Giải bài tập toán 9 tập 1

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 GIẢI BÀI TẬP TOÁN LỚP TẬP (Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038) Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng năm 2023 Website: tailieumontoan.com PHẦN ĐẠI SỐ Chương I CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA §1 Căn bậc hai Định nghĩa Căn bậc hai số thực a số x cho x = a Kết - Một số thực dương có hai bậc hai hai số đối nhau, kí hiệu a − a - Số có bậc hai nhất, - Một số âm khơng có bâc hai Căn bậc hai số học Căn bậc hai số học số thực a không âm số x khơng âm mà x = a , kí hiệu x = a Liên hệ phép khai phương thứ tự Định lí: Với a, b số dương, ta có: a, Nếu a < b a< b b, Ngược lại, a < b a < b Tóm tắt: a < b ⇔ a < b ; a, b > BÀI TẬP Tìm bậc hai số học số sau suy bậc hai chúng: 121; 144; 169; 225; 256; 324; 361; 400 Hướng dẫn Ta có bảng: x 121 144 169 225 256 324 361 400 x 11 12 13 15 16 18 19 20 ±11 ±12 ±13 ±15 ±16 ±18 ±19 ±20 ± x Trong x bậc hai số học số x, ± x bậc hai số x Thường + x viết gọn x So sánh: a) 3; b) 41 c) 47 Hướng dẫn a) = ; > ⇒ > ⇒ > Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com b) = 36 ; 36 < 41 ⇒ 36 < 41 ⇒ < 41 c) = 49 ; 49 > 47 ⇒ 49 > 47 ⇒ > 47 Dùng máy tính bỏ túi để tính nghiệm phương trình (làm trịn số đến chữ số thập phân thứ ba) b) x = a) x = c) x = 3,5 ; d) x = 4,12 Hướng dẫn a) x = ⇒ x= ± Chẳng hạn dùng máy tính bỏ túi CASIO fx 220, ta nhấn nút: AC Kết máy tính 1.414213562 Làm tròn đến số thập phân thứ ba ta nghiệm là: x ≈ ± 1, 414 b)= x2 c) x 3,5 = ⇒ x= ± ⇒ d) x 4,12 = ⇒ ⇒ x= ± 3,5 x ≈ ±1,732 ⇒ x= ± 4,12 x ≈ ±1,871 ⇒ x ≈ ±2, 030 Tìm x khơng âm, biết: a) x = 15 b) x = 14 x< c) d) 2x < Giải a) = x 15 ⇒ = x 152 ⇒ = x 225 b) x =14 ⇒ (2 x )= 142 ⇒ 4= x 196 ⇒= x 49; c) x< ⇒ ( x ) < ( 2) ⇒ x < ⇒ ≤ x < 4; d) x nên − > b) Vì < 11 nên (3 − 11 ) (2 − ) 2 =2 − =− =− 11 =11 − c) a với a ≥ a = a d) Với a < ⇒ a − < (a − 2) = a − =  − ( a − )  = ( − a ) Tìm x, biết: a) x2 = ; b) x = −8 ; c) 4x2 = ; d) x = −12 Hướng dẫn a) x2 = 7⇒ x = ±7 b) x =−8 ⇒ x =8 ⇒ x =±8 c) 4x2 = ⇒ 4x2 = 36 ⇒ x = 9⇒ x= ±3 d) 9x2 = −12 ⇒ x = 144 ( −12 ) ⇒ x = Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ⇒ x2 = 16 ⇒ x = ±4 10 Chứng minh: a) ( b) ) −1 =4 − 4−2 − = −1 Giải a) Xuất phát từ vế phải, ta có: − = − +1 = ( 3) − 2.1 + 12 = ( ) −1 b) Theo câu a), ta có: 4−2 = ( ) −1 ( ⇒ 4−2 = Vậy ) −1 = − (vì > 1, − > ) − − =3 − − = −1 BÀI TẬP LÀM THÊM Với giá trị m thức sau có nghĩa: a) 3m + b) m −1 c) m − 2m + Rút gọn biểu thức với a số thực a) 2a + b) (1 − a ) ( − 2a ) 2 − 2a LUYỆN TẬP 11 Tính a) 16 25 + 196 : 49 ; b) 36 : 2.32.18 − 169; c) d) 81 ; 32 + 42 Hướng dẫn a) 16 25 + 196 : 49 = 4.5 + 14 : = 20 + = 22 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com b) 36 : 2.32.18 − 169 = 36 :18 − 13 = −11 81 = c) d) = 32 + 42 = + 16 = 25 = 12 Tìm x để thức sau có nghĩa: a) 2x + ; b) −3 x + ; c) ; −1 + x d) + x Hướng dẫn x + có nghĩa x + ≥ ⇒ x ≥ − a) b) Đáp số: x ≤ c) x > d) + x có nghĩa với x 13 Rút gọn biểu thức sau: a) a − 5a với a < ; b) 25a + 3a với a ≥ ; c) 9a + 3a với a bất kì; d) 4a − 3a với a < Hướng dẫn