II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1 Tớnh độ dài đoạn thẳng
1. Tớnh chất của đường nối tõm
- Đường nối tõm (đường thẳng đi qua tõm 2 đường trũn) là trục đối xứng của hỡnh tạo bởi hai đường trũn.
Chỳ ý:
• Nờu hai đường trũn tiếp xỳc nhau thỡ tiếp điểm nằm trờn đường nối tõm. - Nếu hai đường trũn cắt nhau thỡ đường nối tõm là đường trung trực của dõy chung.
2.Liờn hệ giữa vị trớ của hai đường trũn với đoạn nối tõm d và cỏc bỏn kớnh R và r
Vị trớ tương đối của hai đường trũn (O;R) và (O’;r) vúi R>r
Số điểm chung
Hệ thức giữa d và R, r Hai đường trũn cắt nhau 2 R-r<d<R+r
Hai đường trũn tiếp xỳc nhau
1
- Tiếp xỳc ngoài d = R + r,
- Tiếp xỳc trong d = R-r
Hai đường trũn khụng giao nhau
0
- Ở ngoài nhau d> R + r
- (O) đựng (O') d<R-r
- (O) và (O') đổng tõm d = 0
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Cỏc bài toỏn liờn quan đến hai đường trũn tiếp xỳc nhau
Phương phỏp giải: Áp dụng cỏc kiến thức về vị trớ tương đối của hai đường trũn
liờn quan đến trường hợp hai đường trũn tiếp xỳc nhau
1A. Cho đường trũn (O) và (O') tiếp xỳc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BCvới B∈ (O), C∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại Acắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I. ,
a)Vẽ đường kớnh BOD và CO'E. Chứng mỡnh cỏc bộ ba điểm B,A, E và C, A, Dthẳng hàng.
c)Gọi Klà trung điểm của DE. Chứng minh đường trũn ngoại tiếp ∆OKO'
tiếp xỳc với BC.
1B. Cho hai đường trũn (O; R) và (O'; r) tiếp xỳc ngoài với nhau tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC với B∈(O), C∈(O'). Đường vuụng gúc với OO' kẻ từ Acắt BC ở M.
a)Tớnh MA theo R và r.
b)Tớnh diện tớch tứ giỏc BCO'O theo R và r. c) Tớnh diện tớch ∆BAC theo R và r.
d)Gọi Ilà trung điểm của OO'. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường trũn (I; IM).
Dạng 2. Cỏc bài toỏn liờn quan đến hai đường trũn cắt nhau
Phương phỏp:Áp dụng cỏc kiến thức về vị trớ tương đối của hai đường trũn
liờn quan đến trường họp hai đường trũn cắt nhau.
2A. Cho hai đường trũn (O) và (O') cắt nhau tại Avà B, trong đú OA là tiếp tuyến của đường trũn (O'). Tớnh độ dài dõy cung AB biết OA = 20 cm và O'A = 15 cm.
2B. Cho hai đường trũn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một cỏt tuyến qua A cắt (O) ở M, cắt (O') ở N mà A ở giữa Mvà N. Từ A vẽ đường kớnh AOC và AO'D.
a) Tứ giỏc CMND là hỡnh gỡ?
b)Gọi Elà trung điểm OO'. Với MA = NA, chứng minh MN là tiếp tuyến của đường trũn (E; EA).
3A. Cho hai đường trũn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm của
OO'.Đường thẳng qua Acắt cỏc đường trũn (O) và (O’) lần lượt ở C và D.
a)Khi CD ⊥ MA,chứng minh AC = AD.
b)Khi CD đi qua Avà khụng vuụng gúc với MA.
i)Vẽ đường kớnh AE của (O), AE cắt (O’) ở H. Vẽ đường kớnh AF của (O'), AFcắt (O) ở G. Chứng minh AB, EG, FH đồng quy.
ii)Tỡm vị trớ của CD để đoạn CD cú độ dài lớn nhất?
