- Trong giáo dục MN, cần nhấn mạnh việc phát triển kĩ năng sống mà cụ thể là kĩ
3. KẾT QUẢ CHÍNH
Cho biến ngẫu nhiên đa trị , ta kí hiệu là -đại số sinh bởi , nghĩa là -đại số bé nhất mà đo được. Để chứng minh kết quả chính, chúng ta cần bổ đề sau:
Bổ đ .1. [6] Giả sử là một mảng tam giác các phần tử trên
khơng gian Banach thỏa mãn:
,
tồn tại hằng số C sao cho , với mọi
Khi đĩ, ta cĩ khi .
Khi thiết lập luật số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập đĩng, nếu sử dụng kĩ thuật chứng minh như của H. Inoue và R. L. Taylor thì khơng thu được kết quả. Vì thế, chúng tơi phải sử dụng thêm Bổ đề 3.1 và đưa ra phương pháp mới để xây dựng mảng các lát cắt, cũng như đưa ra một số kĩ thuật biến đổi khác.
Định lí .2. Cho là một mảng tam giác các biến ngẫu nhiên hốn đổi được theo hàng, nhận giá trị tập đĩng trên khơng gian Banach khả li. Giả sử rằng
với mọi và là một hàm đo được. Khi đĩ, nếu tồn tại sao cho:
+) Với mỗi , tồn tại mảng tam giác thỏa mãn điều kiện
hốn đổi được theo hàng, và khi với mỗi và
với mọi .
+) Với mỗi khi và với mọi ,
thì
Chứng minh. Đặt . Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng tỏ rằng h.c.c. Để làm được điều này, chúng ta sẽ sử dụng Bổ đề 3.1. Với mỗi
và , theo Bổ đề 3.6[1], tồn tại (các phần tử chỉ phụ thuộc vào và ) sao cho
Từ điều kiện , tồn tại một mảng tam giác sao cho với mỗi
, mảng hốn đổi được theo hàng và
khi , với mỗi và .
Đặt với . Giả sử với . Khi
đĩ, ta cĩ
Đặt , với và . Do mảng tam giác
hốn đổi được theo hàng nên
cũng là mảng các phần tử ngẫu nhiên hốn đổi được theo hàng.
Từ , với mỗi , ta cĩ khi , nghĩa là
khi Chúng ta cĩ
khi (theo bất đẳng thức hàm lồi). Từ đĩ, chúng ta cĩ
Điều này cĩ nghĩa là Với mọi , ta cĩ
(do là ánh xạ tuyến tính)
(theo định nghĩa phần tử ngẫu nhiên) với mọi
khi (từ giả thiết ).
Từ các khẳng định trên, chúng ta thấy rằng với mỗi , mảng tam giác thỏa mãn tất cả các điều kiện của Định lí 1[8]. Áp dụng định lí này ta cĩ
h.c.c. khi , với mỗi .
Điều này tương đương với
h.c.c.
Với mỗi chúng ta đặt
Với mỗi , từ điều kiện hốn đổi được theo hàng và hội tụ
theo trung bình bậc 2 theo cột tới khi nên chúng cĩ kì vọng bị chặn. Do đĩ, chúng ta suy ra
với mọi
Từ , chúng ta suy ra khi , với mỗi (hội tụ theo kéo theo hội tụ theo ). Từ đĩ, ta cĩ khi .
Kết hợp điều này với , chúng ta nhận thấy rằng thỏa mãn
tất cả các giả thiết của Bổ đề 3.1, với mỗi . Từ đĩ, áp dụng bổ đề này
cho mảng chúng ta thu được
khi với mỗi Từ đĩ, ta suy ra
Từ , chúng ta cĩ
Tương tự, từ , chúng ta thu được
Chúng ta cĩ khi . Từ đĩ, kết hợp với , , và
chúng ta cĩ
Điều này kéo theo Vì vậy
Tiếp theo, giả sử là một dãy trù mật trên . Từ định lí về sự khả li, tồn tại dãy thuộc với sao cho
Khi đĩ, khi và chỉ khi với mọi .