a) Với a < a = −a −2a − 5a = −7 a a − 5a = b) Với a ≥ ⇒ 25a = 5a 25a + 3a = 5a + 3a = 8a c) Ta có: 9a = 3a 9a + 3a = 3a + 3a = 6a d) Với a thì= 4a = ( 2a ) 2a Với a < thì: Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ( 2a ) − 3a = −13a 2a = −2a 4a − 3a =− 14 Phân tích thành nhân tử: a) x − 3; b) x − 6; c) x + x + 3; d) x − x + Hướng dẫn: Dùng kết quả: Với a ≥ a = ( a) Hướng dẫn ( ) = ( x − )( x + ) ( x − )( x + ) a) x − = x − b) x − = c) x + x + = (x 3) x + x + ( 3) =+ d) x − x + = x − x + ( 5) =− (x 5) 15 Giải phương trình sau : a) x − = 0; b) x − 11x + 11 = 0; Hướng dẫn a) x − =0 ⇔ x =5 b) x − 11x + 11 =0 ⇔ x =± ⇔ x − 11x + ( 11) =0 ⇔ ( x − 11) = ⇔ x − 11 = ⇔ x= 11 16 Đố: Hãy tìm chỗ sai phép chứng minh “ Con muỗi nặng voi” Giả sử muỗi nặng m (gam), voi nặng V (gam) Ta có: m2 + V2 = V2 + m2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Cộng hai vế với -2mV, có : m − 2mV + V = V − 2mV + m hay (m - V) = (V - m) Lấy bậc hai hai vế, ta được: m-V=V-m Từ ta có 2m = 2V, suy m = V Vậy muỗi nặng voi Hướng dẫn Lập luận sai từ chỗ (m - V) = (V - m) Suy m - V = V - m Lẽ ta phải suy sau : (m - V) = (V - m) ⇒ V - m = m-V BÀI TẬP LÀM THÊM Tính a từ đẳng thức : 2a(a - 1) = - a Tính x, biết : (3x - 1) = 16 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 AD = AB − BD = AB − BE AF = AC − FC = AC − EC AD = AB + AC − ( BE + EC ) ⇒ AD = AB + AC − BC b) Tương tự, ta có, chẳng hạn: BE = BD = AB + BC − AC 2CF = 2CE = AC + BC − AB 32 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn bán kính 1cm Diện tích tam giác ABC bằng: ( A) 6cm2 ; ( B) 3cm ; (C ) 3 cm ; ( D)3 3cm Hãy chọn câu trả lời Hướng dẫn Ta có: AD OD cot g 300 = = Cạnh ∆ AB = 3) (2 = Diện tích = S ABC AB = 4 3 ( cm ) Vậy câu D BÀI TẬP LÀM THÊM Cho đường tròn tâm O , bán kính R = 6cm điểm P cách tâm O khoảng OP = 10cm Từ P kẻ hai tiếp tuyến PM PM ' đến đường tròn Tính độ dài tiếp tuyến PM , PM ' dây MM ' Trên OA , ta lấy điểm B cho AB = 8cm Tia MB cắt đường tròn điểm C tia M ' B cắt đường tròn điểm D a) Chứng minh MC tia phân giác góc M ' MO b) Chứng minh ba điểm C ; D; O thẳng hàng §7 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN Ba vị trí tương đối: Hai đường trịn có thể: - Khơng cắt nhau: - Tiếp xúc với nhau: - Cắt giao điểm: Tính chất đường trịn nối tâm: Định lí: a) Nếu hai đường trịn cắt đường nối tâm vng góc với dây chung qua trung điểm dây chung OO ' ⊥ AB IA = IB b) Nếu hai đường trịn tiếp xúc với tiếp điểm nằm đường nối tâm Chú ý: Đường nối tâm trục đối xứng hình hợp hai đường trịn BÀI TẬP 33 Trên hình bên, hai đường trịn tiếp xúc A Chứng minh OC / / O ' D Hướng dẫn = Tam giác COA cân: C A1 = Tam giác DO ' A cân: D A2 =D  ⇒ OC / / O ' D Mà  A1 =  A2 (đối đỉnh) ⇒ C 34 Cho hai đường tròn ( O;20cm ) ( O ';15cm ) cắt A B Tính đoạn nối tâm OO ' biết AB = 24cm (xét hai trường hợp O O ' khác phía AB , O O ' phía AB ) Hướng dẫn a) Trường hợp O O ' khác phía AB Ta có: = AB 12 OI = OA2 − AI ⇒ OI = = AI 56 O ' I = O ' A2 − AI ⇒ O ' I = ⇒ OO ' = + 56 ≈ 16,5 b) Trường hợp O O ' phía AB Ta có: OI = OA2 − AI ⇒ OI = 56 Tương tự: O ' I = Do đó: OO ' = OI − O ' I = − 56 ≈ 1,5 