BÁO cáo bài tập lớn giải tích 2 chương 14 1 câu 56

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Bộ mơn: Giải tích -o0o - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GVHD: Nguyễn Thị Hồng Nhung Tên nhóm: nhóm TP HỒ CHÍ MINH, ngày 12 tháng năm 2021 DANH SÁCH THÀNH VIÊN Họ tên MSSV 1) Nguyễn Võ Tấn Hải (2013076) 2) Lữ Hoàng Anh (2010133) 3) Trần Thị Thanh Tâm (2014443) 4) Nguyễn Thị Thu Huyền (2013180) 5) Tạ Vũ Hương Thảo (2014525) 6) Lâm Khánh Duy (2012820) 7) Võ Thị Ngọc Ánh (2012631) 8) Ngô Quang Hiếu (1710084) 9) Võ Hồng Duy Khang (2013441) 10) Trần Đình Thiên (2014569) 11) Nguyễn Đặng Nhật Minh (2013769) 12) Đỗ Quang Chuẩn (1910880) LỜI CẢM ƠN Những dòng đầu tiên, chúng em, Nhóm 7, cảm thấy thật vơ may mắn trở thành sinh viên trường Đại Học Bách Khoa TP.HCM Tại đây, chúng em bắt đầu có duyên với mơn Giải Tích Kế đến, Nhóm em xin phép gửi gắm lời tri ân sâu sắc, chân thật tới cô Nguyễn Thị Hồng Nhung dìu dắt chúng em từ ngày mơn học Giải Tích Nếu khơng có cơ, nhóm chúng em khó hồn thành dự án cách trơn tru hạn Cũng nhờ có mà nhóm chúng em tích lũy thêm vơ vàn kiến thức mới, tiếp cận với đa dạng loại tích phân với việc biết thêm ứng dụng chúng đời sống thực tiễn tính diện tích, thể tích hay khối lượng…v v Nhờ giúp chúng em bước chân vào giới tốn học với thích thú, ham học hỏi không thiếu nghiêm túc học tập Tuy vậy, khả chúng em trình hoàn thiện, chưa đạt tới mức hồn hảo, cịn chỗ chưa chuẩn xác có lỗi Kính mong góp ý, xem xét để giúp nhóm hồn thiện tương lai Xin chân thành cảm ơn ạ! Tp Hồ Chí Minh, ngày 12 tháng năm 2021 Tập Thể Sinh viên Nhóm Bài Chương 14.1/ câu 56 Nếu V ( x, y ) điện điểm ( x, y ) mặt phẳng Oxy , đường cong V gọi đường đẳng tất điểm đường cong có V ( x, y )  điện nhau, vẽ số đường cong đẳng c số c r  x2  y 2 Giải Ta có: Bài Chương 14.3/ câu 84 Chứng tỏ hàm sản xuất Cobb-Douglas P  bL K  thoả mãn phương trình: L � P � P K     P � L � K Giải   Ta có: P  bL K (1) � P  b L 1 K  � L (2) � P  b L K  1 � K (3) Thay  1 ,   ,  3 vào phương trình : Vế trái: Vế phải: L � P � P K  L.b L 1 K   K b L K  1       bL K  � L � K      P  (   )bL K  vế � hàm sản xuất Cobb-Douglas L P  bL K  thoả mãn phương trình: � P � P K     P � L � K Bài Chương 14.4/ Applied project: Tốc độ v vật thể di chuyển phía trước lòng nước cho sau: �2 P � v  P, C   � � �KC � Với P lượng để làm cho vật di chuyển phía trước lịng nước, C lực cản nước K số dương Nhờ đó, vận động viên tăng vận tốc bơi cách tăng lực giảm lực cản nước tác dụng lên họ Thế nhưng, hai cách làm có thật hữu ích? Để so sánh việc tăng lực áp vào giảm lực cản, cần so sánh chúng hệ quy chiếu Cách tiếp cận thường thấy xác định phần trăm thay đổi tốc độ có thay đổi (phần trăm) lực áp vào lực cản Nếu xem phần trăm phần nhỏ lượng thay đổi lượng nhỏ x (với x gần 100 x %), P thay đổi từ P sang P + xP Tương tự, lực cản nước thay đổi lượng nhỏ y , điều có nghĩa thay đổi từ C sang C + yC Tổng kết lại, ta có cơng thức mức thay đổi vận tốc (do ảnh hưởng thành phần) sau: v( P  xP, C  yC )  v( P, C ) v ( P, C ) 2) Xem thay đổi lượng