BÁO cáo bài tập lớn giải tích 2 chương 14 1 câu 56

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Bộ mơn: Giải tích -o0o - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GVHD: Nguyễn Thị Hồng Nhung Tên nhóm: nhóm TP HỒ CHÍ MINH, ngày 12 tháng năm 2021 DANH SÁCH THÀNH VIÊN Họ tên MSSV 1) Nguyễn Võ Tấn Hải (2013076) 2) Lữ Hoàng Anh (2010133) 3) Trần Thị Thanh Tâm (2014443) 4) Nguyễn Thị Thu Huyền (2013180) 5) Tạ Vũ Hương Thảo (2014525) 6) Lâm Khánh Duy (2012820) 7) Võ Thị Ngọc Ánh (2012631) 8) Ngô Quang Hiếu (1710084) 9) Võ Hồng Duy Khang (2013441) 10) Trần Đình Thiên (2014569) 11) Nguyễn Đặng Nhật Minh (2013769) 12) Đỗ Quang Chuẩn (1910880) LỜI CẢM ƠN Những dòng đầu tiên, chúng em, Nhóm 7, cảm thấy thật vơ may mắn trở thành sinh viên trường Đại Học Bách Khoa TP.HCM Tại đây, chúng em bắt đầu có duyên với mơn Giải Tích Kế đến, Nhóm em xin phép gửi gắm lời tri ân sâu sắc, chân thật tới cô Nguyễn Thị Hồng Nhung dìu dắt chúng em từ ngày mơn học Giải Tích Nếu khơng có cơ, nhóm chúng em khó hồn thành dự án cách trơn tru hạn Cũng nhờ có mà nhóm chúng em tích lũy thêm vơ vàn kiến thức mới, tiếp cận với đa dạng loại tích phân với việc biết thêm ứng dụng chúng đời sống thực tiễn tính diện tích, thể tích hay khối lượng…v v Nhờ giúp chúng em bước chân vào giới tốn học với thích thú, ham học hỏi không thiếu nghiêm túc học tập Tuy vậy, khả chúng em trình hoàn thiện, chưa đạt tới mức hồn hảo, cịn chỗ chưa chuẩn xác có lỗi Kính mong góp ý, xem xét để giúp nhóm hồn thiện tương lai Xin chân thành cảm ơn ạ! Tp Hồ Chí Minh, ngày 12 tháng năm 2021 Tập Thể Sinh viên Nhóm Bài Chương 14.1/ câu 56 Nếu V ( x, y ) điện điểm ( x, y ) mặt phẳng Oxy , đường cong V gọi đường đẳng tất điểm đường cong có V ( x, y )  điện nhau, vẽ số đường cong đẳng c số Giải V ( x , y )= Ta có: c2 ≥0 k2 c ⇒ k≥ r r− c √ r 2−x 2− y ⇒ k=V ( x , y )= c √ r 2−x 2− y 2 2 ⇒ x + y =r − c2 k2 c r  x2  y 2 Bài Chương 14.3/ câu 84 Chứng tỏ hàm sản xuất Cobb-Douglas L P  bL K  thoả mãn phương trình: P P K      P L K Giải   Ta có: P  bL K (1) P  b L 1 K  L (2) P  b L K  1 K (3) Thay  1 ,   ,  3 vào phương trình : Vế trái: Vế phải: L P P K  L.b L 1K   K b L K  1       bL K  L K      P  (   )bL K  vế  hàm sản xuất Cobb-Douglas L P  bL K  thoả mãn phương trình: P P K      P L K Bài Chương 14.4/ Applied project: Tốc độ v vật thể di chuyển phía trước lịng nước cho sau:  2P 3 v  P, C      KC  Với P lượng để làm cho vật di chuyển phía trước lòng nước, C lực cản nước K số dương Nhờ đó, vận động viên tăng vận tốc bơi cách tăng lực giảm lực cản nước tác dụng lên họ Thế nhưng, hai cách làm có thật hữu ích? Để so sánh việc tăng lực áp vào giảm lực cản, cần so sánh chúng hệ quy chiếu Cách tiếp cận thường