Từ là mảng tam giác các biến ngẫu nhiên hốn đổi được theo
hàng, chúng ta suy ra là mảng tam giác các biến ngẫu
nhiên hốn đổi được theo hàng, với mỗi . Đặt .
Khi đĩ cũng là mảng tam giác các biến ngẫu nhiên hốn đổi được theo hàng.
Lập luận tương tự, chúng ta suy ra rằng mảng tam giác thỏa mãn đầy đủ các điều kiện của Định lí 1[8] cho trường hợp biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực, với mỗi . Khi đĩ, áp dụng bổ đề này, chúng ta cĩ
h.c.c. khi , với mọi Điều này cĩ nghĩa là
h.c.c. khi , với mọi Hơn nữa, từ và , chúng ta cĩ
khi với mọi
Từ đĩ, do tính hốn đổi được theo hàng của mảng tam giác các biến ngẫu nhiên , ta suy ra mảng tam giác này cĩ kì vọng bị chặn.
Áp dụng Bổ đề 3.1, ta cĩ
Từ đĩ, với mỗi , h.c.c. khi . Nghĩa là, tồn tại
, sao cho với mọi khi
.
Với mỗi nếu thì khi , trong đĩ
.
Từ đĩ, chúng ta thu được
Từ đĩ suy ra . Vì vậy, h.c.c.
4. KẾT LUẬN
Bài báo này đã thiết lập được luật số lớn dạng hội tụ Mosco đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên hốn đổi được theo hàng, nhận giá trị tập đĩng trên khơng gian Banach khả li. Đây là sự tổng quát một kết quả của H. Inoue and R.L.Taylor (2006) đăng trên tạp chí Stochastic Analysis and Applications (SCIE). Để chứng minh được kết quả chính, các tác giả đã đưa ra được một số kĩ thuật mới mà cĩ thể áp dụng được cho lớp khá rộng các bài tốn liên quan.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. C. Castaing, N. V. Quang and D. X. Giap (2012), Mosco convergence of strong law of large numbers for double array of closed valued random variables in Banach space,
Journal of Nonlinear and Convex Analisis, Vol. 13, No. 4, pp. 615-636.
2. C. Castaing, N. V. Quang and D. X. Giap (2012), Various convergence results in strong law of large numbers for double array of random sets in Banach spaces, Journal of Nonlinear and Convex Analisis, Vol. 13, No. 1, pp. 1-20.
3. Y. S. Chow and H. Teicher, Probability Theory, Springer, New York, 1978.
4. H. Inoue and R.L.Taylor (2006), Law of large numbers for exchangeable random sets in Kuratowski-Mosco sense, Stochastic Analisis and Applications, Volume 24, Issue 2, pp. 263-275.
5. N. V. Quang and D. X. Giap (2013), Mosco convergence of SLLN for triangular arrays of rowwise independent random sets, Statistics and Probability Letters, 83, pp. 1117-1126.
6. N. V. Quang and D. X. Giap (2013), SLLN for double array of mixing dependence random sets and fuzzy random sets in a separable Banach space, Journal of Convex Analisis, Vol. 20, No. 4.
7. R. L. Taylor, P. Z. Daffer and R. F. Patterson (1985), Limit theorems for sums of exchangeable variables, Rowman $\&$ Allanheld Publishers, Totowa N.J.
8. R. L. Taylor and R. F. Patterson (1985), Strong laws of large numbers for arrays of row-wise exchangeable random elements, Internat. J. Math. Math. Sci., Vol. 8, No. 1, 135-144.
Bài báo này được tài trợ bởi uỹ phát triển khoa học và cơng nghệ quốc gia Vietnam
(NAFOSTED).
TẠP CHÍ ĐẠI HỌC SAØI GÒN Số 19 - Tháng 2/2014