5.2 Khảo sát tính ổn định của hệ mờ 171
5.2.4 Ph−ơng pháp cân bằng điều hòa
Những quỹ đạo trạng thái mμ sau một khoảng thời gian hữu hạn lại quay về
điểm ban đầu đ−ợc gọi lμ quỹ đạo trạng thái khép kín.
Một quỹ đạo khép kín đ−ợc gọi lμ ổn định, nếu tất cả các quỹ đạo trạng thái lân cận đều tiệm cận về nó. Ng−ợc lại khi có một quỹ đạo trạng thái xuất phát từ nó ra lân cận xung quanh thì quỹ đạo giới hạn đó đ−ợc gọi lμ không ổn định. Hệ có quỹ
đạo khép kín đ−ợc gọi lμ hệ có khả năng tự dao động.
Phương pháp hiện nay thường hay được dùng để khảo sát tính ổn định của một quỹ đạo khép kín lμ phương pháp cân bằng điều hòa trên cơ sở xấp xỉ hệ đó bằng những hμm điều hòa. Ph−ơng pháp nμy thuận tiện cho việc khảo sát các hệ thống phi tuyến giống nh− mô tả trong hình 5.9 gồm một bộ điều khiển phi tuyến tĩnh có
đường đặc tính vμo/ra f(e) vμ đối tượng tuyến tính với hμm truyền đạt G(s) có khả
năng lọc tần số cao.
Giả sử rằng hệ cho trong hình 5.9 tự dao động. Tín hiệu chủ đạo x lμ một tín hiệu hằng. Trong chế độ tự dao động, tín hiệu đầu vμo bộ điều khiển e(t) đ−ợc giả
thiết rằng có thể xấp xỉ bằng hμm điều hòa
e(t) ≈ E0 + E1c o sωt víi E0 , E1∈R. (5.13) Tín hiệu đầu ra u(t) = f(E0 + E1cosωt) cũng lμ một hμm tuần hoμn với chu kỳ 2π/ω. Khai triển u(t) thμnh chuỗi Fourier vμ chỉ lấy xấp xỉ u(t) lμ hai thμnh phần
đầu tiên sẽ có
u(t) ≈ U0 + Re(U1ejωt). (5.14)
víi
U0 = π 2∫π + τ τ
0
1
0 cos )
2 (
1 f E E d , U1 = π 2∫π + τ − τ τ
0
1
0 cos )
1 (
d e E
E
f j .
LËp hai hμm
N0 = = π 2∫π ( + τ) τ
0
1 0 0 0
0 cos
2
1 f E E d
E E
U (5.15a)
N1 = =π 2∫π ( + τ) − τ τ
0
1 0 1 1
1 1 cos
d e E E E f E
U j (5.15b)
Hình 5.9: Hệ phi tuyến có bộ điều khiển phi tuyến tĩnh f(e) và đối t−ợng tuyến tính G(s).
u f(e) G(s)
−
y e
x
thì nhận thấy N0 vμ N1 đều lμ những hμm của E0, E1 vμ không phụ thuộc ω. Hai hμm N0 vμ N1 còn có tên gọi lμ hệ số khuếch đại phức của khâu phi tuyến f(e) vμ có nh÷ng tÝnh chÊt sau:
1) N0 lμ một số thực. N1 cũng lμ một số thực nếu f(e) đơn trị.
2) Nếu f(e) lμ hμm lẻ vμ E0=0 thì U0=N0=0 vμ u(t) = ⏐U1⏐cosωt.
3) Nếu f(e) lμ đường đặc tính đa trị, ví dụ như khâu phi tuyến kiểu từ trễ (hình 5.10) th× Im(N1) =
12
X A
±π , trong đó A lμ diện tích phần trễ vμ dấu + cho trường hợp chiều trễ theo chiều kim đồng hồ, dấu ư khi chiều trễ ngược với chiều kim đồng hồ.
Với hệ số khuếch đại N0, N1 công thức (5.14) sẽ viết đ−ợc thμnh u(t) ≈ N0E0 + Re(N1E1ejωt).
Suy ra
x − e = y(t) ≈ N0E0G(0) + Re(N1E1ejωtG(jω)). (5.16)
Thay (5.13) vμo (5.16) đ−ợc vμ so sánh các hệ số của hai vế sẽ có
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
= 1 1
) 0 (
0
0 E
x
G N vμ 1+ N1G(jω) = 0. (5.17)
Từ một trong hai ph−ơng trình của (5.17) rút ra đ−ợc quan hệ E0 = E(E1) vμ khi thay vμo ph−ơng trình còn lại đ−ợc
G(jω) = −
) ( 1
E
N . (5.18)
e u
A
H×nh 5.10: Kh©u phi tuyÕn kiÓu tõ trÔ.
f(e)
Nghiệm ω, E1 sẽ lμ tọa độ của giao điểm hai đường đặc tính G(jω), ư
) ( 1
1 1 E
N (h×nh
5.11) vμ đó chính lμ tần số vμ biên độ của dao động.