thấy xác định phần trăm thay đổi tốc độ có thay đổi (phần trăm) lực áp vào lực cản Nếu xem phần trăm phần nhỏ lượng thay đổi lượng nhỏ x (với x gần 100 x %), P thay đổi từ P sang P + xP Tương tự, lực cản nước thay đổi lượng nhỏ y , điều có nghĩa thay đổi từ C sang C + yC Tổng kết lại, ta có cơng thức mức thay đổi vận tốc (do ảnh hưởng thành phần) sau: v ( P  xP, C  yC )  v( P, C ) v ( P, C ) 2) Xem thay đổi lượng x thay đổi lực cản y nhỏ Tìm xấp xỉ tuyến tính hàm f ( x, y ) Xấp xỉ cho ta biết điều ảnh hưởng thay đổi nhỏ lượng so với thay đổi nhỏ lực cản? Giải x lực áp vào y lực cản chất lỏng lên vật f ( x, y )  Ta có v( P  xP, C  yC )  v( P, C ) v ( P, C ) 1/3 1/3   P  xP    2P     1/3  K C  yC    KC   1 x       1 1/3  2P  1 y     KC  f x( x, y )  3  x  2/3 1 y 1/3  1 x f y( x, y )   4/3 3 1 y  1/3 Hàm xấp xỉ tuyến tính f ( x, y ) giá trị thay đổi x0 y0 cho pt:  L( x, y )  f ( x0 , y0 )  f x( x0 , y0 )  x  x0   f y( x0 , y0 )  y  y0   L ( x, y )    x0  f ( x0 , y0 )  x  x0   y  y0  2/3 1/3  4/3    x0    y0    y0  1/3 x tỉ lệ nghịch với y lực áp vào tăng lượng nhỏ lực cản giảm lượng nhỏ dựa hàm xấp xỉ tuyến tính f , thay đổi ảnh hưởng tới tốc độ f với tỉ lệ so với tổng thể Vì vậy, khơng có khác biệt đáng kể việc tăng lượng nhỏ lượng đưa vào việc giảm lượng nhỏ lực cản Bài Chương 14.5/ câu 55 Hàm f gọi hàm đồng bậc n thoả phương trình f (tx, ty )  t n f ( x, y ) Với t n số nguyên dương hàm f có đạo hàm riêng cấp liên tục a) Chứng minh hàm f hàm đồng bậc b) Chứng tỏ f hàm đồng bậc n thì: f f x y  nf ( x, y ) x y Giải a) f ( x , y )=x y +2 x y +5 y 2 f ( tx , ty )=( tx ) (ty ) +2 (tx )( ty ) +5 ( ty ) =t ( x y +2 x y +5 y )=t f ( x , y ) ⇒ f ( x , y )=x y +2 x y +5 y hàm đồng bậc b) Đặt u=tx , v=ty Ta có: z=f (u , v ) đạo hàm theo : δf ∂u ∂ f ∂ v + =n t n−1 f ( x , y ) (1) δu ∂ t ∂ v ∂ t Sử dụng quy tắc chuỗi, ta có: ∂z ∂ n ∂ z ∂u ∂ n ∂f (x, y) ∂ f (x , y) ∂z = = ( t f ( x , y ) )⟹ ∂ z t=t n ( t f ( x , y ) )⟹ ⟹ =t n−1 (2) ∂x ∂ x ∂u ∂ x ∂ x ∂u ∂x ∂u ∂x Tương tự: ⟹ ∂ z n−1 ∂ f ( x , y ) =t (3) ∂v ∂y Thế (2), (3) vào (1): δf ∂u ∂ f ∂ v + =n t n−1 f ( x , y ) δu ∂ t ∂ v ∂ t ⟹ δf ∂f x+ y =n t n −1 f ( x , y ) δu ∂v ⟹ t n −1 ⟹ ∂ f (x , y ) ∂ f (x , y ) x+ t n−1 y=nt n−1 f ( x , y ) ∂x ∂y ∂ f (x , y ) ∂ f (x , y) x+ y=nf ( x , y ) ( Điều Phải Chứng Minh ) ∂x ∂y Bài Chương 14.7/ câu 59 Giả sử nhà khoa học có lý để tin hai đại lượng x y có quan hệ tuyến tính với nhau, nghĩa là, y=mx+b xấp xỉ, số giá trị Nhà khoa học thực thí nghiệm thu thập liệu dạng điểm ( x , y ),(x , y 2) , ,(x n , y n ), sau vẽ biểu đồ điểm Các điểm không nằm xác đường thẳng, nhà khoa học muốn tìm số m b cho đường thẳng y=mx+b “khớp” với điểm (xem hình vẽ) Gọi d i= yi −(m xi + b) độ lệch dọc điểm ( x i , y i) so với đường thẳng Phương pháp n bình phương nhỏ xác định m b cho đạt giá trị nhỏ ∑ d i2 tổng bình i=1 phương độ lệch Chứng tỏ rằng, theo phương pháp này, dòng tốt thu n n m ∑ xi +bn=∑ y i i=1 i=1 Và n n n i=1 i=1 i=1 m ∑ xi2 +b ∑ x i=∑ x i y i Do đó, đường thẳng tìm thấy cách giải hai phương trình hai ẩn số m b (Xem Phần 1.2 để thảo luận thêm ứng dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất.) Giải 10 Vậy R hình chữ nhật mặt phẳng uv 1.4  0.4 ta viết: xy    xy y    v v u y 0.4   v  y    u v x   Với xy=u ta đươc:  u  Suy x 2.5 2.5  u u 3.5  u 3.5 v ( 2.5) v 2.5 Ma trận Jacobi [ 3.5u 2.5 v−2.5 −2.5 v 2.5 u−3.5 -1 3.5 −3.5 1.5 −2.5 = 2.5v −2.5 u v 2.5 v u ] d b d  S R   dA   2,5v 1dv  du 2,5  b  a  ln   c R c a Diện tích cần tìm: Bài 15 Chương 15 Review/ câu 57 Sử dụng công thức đổi biến biến đổi phù hợp để tính giá trị tích phân R hình vng với tạo bới điểm (0, 0), (1, 1), (2, 0), (1, -1) Giải 25  xydA R , Ta xác định miền hình vuông:  0  x  y   x  y  Đặt: u  x  y v  x  y   u  2 , 0  v  2  26 x uv uv   , y  2 J 2  1 1 2 2  u  v  u  v  1   dudv R xydA  0 0      2    v  u dudv 800 2  u3     v 2u   dv 0 3  2v  dv  80  v 4v      4 3   8   0  3  Bài 16 Chương 16.2/ câu  ( x  y)dx  x dy Tính tích phân đường C 0, với C bao gồm đoạn thẳng chạy từ ̣   đến  2,1 từ  2,1 đến  3,  Giải Gọi toạ độ điểm :   x  y  dx  x dy    x  y  dx  x dy    x  y  dx  x dy Ta có: A  0,  , B  2,1 , C  3,  C AB BC  Phương trình đoạn thẳng AB: x  y , điểm đầu A ứng với y  , điểm cuối B ứng với y  , đó:   x  y  dx  x dy    y  y    y  AB 27  dy  16   Phương trình đoạn thẳng BC: y   x , điểm đầu B ứng với x  , điểm cuối C ứng với x  ,  BC  x  y  dx  x 2dy    x    x   x  dx      x  y  dx  x dy  C 17   x  y  dx  x dy    x  y  dx  x dy  2 AB BC 16 17   Bài 17 Chương 16.2/ câu 43 Vị trí vật có khối lượng m thời điểm t r  t   at 2i  bt j    ,  t  a) Hợp lực tác dụng lên vật thời điểm t b) Công lực thực khoảng thời gian  t  Giải r  t   at 2i  bt j suy v(t) đạo hàm r(t) v  t   2ati  3bt j mà a t đạo hàm v t nên a  t   2ai  6btj a) Vậy hợp lực tác dụng lên vật thời điểm t là: F  m.a  t    2aim  6btjm b) Công lực thực W   Fdr   (2aim  6btjm).(2ati  3bt j ) dt C W   (4ma 2t  18mb 2t )dt  W  2ma  4,5mb 28 Bài 18 Chương 16.3/ câu 19 Chứng tỏ tích phân đường độc lập với đường đánh giá tích phân  xe ( y) dx  (2 y  x e(  y ) )dy C C đường từ  1,  đến  2,1 Giải Để chứng minh tích phân đường không phụ thuộc vào đường Chúng ta sử dụng định lí 6: Miền R mở kết nối đơn giản P  x, y   xe  y   Q  x, y   y  x 2e  y Các đạo hàm riêng cấp P Q liên tục P P  2e  y  2 xe  y x y Q Q  2 xe  y   x 2e  y x y Ta quan sát R    P Q  y x Do đó, tất giả thuyết Định lí thỏa mãn