điểm A nằm bờn ngoài đường trũn (O), kẻ cỏc tiếp tuyến AB, AC với (O) trong đú B, Clà cỏc tiếp điểm. Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến vúi (O), tiếp tuyến này cắt cỏc tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và
E.Chứng minh chu vi tam giỏc ADEbằng 2AB.
7. Cho đường trũn (O) và điểm A nằm ngoài (O). Kẻ cỏc tiếp tuyờn AB, AC với (O) trong đú B,C là cỏc tiếp điểm.
a) Chứng minh đường thẳng OAlà trung trực của BC.
b)Gọi H là giao điểm của AO và BC. Biết OB = 2cm và OH = 1 cm, tớnh: i) Chu vi và diện tớch tam giỏc ABC;
8. Cho tam giỏc ABC cõn tại A, điểm I là tõm đường trũn nội tiếp, điểm K là tõm đường trũn bàng tiếp gúc Acủa tam giỏc. Gọi O là trung điểm của IK.
a) Chứng minh bốn điểm B, I,C, K cựng thuộc một đường trũn.
b)Gọi (O) là đường trũn đi qua bốn điểm B, I, C, K. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường trũn (O; OK).
c) Tớnh bỏn kớnh của (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm.
BÀI 6. LUYỆN TẬP TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU
I. TểM TẮT Lí THUYẾT
Xem phần Túm tắt lý thuyết của Bài 5.
II.BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1A. Cho nửa đường trũn (O) đường kớnh AB. Trờn cựng nửa mặt phẳng bờ AB
vẽ hai tiếp tuyến Ax, By. Điểm M nằm trờn (O) sao cho tiếp tuyến tại M cắt
Ax, Bytại D và C. Chứng minh:
a) AD + BC = CD;
b) COD 90 = °
c) AC.BD = OA2;
d) ABlà tiếp tuyến của đường trũn đường kớnh CD.
1B. Cho nửa đường trũn (O) đường kớnh AB = 2R. Trờn cựng nửa mặt phẳng bờ
AB vẽ hai tiếp tuyến Ax, By. M là điểm trờn (O) sao cho tiếp tuyờn tại M cắt
Ax, Bytại D và C. Đường thẳng AD cắt BCtại N.
a) Chứng minh A, C, M, O cựng thuộc một đường trũn. Chỉ ra bỏn kớnh của đường trũn đú.
b) Chứng minh OC và BM song song.
c) Tỡm vị trớ điểm M sao cho SACDB nhỏ nhất. d) Chứng minh MN và AB vuụng gúc nhau.
2A. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Vẽ đường trũn (A; AH). Từ
B, Ckẻ cỏc tiếp tuyến BD, CE với (A)trong đú D, E là cỏc tiếp điểm. a) Chứng minh ba điểm A, D, Ethẳng hàng.
b) Chứng minh BD.CE DE2
4
=
c) Gọi Mlà trung điểm CH. Đường trũn tõm M đường kớnh CH cắt (Ạ) tại N
với N khỏc H. Chứng minh CN và AM song song.
2B. Cho tam giỏc ABCcõn tại A.Gọi Ilà tõm đường trũn nội tiếp và K là tõm đường trũn bàng tiếp gúc Acủa tam giỏc.
a)Chứng minh bốn điểm B, C, I, K cựng thuộc đường trũn (O; IO) vúi O là trung điểm của đoạn thẳng IK.
b) Chứng minh AClà tiếp tuyến của (O).
c) Biết AB = AC = 20 cm và BC = 24 cm tớnh bỏn kớnh của (O).
3A. Cho đường trũn (O; R). Từ điểm A trờn (O), kẻ tiếp tuyến dvới (O). Trờn đường thẳng d lấy điếm M bất kỡ (M khỏc A),kẻ cỏt tuyến MNP,gọi K là trung điểm NP,kẻ tiếp tuyến MB,kẻ AC⊥MB, BD⊥MA. Gọi Hlà giao điểm
của AC và BD, Ilà giao điểm của OM và AB.Chứng minh:
a) Bốn điểm A, M, B, Ocựng thuộc một đường trũn; b) Năm điểm O, K, A, M, Bcựng thuộc một đường trũn;
c) OI.OM = R2 và OI.IM = IA2
d) OAHB là hỡnh thoi; e) O, H, M thẳng hàng.
3B. Cho đường trũn (O; R) đường kớnh AB.Kẻ tiếp tuyến Ax, lấy P trờn Ax
(AP > R).Từ Pkẻ tiếp tuyến PMvới (O).
a) Chứng minh bụn điểm A, P, M, O cựng thuộc một đường trũn; b) Chứng minh BM //OP;
c) Đường thẳng vuụng gúc với ABtại O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giỏc
OBNP là hỡnh bỡnh hành;
d)Giả sử AN cắt OP tại K; PM cắt ON tại I; PN cắt OM tại J. Chứng minh I, J, Kthẳng hàng.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