II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1 Tớnh độ dài đoạn thẳng
1. Vị trớ tương đối của đường thẳng và đường trũn
Cho đường trũn (O; R) và một đường thẳng bất kỡ. Gọi d là khoảng cỏch từ tõm O của đường trũn đến đường thẳng đú. Ta cú bảng vị trớ tương đối của đường thẳng và đường trũn:
Vị trớ tương đối của đường thẳng và
đường trũn , số điểm chung
Hệ thức giữa d và R Đường thẳng và đường trũn cắt nhau 2 d<R
Đường thẳng và đường trũn tiếp xỳc
nhau 1 d = R Đường thẳng và đường trũn khụng giao nhau 0 d>R 2. Định lý
Nếư một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường trũn thỡ nú vuụng gúc với bỏn kớnh đi qua tiếp điểm.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Cho biết d, R, xỏc định vị trớ tương đối của đường thẳng và đường
trũn hoặc ngược lại
Phương phỏp giải: So sỏnh d và R dựa vào bảng vị trớ tương đốỉ của đường
thẳng và đường trũn đó nờu trong phần Túm tắt lý thuyết.
1.Điền vào cỏc chỗ trống (...) trong bảng sau (R là bỏn kớnh của đường trũn, d là khoảng cỏch từ tõm đến đường thẳng):
R d Vị trớ tương đối của đường thẳng và dường trũn 5 cm 3 cm ...
6 cm ... Tiếp xỳc nhau 4 cm 7 cm ...
2A. Trờn mặt phăng tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 4). Hóy xỏc định vị trớ tương đối của đường trũn (A; 3) và cỏc trục tọa độ.
2B. Trờn mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm B(2; 4). Hóy xỏc định vị trớ tương đối của đường trũn (B; 3) và cỏc trục tọa độ.
3A. Cho a, blà hai đường thẳng song song và cỏch nhau một khoảng 2cm. Lấy điểm O trờn a và vẽ đường trũn (O; 2 cm).
Chứng minh đường trũn này tiếp xỳc với đường thẳng b.
Lấy điểm O trờn b và vẽ đường trũn (O; 4 cm).
Chứng minh đường trũn này cắt a ở hai điểm phõn biệt.
Dạng 2. Xỏc định vị trớ tõm đường trũn cú bỏn kớnh cho trước và tiếp xỳc với một đường thẳng cho trước
Phương phấp giải: Xỏc định xem tõm đường trũn cỏch đường thẳng cho trước
một khoảng là bao nhiờu rồi sử dụng tớnh chất điểm cỏch đều một đường thẳng cho trước một khoảng cho trước.
4A. Cho đường thẳng xy.Tõm của cỏc đường trũn cú bỏn kớnh bằng 1cm và tiếp xỳc với đường thẳng xynằm trờn đường nào?
4B. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau, cỏch nhau 1 một khoảng là
h.Một đường trũn (O) tiếp xỳc với a và b. Hỏi tõm O di động trờn đường nào?
Dạng 3. Bài liờn quan đến tớnh độ dài
Phương phỏp giải:Nối tõm với tiếp điểm để vận dụng định lý về tớnh chất của
tiếp tuyến và định lý Pytago.
5A. Cho đường trũn tõm O bỏn kớnh 6cmvà một điểm A cỏch O là 10 cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường trũn trong đú B là tiếp điểm.Tớnh độ dài đoạn AB.
5B. Cho đường trũn (O; R) và dõyAB 8R 5
= . Vẽ một tiếp tuyờn song song vúi
AB,cắt cỏc tia OA, OB lần lượt tại M và N. Tớnh diện tớch tam giỏc OMN.
6A. Cho đường trũn (O; 2 cm) và một điểm A chạy trờn đường trũn đú. Từ A vẽ tiếp tuyến xy. Trờn xy lấy một điờm M sao cho AM = 2 3cm. Hỏi điểm M di động trờn đường nào khi Achạy trờn (O)?
