Chủ đề: Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức

Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"

Bn quyn thuc Nhúm C Mụn ca Lờ Hng c T hc em li hiu qu t duy cao, iu cỏc em hc sinh cn l: 1. Ti liu d hiu Nhúm C Mụn luụn c gng thc hin iu ny. 2. Mt im ta tr li cỏc thc mc ng kớ Hc tp t xa. BI GING QUA MNG CUN SCH Phng phỏp gii toỏn Hm s PHN IV: O HM Hc Toỏn theo nhúm (t 1 n 6 hc sinh) cỏc lp 9, 10, 11, 12 Giỏo viờn dy: Lấ HNG C a ch: S nh 20 Ngừ 86 ng Tụ Ngc Võn H Ni Email: nhomcumon68@gmail.com Ph huynh ng kớ hc cho con liờn h 0936546689 Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức và Nhà giáo u tú Đào Thiện Khải phụ trách. 1 Phần IV: Đạo hàm chủ đề 4 sử dụng đạo hàm Chứng minh đẳng thức I. Kiến thức cơ bản Ta đã biết nếu một hàm số không đổi trong khoảng (a, b) thì đạo hàm luôn triệt tiêu trong khoảng đó. Đảo lại ta có định lí sau: Định lí 1. Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm trong khoảng (a, b) và f'(x)=0, x(a, b) thì hàm số y=f(x) không đổi trong khoảng (a, b) . Bài toán 1. CMR A(x)=c hằng số với xD phơng pháp chung Ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Tính A'(x), rồi khẳng định A'(x)=0, với xD. Bớc 2 : Chọn x 0 D A(x 0 )=c. Ví dụ 1: CMR với mọi x ta đều có: cos 2 (x-a)+sin 2 (x-b)-2cos(x-a).sin(x-b).sin(a-b)=cos 2 (a-b). Giải. Xét hàm số y= cos 2 (x-a)+sin 2 (x-b)-2cos(x-a).sin(x-b).sin(a-b). Ta có: y'=-2sin(x-a)cos(x-a)+2sin(x-b)cos(x-b)+ +2sin(a-b)[sin(x-a).sin(x-b)- cos(x-a).cos(x-b)] =- sin2(x-a)+sin2(x-b)- 2sin(a-b).cos(2x-a-b) =2cos(2x-a-b).sin(a-b)- 2sin(a-b).cos(2x-a-b)=0 Hàm số không đổi. Ngoài ra ta còn có y=y(b)= cos 2 (a-b). Vậy y= cos 2 (a-b). Chú ý : Trong các tài liệu tham khảo về lợng giác bài toán trên thờng đợc phát biểu dới dạng: " CMR A=cos 2 (x-a)+sin 2 (x-b)-2cos(x-a).sin(x-b).sin(a-b) độc lập với x ". Ví dụ 2:. CMR với mọi x1 ta đều có: arctgx+arcsin 2 x1 x2 + +arctg x1 x1 + = 4 . Giải. Xét hàm số y=arctgx+arcsin 2 x1 x2 + +arctg x1 x1 + trên D=R\{1}. Ta có: y'=(arctgx+arcsin 2 x1 x2 + +arctg x1 x1 + )' 2 Chủ đề 4: Sử dụng đạo hàm tính chứng minh đẳng thức = (arctgx)'+ (arcsin 2 x1 x2 + )' + (arctg x1 x1 + )' (1) trong đó: (arctgx)'= 2 x1 1 + , (2) (arcsin 2 x1 x2 + )'= 2 2 ' 2 x1 x2 1 x1 x2 + + =- 2 x1 2 + , (3) (arctg x1 x1 + )'= 2 ' x1 x1 1 x1 x1 + + + = 2 x1 1 + . (4) Thay (2), (3), (4) vào (1), ta đợc: y'=0 Hàm số không đổi trên D. Ngoài ra ta còn có y=y(0)= 4 . Vậy y= 4 . Chú ý : đôi khi bài toán trên còn đợc phát biểu dới dạng: " CMR hàm số y=arctgx+arcsin 2 x1 x2 + +arctg x1 x1 + không đổi " hoặc: "Rút gọn biểu thức A=arctgx+arcsin 2 x1 x2 + +arctg x1 x1 + ." Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để biểu thức A(x) không phụ thuộc vào x phơng pháp chung Ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Tính A'(x), rồi tìm điều kiện để A'(x)=0, với x. Bớc 2 : Kết luận. Ví dụ 3: Tìm a sao cho f(x)=cos2x-asin 2 x+2cos 2 x không phụ thuộc x. Giải. Ta có: f(x) không phụ thuộc x f'(x)=0 x -2sin2x-2acosx.sinx-4sinx.cosx=0 x -(a+4)sin2x=0 x a=-4. Vậy với a=-4 hàm số f(x) không phụ thuộc x. Ví dụ 4: Tìm a, b để phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x 3 Phần IV: Đạo hàm a.cos 2 x+b[cos 2 (x+ 3 2 )+ cos 2 (x- 3 2 )]= 2 3 Giải. Đặt f(x)= a.cos 2 x+b[cos 2 (x+ 3 2 )+ cos 2 (x- 3 2 )] f(x)= 2 3 , với x = = )2( 2 3 )0(f )1(x,0)x('f Giải (1) (1) -asin2x-b[sin(2x+ 3 4 )+ sin(2x- 3 4 )]=0, x -asin2x-2bsin2x.cos 3 4 =0, x (b-a)sin2x=0, x a=b. (3) Giải (2) (2) a+b(cos 2 3 2 + cos 2 3 2 )= 2 3 a+ 2 b = 2 3 2a+b=3. (4) Từ (3), (4), ta đợc a=b=1. Vậy với a=b=1 phơng trình nghiệm đúng với mọi x Nhận xét : Trong hầu hết các tài liệu tham khảo hiện nay bài toán trên đều đợc giải bằng phơng pháp điều kiện cần và đủ, nh vây từ đây chúng ta ghi nhận thêm một phơng pháp mới " Sử dụng đạo hàm tìm điều kiện của tham số để phơng trình nhận xD làm nghiệm ", bạn đọc có thể tham khảo thêm trong hai cuốn 1 Phơng pháp giải Phơng trình, Bất phơng trình và Hệ Đại số 2 Phơng pháp giải Phơng trình, Bất phơng trình và Hệ Lợng giác của Lê Hồng Đức và để sáng tỏ hơn chúng đi xem xét thêm ví dụ sau: Ví dụ 5: Tìm m để phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x sin m x+cos m x=1 Giải. Đặt f(x)= sin m x+cos m x f(x)=1, với x = = )2(1)45(f )1(x,0)x('f 0 Giải (1) : Ta đợc: m.cosx. sin m-1 x-msinx.cos m-1 x=0, x m.sinx.cosx(sin m-2 x-cos m-2 x)=0, x = = x,xcosxsin 0m 2m2m = = 2m 0m . 4 Chủ đề 4: Sử dụng đạo hàm tính chứng minh đẳng thức Giải (2) : Ta xét từng trờng hợp: Với m=0, ta đợc: f(45 0 )= 0 2 2 + 0 2 2 =2, không thoả mãn. Với m=2, ta đợc: f(45 0 )= 2 2 2 + 2 2 2 =1, thoả mãn. Vậy với m=2 phơng trình nghiệm đúng với mọi x II.Bài tập đề nghị Bài tập 1. CMR a. sin 3 x(1+cotgx)+cos 3 x(1+tgx)=sinx+cosx. b. sin3x-2sin 3 3x+cos2x.sinx=cos5x.sin4x. c. cos4x=8cos 4 x-8cos 2 x+1. d. cos 3 x.cos3x- sin 3 x.sin3x= 4 3 cos4x+ 4 1 . e. tg(x- 3 )+tgx+tg(x+ 3 )=3tg3x. f. sin 4 x+cos 4 x= 4 1 cos4x+ 4 3 . g. sin 6 x+cos 6 x= 8 3 cos4x+ 8 5 . h. sin 8 x+cos 8 x= 64 1 cos8x+ 16 7 cos4x+ 64 35 . i. cos3x.sin 3 x+ sin3x.cos 3 x= 4 3 sin4x. j. cos3x.cos 3 x+ sin3x.sin 3 x=cos 3 2x. k. sinxsin( 3 -x) sin( 3 +x)= 4 1 sin3x. l. cosxcos( 3 -x) cos( 3 +x)= 4 1 cos3x. m. cos 2 x5 cos 2 x3 + sin 2 x7 sin 2 x =cos2x.cosx n. tgx+2tg2x+4tg4x+8tg8x=cotgx, với x 8 k , kZ. o. (Đề 77): arcsinx+arccosx= 2 , với mọi x[-1, 1] p. arctgx+arccotgx= 2 , với mọi x. q. (Đề 53): arctg x1 x1 + -arctgx= 4 , với mọi x(-, 1) 5 Phần IV: Đạo hàm r. (Đề 92): 2arctgx+arcsin 2 x1 x2 + =, với mọi x1 s. f(x)=arctgx+arctg x 1 = < > 0xkhi2/ 0xkhi2/ . t. arctg x1 x1 + - 2 1 arcsinx= 4 , với mọi x(-1, 1) Bài tập 2. Tìm a, b sao cho các phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x a. a.cos 2 x+b[cos 2 (x+ 3 )+ cos 2 (x- 3 )]= 2 3 b. a(cosx-1)-cos(ax+b 2 )+b 2 +1=0 c. a.cos4x+4a.cos2x+b=cos 4 x. d. 2a.sinx-a.sin3x+bsin5x=sin 5 x. e. abxx 1bxax 2 2 ++ ++ =1 6 . 3x+cos2x.sinx=cos5x.sin4x. c. cos4x=8cos 4 x-8cos 2 x+1. d. cos 3 x.cos3x- sin 3 x.sin3x= 4 3 cos4x+ 4 1 . e. tg(x- 3 )+tgx+tg(x+ 3 )=3tg3x. f. sin 4 x+cos 4 x= 4 1 cos4x+. 1 cos4x+ 4 3 . g. sin 6 x+cos 6 x= 8 3 cos4x+ 8 5 . h. sin 8 x+cos 8 x= 64 1 cos8x+ 16 7 cos4x+ 64 35 . i. cos3x.sin 3 x+ sin3x.cos 3 x= 4 3 sin4x. j. cos3x.cos