trường veto F  xe  y i   2y  x e  j y bảo toàn Suy ra, tích phân đường độc lập với đường Từ đó, tồn hàm f F  f Chúng ta tìm f cách sử dụng giả thuyết  29 xe  y i   y  x e  y  j  f xi  f yj f x  x, y    2 xe  y    và     f y  x, y   y  x e  y  f x (x, y) = 2xe-y −y => f (x, y) = ∫ x e dx = e-y ∫ x dx = e-y [ x x2 ] + g(y) = e-yx2 + g(y) Như f y f (x, y) = e-yx2 + g(y) , (x, y) =2y- x2e-y => -eyx2 + g (y) = 2y- x2e-y => g,(y) = 2y => g(y) = ∫ y dy => g(y) = y2 + K , Vì K số f(x, y) = e-yx2 + y2 + K Lưu ý lấy K=0 lấy số khác Chúng ta bắt đầu đánh giá tích phân  xe C ( y) dx  (2 y  x e(  y ) )dy   Fdr   fdr C C (2,1) = ∫ f dr (1,0) = f (2,1) – f (1,0) = ¿ ¿ - ( e− y x + y + K ¿|(x , y)=(1,0) = ( 4e-1 + + K) – (e0 x + + K) = 4e-1 + + K - – K = 4e-1 = 30 e Bài 19 Chương 16.4/ câu 26 Sử dụng tập 25 để tìm momen qn tính đĩa trịn bán kính a có khối lượng riêng khơng đổi đường kính (so sánh với ví dụ 15.4.4) Bài tập 25: Một lamina phẳng có mật độ không đổi  ( x, y )   chiếm vùng mặt phẳng Oxy- giới hạn đường khép kín đơn giản C Chứng tỏ mơmen qn tính trục là: Ix   Iy   y dx   C  x dy   C Giải Chúng ta định nghĩa đĩa tập hợp điểm thuộc tập hợp: {( x , y )∨x 2+ y 2< a2 } C ranh giới đĩa hình trịn: x 2+ y 2=a2 Do tham số hóa cho C là: C: x=a cos θ , y =a sin θ , ≤ θ ≤2 π Ix   2π ¿− 2π  y dx   C 2π 2π ρ ρ a4 ρ a4 ( )2 ρ a4 ( a sin θ ) ( −a sinθ dθ ) = sin θ dθ¿ sin θ dθ= ∫ ∫ ∫ ∫ (1−cos θ )2 dθ 3 12 2π ¿ ρ a4 ( ∫ 1−2 cos 2θ+ cos2 2θ ) dθ 12 ¿ ρ a4 1+ cos θ 1−2 cos θ+ dθ ∫ 12 2π 31 ( ) 2π ρ a4 ¿ ∫ ( 3−4 cos 2θ +cos θ ) dθ 24 ¿ ρ a4 sin θ π πρ a4 3θ−2 sin 2θ+ = 24 4 ]| [ Iy  2π ¿ 2π ρ ρ a4 ( a cos θ ) ( a cos θ ) dθ= cos4 θ dθ ∫ ∫ 3 2π 2π ρ a4 ( )2 ρ a4 ¿ cos θ dθ= ( 1+ cos θ )2 dθ ∫ ∫ 12 2π ¿ ρ a4 ( 1+2 cos θ+cos 2 θ ) dθ ∫ 12 2π ρ a4 1+cos θ ¿ 1+2 cos 2θ+ dθ ∫ 12 ( ) 2π ¿ ρ a4 ∫ ( 3+ cos θ+cos θ ) dθ 24 ρ a4 sin θ π πρ a ¿ 3θ +2 sin2 θ+ dθ= 24 4 [ ]| πρa I x =I y = Bài 20 Chương 16.6/ câu 49 32  x dy   C Tìm diện tích bề mặt giới hạn phương trình tham số x  u , y  uv, z v ,  u  1,  v  2 Giải Ta có: x  u , y  uv, z  v2 r  u 2i  uvj  v k ru  2ui  vj  0k  rv  0i  ui  vk ru  rv  v 2i  2uvj  2u k ru  rv   v  v    2uv    2u  2  2u   v  2u 2 Với  u  ;  v  A  S    rv  ru dA   v  2u dA D D    v  2u dvdu 0  v3 2     2vu  du 0 0 1  8u 4u     4   Bài 21 Chương 16.7/ câu 40 33 2 2 Tìm khối lượng hình phễu mỏng miền hình nón z  x  y ,1  z  Biết hàm mật độ  ( x, y, z )  10  z Giải Khối lượng hình phễu : I    ( x, y, z )dS S Dxy :1  x  y  2 Pt mặt S: z  x  y x  zx  x2  y2 z y  , y x2  y2  dS   ( zx )  ( z y ) dxdy  2dxdy   I   10  x  y S  2dxdy 1  r   x  r cos(  ), y  r sin(  ) Đặt Ta 0    2 I 2  d  r  10  r  2dr  I  108 2 Vậy khối lượng vật 108 2 34 Bài 22 Chương 16 Review/ câu 13 Chỉ F bảo toàn sử dụng thực tế để đánh giá cho  Fdr C dọc theo đường cong F ( x , y ) =( x3 y 2−2 x y ) i+(2 x y−3 x y +4 y3 ) j , C :r ( t )=( t+ sin πt ) i+(2t +cos πt ) j , 0≤ t ≤ Giải Chúng ta lưu ý F = P i + Q j bảo toàn P y = Q x Từ đề ta có: P = 4x3y2 – 2xy3 => P y = 8x3y – 6xy2 Q = 2x4y – 3x2y2 + 4y3 => Q x = 8x3y – 6xy2 + P y = Q x Do trường vecto F cho bảo tồn Vì F trường vecto bảo toàn nên tồn f cho f  F Sau tìm thấy f, sử dụng định lí tích phân đường  Fdr   fdr  f  x , y   f  x , y  C C Trong C đường cong từ ( x 1, y 1) đến ( x 2, y 2) F(x,y) = ∇ f f x I + f y j = ( x y 2−2 x y ) i + ( x y−3 x y +4 y ) j Vì f x = x3 y 2−2 x y 35 1 f y = x y−3 x2 y +4 y Chúng ta tích hợp r, coi y số 3 f(x,y) = ∫ x y −2 x y dx f(x,y) = x4y2 – x2y3 + p(y) (1) Lưu ý p(y) số tích hợp Phân biệt phương trình (1) y Để ta được: f y = x y−3 x2 y + p ,(y) f y = x y−3 x2 y +4 y Nhưng biết p,(y) = y Vì Tích hợp hai bên để có được: p(y) = y4 + K Biểu thức thay cho p(y) phương trình (1) f(x,y) = x4y2 – x2y3 + y4 + K Theo định lí Tích phân đường:  Fdr   fdr  f  x , y   f  x , y  C C Cho rằng: 1 C đường cong từ ( r ( t )=( t+ sin πt ) i+ ( t+cos πt ) j, ≤ t ≤ C đường cong từ (0,1) đến (1,1) Vì  36  Fdr  f (1,1)  f (0,1)  (1    K )  (0    K )  C x1 y1 , x2 y2 ) đến ( , ) Bài 23 Chương BTL chuỗi số/ câu 15 Xác định xem chuỗi dây hội tụ hay phân kỳ ∞ ∑n n =2 √ ln ⁡( n) Giải Xét hàmf ( x )= [ 2,+ ∞ ] , tacó x √ ln ⁡(x)  f(x) không âm, hàm liên tục x tăng ln(x) tăng nên f(x) giảm tức hàm f(x) thỏa điều kiện tiêu chuẩn tích phân Maclaurint-Cauchy ∞ Vì vậy, chuỗi cho hội tụ tích phân ∫ dx hội tụ x √ lnx Ta có : ∞ b 1 I =∫ dx= lim ∫ [ dx ] b →∞ √ lnx x x √ lnx Đặt: ln x=u Lấy đạo hàm hai vế ta được: dx=du x I viết lại thành: lnb I =lim ∫ b → ∞ ln lnb du=lim [2 √ u] lnu= lim √ lnb−2 √ ln b →∞ b→∞ √u lnb=∞ suy Mà blim →∞ I =2 √ ∞−2 √ ln 2=∞−2 √ ln 2=∞ Vì I phân kì nên chuỗi cho phân kì 37 Bài 24 Tìm bán kính hội tụ, miền hội tụ   n 1  x  2 nn Giải  Đặt Xét X  x2 n 1 an  Xn nn nn Theo tiêu chuẩn Cauchy   lim n an  n n  R 1  0 nn n 1   n  Miền hội tụ = R 38 n 39 ... (b2 +c 2) M ( a2 + c2 ) M (a2 + b2 ) I x= , I y= , I z= 12 12 12 Bài 12 Chương 15 .7/ câu 25 Dùng hệ tọa độ trụ để 19 a- Tìm thể tich miền E nằm paraboloid z = 24 −x 2? ?? y hình nón z = √ x2 + y2... Võ Thị Ngọc Ánh (20 12 6 31) 8) Ngô Quang Hiếu (17 10084) 9) Võ Hoàng Duy Khang (20 13 4 41) 10 ) Trần Đình Thiên (20 14 5 69) 11 ) Nguyễn Đặng Nhật Minh (20 13 769) 12 ) Đỗ Quang Chuẩn (19 10880) LỜI CẢM ƠN... dθ= ( 1+ cos θ )2 dθ ∫ ∫ 12 2π ¿ ρ a4 ( 1 +2 cos θ+cos 2 θ ) dθ ∫ 12 2π ρ a4 1+ cos θ ¿ 1 +2 cos 2? ?+ dθ ∫ 12 ( ) 2? ? ¿ ρ a4 ∫ ( 3+ cos θ+cos θ ) dθ 24 ρ a4 sin θ π πρ a ¿ 3θ +2 sin2 θ+ dθ= 24 4 [