BÀI TẬP LÀM THÊM  R Cho hai đường tròn  O;  ( O; R ) điểm I cách tâm O đoạn PO = R Từ ta kẻ hai  2 tiếp tuyến PM , PM ' đến đường tròn ( O; R ) Gọi A, N giao điểm tia PO với đường tròn ( O; R )  R  O;  (Tâm O nằm hai điểm A, N )  2  R a) Chứng minh MM ' tiếp xúc với đường tròn  O;   2  R b) Chứng minh NM NM ' hai tiếp tuyến xuất phát từ N đến đường tròn  O;   2 c) Chứng minh tứ giác AMNM ' hình thoi d) §8 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN (tiếp theo) Hệ thức đoạn nối tâm bán kính: Gọi d đoạn nối tâm: OO ' = d ; R, r bán kính hai đường trịn Ta có: R − r < d < R + r : Hai đường tròn cắt d= R + r : Hai đường trịn tiếp xúc ngồi d = R − r > 0: Hai đường tròn tiếp xúc d > R+r: Hai đường trịn ngồi (khơng cắt nhau) d > R−r: Hai đường tròn đựng Đặc biệt: d = : Hai đường tròn đồng tâm Tiếp tuyến chung hai đường tròn: a) Hai đường tròn ngồi nhau: - Có hai tiếp tuyến chung - Có hai tiếp tuyến chung ngồi b) Hai đường trịn tiếp xúc ngồi: - Có hai tiếp tuyến chung ngồi - Có tiếp tuyến chung c) Hai đường trịn tiếp xúc trong: - Có tiếp tuyến chung d) Hai đường trịn cắt nhau: - Có hai tiếp tuyến chung e) Hai đường trịn đựng nhau: Khơng có tiếp tuyến chung BÀI TẬP 35 Điền vào chỗ trống bảng biết hai đường tròn ( O; R ) ( O '; r ) có OO =' d , R > r Vị trí tương đối (O) đựng (O') Số điểm chung Hệ thứ d, R, r d>R+r Tiếp xúc d=R-r Hướng dẫn Học sinh dựa vào kết luận SGK để điền 36 Cho đường tròn ( O ) có bán kính OA đường trịn đường kính OA a) Hãy xác định vị trí hai đường tròn b) Dây AD đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ C Chứng minh rằng: AC = CD Hướng dẫn a) Ta có: OA = R 'A = r O= OO ' = R R Từ OO ' = OA − O ' A ⇒ OO ' =− R r Vậy hai đường tròn tiếp xúc  =  b) Tam giác AOD cân ⇒ D A  =  Tam giác AO ' C cân ⇒ C A  =C  ⇒ O ' C / / OD ⇒D O ' trung điểm OA , suy C trung điểm AD ⇒ AC = CD 37 Cho hai đường tròn đồng tâm O Dây AB đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ C D Chứng minh rằng: AC = BD Hướng dẫn Kẻ OH ⊥ AB H trung điểm AB HA = HB (1) H trung điểm CD HC = HD (2) Từ (1) (2) suy đpcm LUYỆN TẬP 38 Điền từ thích hợp vào chỗ trống (…): a) Tâm đường trịn có bán kính 1cm tiếp xúc ngồi với đường trịn ( O;3cm ) nằm … b) Tâm đường trịn có bán kính 1cm tiếp xúc với đường trịn ( O;3cm ) nằm … Hướng dẫn a) … đường trịn tâm O , bán kính 4cm : ( O;4cm ) b) … đường tròn tâm O , bán kính 2cm : ( O;2cm ) 39 Cho hai đường tròn (O ) ( O ') tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung BC , B ∈ ( O ) , C ∈ ( O ') Tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung BC I  = 900 a) Chứng minh rằng: BAC b) Tính số đo góc: OIO ' c) Tính độ dài BC biết: = OA 9= cm, O ' A 4cm Hướng dẫn = a) ∆AIB cân: B A1 = A2 ∆AIC cân: C  +C + Mà B A1 +  A2 = 1800  = ⇒ BAC A + A = 900 ' = 900 b) Đáp số: OIO c) Trong tam giác vuông OIO ' , IA ⊥ OO ' nên: = IA2 OA.O ' A ⇒= IA ( cm ) Dễ thấy IA = IB = IC Tam giác vng BAC có AI trung tuyến thuộc cạnh huyền BC = AI ⇒ BC = 12 ( cm ) 40 Đố: Trên hình a, b, c bánh xe trịn có cưa khớp với Trên hình nào, hệ thống chuyển động được? Trên hình nào, hệ thống khơng chuyển động