3B. Cho gúc vuụng xOy. Lấy cỏc điểm I và K lần lượt trờn cỏc tia Ox và Oy.
Đường trũn (I; OK) cắt tia Ox tại M (I nằm giữa O và M), đường trũn (K; OI)
cắt tia Oy tại N (K nằm giữa O và N). a)Chứng minh (I) và (K) luụn cắt nhau.
b)Tiếp tuyến tại M của (I), tiếp tuyến tại N của đường trũn (K) cắt nhau tại C. Chứng minh tứ giỏc OMCN là hỡnh vuụng.
c)Gọi A, Blà cỏc giao điểm của (I) và (K) trong đú B ở miền trong gúc xOy.
Chứng minh ba điểm A, B, Cthẳng hàng.
d)Giả sử I và K thứ tự di động trờn cỏc tia Ox và Oy sao cho OI + OK = a
Dạng 3. Cỏc bài toỏn liờn quan đến hai đường trũn khụng cắt nhau
Phương phỏp: Áp dụng cỏc kiến thức về vị trớ tương đối của hai đường trũn
liờn quan đến trường hợp hai đường trũn khụng cắt nhau.
4A. Cho hai đường trũn đồng tõm O. Biết BC là đường kớnh của đường trũn lớn và cú độ dài bằng 12 cm. Dõy CD là tiếp tuyến của đường trũn nhỏ và
BCD 30 .= ° Hóy tớnh bỏn kớnh của đường trũn nhỏ.
4B. Cho hai đường trũn đồng tõm O, cú bỏn kớnh lần lượt là R và r. Dõy MN của đường trũn lớn cắt đường trũn nhỏ tại A và B. Gọi BC là đường kớnh của đường trũn nhỏ. Tớnh giỏ trị của biểu thức (AC2 + AM2 + AN2) theo R và r.
5A. Cho hai đường trũn (O; R) và (O'; r) ở ngoài nhau. Gọi MN là tiếp tuyến chung ngoài, EF là tiếp tuyến chung trong (M và E thuộc (O), N và F thuộc (O')). Tớnh bỏn kớnh của đường trũn (O) và (O') trong cỏc trường họp sau:
a)OO' = 10 cm, MN = 8cm và EF = 6 cm;
b)OO' = 13 cm, MN = 12 cm và EF = 5 cm.
5B. Cho hai đường trũn (O; 6 cm) và (O'; 2 cm) nằm ngoài nhau. Gọi AB là tiếp tuyến chung ngoài, CD là tiếp tuyến chung trong CD của hai đường trũn (A và C thuộc (O); B và D thuộc (O’) ). Biết AB = 2CD, tớnh độ dài đoạn nối tõm
OO'.
III. BÀI TẬP VỂ NHÀ
6. Cho hai đường trũn (O; R) và (O'; R') tiếp xỳc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài tiếp xỳc (O) và (O') lần lượt ở B và C. Tiếp tuyến chung trong cắt BC ở I.
Gọi E, Fthứ tự là giao điểm của IOvới ABvà của IO'với AC.
a)Chứng minh A, E, I, F cựng thuộc một đường trũn. Xỏc định tõm K của đường trũn này.
b)Chứng minh IE.IO + IF.IO' = 1 2(AB
2
+ AC2).
c) Gọi P là trung điểm của OA.Chứng minh PEtiếp xỳc với (K).
d)Cho OO' cố định và cú độ dài 2a. Tỡm điều kiện của R và R' để diện tớch tam giỏc ABClớn nhất.
7. Cho đường trũn (O; R) vàmột điểm Atrờn (O). Trờn đoạn OA lấy điểm B sao cho OB = 1
3OA.
a) Chứng minh đường trũn đường kớnh ABtiếp xỳc với (O).
cắt hai đường trũn đổng tõm tại D và E với D nằm giữa C và E. Chứng minh
AC = CD = DE.
