1.5 Luật hợp thành mờ 36
1.5.2 Mô tả mệnh đề hợp thành mờ
ánh xạ μA(x0) μC(y) chỉ ra rằng mệnh đề hợp thμnh lμ một tập mμ mỗi phần tử lμ một giá trị (μA(x0), μC(y)), tức lμ mỗi phần tử lμ một tập mờ. Mô tả mệnh đề hợp thμnh tức lμ mô tả ánh xạ trên.
Quay lại mệnh đề logic kinh điển, giữa mệnh đề hợp thμnh p⇒q vμ các mệnh
đề điều kiện p, kết luận q có quan hệ sau:
p q p ⇒ q
0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
nói cách khác mệnh đề hợp thμnh p⇒q sẽ có giá trị logic của ~p∨q, trong đó ~ chỉ phép phủ định vμ ∨ chỉ phép tính logic hoặc.
Nh− vậy mệnh đề hợp thμnh kinh điển p ⇒ q lμ một biểu thức logic có giá trị Rp⇒q thỏa mãn:
a) p= 0 ⇒ Rp⇒q = 1.
b) q= 1 ⇒ Rp⇒q = 1.
c) p= 1 vμ q= 0 ⇒ Rp⇒q = 0.
So sánh các tính chất a) vμ c) ta rút ra đ−ợc d) p1≤p2 ⇒ Rp1⇒q ≥Rp2⇒q. T−ơng tự nh− vậy, từ b) vμ c) ta có
e) q1≤q2 ⇒
2
1 p q
q
p R
R ⇒ ≤ ⇒ .
Năm tính chất trên tạo thμnh bộ "tiên đề" cho việc xác định giá trị logic của mệnh đề hợp thμnh kinh điển. Bây giờ ta xét đến mệnh đề hợp thμnh mờ, tức lμ mệnh đề hợp thμnh có cấu trúc
NÕu χ = A th× γ = B. (1.43a)
hay
μA(x) ⇒ μB(y), víi μA, μB∈ [0, 1], (1.43b) trong đó μA(x) lμ hμm thuộc của tập mờ đầu vμo A định nghĩa trên tập nền X vμ μB(y) lμ hμm thuộc của B trên tập nền Y.
Định nghĩa 1.11 (Suy diễn đơn thuần)
Giá trị của mệnh đề hợp thμnh mờ (1.43) lμ một tập mờ định nghĩa trên nền Y (không gian nền của B) vμ có hμm thuộc
μA⇒B(y) : Y → [ 0 , 1 ] thỏa mãn
a) μA⇒B(y) chỉ phụ thuộc vμo μA(x) vμ μB(y).
b) μA(x) = 0 ⇒ μA⇒B(y) = 1.
c) μB(y)= 1 ⇒ μA⇒B(y) = 1.
d) μA(x) = 1 vμ μB(y) = 0 ⇒ μA⇒B(y) = 0.
e) ( ) ( )
2
1 x A x
A μ
μ ≤ ⇒ μA1⇒B(y)≥μA2⇒B(y).
f) ( ) ( )
2
1 y B y
B μ
μ ≤ ⇒ ( ) ( )
2
1 y A B y
B
A⇒ ≤μ ⇒
μ .
Nh− vậy bấy cứ một hμm μA⇒B(y) nμo thỏa mãn những tính chất trên đều có thể đ−ợc sử dụng lμm hμm thuộc cho tập mờ C lμ kết quả của mệnh đề hợp thμnh (1.43). Các hμm thuộc cho mệnh đề hợp thμnh mờ A⇒B thường hay dùng bao gồm:
1) μA⇒B(x, y) = max{min{μA(x), μB(y)}, 1 −μA(x) } công thức Zadeh, 2) μA⇒B(x, y) = min{1, 1 −μA(x) + μB(y) } công thức Lukasiewicz, 3) μA⇒B(x, y) = max{1−μA(x), μB(y) } công thức Kleene-Dienes,
Thật vậy, chẳng hạn nh− hμm thuộc μA⇒B(x, y) xác định theo công thức Kleene- Dienes cã
− Với mọi μB(y) vμ μA(x)= 0 t h ì μA⇒B(x, y) = max{1, μB(y) } = 1.
− Với mọi μA(x) vμ μB(y)= 1 t h ì μA⇒B(x, y) = max{1 −μA(x), 1} = 1.
− Khi μA(x) = 1 vμ μB(y)= 0 t h × μA⇒B(x, y) = max{0, 0 } = 0.
− ( ) ( )
2
1 x A x
A μ
μ ≤ ⇒ 1 ( ) 1 ( )
2
1 x A x
A μ
μ ≥ −
−
⇒ max{1−μA1(x),μB(y)}≥ max{1−μA2(x),μB(y)}
⇒ ( , ) ( , )
2
1 B x y A B x y
A ⇒ ≥μ ⇒
μ .