được? Hướng dẫn Học sinh tự giải BÀI TẬP LÀM THÊM Cho hai đường tròn ( O;6 ) ; ( O ';10 ) đoạn nối tâm OO ' = 20cm a) Xác định vị trí tương đối hai đường trịn b) Tính độ dài đoạn tiếp tuyến chung ngồi giới hạn hai tiếp điểm ÔN TẬP CHƯƠNG II CÂU HỎI Thế đường tròn ngoại tiếp tam giác? Nêu cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Trả lời Đường tròn ngoại tiếp tam giác đường tròn qua ba đỉnh tam giác Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm đường trung trực cạnh tam giác Thế đường tròn nội tiếp tam giác? Nêu cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác Trả lời Đường tròn nội tiếp tam giác đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm tia phân giác góc tam giác Chỉ rõ tâm đối xứng đường tròn, trục đối xứng đường tròn Trả lời Tâm đường tròn tâm đối xứng đường trịn Mọi đường kính đường trịn trục đối xứng đường trịn Chứng minh định lí: Trong dây đường trịn, dây lớn đường kính Hướng dẫn Giả sử ta có đường trịn đường kính AB = R dây CD Trong ∆COD , theo bất đẳng thức tam giác ta có: CD ≤ OC + OD ⇒ CD ≤ R ⇒ CD ≤ AB Vậy dây CD nhỏ 2R hay đường kính dây lớn Phát biểu định lí quan hệ vng góc đường kính dây Trả lời Nếu đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây Ngược lại, đường kính qua trung điểm dây đường kính vng góc với dây Phát biểu định lí liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây Trả lời Trong đường trịn: - Hai dây cách tâm ngược lại, hai dây cách tâm - Dây lớn gần tâm ngược lại, dây gần tâm lớn Nêu vị trí tương đối đường thẳng đường trịn Ứng với vị trí đó, viết hệ thức d (khoảng cách từ tâm đến đường thẳng) R (bán kính đường trịn) (Xem Sách giáo khoa) Phát biểu định nghĩa tiếp tuyến đường trịn Phát biểu tính chất tiếp tuyến dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến Phát biểu tính chất hai tiếp tuyến cắt Trả lời - Tiếp tuyến với đường tròn đường thẳng có điểm chung với đường trịn - Tiếp tuyến với đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm - Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn - Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì: a) Điểm cách hai tiếp điểm b) Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo tiếp tuyến c) Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm Nêu vị trí tương đối hai đường trịn Ứng với vị trí đó, viết hệ thức đoạn nối tâm với bán kính R, r Trả lời Gọi R, r hai bán kính, d đoạn nối tâm Vị trí tương đối Hệ thức d , R, r Cắt R−r R+r Tiếp xúc Không cắt Minh họa d < R−r d = : đồng tâm Đựng 10 Tiếp điểm hai đường tròn tiếp xúc có vị trí đường nối tâm? Các giao điểm hai đường tròn cắt có vị trí đường nối tâm? Trả lời - Tiếp điểm hai đường tròn tiếp xúc với nằm đường nối tâm - Các giao điểm hai đường tròn cắt đối xứng với qua đường nối tâm BÀI TẬP 41 Cho đường trịn ( O ) có đường kính BC , dây AD vng góc với BC H Gọi E , F theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ H đến AB, AC Gọi ( I ) , ( K ) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE , HCF a) Hãy xác định vị trí tương đối đường trịn: ( I ) ( O ) , ( K ) ( O ) , ( I ) ( K ) b) Tứ giác AEHF hình gì? Vì sao? c) Chứng