Tính ổn định của chế độ tự dao động đ−ợc xác định nhờ vμo cấu trúc (5.17) có dạng giống tiêu chuẩn Nyquist nh− sau: "Dao động sẽ không ổn định/ ổn định nếu
đường đặc tính tần số G(jω) bao/ không bao điểm N1(E1+ ΔE), trong đó E1 lμ nghiệm của (5.18), tức lμ giao điểm của G(jω) với −
) ( 1
1 1 E
N , vμ ΔE >0 lμ một sai lệch so với giao điểm đó, vì như vậy sai lệch ΔE sẽ có chiều hướng được giảm (hoặc tăng) theo thêi gian".
Để minh họa ph−ơng pháp ta xét một ví dụ với hệ có cấu trúc nh− hình 5.9, trong đó đối t−ợng có hμm truyền
G(s) =
) 1089 20
( 20 1089
2+ s+
s s
Bộ điều khiển lμ bộ mờ relay ba trạng thái với a=0,5 vμ b=1. Giả thiết đầu vμo bộ điều khiển lμ e(t) =E1c o sωt. Do E0=0 vμ đường đặc tính f(e) lμ hμm lẻ nên N0=0. Hệ số khuếch đại phức N1 còn lại lμ [14]
P Re
G(jω) Im
− ( ) 1
1 1 E
N N1(E1+ ΔE) không ổn định
N1(E1+ ΔE)
ổn định
Hình 5.11: Xác định chế độ tự dao động và tính ổn định của nó theo phương pháp cân bằng điều hòa.
Q
− ( ) 1
1 1 E N
G(jω)
Hình 5.12: Đồ thị xác định dao động ổn định theo phương pháp cân bằng điều hòa (ví dụ).
N1(E1) =
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
−
≤ 5 , 0 khi 4 1 1
4
5 , 0 khi 0
2 1 1 1
1
E E E
E π
§iÓm giao nhau gi÷a G(jω) vμ −
) ( 1
1 1 E
N phải thỏa mãn Im(G(jω) )=0. Suy ra 1089ω−ω3 = 0
⇒ ω = 33 vμ E1 =
⎩⎨
⎧ 14 , 1
55 , 0 .
Vậy hệ có hai dao động cùng tần số ω=33 nh−ng với hai biên độ khác nhau. Để xét tính ổn định của các dao động đó có thể sử dụng đến phương pháp đồ thị như
h×nh 5.12 tr×nh bμy. §−êng −
) ( 1
1 1 E
N cắt đường đặc tính tần số G(jω) tại hai điểm P vμ Q tương ứng với hai dao động trên, trong đó chỉ có dao động Q lμ ổn định (với E1= 1,14).
Hình 5.13 lμ kết quả mô phỏng ví dụ trên đ−ợc xây dựng với phần mềm Winfact 3.0, trong đó bộ điều khiển mờ ba trạng thái đ−ợc thiết kế giống nh− đã giới thiệu trong mục 2.1.1 (tr−ờng hợp 3).
Hình 5.13: Mô phỏng chế độ tự dao động của ví dụ đã cho với E1 = 1,14.
Câu hỏi ôn tập vμ bμi tập
1) Đối t−ợng có mô hình vμo/ra x dt dx+
5 = 2,5u(t) đ−ợc điều khiển bằng một bộ
điều khiển mờ có quan hệ vμo/ra tĩnh biểu diễn d−ới dạng nh− ở hình 5.14a).
Hãy kiểm tra tính ổn định của hệ theo tiêu chuẩn Lyapunov.
2) Trong hệ mờ ở hình 5.14b) với G(s) =
1 2 3
25
2
3+ s + s+
s
có tồn tại chế độ tự giao
động không? Khảo tính chất của các chế độ tự giao động trong hệ nếu có.
3) Hãy kiểm tính ổn định của hệ mờ có cấu trúc ở hình 5.14c) bằng tiêu chuẩn ổn
định tuyệt đối của Popov.
e
u
−1
1
10 −1 1 −10
G(s)
Hình 5.14: Cho các bài tập 1, 2 và 3.
a) b)
w −5 u y
5 5 3 2 1
3 1 9
2 3
4 + + + +
+ s s s s
s) ( c)
6 PhÇn mÒm WinFact
Phần mềm WinFACT, sản phẩm của văn phòng kỹ s− "Dr. J.Kahler" hiện có tại Bộ môn Điều khiển tự động Khoa Điện, ĐHBK Hμ Nội, lμ một bộ các chương trình trợ giúp việc tổng hợp vμ phân tích các hệ điều khiển mờ [8]. Phần mềm bao gồm hai modul chính:
− modul Fuzzy-Shell, có tên lμ FLOP, sử dụng để thiết kế vμ phân tích một bộ
®iÒu khiÓn mê.
− modul mô phỏng BORIS có cấu trúc khối, mỗi khối đặc tr−ng cho một khâu
động học trong hệ thống điều khiển tự động. Bằng phần mềm BORIS có thể mô phỏng các hệ thống điều khiển tự động liên tục tuyến tính, hệ gián đoạn, hệ phi tuyến vμ hệ mờ.
Cả hai modul nμy cμi đặt đ−ợc trên các loại máy PC có bộ vi xử lý từ Intel 80386 trở lên vμ chạy với hệ điều hμnh Windows.