1.3 Các phép toán trên tập mờ 21
1.3.1 Phép hợp hai tập mờ
Các công thức (1.9) cho thấy một cách tổng quan những tính chất cơ bản của hμm thuộc μA∪B(x) của hợp hai tập hợp kinh điển A, B.
Do trong định nghĩa về tập mờ hμm thuộc giữ vai trò nh− một thμnh phần cấu thμnh tập mờ nên các tính chất (1.9) sẽ không lμ điều hiển nhiên nữa. Thay vμo đó chúng đ−ợc sử dụng nh− những tiên đề để xây dựng phép hợp trên tập mờ.
Định nghĩa 1.5
Hợp của hai tập mờ A vμ B có cùng tập nền X lμ một tập mờ A∪B cũng xác định trên nền X có hμm thuộc μA∪B(x) thỏa mãn:
a) μA∪B(x) chỉ phụ thuộc vμo μA(x) vμ μB(x).
b) μB(x) = 0 với mọi x ⇒ μA∪B(x) =μA(x).
c) μA∪B(x) = μB∪A(x), tức lμ có tính giao hoán.
d) Có tính kết hợp, tức lμ μ(A∪B) ∪C(x) = μA∪(B∪C)(x).
e) Nếu A1⊆ A2 thì A1∪B ⊆ A2∪B, hay μA∪B(x) có tính không giảm )
( )
( 2
1 x A x
A μ
μ ≤ ⇒ ( ) ( )
2
1 B x A B x
A ∪ ≤μ ∪
μ .
Có thể dễ thấy đ−ợc sẽ có nhiều công thức khác nhau đ−ợc dùng để tính hμm thuộc μA∪B(x) cho hợp hai tập mờ. Chẳng hạn 5 công thức sau đều có thể đ−ợc sử dụng để định nghĩa hμm thuộc μA∪B(x) của phép hợp giữa hai tập mờ:
1) μA∪B(x) = max{μA(x) , μB(x) } (LuËt lÊy max) (1.25)
2) μA∪B(x) = { } { }
{ }
⎩⎨
⎧
≠
= 0
) ( ), ( min khi 1
0 ) ( ), ( min khi ) ( ), ( max
x x
x x x
x
B A
B A B
A
μ μ
μ μ μ
μ (1.26)
3) μA∪B(x) = min{1, μA(x)+μB(x)} (Phép hợp Lukasiewicz), (1.27) 4) μA∪B(x) =
) ( ) ( 1
) ( ) (
x x
x x
B A
B A
μ
μ μ
μ
+ +
+ (Tổng Einstein) (1.28)
5) μA∪B(x) = μA(x) + μB(x) −μA(x)μB(x) (Tổng trực tiếp) … (1.29) Ta sẽ chứng minh tính đúng đắn của khẳng định trên cho (1.25) lμm một ví dụ,
tức lμ phải chỉ ra rằng
μA∪B(x) = max{μA(x) , μB(x)}
thỏa mãn 5 tính chất đã nêu trong định nghĩa 1.5.
− Hiển nhiên lμ a) đ−ợc thỏa mãn vì trong (1.25) chỉ chứa μA(x) vμ μB(x).
− NÕu μB(x) ≡ 0 th× do
μA∪B(x) = max{μA(x) , μB(x)} = max{μA(x) , 0} vμ μA(x) ≥ 0
nên μA∪B(x) = max{μA(x) , 0} = μA(x), tức lμ (1.25) thỏa mãn b).
− V×
max{μA(x) , μB(x) } = max{μB(x) , μA(x)} nên (1.25) có tính giao hoán.
− Do cã
μ(A∪B) ∪C(x) = max{ max{μA(x) , μB(x)} , μC(x) }
= max{μA(x),μB(x),μC(x) }= max{μA(x),max{μB(x),μC(x) }}
nên (1.25) cũng có tính kết hợp, tức lμ thỏa mãn d).
− Víi ( ) ( )
2
1 x A x
A μ
μ ≤ ta đ−ợc
max{ ( )
1 x
μA ,μB(x)}≤ max{ ( )
2 x
μA ,μB(x)}
hay ( ) ( )
2
1 B x A B x
A ∪ ≤μ ∪
μ
vμ đó chính lμ điều phải chứng minh.
Hình 1.7: Hàm thuộc của hợp hai tập hợp có cùng không gian nền.
a) Hàm thuộc của hai tập mờ A và B. b) Hợp hai tập mờ theo luật max.
c) Hợp hai tập mờ theo luật Lukasiewicz. d) Hợp hai tập mờ theo luật tổng trực tiếp.
μ μA(x) μB(x) μ μA(x) μB(x)
b) x x
c)
μ
x μA(x) μB(x)
d)
μ μB(x)
a) x
μA(x) μ
x
Một cách tổng quát thì bất cứ một ánh xạ dạng μA∪B(x): X → [0,1]
nếu thỏa mãn 5 tiêu chuẩn đã nêu trong định nghĩa 1.5 đều đ−ợc xem nh− lμ hợp của hai tập mờ A vμ B có chung một tập nền X. Điều nμy nói rằng sẽ tồn tại rất nhiều cách xác định hợp của hai tập mờ vμ cho một bμi toán điều khiển mờ có thể có nhiều lời giải khác nhau khi ta sử dụng các phép hợp hai tập mờ khác nhau. Hình 1.7 lμ một ví dụ. Để tránh những mâu thuẫn xảy ra trong kết quả, nhất thiết trong một bμi toán điều khiển ta chỉ nên thống nhất sử dụng một loại công thức cho phép hợp.
