1.3 Các phép toán trên tập mờ 21
1.3.2 PhÐp giao hai tËp mê
Nh− đã đề cập, phép giao A∩B trên tập mờ phải đ−ợc đ−ợc định nghĩa sao cho không mâu thuẫn với phép giao của tập hợp kinh điển vμ yêu cầu nμy sẽ đ−ợc thỏa mãn nếu chúng có đ−ợc các tính chất tổng quát (1.6) của tập kinh điển.
Tương tự như đã lμm với phép hợp hai tập mờ, phép giao hai tập mờ trên tập nền tổng quát hóa những tính chất (1.6) cũng chỉ đ−ợc thực hiện trực tiếp nếu hai
tập mờ đó có cùng tập nền. Trong trường hợp chúng không cùng một tập nền thì
phải đ−a chúng về chung một tập nền mới lμ tập tích của hai tập nền đã cho.
Định nghĩa 1.7
Giao của hai tập mờ A vμ B có cùng tập nền X lμ một tập mờ cũng xác định trên tập nền X với hμm thuộc thỏa mãn
a) μA∩B(x) chỉ phụ thuộc vμo μA(x) vμ μB(x).
b) μB(x) = 1 với mọi x ⇒ μA∩B(x) =μA(x).
c) μA∩B(x) = μB∩A(x), tức lμ có tính giao hoán.
d) μ(A∩B)∩C(x) = μA∩(B∩C)(x), tức lμ có tính kết hợp.
e) ( ) ( )
2
1 x A x
A μ
μ ≤ ⇒ ( ) ( )
2
1 B x A B x
A ∩ ≤μ ∩
μ , tức lμ hμm không giảm.
Giống nh− đã trình bμy về phép hợp hai tập mờ, có nhiều công thức khác nhau
đ−ợc dùng để tính hμm thuộc μA∪B(x) của giao hai tập mờ vμ bất cứ một ánh xạ μA∩B(x): X→ [0,1]
nμo thỏa mãn 5 tiêu chuẩn đã nêu trong định nghĩa 1.7 trên đều đ−ợc xem nh− lμ hμm thuộc của giao hai tập mờ A vμ B có chung nền X.
Các công thức thường dùng để tính hμm thuộc μA∩B(x) của phép giao gồm:
1) μA∩B(x) = min{μA(x) , μB(x)} (1.32)
2) μA∩B(x) = { } { }
{ }
⎩⎨
⎧
≠
= 1
) ( ), ( max nÕu 0
1 ) ( ), ( max nÕu ) ( ), ( min
x x
x x x
x
A A
A A A
A
μ μ
μ μ μ
μ (1.33)
3) μA∩B(x) = max{0, μA(x)+μB(x)−1} (PhÐp giao Lukasiewicz) (1.34) 4) μA∩B(x) =
( ( ) ( )) ( ) ( )
2
) ( ) (
x x x
x
x x
B A B
A
B A
μ μ μ
μ μ μ
− +
− (TÝch Einstein) (1.35)
5) μA∩B(x) = μA(x)μB(x) (Tích đại số). (1.36) Tuy nhiên luật min (1.32) vμ tích đại số lμ hai loại luật xác định hμm thuộc của giao hai tập mờ đ−ợc −a dùng hơn cả trong kỹ thuật điều khiển mờ.
Cũng nh− đã lμm với phép hợp hai tập mờ ta sẽ chứng minh tính đúng đắn của các công thức (1.32)ữ(1.36) bằng cách chỉ ra rằng luật min (1.32)
μA∩B(x) = min{μA(x) , μB(x)}
thỏa mãn 5 tính chất đã nêu trong định nghĩa 1.7.
− Hiển nhiên lμ a) đ−ợc thỏa mãn vì trong (1.32) chỉ chứa μA(x) vμ μB(x).
− NÕu μB(x) ≡ 1 th× do
μA∩B(x) = min{μA(x) , μB(x) } = min{μA(x) , 1} vμ μA(x) ≤ 1
nên μA∩B(x) = min{μA(x) , 1} = μA(x), tức lμ (1.32) thỏa mãn b).
− V×
min{μA(x) , μB(x)} = min{μB(x) , μA(x)} nên (1.32) có tính giao hoán.
− Do cã
μ(A∩B)∩C(x) = min{min{μA(x) , μB(x)} , μC(x) } = min{μA(x),μB(x),μC(x)}
= min{μA(x), min{μB(x),μC(x)}} = μA∩(B∩C)(x) nên (1.32) cũng có tính kết hợp, tức lμ thỏa mãn d).
− Víi ( ) ( )
2
1 x A x
A μ
μ ≤ ta đ−ợc min{ ( )
1 x
μA ,μB(x)}≤ min{ ( )
2 x
μA ,μB(x)}
hay ( ) ( )
2
1 B x A B x
A ∩ ≤μ ∩
μ vμ đó chính lμ điều phải chứng minh.