6B. Cho đường trũn (O; 2 cm) và điểm A ngoài (O). Từ A kẻ cỏt tuyến với (O), cắt (O) tại B và C. Cho biết AB = BC và kẻ đường kớnh COD, tớnh độ dài đoạn thẳng AD.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
7. Cho đường thẳng xy đi qua điểm A nằm trong đường trũn (O; R). Chứng minh đường thẳng xyvà đường trũn (O; R)cắt nhau.
8. Cho đường trũn (O; 5 cm) và điểm A sao cho OA = 5 cm. Đường thẳng xy
đi qua điểm A. Chứng minh đường thẳng xy và đường trũn (O; 5 cm) cú ớt nhất một điểm chung.
9. Cho điểm Acỏch đường thẳng xy là 12 cm.
a)Chứng minh (A; 13cm)cắt đường thẳng xytại hai điểm phõn biệt.
10.Cho nửa đường trũn (O) đường kớnh AB. Lấy
C là điểm thuộc (O) và gọi d là tiếp tuyến qua c với (O). Kẻ AE và BF cựng vuụng gúc với d; CH vuụng gúc vúi AB.
a) Chứng minh CE = CF và CH2 = AE.BF.
b) Khi C di chuyển trờn một nửa đường trũn, tỡm vị trớ của điểm C để EF
cú độ dài lớn nhất.
BÀI 4. DẤU HIỆU NHẬN BIỂTTIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRềN TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRềN
I. TểM TẮT Lí THUYẾT
Dấu hiệu 1. Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường trũn và vuụng gúc với bỏn kớnh đi qua điểm đú thỡ đường thẳng õỳ là một tiếp tuyến của đường trũn.
Dấu hiệu 2.Theo định nghĩa tiếp tuyến.
II.BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường trũn
Phương phỏp giải: Để chứng minh đường thẳng a là tiếp tuyến của đường trũn
(O; R)tại tiếp điểm C, ta cú thể làm theo một trong cỏc cỏch sau:
Cỏch1. Chứng minh C nằm trờn (O) và OC vuụng gúc vúi atại C.
Cỏch2. Kẻ OH vuụng gúc atại Hvà chứng minh OH = OC = R. Cỏch3. Vẽ tiếp tuyến a'của (O) và chứng minh a ≡ a'.
1A. Cho tam giỏc ABC cú AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 crn. Vẽ đường trũn (B; BA).Chứng minh AClà tiếp tuyến của đường trũn (B).
1B. Cho đường thẳng d và A là điểm nằm trờn d; B là điểm nằm ngoài d. Hóy dựng đường trũn (O) đi qua điểm B và tiếp xỳc với dtại A.
2A. Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú cỏc đường cao AH và BK cắt nhau tại I.
Chứng minh:
a) Đường trũn đường kớnh AIđi qua K;
b) HK là tiếp tuyến của đường trũn đường kớnh AI.
2B. Cho tam giỏc ABCcú hai đường cao BDva CE căt nhau tại H.
a) Chứng minh bốn điểm A, D, H, Ecựng nằm trờn một đường trũn.
b) Gọi (O) là đường trũn đi qua bốn điểm A, D, H, E và M là trung điểm của BC.Chứng minh MElà tiếp tuyờn của (O).
Dạng 2. Tớnh độ dài
Phương phỏp giải: Nối tõm với tiếp điểm để vận dụng định lý về tớnh chất của
tiếp tuyờn và sử dụng cỏc cụng thức về hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng để tớnh độ dài cỏc đoạn thẳng.
3A. Cho đường trũn (O) cú dõy ABkhỏc đường kớnh. Qua O kẻ đường vuụng gúc với AB,cắt tiếp tuyến tại Acủa (O) ở điểm C.
a) Chứng minh CBlà tiếp tuyến của đường trũn.
b) Cho bỏn kớnh của (O) bằng 15 cm và dõy AB = 24 cm. Tớnh độ dài đoạn thẳng OC.