Các công thức (1.25) ữ (1.29) cũng đ−ợc mở rộng để áp dụng cho việc xác định hợp của hai tập mờ không cùng nền bằng cách đ−a cả hai tập mờ về chung một tập nền lμ tích của hai tập nền đã cho.
Ví dụ có hai tập mờ A (định nghĩa trên tập nền M) vμ B (định nghĩa trên tập nền N). Ta sẽ xác định hợp A∪B của chúng theo luật max (1.25). Do hai tập nền M
μ x∈M
x μA(x)
y μB(y)
a)
Hình 1.8: Phép hợp hai tập mờ không cùng nền:
a) Hàm thuộc của hai tập mờ A, B. b) §−a hai tËp mê vÒ chung mét nÒn M×N. c) Hợp hai tập mờ trên nền MìN.
x μA(x, y)
y
M×N
c) b)
x μB(x, y)
y
M×N
y
M×N
x μA∪B(x, y)
vμo N vμ ng−ợc lại μB(y), y∈N của tập mờ B cũng sẽ không phụ thuộc vμo M. Điều
đó thể hiện ở chỗ trên tập nền mới lμ tập tích MìN hμm μA(x) phải lμ một mặt
"cong" dọc theo trục y vμ μB(y) lμ một mặt "cong" dọc theo trục x (hình 1.8). Tập mờ A nh− vậy đ−ợc định nghĩa trên hai tập nền M vμ MìN. Để phân biệt đ−ợc chúng, sau đây ký hiệu A sẽ được dùng để chỉ tập mờ A trên tập nền MìN. Tương tự, ký hiệu B cũng sẽ đ−ợc dùng để chỉ tập mờ B trên tập nền MìN. Với ký hiệu đó thì
μA(x, y) = μA(x) với mọi y∈N vμ μB(x, y) = μB(y) với mọi x∈M.
Sau khi đã đ−a đ−ợc hai tập mờ A, B về chung một tập nền lμ MìN thμnh A vμ B thì hμm thuộc μA∪B(x, y) của tập mờ A∪B đ−ợc xác định theo công thức (1.25).
Hợp hai tập mờ theo luật max
Hợp của hai tập mờ A với hμm thuộc μA(x) (định nghĩa trên tập nền M) vμ B với hμm thuộc μB(x) (định nghĩa trên tập nền N) theo luật max lμ một tập mờ xác định trên tập nền MìN với hμm thuộc
μA∪B(x, y) = max{μA(x, y) , μB(x, y)}, (1.30a) trong đó
μA(x, y) = μA(x) với mọi y∈N vμ μB(x, y) = μB(y) với mọi x∈M.
Tương tự, ta cũng có định nghĩa hợp theo luật sum theo công thức (1.27) như
sau:
Hợp hai tập mờ theo luật sum (Lukasiewicz)
Hợp của hai tập mờ A với hμm thuộc μA(x) (định nghĩa trên tập nền M) vμ B với hμm thuộc μB(x) (định nghĩa trên tập nền N) theo luật sum lμ một tập mờ xác
định trên tập nền MìN với hμm thuộc
μA∪B(x, y) = min{1, μA(x, y)+μB(x, y)} (1.30b) trong đó
μA(x, y) = μA(x) với mọi y∈N
vμ μB(x, y) = μB(y) với mọi x∈M.
Một cách tổng quát, do hμm thuộc μA∪B(x, y) của hợp hai tập mờ A, B không cùng không gian nền chỉ phụ thuộc vμo μA(x)∈[0,1] vμ μB(x)∈[ 0,1] nên ta có thể xem μA∪B(x, y) lμ hμm của hai biến μA, μB đ−ợc định nghĩa nh− sau
μA∪B(x, y) = μ(μA, μB) : [0,1]2→ [0,1]. (1.31) Ta đi đến định nghĩa về hμm thuộc μ(μA, μB) của hợp hai tập mờ không cùng không gian nền:
Định nghĩa 1.6
Hμm thuộc của hợp giữa hai tập mờ A với μA(x) định nghĩa trên nền M vμ B với μB(y) định nghĩa trên tập nền N lμ một hμm hai biến μ(μA, μB) : [0,1]2→ [0,1]
xác định trên nền MìN thỏa mãn:
a) μB = 0 ⇒ μ(μA, μB) =μA.
b) μ(μA, μB) = μ(μB,μA), tức lμ có tính giao hoán.
c) μ(μA, μ(μB, μC)) = μ(μ(μA, μB), μC), tức lμ có tính kết hợp.
d) μ(μA, μB) ≤μ(μC, μD) , ∀μA≤μC, μB≤μD, tức lμ có tính không giảm.
Một hμm hai biến μ(μA, μB): [0,1]2 → [0,1] thỏa mãn các điều kiện của định nghĩa 1.6 còn đ−ợc gọi lμ hμm t-đối chuẩn (t-conorm).
Mặc dù có nhiều cách xác định hμm thuộc của hợp hai tập mờ nh− vậy, song trong lý thuyết điều khiển mờ vμ nội dung quyển sách nμy sẽ chỉ tập trung chính vμo hai phép hợp mờ lμ phép hợp max vμ phép hợp sum đã đ−ợc phát biểu trong công thức (1.30a), (1.30b).