− ( ) ( )
2
1 y B y
B μ
μ ≤ ⇒ max{1 ( ), ( )
1 y x B
A μ
μ
− }≤ max{1 ( ), ( )
2 y
x B
A μ
μ
− }.
⇒ μA⇒B1(x,y)≤μA⇒B2(x,y).
Do mệnh đề hợp thμnh kinh điển p⇒q luôn có giá trị đúng (giá trị logic 1) khi p sai nên sự chuyển đổi tương đương từ mệnh đề hợp thμnh p⇒q kinh điển sang mệnh đề hợp thμnh mờ A⇒B nh− định lý suy diễn 1.11 đã nêu sẽ sinh ra một nghịch lý khi ứng dụng trong điều khiển. Có thể thấy nghịch lý đó ở chỗ: mặc dù mệnh đề điều kiện
χ = A,
không đ−ợc thỏa mãn (có độ phụ thuộc bằng 0, tức lμ μA(x)=0) nh−ng mệnh đề kết luËn
γ = B,
lại có độ thỏa mãn cao nhất μB(y) = 1. Điều nμy dẫn tới mâu thuẫn, ví dụ nh− khi cμi đặt mệnh đề
nếu ánh sáng = tối thì đèn = bật.
Trong tr−ờng hợp trời nắng có
ánh sáng = nắng ⇒ độ thỏa mãn μtối(x) = 0
vμ nh− vậy đèn vẫn cứ đ−ợc bật, do mệnh đề hợp thμnh có độ thoả mãn μtối⇒bật(x, y) luôn bằng 1.
Đã có nhiều ý kiến đ−ợc đề nghị nhằm khắc phục nh−ợc điểm trên của định lý suy diễn 1.11 song nguyên tắc của Mamdani
"Độ phụ thuộc của kết luận không đ−ợc lớn hơn độ phụ thuộc của điều kiện"
lμ có tính thuyết phục hơn cả vμ hiện đang đ−ợc sử dụng nhiều nhất để mô tả mệnh
đề hợp thμnh mờ trong điều khiển.
Biểu diễn nguyên tắc Mamdani d−ới dạng công thức ta đ−ợc
μA(x) ≥μA⇒B(y). (1.44)
Do hμm μA⇒B(y) của tập mờ kết quả B' =A⇒B chỉ phụ thuộc vμo μA(x) vμ μB(y) vμ cũng nh− đã lμm với phép hợp, giao … hai tập mờ ta sẽ coi μA⇒B(y) nh− lμ một hμm của hai biến μA vμ μB , tức lμ
μA⇒B(y) = μ (μA, μB)
thì định nghĩa giả định 1.11 với sự sửa đổi lại theo nguyên tắc Mamdani sẽ đ−ợc phát biểu nh− sau:
Định nghĩa 1.12 (Phép suy diễn mờ)
Giá trị của mệnh đề hợp thμnh mờ (1.43) lμ một tập mờ B' định nghĩa trên nền Y (không gian nền của B) vμ có hμm thuộc
μ(μA, μB) : [ 0 , 1 ]2 → [ 0 , 1 ] thỏa mãn
a) μA≥μ (μA, μB) với mọi μA, μB∈ [0,1].
b) μ(μA , 0) = 0 với mọi μA∈ [0,1].
c) μA1 ≤μA2 ⇒ μ(μA1,μB ) ≤μ(μA2,μB ) . d) μB1 ≤μB2 ⇒ μ(μA ,
B1
μ ) ≤μ(μA ,
B2
μ ) .
Từ nguyên tắc của Mamdani vμ với định lý 1.12 có đ−ợc các công thức xác định hμm thuộc cho mệnh đề hợp thμnh B' =A⇒B. Một trong số chúng lμ
1) μ(μA , μB) = min{μA , μB} (1.45)
2) μ(μA, μB) = μA μB (1.46)
− Với mọi μA∈ [0,1] có μA≥ min{μA, μB} = μ(μA, μB).
− μ(μA, 0) = min{0, 0} = 0.
− μA1 ≤μA2 ⇒ min{μA1, μB } ≤ min{μA2, μB }
⇒ μ (μA1, μB ) ≤μ (μA2, μB ).
− μB1 ≤μB2 ⇒ min{μA ,
B1
μ } ≤ min{μA ,
B2
μ }
⇒ μ (μA , μB1) ≤μ (μA , μB2 ).
Các công thức trên lμ hai công thức th−ờng đ−ợc sử dụng nhiều nhất trong kỹ thuật điều khiển mờ để mô tả mệnh đề hợp thμnh A⇒B. Chúng có tên chung lμ quy tắc hợp thμnh. Hai quy tắc hợp thμnh theo Mamdani lμ (1.45) vμ (1.46) sẽ lμ hai quy tắc hợp thμnh chính đ−ợc sử dụng trong quyển sách nμy.