minh đẳng thức: AE AB = AF AC d) Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai đường tròn ( I ) ( K ) e) Dây AD vng góc với BC vị trí EF có độ dài lớn nhất? Hướng dẫn a) Đường kính đường trịn ( O ) BC Đường kính đường trịn ( I ) BH Đường kính đường trịn ( K ) HC Từ suy ra: (I ) ( O ) : Tiếp xúc B (K ) ( O ) : Tiếp xúc C (I ) ( K ) : Tiếp xúc H b) Tứ giác AEHF hình chữ nhật có góc vng ( A= ) = F = 900 E ⇒ c) Dễ thấy  AEF = EAH AEF =  ACB AE AF ⇒ ∆AEF ~ ∆ACB ⇒ = ⇒ AE AB = AF AC AC AB  d) Ta có ∆FKC cân ⇒  ACB = F =  = F  Ta có F AEF ⇒ F +F =F +F  = 900 ⇒ KE ⊥ EF F 3 ⇒ EF tiếp tuyến F đường tròn ( K ) Chứng minh tương tự, ta có EF tiếp tuyến E ( I ) e) Ta có: EF = AH Vậy EF lớn AH lớn ⇒ H trùng với tâm O đường tròn (O ) 42 Cho hai đường tròn (O ) ( O ') tiếp xúc A, BC tiếp tuyến chung ( B ∈ ( O ) , C ∈ ( O ') ) , tiếp tuyến chung A cắt BC M Gọi E giao điểm OM AB, F giao điểm O ' M AC Chứng minh rằng: a) Tứ giác AEMF hình chữ nhật b) ME.MO = MF MO ' c) OO ' tiếp tuyến đường trịn có đường kính BC d) BC tiếp tuyến đường trịn có đường kính OO ' Hướng dẫn a) Ta có: OM ⊥ AB, O ' M ⊥ AC OM ⊥ O ' M ⇒ Tứ giác AEMF có góc vng b) Tam giác OMO ' vng M AEMF hình chữ nhật =  (so le trong) mà E  =  = ⇒E F A⇒ F A (1) ∆MAO vuông A, EA ⊥ OM =  ⇒O A (cùng phụ với góc M ) (2) =F  Từ (1) (2) suy ra: O ME MO ' ⇒ ∆MEF ~ ∆MO ' O ⇒ = ⇒ ME.MO = MF MO ' MF MO c) Do MB = MC = MA ⇒ M tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BAC Ta lại có MA ⊥ OO ' ⇒ OO ' tiếp tuyến A đường trịn đường kính BC d) Gọi I trung điểm OO ' ⇒ IM / / OB ⇒ IM ⊥ BC Mặt khác I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OMO ' ⇒ BC tiếp tuyến M đường trịn đường kính OO ' 43 Cho hai đường tròn ( O; R ) ( O '; r ) cắt A B ( R > r ) Gọi I trung điểm OO ' Kẻ đường thẳng vng góc với IA A , đường thẳng cắt đường tròn ( O; R ) ( O '; r ) theo thứ tự C D (khác A ) a) Chứng minh rằng: AC = AD b) Gọi K điểm đối xứng với điểm A qua điểm I Chứng minh KB vng góc với AB Hướng dẫn a) Từ O O ' ta kẻ OE ⊥ AC OF ⊥ AD Theo định lí đường kính dây đường trịn, ta có: E trung điểm AC hay EA = EC ⇒ AC = AE (1) Tương tự, F trung điểm AD ⇒ AD = AF (2) Ta lại có IA / / OE / / O ' F mà I trung điểm OO ' nên IA đường trung bình hình thang OEFO ' , cho ta A trung điểm EF hay AE = AF (3) Từ (1), (2) (3) suy AC = AD b) Gọi H giao điểm AB OO ' H trung điểm AB Theo giả thiết K đối xứng với A qua I nên I trung điểm đoạn thẳng AK Trong tam giác AKB IH đường trung bình tương ứng với cạnh KB nên IH / / KB , mà ta có IH ⊥ AB , suy KB ⊥ AB BÀI TẬP LÀM THÊM Cho hai đường tròn đồng tâm O điểm A nằm ngồi hai đường trịn Từ A ta kẻ tiếp tuyến AM , AQ đến đường tròn lớn AN , AP đến đường tròn nhỏ a) Chứng minh M , N , P, Q nằm đường tròn Xác định tâm đường tròn  QAP   QOP  b) Chứng minh = = MAN , MON c) Tứ giác MNPQ hình gì? Cho hai đường tròn ( O;4 ) ( O ';8 ) đoạn nối tâm OO ' = 10cm a) Chứng tỏ hai đường tròn tiếp xúc với điểm P Tiếp tuyến chung điểm P , cắt tiếp tuyến chung M , N , M , N tiếp điểm điểm Q - Tính MN - Chứng minh tam giác MPN vuông b) Gọi R trung điểm OO ' - Chứng minh RQ ⊥ MN - Tính EQ