5.2 Khảo sát tính ổn định của hệ mờ 171
5.2.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số của Popov
Tiêu chuẩn ổn định Popov lμ phương pháp xét ổn định cho hệ thống ở miền tần số. Tiêu chuẩn nμy thuận tiện trong việc xét ổn định của một hệ thống điều khiển cơ bản bao gồm một hμm truyền đạt tuyến tính G(s) vμ một đặc tính phi tuyến ở chế
độ tĩnh u(e) lμ thμnh phần sinh ra tính phi tuyến của bộ điều khiển (hình 5.6).
Điều kiện để có thể áp dụng đ−ợc tiêu chuẩn Popov lμ đối t−ợng G(s) phải tuyến tính vμ có khả năng lọc các tần số cao. Tiêu chuẩn Popov sử dụng khái niệm hμm hai cực , tức lμ những hμm phức dạng G(s) =
) (
) (
s N
s
Z , trong đó Z(s), N(s) lμ những đa thức của biến p không có chung nghiệm với các hệ số lμ những số thực vμ từ Re(s)>0 suy ra đ−ợc Re(G(s))>0.
Định lý 5.2
Để hμm truyền đạt G(s) của một hệ tuyến tính, tham số tập trung lμ hμm hai cực thì cần vμ đủ lμ
a) G(jω) có phần thực d−ơng khi ω> 0 .
b) Mọi điểm cực của G(s) nằm bên trái trục ảo. Nếu có điểm cực sk nằm trên trục ảo thì lim(s sk)G(s)
s
s k −
→ lμ số d−ơng hữu hạn.
Dựa vμo tính chất trên, năm 1959 Popov đã đ−a ra tiêu chuẩn xét ổn định một hệ kín có đối t−ợng tuyến tính mô tả trong hình 5.6 đ−ợc phát biểu nh− sau:
Hình 5.6: Hệ phi tuyến có đối t−ợng tuyÕn tÝnh.
u Đối t−ợng
tuyÕn tÝnh G(s)
− e y
Định lý 5.3: (Điều kiện đủ)
Hệ kín trong hình 5.6 với đối t−ợng tuyến tính G(s) vμ khâu điều khiển tĩnh u(e) liên tục từng đoạn có u(0)=0 sẽ ổn định tiệm cận tuyệt đối nếu
a) tồn tại một số k > 0 sao cho ( ) với 0 0< <k e≠
e e
u vμ
b) tồn tại một số d−ơng α sao cho hμm phức F(s)=(1+αs)G(s)+1k lμ hμm hai cùc.
Điểm đặc biệt của tiêu chuẩn Popov lμ có thể khảo sát tính ổn định tiệm cận tuyệt đối của hệ trong hình 5.6 cho một lớp các khâu điều khiển phi tuyến tĩnh có
đường đặc tính u(e) giới hạn trong hai đoạn thẳng có độ nghiêng lμ 0vμ k gọi lμ góc (0, k) (hình 5.7). Góc "ổn định" (0, k) hoμn toμn có thể được mở rộng cho trường hợp tổng quát (k1, k2) bằng cách có thể đ−a (k1, k2) về góc (0, k) quen biết theo ph−ơng pháp chuyển vị.
Điều kiện ổn định của Popov, cũng giống nh− tiêu chuẩn Lyapunov trực tiếp, chỉ lμ điều kiện đủ để xét ổn định cho hệ thống điều khiển phi tuyến. Do đó nếu đặc tính khâu phi tuyến nằm ngoμi góc (0, k) thì hệ vẫn có khả năng ổn định.
Nếu có thêm điều kiện lμ hμm truyền của đối t−ợng G(s) ổn định thì theo định lý 5.2, để hμm F(s) lμ hμm hai cực chỉ còn cần kiểm tra xem
Re 1 0
) ( ) 1
( ⎥⎦⎤≥
⎢⎣⎡
+
+α jω G jω k (5.9)
có được thỏa mãn hay không. Để lμm được việc đó trước hết khai triển bất phương trình Popov (5.9) về dạng sau:
αX(ω) − R(ω) ≤ k
1, (5.10a)
e
u ke
u(e)
Hình 5.7: Miền ổn định tiệm cận tuyệt đối.
