5.2 Khảo sát tính ổn định của hệ mờ 171
5.2.2 Ph−ơng pháp Lyapunov trực tiếp
Ph−ơng pháp Lyapunov trực tiếp lμ một công cụ quan trọng của toμn bộ lý thuyết về ổn định của Lyapunốp. Xét lớp các hệ động học autonom không bị kích thích có ph−ơng trình trạng thái
10
e ZE
e1
e2
PS PS PB PB NS ZE PS PS PB
NS NS ZE PS PS NB NS NS ZE PS NB NB NS NS ZE 20
e
Hình 5.3: Quỹ đạo pha và quỹ đạo ngôn ngữ.
)
~( )
,
(xu 0 f x dt f
x d
u =
= = , (5.4)
trong đó x lμ vector trạng thái vμ f ,~f
lμ vector các hμm liên tục mô tả đặc tính
động của hệ thống. Vector hμm có thể tuyến tính hoặc phi tuyến.
T− t−ởng của ph−ơng pháp Lyapunov đ−ợc xây dựng trên cơ sở bảo tồn năng l−ợng của một hệ vật lý. Hệ vật lý nμy có năng l−ợng toμn bộ ở trạng thái cân bằng bằng 0, ở xung quanh vị trí cân bằng, năng l−ợng của hệ thống lớn hơn không vμ có xu thế tiến đến không. Trạng thái cân bằng đ−ợc gọi lμ ổn định nếu ở vùng xung quanh điểm cân bằng của hệ thống giá trị của hμm giảm dần hoặc không thay đổi.
Để kiểm tra đ−ợc tính ổn định của hệ thống tại vị trí cân bằng xe, cần phải xác
định đ−ợc hμm năng l−ợng V(x), gọi lμ hμm Lyapunov, phụ thuộc vμo trạng thái của hệ thống. Không mất tính tổng quát nếu giả sử rằng xe lμ điểm gốc 0 của không gian trạng thái vμ trong lân cận 0 hμm V(x) xác định dương. Vậy thì vector
gradV =
T
xn
V x
V ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ , ,
1 ∂∂
∂∂
luôn hướng ra xa điểm gốc 0, do đó nếu vector gradV vμ vectorx, mμ nó chính lμ tiếp tuyến của quỹ đạo pha của hệ (5.4), lập với nhau một góc ϕ không nhỏ hơn 900 thì quỹ đạo pha x(x0, t) luôn có hướng về gốc tọa độ (hình 5.4). Điều nμy tương đương víi
( V) ddtx
dt
dV T
= grad = ⋅ ⋅cosϕ dt
x V d
grad <0. (5.5)
Suy ra:
ϕ
Hình 5.4: Mô tả tiêu chuẩn Lyapunov.
quỹ đạo trạng thái gradV
Đường đồng mức
V(x)=k1 x
V(x)=k2<k1
Định lý 5.1
Nếu tồn tại hμm Lyapunov V(x), thoả mãn các điều kiện:
a) xác định dương, tức lμ V(x) > 0 với x ≠ 0 vμ V(x) = 0 ⇔ x = 0, b) dt
x dV( )
≤ 0.
thì hệ (5.4) sẽ ổn định tại điểm 0.
Định lý 5.1 lμ một điều kiện đủ để hệ (5.4) ổn định tại 0. Việc không tìm thấy một hμm V(x) thỏa mãn hai điều kiện trên không khẳng định đ−ợc lμ hệ (5.4) không ổn định tại 0.