8. Cho đường trũn (O) đường kớnh AB và C là điểm nằm giữa A và O. Vẽ đường trũn (I) cú đường kớnh CB.
a) Xột vị trớ tương đối của (O) và (I).
b) Kẻ dõy DE của (O) vuụng gúc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giỏc
ADCE là hỡnh gỡ?
c) Gọi Klà giao điểm của đoạn thẳng DB và (I). Chứng minh ba điểm E, C, K
thẳng hàng.
d) Chứng minh HKlà tiếp tuyến của (1).
9. Cho hai đường trũn (O) và (O') ở ngoài nhau. Kẻ cỏc tiếp tuyến chung ngoài
AB và CD (Ạ và C thuộc (O), B và D thuộc (O')). Tiếp tuyến chung trong MN
cắt ABvà CD theo thứ tự là E và F (M thuộc (O), N thuộc (O')).Chứng minh:
a)AB = EF; b) EM = FN.
ễN TẬP CHƯƠNG II
I. TểM TẮT Lí THUYẾT
Xem Túm tắt lý thuyết từ Bài 1 đờn Bài 7.
II. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1A. Cho đường trũn (O, R)đường kớnh AB và dõy AC khụng qua tõm O. Gọi H là trung điểm của AC.
a) Tớnh số đo gúc ACB và chứng minh OH//BC.
b) Tiếp tuyờn tại C của (O) cắt OH ở M.Chứng minh đường thẳng AMlà tiếp tuyến của (O) tại A.
c) Vẽ CK vuụng gúc ABtại K. Gọi I là trung điểm của CK và đặt CAB a. = Chứng minh IK = Rsinα .cosα.
d) Chứng minh ba điểm M, I, Bthẳng hàng.
1B. Cho nửa đường trũn (O) đường kớnh AB, đường thẳng dlà tiếp tuyến vúi (O) tại A. Trờn dlõy điểm M,đường thẳng MB cắt (O) tại C. Tiếp tuyến tại C cắt
dtại I.
a) Chứng minh O, A, I, Ccựng thuộc một đường trũn. b) Chứng minh Ilà trung điểm của AM.
c) Chứng minh: MB.MC OM2 AB2
4
−
=
nào?
2A. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Vẽ đường trũn (O) đường kớnh BH và đường trũn tõm O' đường kớnh CH, hai đường trũn này cắt AB, ACthứ tự tại E và F.
a) Tứ giỏc AEHF là hỡnh gỡ?
b) Chứng minh EFlà tiếp tuyến chung của (O) và (O’).
c) Chứng minh đường trũn đường kớnh OO'tiếp xỳc với EF.
d) Cho đường trũn tõm I bỏn kớnh r tiếp xỳc với EF, (O) và (O’). Tớnh r
theo BH và CH?
2B. Cho đường trũn (O) đường kớnh CD = 2R, M là điểm thuộc (O) sao cho MC < MD. Gọi Klà trung điểm của CM, tia OKcắt tiếp tuyến Cx tại A.
a)Chứng minh OA //MD.Từ đú suy ra MAlà tiếp tuyờh của (O).
b)Gọi B là giao điểm của AM và tiếp tuyến Dy của (O), H là giao điểm của
OB và MD. Khi Mthay đổi, chứng minh (KO.KA + HO.HB) khụng phụ thuộc vị trớ của M.
c)Giả sử CM = R, đường thẳng AB cắt CD tại S. Kẻ CE ⊥ AB tại E. Chứng minh AE.SM = AM. SE.
d)Khi M thay đổi, chứng minh giao điểm của AD và CB luụn thuộc một đường cố định.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
3. Cho AB và CD là hai đường kớnh vuụng gúc của đường trũn (O; R). Trờn tia đối của tia CO lấy điểm S, SA cắt đường trũn (O) tại M. Tiếp tuyến tại M với