X(ω) = ω⋅Im(G(jω)), R(ω) = Re(G(jω)), (5.10b)
trong đó ký hiệu Re(⋅) chỉ phần thực vμ Im(⋅) chỉ phần ảo của một số phức. Biểu diễn (5.10) trên mặt phẳng có hai trục tọa độ X, R thì tất cả các điểm của mặt phẳng thỏa mãn bất ph−ơng trình Popov (5.9) lμ các điểm nằm bên phải của đ−ờng thẳng
α⋅X − R = k
1, (5.11)
đ−ờng thẳng nμy, có tên lμ đ−ờng thẳng Popov, cắt trục R tại điểm − k
1 vμ có độ
nghiêng bằng α
1. Đặc tính tần số
( ( )) Im( ( ))
Re )
~(
ω ω
ω
ω R jX G j j G j
j
G = + = + (5.12)
được gọi lμ đặc tính tần số biến dạng hay đặc tính tần số Popov. Đường đặc tính tần số biến dạng có phần thực trùng với đặc tính tần số của hệ thống G(jω), phần ảo bằng phần ảo của đặc tính tần số nhân với tần số ω. Dựa vμo (5.10), (5.11) vμ (5.12) mμ có đ−ợc hệ quả sau: Hệ kín cho trong hình 5.6 với đối t−ợng G(s) lμ một khâu tuyến tính ổn định sẽ ổn định tiệm cận tuyệt đối với những bộ điều khiển phi tuyến tĩnh có đường đặc tính u(e) thỏa mãn u(0)=0 vμ 0 <
e e u( )
< kmax, e≠0, trong đó
ư1/kmax lμ giao điểm giữa trục R vμ đường thẳng tiếp xúc với đường đặc tính biến dạng G~
(jω) của đối t−ợng.
Phương pháp dùng đồ thị để kiểm tra tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Popov đ−ợc thực hiện theo trình tự nh− sau:
− Xây dựng biểu đồ vector đặc tính tần số Popov ~( ) ω j
G của đối t−ợng.
G~ (jω)
max
1
−k
R X
Hình 5.8: Xác định tính ổn định theo tiêu chuẩn Popov.
ư Nếu muốn xác định trị số kmax tới hạn, dựng một đường thẳng có độ nghiêng bất kỳ tiếp xúc với biểu đồ vector đặc tính tần số Popov ít nhất tại một điểm còn các điểm còn lại của đặc tính tần số Popov nằm hoμn toμn bên phải của
đ−ờng thẳng nμy. Giao điểm của đ−ờng tiếp tuyến với trục hoμnh chính lμ giá
trị 1/kmax tới hạn. Hệ thống sẽ ổn định tuyệt đối với họ đặc tính phi tuyến nằm trong góc (0, kmax). Hình 5.8 minh họa cho việc xác định kmax.
Khi sử dụng tiêu chuẩn Popov không nhất thiết phải xây dựng một cách chính xác đặc tính tần số của hệ thống mμ chỉ cần xây dựng đặc tính tần số thực nghiệm lμ đủ.
Dưới đây lμ một ví dụ về khảo sát tính ổn định của hệ thống bằng tiêu chuẩn Popov. Hệ thống đ−ợc khảo sát ở đây lμ một hệ phi tuyến có phần tuyến tính lμ một khâu bậc 3 với hμm truyền đạt
) 1 )(
1 ( ) 1
( = + 2 + +
s s s s
G .
Để xác định đ−ợc góc (0, k) cần xây dựng đặc tính tần số cho phần tuyến tính bằng cách thay s=jω vμo hμm truyền đạt của hệ thống. Tách phần thực vμ phần ảo của G(jω), nhân phần ảo với tần số ω để thu đ−ợc đặc tính tần số Popov ~( )
ω j
G . Sau
đó từ bên trái của biểu đồ đặc tính tần số Popov ~( ) ω j
G kẻ một đường thẳng có độ nghiêng thích hợp sao cho đường thẳng nμy tiếp xúc với biểu đồ đặc tính tần số Popov ~( )
ω j
G vμ cắt trục hoμnh tại một điểm có khoảng cách nhỏ nhất so với gốc tọa
độ. Chẳng hạn điểm cắt với trục hoμnh có giá trị ≈−0,33 thì góc Popov cần tìm sẽ lμ k= 3 . Hệ sẽ ổn định tiệm cận tuyệt đối ứng với bộ điều khiển có đường đặc tính lμ hμm phi tuyến, đi qua điểm 0, liên tục từng đoạn vμ nằm trong góc (0, 3).