II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1 Giải tam giỏc vuụng
4. Tớnh chất đối xứng của đường trũn
Đường trũn là hỡnh cú tõm đối xứng và trục đụi xứng.
- Tõm đối xứng là tõm đường trũn;
- Trục đối xứng là bất kỡ đường kớnh nào của đường trũn.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh cỏc điểm cho trước cựng nằm trờn một đường trũn
Phương phỏp giải: Ta cú cỏc cỏch sau:
Cỏch 1. Chứng minh cỏc điểm cho trước cựng cỏch đều một điểm nào đú.
đường trũn ngoại tiếp thỡ tam giỏc đú là tam giỏc vuụng". 1A. Chứng minh cỏc định lý sau:
a) Tõm của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc vuụng là trung điểm cạnh huyền của tam giỏc đú.
b) Nờu một tam giỏc cú một cạnh là đường kớnh của đường trũn ngoại tiếp thỡ tam giỏc đú là tam giỏc vuụng.
1B. Cho tam giỏc ABCcú cỏc đường cao BD, CE.Chứng minh bốn điểm B, E, D, C cựng nằm trờn một đường trũn. Chỉ rừ tõm và bỏn kớnh của đường trũn đú. 2A. Cho tam giỏc ABC cú đường cao AD và trực tõm H.Gọi I, Klần lượt là trung
điểm của HA, HB.Gọi E, Flần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh: a) Bụn điểm E, F, I, K cựng thuộc một đường trũn;
b) Điếm Dcũng thuộc đường trũn đi qua bụn điểm E, F, I, K.
2B. Cho tứ giỏc ABCDcú hai đường chộo AC và BD vuụng gúc với nhau. Gọi M,
N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh M, N, P, Q
cựng nằm trờn một đường trũn.
3A. Cho hỡnh thoi ABCD. Đường trung trực của cạnh AB cắt BD tại E và cắt AC
tại F.Chứng minh E, Flần lượt là tõm của đường trũn ngoại tiếp cỏc tam giỏc
ABC và ABD.
3B. Cho hỡnh thoi ABCD cú cạnh AB cố định. Gọi O là trung điểm của AB, P là giao điểm của CO và BD. Chứng minh P chạy trờn một đường trũn khi C, D
thay đổi.
Dạng 2. Xỏc định vị trớ tương đối của một điểm đối với một đường trũn
Phương phỏp giải. Muốn xỏc định vị trớ của điểm Mđối với đường trũn (O; R)
ta so sỏnh khoảng cỏch OM vúi bỏn kớnh R theo bảng sau:
Vị trớ tương đối Hệ thức
M nằm trờn đường trũn (O) OM = R M nằm trong đường trũn (Ọ) OM<R M nằm ngoài đường trũn (O) OM>R
4A. Cho tam giỏc đều ABC cạnh bằng a, cỏc đường cao là BM và CN. Gọi O là trung điểm cạnh BC.
a) Chứng minh B, c, M, Ncựng thuộc đường trũn tõm O.
nằm ngoài đối vúi đường trũn đường kớnh BC.
4B. Cho đường trũn (O), đường kớnh AD = 2R. Vẽ cung trũn tõm D bỏn kớnh R,
cung này cắt (O) ở B và C.
a) Tứ giỏc OBDC là hỡnh gỡ? Vỡ sao? b) Tớnh số đo cỏc gúc CBD, CBO, OBA. c) Chứng minh tam giỏc ABClà tam giỏc đều.
Dạng 3. Tớnh bỏn kớnh của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc và số đo cỏc gúc liờn quan
Phương phỏp giải:Ta cú thể sử dụng một trong cỏc cỏch sau:
Cỏch 1. Sử dụng tớnh chất đường trung tuyến trong tam giỏc vuụng,
Cỏch 2. Dựng định lý Pytago trong tam giỏc vuụng.
Cỏch 3. Dựng hệ thức lượng về cạnh và gúc trong tam giỏc vuụng. 5A. Cho tam giỏc ABC vuụng ở A cú AB = 5 cm, AC = 12 cm. Tớnh
bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC.
5B. Cho tam giỏc đều ABC cạnh bằng 2 cm. Tớnh bỏn kớnh củađường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC.
6A. Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB = 9 cm, BC = 12 cm. Chứng minh bốn điểm
A, B, C, Dcựng nằm trờn một đường trũn. Tớnh bỏn kớnh đường trũn đú.
6B. Cho gúc BAC = 60° và điểm Bnằm trờn tia Ax sao cho AB = 3 cm.
a) Dựng đường trũn (O) đi qua A và B sao cho tõm Onằm trờn tia Ay.
b) Tớnh bỏn kớnh đường trũn (O).
III. BÀI TẬP VỂ NHÀ
7. Cho tam giỏc ABCcõn tại A,đường cao AH = 2 cm, BC = 8 cm. Đường vuụng gúc với ACtại c cắt đường thẳng AH ở D.
a) Chứng minh cỏc điểm B, c cựng thuộc đường trũn đường kớnh AD.
b) Tớnh độ dài đoạn thẳng AD.
8. Cho tam giỏc nhọn ABC. Vẽ đường trũn (O) cú đường kớnh BC, cắt cỏc cạnh
AB, ACtheo thứ tự D, E.
a) Chứng minh CD ⊥ AB và BE ⊥ AC.
b) Gọi Klà giao điểm của BEvà CD. Chứng minh AK ⊥ BC.
9. Cho đường trũn (O) đường kớnh AB. Điểm C di động trờn đường trũn, H là hỡnh chiếu của C trờn AB. Trờn OC lấy M sao cho OM = OH.
a) Hỏi điểm Mchạy trờn đường nào?
b) Trờn tia BC lõy điểm D sao cho CD = CB. Hỏi điểm D chạy trờn đường nào?
10. Cho hỡnh vuụng ABCD.Gọi M, Nlần lượt là trung điểm của AB, BC.Gọi E là giao điểm CM và DN.
a) Tớnh số đo gúc CEN.
b) Chứng minh A, D, E, Mcựng thuộc một đường trũn. c) Xỏc định tõm của đường trũn đi qua ba điểm B, D, E.
BÀI 2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRềN
I. TểM TẮT Lí THUYẾT