μ μA(x) μB(x) μ μA(x) μB(x)
x b)
Hình 1.9: Hàm thuộc của giao hai tập hợp có cùng không gian nền.
a) Hàm thuộc của hai tập mờ A và B.
b) Giao hai tËp mê theo luËt min.
x c)
μ μB(x)
x a)
μA(x)
Việc có nhiều công thức xác định hμm thuộc của giao hai tập mờ đ−a đến khả
năng một bμi toán điều khiển mờ có thể có nhiều lời giải khác nhau nh− hình 1.9 d−íi ®©y lμ mét vÝ dô.
Để tránh những mâu thuẫn trong kết quả có thể xảy ra, nhất thiết trong một bμi toán điều khiển ta chỉ nên thống nhất sử dụng một loại phép giao.
Các công thức (1.32) ữ (1.36) cũng áp dụng đ−ợc cho hợp hai tập mờ không cùng tập nền bằng cách đ−a cả hai tập mờ về chung một tập nền lμ tích của hai tập nền
đã cho.
Chẳng hạn có hai tập mờ A định nghĩa trên tập nền M vμ B định nghĩa trên tập nền N (hình 1.8a). Do hai tập nền M vμ N độc lập với nhau nên hμm thuộc μA(x), x∈M của tập mờ A sẽ không phụ thuộc vμo N vμ ng−ợc lại μB(y), y∈N của tập mờ B cũng sẽ không phụ thuộc vμo M. Trên tập nền mới lμ tập tích MìN hμm μA(x) phải lμ một mặt "cong" dọc theo trục y vμ μB(y) lμ một mặt "cong" dọc theo trục x. Tập mờ A (hoặc B) nh− vậy đ−ợc định nghĩa trên hai tập nền M (hoặc N) vμ MìN. Để phân biệt đ−ợc chúng, ký hiệu A (hoặc B) sẽ đ−ợc dùng để chỉ tập mờ A (hoặc B) trên tập nÒn míi lμ M×N.
Với những ký hiệu đó thì
μA(x, y) = μA(x) với mọi y∈N vμ μB(x, y) = μB(y) với mọi x∈M.
Công thức (1.32) xác định hμm thuộc của giao hai tập mờ cùng không gian nền bây giờ hoμn toμn đ−ợc áp dụng với A, B.
x
Hình 1.10: Phép giao hai tập mờ không cùng nền.
y
M×N μA∩B(x, y)
Giao hai tËp mê theo luËt min
Giao của tập mờ A có hμm thuộc μA(x) định nghĩa trên tập nền M với tập mờ B có hμm thuộc μB(x) định nghĩa trên tập nền N lμ một tập mờ xác định trên tập nền M×N cã hμm thuéc
μA∩B(x, y) = min{μA(x) , μB(y)}= min{μA(x, y) , μB(x, y)}, (1.37a) trong đó
μA(x, y) = μA(x) ∀ y∈N vμ μB(x, y) = μB(y) ∀ x∈M.
Với ví dụ về tập mờ A, B có hμm đặc tính nh− ở hình 1.8a thì tập giao của chúng trên tập nền chung MìN sẽ có hμm thuộc mô tả nh− ở hình 1.10.
Một cách hoμn toμn tương tự, nếu như áp dụng công thức tích đại số (1.36) để xác định tập giao của hai tập mờ không cùng nền ta đ−ợc
Giao hai tập mờ theo luật tích đại số
Giao của tập mờ A có hμm thuộc μA(x) định nghĩa trên tập nền M với tập mờ B có hμm thuộc μB(x) định nghĩa trên tập nền N lμ một tập mờ xác định trên tập nền M×N cã hμm thuéc
μA∩B(x, y) = μA(x, y)⋅μB(x, y), (1.37b) trong đó
μA(x, y) = μA(x) ∀ y∈N vμ μB(x, y) = μB(y) ∀ x∈M.
Trong hai ví dụ trên ta thấy hμm thuộc μA∩B(x, y) của hợp hai tập mờ A, B không cùng nền chỉ phụ thuộc vμo giá trị các hμm μA(x)∈[0,1] vμ μB(x)∈ [0,1]. Do đó không mất tính tổng quát nếu ta xem μA∪B(x, y) nh− một hμm của hai biến μAvμ μB:
μA∩B(x, y) = μ(μA, μB): [0,1]2→ [0,1] (1.38) vμ đi đến định nghĩa về hμm thuộc μ(μA, μB) của giao hai tập mờ không cùng không gian nÒn nh− sau:
Định nghĩa 1.8
Hμm thuộc của giao hai tập mờ A với μA(x) định nghĩa trên nền M vμ B với μB(y)
định nghĩa trên tập nền N lμ một hμm hai biến μ(μA, μB): [0,1]2→ [0,1] xác định trên nền MìN thỏa mãn:
a) μB = 1 ⇒ μ(μA, μB) =μA.
b) μ(μA, μB) = μ(μB,μA), tức lμ có tính giao hoán.
c) μ(μA, μ(μB, μC)) = μ(μ(μA, μB), μC), tức lμ có tính kết hợp.
d) μ(μA, μB) ≤μ(μC, μD) , ∀μA≤μC, μB≤μD, tức lμ có tính không giảm.
Một hμm hai biến μ(μA, μB): [0,1]2→ [0,1] thỏa mãn các điều kiện trên đ−ợc gọi lμ hμm t- chuÈn (t-norm).