Điều kiện quan trọng nhất khi thiết kế hệ thống lμ phải đảm bảo tính ổn định của hệ thống. Một hệ thống điều khiển không thể không ổn định, vì khi hệ thống đã
không ổn định thì không thể khảo sát đ−ợc các chất l−ợng khác của hệ thống nh−
chất l−ợng động, chất l−ợng tĩnh…. 5.1.1 Định nghĩa
Cho một hệ thống có m đầu vμo u(t)∈ Lm , r đầu ra y(t)∈ Lr vμ n biến trạng thái x1, x2, , xn , viết chung lại thμnh x ∈ Ln, đ−ợc mô tả bằng ph−ơng trình trạng thái
) , , (xut dt f
x
d = , (5.1a)
y= g(x, u, t), (5.1b)
trong đó ký hiệu Lk dùng để chỉ không gian các vector k chiều có phần tử lμ những hμm thời gian. Nếu trên Ln có chuẩn ║x║p, tức lμ tồn tại
║x║p =
p p i n i
dt t x
1
1
) ( ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ∫
∑ ∞
∞
= −
< ∞ ,
với p lμ một số thực d−ơng thì không gian Ln sẽ đ−ợc gọi lμ không gian chuẩn p vμ viÕt thμnh Lnp.
Tr−ờng hợp p = ∞ thì chuẩn ║x║∞ của x∈Ln∞ có dạng
║x║∞ = sup ( ) 1
t xi
n i∑ t
=
.
Nghiệm của (5.1a) với giá trị ban đầu x0 đ−ợc gọi lμ quỹ đạo trạng thái của hệ tại thời điểm t = t0 đi qua x0 vμ ký hiệu bởi x(x0, t).
Định nghĩa 5.1: (ổn định Lyapunov)
Hệ thống (5.1) với u(t)≡0 trở thμnh ) ,
~( )
, ,
(xut 0 f xt dt f
x d
u =
= = (
đ−ợc gọi lμ ổn định Lyapunov, hay đơn giản lμ ổn định tại điểm cân bằng xe (equilibium point), tức lμ điểm trạng thái thỏa mãn
0 ) ,
~(
= t x
f e , ∀t
nếu với ε, t0 > 0 bất kỳ bao giờ cũng tồn tại δ(ε, t0) phụ thuộc ε vμ t0 sao cho
║x0− xe║ < δ ⇒ ║x(x0, t) − xe║ < ε , ∀t ≥ t0. (5.3) Công thức (5.3) trên nói rằng nếu cho tr−ớc một lân cận ε của xe thì phải tồn tại một lân cận δ cũng của xe sao cho mọi đường quỹ đạo trạng thái tại thời điểm t0 đi qua một điểm x0 thuộc lân cận δ thì kể từ thời điểm đó sẽ nằm hoμn toμn trong lân cËn ε (h×nh 5.1).
Vì x0= x(x0, t0) nên để có đ−ợc
║x(x0, t0) − xe║ < ε
thì lân cận δ phải nằm bên trong lân cận ε .
x0 δ xe
ε
Hình 5.1: ổn định Lyapunov của hệ (5.1) tại điểm cân bằng xe.
Nếu mệnh đề kết luận trong (5.3) đ−ợc thay bằng
t x x t =xe
∞
→ ( , ) lim 0
thì hệ (5.1) đ−ợc gọi lμ ổn định tiệm cận tại xe
5.1.2 Nh÷ng ®iÓm cÇn lưu ý
Mục đích của toμn bộ chương 5 nμy lμ khảo sát tính ổn định của hệ thống mờ dựa trên các tiêu chuẩn xét ổn định kinh điển nh− tiêu chuẩn Lyapunov, Popov, phương pháp cân bằng điều hòa, …. Khi đối tượng vμ bộ điều khiển vẫn được coi lμ tuyến tính hay nói một cách khác lμ có thể bỏ qua các đặc tính phi tuyến của hệ thống thì có thể kiểm tra tính ổn định của hệ dựa trên các tiêu chuẩn đại số vμ tần số tuyến tính quen biết. Nh−ng khi đã sử dụng bộ điều khiển mờ để điều khiển đối t−ợng, các tiêu chuẩn cho hệ tuyến tính không còn sử dụng đ−ợc nữa. Nh− đã biết trong các ch−ơng tr−ớc, bộ điều khiển mờ luôn luôn lμ một bộ điều khiển phi tuyến, do vậy khi sử dụng nó để điều khiển đối t−ợng thì chính bộ điều khiển nμy sẽ lμm tăng thêm tính phi tuyến của hệ thống. Muốn kiểm tra tính ổn định của hệ điều khiển mờ phải sử dụng các tiêu chuẩn ổn định dμnh cho hệ phi tuyến vμ điều nμy không dễ chịu chút nμo, vì
− Với hệ phi tuyến không tồn tại khái niệm ổn định hoμn toμn. Thực chất, các hệ phi tuyến có nhiều điểm cân bằng với các tính chất ổn định khác nhau. Các kết luận về tính ổn định của hệ phi tuyến thường chỉ đúng cho lân cận một điểm cân bằng nhất định của hệ thống.
− Tính ổn định của hệ tuyến tính lμ tính ổn định tuyệt đối, có nghĩa lμ mọi chuyển động trong hệ thống đều ổn. Còn trong lý thuyết về hệ phi tuyến các khái niệm về ổn định hoμn toμn mang ý nghĩa khác hẳn vμ chỉ có thể đ−ợc
định nghĩa cho riêng từng điểm trạng thái.
− Tính phi tuyến mang lại cho hệ thống những đặc tính động học phong phú, cho nên các tiêu chuẩn xét ổn định cho hệ phi tuyến thường chỉ cho các loại đặc tính phi tuyến nhất định vμ trước đó đã xác định được đặc tính phi tuyến.
Trong thực tế thì các đặc tính phi tuyến lại thường không xác định trước được một cách đầy đủ.
− Các tiêu chuẩn xét ổn định cho hệ thống phi tuyến rất phức tạp vμ khó áp dụng. Th−ờng chúng chỉ đ−ợc ứng dụng cho các hệ bậc thấp.
Việc xét tính ổn định một hệ mờ phụ thuộc rất nhiều vμo phương thức tích hợp giữa đối t−ợng vμ bộ điều khiển. Khảo sát tính ổn định của hệ thống với bộ điều khiển mờ vμ đối tượng mô tả được theo phương pháp kinh điển tương đối đơn giản, vì trong lý thuyết hệ thống điều khiển phi tuyến đã tồn tại rất nhiều tiêu chuẩn trong miền thời gian cũng nh− trong miền tần số để kiểm tra tính ổn định của các hệ thống nμy. Còn các trường hợp hệ có bộ điều khiển mờ lai hoặc mô hình đối t−ợng cũng mờ thì chỉ có thể dự đoán đ−ợc tính ổn định của hệ thống. Đặc biệt lμ cho đến nay vẫn ch−a tồn tại tiêu chuẩn nμo có thể khảo sát đ−ợc tính ổn định cho các hệ có mô hình của đối t−ợng lμ mô hình mờ.