Quy tắc hợp thành MIN
Giá trị của mệnh đề hợp thμnh mờ (1.43) lμ một tập mờ B' định nghĩa trên nền Y (không gian nền của B) vμ có hμm thuộc
μB '(y) = min{μA , μB(y) } (1.47)
Quy tắc hợp thành PROD
Giá trị của mệnh đề hợp thμnh mờ (1.43) lμ một tập mờ B' định nghĩa trên nền Y (không gian nền của B) vμ có hμm thuộc
μB '(y) = μA μB(y) (1.48)
Thoạt mới nhìn, hai quy tắc hợp thμnh trên (còn đ−ợc gọi lμ phép suy diễn mờ) có dạng gần giống nh− công thức (1.37a) vμ (1.37b) xác định hμm thuộc μA∩B(x, y) của tập giao hai tập mờ. Tuy nhiên chúng lại khác nhau ở bản chất lμ trong khi tập mờ kết quả của quy tắc hợp thμnh μB '(y) đ−ợc định nghĩa trên nền của B, còn của μA∩B(x, y) lại đ−ợc định nghĩa trên tập nền tích của hai tập nền của A vμ B. Ngoμi ra μB '(y) chỉ đ−ợc xác định khi đã biết cụ thể một giá trị của μA , tức lμ μB '(y) phụ thuộc vμo giá trị rõ x0 ở đầu vμo còn μA∩B(x, y) thì không.
Giả sử rằng biến ngôn ngữ χ chỉ tốc độ vμ γ chỉ sự tác động ga xe. Luật điều khiển cho xe chạy với tốc độ trung bình không đổi sẽ tương đương với mệnh đề hợp thμnh mờ một điều kiện đầu vμo
NÕu χ = chËm th× γ = t¨ng (1.49) với μchậm(x), μtăng(y) nh− trong hình 1.13a). Kết quả của mệnh đề hợp thμnh (1.49) khi sử dụng quy tắc MIN (1.47) cho một giá trị rõ x=x0 đầu vμo sẽ lμ một tập mờ B' có tập nền cùng với tập nền của μtăng(y) vμ hμm thuộc μB '(y) lμ phần d−ới của hμm μtăng(y) bị cắt bởi đ−ờng H=μchậm(x0) (xem hình 1.18b)).
Hình 1.18c) biểu diễn hμm thuộc của B' cho mệnh đề hợp thμnh (1.49) đ−ợc xác
định với quy tắc PROD.
Nh− vậy ta có hai quy tắc hợp thμnh xác định giá trị mờ B' của mệnh đề hợp thμnh. Nếu hμm thuộc μB '(y) của B' thu đ−ợc theo quy tắc MIN thì mệnh đề hợp thμnh có tên gọi lμ mệnh đề hợp thμnh MIN. Cũng nh− vậy mệnh đề hợp thμnh sẽ
đ−ợc gọi lμ PROD, nếu μB '(y) xác định theo quy tắc PROD.
x0 x μ
μchËm(x)
y μ
μt¨ng(y)
x x0
μ
μchËm(x)
y μ μt¨ng(y)
a)
b)
μB '(y)
Hình 1.18: a) Hàm thuộc μchậm(x) và μtăng(x)
b) μB '(y) xác định theo quy tắc hợp thành MIN.
c) μB '(y) xác định theo quy tắc hợp thành PROD.
x0 x μ
μchËm(x)
y μ
μt¨ng(y) c)
μB '(y) H
H
Ký hiệu giá trị mờ đầu ra lμ B' ứng với một giá trị rõ x0 tại đầu vμo thì hμm thuộc của B' với quy tắc hợp thμnh MIN sẽ lμ
μB '(y) = min{μA(x0), μB(y)}. (1.50) Gọi
H= μA(x0) (1.51)
lμ độ thỏa mãn mệnh đề điều kiện hay ngắn gọn lμ độ thỏa mãn thì
μB '(y) = min{H, μB(y) }. (1.52)
Với quy tắc hợp thμnh PROD, hμm thuộc của B' sẽ lμ
μB'(y) = μA(x0)μB(y) = H⋅μB(y) . (1.53)
Trong tr−ờng hợp tín hiệu đầu vμo A' lμ một giá trị mờ với hμm thuộc μA'(x),
đầu ra B' cũng lμ một giá trị mờ có hμm thuộc μB'(y) lμ phần d−ới của hμm μB(y) bị chặn trên bởi độ thỏa mãn H đ−ợc xác định theo nguyên tắc "tình huống xấu nhất"
nh− sau:
H =
x
max min{μA '(x), μA(x) } (xem h×nh 1.19). (1.54)