x thay đổi lực cản y nhỏ Tìm xấp xỉ tuyến tính hàm f ( x, y ) Xấp xỉ cho ta biết điều ảnh hưởng thay đổi nhỏ lượng so với thay đổi nhỏ lực cản? Giải x lực áp vào y lực cản chất lỏng lên vật f ( x, y )  Ta có v( P  xP, C  yC )  v( P, C ) v ( P, C ) 1/3 1/3 �2  P  xP  � �2 P � � � � � 1/3 K  C  yC  � �KC � � 1 x � �  � � 1 1/3 1 y � �2 P � � � � �KC � f x� ( x, y )  3 1 x 2/3 1 y 1/3  1 x f y� ( x, y )   4/3 3 1 y  1/3 Hàm xấp xỉ tuyến tính f ( x, y ) giá trị thay đổi x0 y0 cho pt: � L( x, y )  f ( x0 , y0 )  f x� ( x0 , y0 )  x  x0   f y� ( x0 , y0 )  y  y0  � L ( x, y )    x0  f ( x0 , y0 )  x  x  y  y0    2/3 1/3 4/3    x0    y0    y0  1/3 x tỉ lệ nghịch với y lực áp vào tăng lượng nhỏ lực cản giảm lượng nhỏ dựa hàm xấp xỉ tuyến tính f , thay đổi ảnh hưởng tới tốc độ f với tỉ lệ so với tổng thể Vì vậy, khơng có khác biệt đáng kể việc tăng lượng nhỏ lượng đưa vào việc giảm lượng nhỏ lực cản Bài Chương 14.5/ câu 55 Hàm f gọi hàm đồng bậc n thoả phương trình f (tx, ty )  t n f ( x, y ) Với t n số nguyên dương hàm f có đạo hàm riêng cấp liên tục a) Chứng minh hàm f hàm đồng bậc b) Chứng tỏ f hàm đồng bậc n thì: � f � f x y  nf ( x, y ) � x � y Giải a) hàm đồng bậc b) Đặt Ta có: đạo hàm theo : Sử dụng quy tắc chuỗi, ta có: Tương tự: Thế (2), (3) vào (1): Bài Chương 14.7/ câu 59 Giả sử nhà khoa học có lý để tin hai đại lượng x y có quan hệ tuyến tính với nhau, nghĩa là, xấp xỉ, số giá trị Nhà khoa học thực thí nghiệm thu thập liệu dạng điểm, sau vẽ biểu đồ điểm Các điểm khơng nằm xác đường thẳng, nhà khoa học muốn tìm số m b cho đường thẳng “khớp” với điểm (xem hình vẽ) Gọi độ lệch dọc điểm () so với đường thẳng Phương pháp bình phương nhỏ xác định m b cho đạt giá trị nhỏ tổng bình phương độ lệch Chứng tỏ rằng, theo phương pháp này, dòng tốt thu Và Do đó, đường thẳng tìm thấy cách giải hai phương trình hai ẩn số m b (Xem Phần 1.2 để thảo luận thêm ứng dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất.) Giải n Đặt n L  �di  � yi  (mxi  b)  i 1 i 1 Để tìm độ lệch nhỏ ta tìm đạo hàm theo b theo m cho đạt giá trị điểm đạt cực trị � L 0 b Chứng minh: � � L n �  � [ yi  (mxi  b)]2 � b i 1 � b � L n  �2[ yi  (mxi  b)]( 1) � b i 1 n � L  � �(2)[ yi  (mxi  b)]  � b i 1 n n n �y  �mx  �b  i i 1 i 1 i i 1 n n i 1 i 1 m�xi  bn  �yi � L 0 m Chứng minh: � 10 (c) Định lý giá trị trung bình viết tắt hàm, có đạo hàm (a, b) liên tục [a, b] giữ Trong a -eyx2 + (y) = 2y- x2e-y => (y) = 2y => g(y) = => g(y) = y2 + K , Vì K số f(x, y) = e-yx2 + y2 + K Lưu ý lấy K=0 lấy số khác Chúng ta bắt đầu đánh giá tích phân xe � C ( y ) dx  (2 y  x 2e (  y ) )dy  � Fdr  � �fdr C C = = f (2,1) – f (1,0) = - ( = ( 4e-1 + + K) – (e0 x + + K) = 4e-1 + + K - – K 28 = 4e-1 = Bài 19 Chương 16.4/ câu 26 Sử dụng tập 25 để tìm momen qn tính đĩa trịn bán kính a có khối lượng riêng khơng đổi đường kính (so sánh với ví dụ 15.4.4) Bài tập 25: Một lamina phẳng có mật độ khơng đổi  ( x, y)   chiếm vùng mặt phẳng Oxy- giới hạn đường khép kín đơn giản C Chứng tỏ mơmen qn tính trục là: Ix   Iy   y dx � 3C  x3 dy � 3C Giải Chúng ta