3B. Cho đường trũn (O; R) đường kớnh AB.Vẽ dõy AC sao choCAB 30 = ° . Trờn
tia đối của tia BA lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh: a) MClà tiếp tuyến của (O);
b)MC R 3= .
4A. Cho đường trũn tõm O cú bỏn kớnh OA = R, dõy BC vuụng gúc vúi OAtại trung điểm Mcủa OA.
a) Tứ giỏc OCAB là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường trũn tại B,cắt đường thẳng OA tại E. Tớnh độ dài BE theo R.
4B. Cho tam giỏc ABCvuụng ở A, AH là đường cao, AB = 8 cm,BC = 16 cm. Gọi
Dlà điểm đụi xứng với B qua H. Vẽ đường trũn đường kớnh CDcắt ACớ E.
a) Chứng minh HElà tiếp tuyến của đường trũn. b) Tớnh độ dài đoạn thẳng HE.
III. BÀI TẬP VỂ NHÀ
5. Cho tam giỏc ABC cõn tại A, nội tiếp đường trũn tõm O. Vẽ hỡnh bỡnh hành
ABCD. Tiếp tuyến tại C của đường trũn cắt đường thẳng AD tại N. Chứng
minh:
a)Đường thẳng ADlà tiếp tuyến của (O); b)Ba đường thẳng AC, BD và ONđồng quy.
6. Cho đường trũn (O) và đường thẳng d khụng cắt (O). Hóy dựng tiếp tuyến của (O) sao cho tiếp tuyến đú song song vúi d.
7. Cho nửa đường trũn tõm O đường kớnh AB và M là điểm nằm trờn (O). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt ở C và D. Đường thẳng
AMcắt OC tại E, đường thẳng BM cắt ODtại F. a)Chứng minhCOD 90 = ° .
c)Chứng minh ABlà tiếp tuyến của đường trũn đường kớnh CD.
8. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AH là đường cao. Gọi BD, CE là cỏc tiếp tuyến của đường trũn (A; AH)với D, Elà cỏc tiếp diờm. Chứng minh:
a)Ba điểm D, A, Ethẳng hàng;
b)DEtiếp xỳc với đường trũn đường kớnh BC.
9. Cho điểm Mnằm trờn nửa đường trũn tõm ođường kớnh AB. Qua Mvẽ tiếp tuyến xyvà gọi C, D lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của A, B trờn xy.Xỏc định vị trớ của điểm Mtrờn (O) sao diện tớch tứ giỏc ABCDđạt giỏ trị lớn nhất.
10. Cho đường trũn (O; 6 cm) và điểm A nằm trờn (O). Qua A kẻ tiếp tuyến Ax
với đường trũn và lấy điểm B trờn tia Ax sao cho AB = 8 cm.
a) Tớnh độ dài đoạn thẳng OB.
b) Qua Akẻ đường vuụng gúc với OB,cắt (O) tại C. Chứng minh BC là tiếp tuyến của (O).
11.Cho đường trũn (O) đường kớnh AB = 10 cm và Bxlà tiếp tuyến của (O). Gọi C là một điểm trờn (O) sao cho CAB 30 = ° và Elà giao điểm của cỏc tia AC, Bx.
a) Tớnh độ dài cỏc đoạn thẳng AC, CE vả BC.
b) Tớnh độ dài đoạn thẳng BE.
12. Cho đường trũn (O) đường kớnh AB.Lõỳ điểm Mthuộc (O) sao cho
MA < MB. Vẽ dõy MN vuụng gúc với AB tại H. Đường thẳng AN cắt BM tại C.
Đường thẳng qua C vuụng gúc với AB tại K và cắt BNtại D.
a) Chứng minh A, M, C, Kcựng thuộc đường trũn. b) Chứng minh BKlà tia phõn giỏc của gúc MBN.
c) Chứng minh ∆ KMCcõn và KM là tiếp tuyến của (O).
d) Tỡm vị trớ của M trờn (O) để tứ giỏc MNKC trở thành hỡnh thoi.
BÀI 5. TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYỂN CẮT NHAU
I. TểM TẮT Lí THUYẾT