Vì tính phi tuyến của một hệ lμ một tính chất hoμn toμn tự nhiên vμ bất kỳ, do vậy tiêu chuẩn Lyapunov lμ một công cụ mạnh vμ toμn năng để phân tích tính ổn
định của hệ thống phi tuyến. Nh−ợc điểm chính hạn chế sự ứng dụng của tiêu chuẩn nμy ở chỗ tìm ra đ−ợc một hμm Lyapunov thích hợp. Th−ờng năng l−ợng của hệ thống tỷ lệ với bình phương biên độ tín hiệu, nên hμm Lyapunov hay được sử dụng có dạng toμn ph−ơng:
V(x) = xT R x, (5.6)
trong đó ma trận R phải lμ ma trận xác định dương. Trong nhiều trường hợp đơn giản ma trận R đ−ợc chọn lμ ma trận đ−ờng chéo.
Hãy xét một ví dụ có đối t−ợng điều khiển lμ một con lắc đ−ợc đặt trên một chiếc xe chuyển động đ−ợc nh− hình 5.5 mô tả. Trọng l−ợng của xe lμ mx . Con lắc có trọng l−ợng mc phân đều trên một độ dμi 2l. Bμi toán đ−ợc đặt ra ở đây lμ điều khiển chiếc xe chuyển động đến một vị trí A dưới tác dụng của một lực u, sao cho con lắc luôn giữ đ−ợc trạng thái sai lệch góc ϕ=0.
mx ϕ
2l mc
Hình 5.5: Đối t−ợng điều khiển là xe con lắc.
ở đây, trước tiên chưa quan tâm đến việc thiết kế một bộ điều khiển mờ như
thế nμo cho phù hợp với nhiệm vụ điều khiển đặt ra, điều quan tâm lμ lμm thế nμo bằng phương pháp Lyapunov trược tiếp có thể rút ra kết luận về tính ổn định của hệ thống. Tr−ớc tiên lμ phải xây dựng mô hình toán học cho hệ xe con lắc. Dựa vμo các ph−ơng trình cân bằng lực moment ta có đ−ợc mô hình phi tuyến
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
− +
− +
− +
=
=
2 1 2 1 2 1 1 1
2 2 1
3 cos 4
1 cos )
cos(
sin sin
m x m
l l m
x m u x m
x m x
m l x m
g dtx
d x dtx
d
c x
x
c x c
x
x (5.7)
trong đó x1= ϕ. Hμm Lyapunov đ−ợc chọn có dạng sau:
) 2(
) 1
(x x12 x22
V = + . (5.8)
Với hμm Lyapunov nh− vậy đ−ơng nhiên điều kiện 1 đ−ợc thỏa mãn, chỉ còn phải kiểm tra điều kiện 2. Từ (5.5), (5.6) vμ (5.7) có đ−ợc
) (x dtV
d = ( )
dt x V T d
grad = ( ) ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
2 2 1 1,
x x x
x =
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
− +
− +
− + + +
−
2 1
2 1 2 1 1 1
2 1 1
2
3 cos 4
1 cos ) cos(
sin sin
1 cos 3 4
m x m
l l m
x m u x m
x m x
m l x m g m x
m l x m l x x
c x
x
c x c
x x c
x x
Mẫu của biểu thức trong ph−ơng trình trên luôn d−ơng, nên việc xét dấu của biểu thức trên chỉ còn phụ thuộc vμo tử số của biểu thức. Nếu x2 d−ơng, thì biểu thức trong ngoặc phải âm, còn nếu x2 âm thì biểu thức trong ngoặc phải d−ơng.
Dựa vμo điều đó, tín hiệu điều khiển u phải thỏa mãn
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
− + + +
+ −
> cos sin sin cos( )
3 4 cos
22 1 1 1
2 1 1
1 1
x x m x
m l x m
g m x
m l x m l x x
m u m
c x
x c
x x c
x
khi x2>0 vμ
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
− + + +
+ −
< cos sin sin cos( )
3 4 cos
22 1 1 1
2 1 1
1 1
x x m x
m l x m
g m x
m l x m l x x
m u m
c x
x c
x x c
x
khi x2<0.
Những điều kiện trên đây cho phép tổng hợp bộ điều khiển mờ để xác định u theo x1, x2của đối t−ợng sao cho hệ ổn định.