định nghĩa đĩa tập hợp điểm thuộc tập hợp: C ranh giới đĩa hình trịn: Do tham số hóa cho C là: C: , Ix   29  y 3dx � 3C Iy   x3 dy � 3C Bài 20 Chương 16.6/ câu 49 Tìm diện tích bề mặt giới hạn phương trình tham số x  u , y  uv, z  v , �u �1, �v �2 Giải Ta có: 30 x  u , y  uv, z  v2 r  u 2i  uvj  v k ru  2ui  vj  0k  rv  0i  ui  vk ru �rv  v 2i  2uvj  2u k ru �rv   v  v    2uv    2u  2 2  2u   v  2u 2 Với �u �1 ; �v �2 A S   � rv �ru dA  � v  2u dA � � D D � v  2u dvdu � 0 �v 2� � �  2vu � du �0 0� 1 �8u 4u � �  � 4 � �3 Bài 21 Chương 16.7/ câu 40 2 Tìm khối lượng hình phễu mỏng miền hình nón z  x  y ,1 �z �4 Biết hàm mật độ  ( x, y, z )  10  z Giải Khối lượng hình phễu : I  Dxy :1 � x  y �4 31  ( x, y , z ) dS � � S 2 Pt mặt S: z  x  y x � z� x  x y 2 z� y  , y x  y2 2 �2 � dS   ( z � 2dxdy x )  ( z y ) dxdy   2 �I � �10  x  y S  2dxdy �r �4 � � Đặt x  r cos( ), y  r sin( ) Ta �0 � �2 �I  2 d � r  10  r  dr � � I  108 2 Vậy khối lượng vật 108 2 Bài 22 Chương 16 Review/ câu 13 Chỉ F bảo toàn sử dụng thực tế để đánh giá cho Giải 32 Fdr � C dọc theo đường cong Chúng ta lưu ý F = P i + Q j bảo toàn = Từ đề ta có: P = 4x3y2 – 2xy3 => = 8x3y – 6xy2 Q = 2x4y – 3x2y2 + 4y3 => = 8x3y – 6xy2 + = Do trường vecto F cho bảo tồn Vì F trường vecto bảo toàn nên tồn f cho �f  F Sau tìm thấy f, sử dụng định lí tích phân đường Fdr  � �fdr  f  x , y   f  x , y  � C 1 C Trong C đường cong từ ( , ) đến (, ) F(x,y) = I+j= + Vì = = Chúng ta tích hợp r, coi y số f(x,y) = dx f(x,y) = x4y2 – x2y3 + p(y) (1) Lưu ý p(y) số tích hợp Phân biệt phương trình (1) y Để ta được: = (y) Nhưng biết 33 = Vì (y) = Tích hợp hai bên để có được: p(y) = y4 + K Biểu thức thay cho p(y) phương trình (1) f(x,y) = x4y2 – x2y3 + y4 + K Theo định lí Tích phân đường: Fdr  � �fdr  f  x , y   f  x , y  � C C 1 C đường cong từ ( , ) đến (, ) Cho rằng: C đường cong từ (0,1) đến (1,1) Vì  Fdr  f (1,1)  f (0,1)  (1    K )  (0    K )  � C Bài 23 Chương BTL chuỗi số/ câu 15 Xác định xem chuỗi dây hội tụ hay phân kỳ Giải  f(x) không âm, hàm liên tục x tăng ln(x) tăng nên f(x) giảm tức hàm f(x) thỏa điều kiện tiêu chuẩn tích phân Maclaurint-Cauchy 34 Vì vậy, chuỗi cho hội tụ tích phân hội tụ Ta có : Đặt: Lấy đạo hàm hai vế ta được: I viết lại thành: Mà suy Vì I phân kì nên chuỗi cho phân kì Bài 24 Tìm bán kính hội tụ, miền hội tụ �  x  2 � n 1 nn Giải Xn X  x2�� n n 1 n Đặt � Xét an  nn Theo tiêu chuẩn Cauchy 35 n   lim n an  n n �� �R 1  0 nn n 1  � n � Miền hội tụ = R 36 ... 4,5mb Bài 18 Chương 16.3/ câu 19 Chứng tỏ tích phân đường độc lập với đường đánh giá tích phân xe � ( y ) dx  (2 y  x 2e(  y ) )dy C C đường từ  1,0  đến  2,1 Giải Để chứng minh tích. .. diện tích vùng R Trong vấn đề cho R = [0,4] x [0,4] hình vng có độ dài cạnh = Do diện tích khu vực R A   16 f  x, y  dA �248 � � R Từ câu (a) , biết : 248 �f tb 15.5 16 13 Bài Chương 15.2/ câu. .. khớp Giải a) f(x,y) hàm mật độ khớp Bởi f(x,y) = x,y > or x,y < 14 b) (i) (ii) c) Bài 10 Chương 15.5/ câu 12 15 2 Tìm diện tích bề mặt phần hình cầu x  y  z  z Nằm bên 2 paraboloid z  x  y Giải