CHƢƠNG 3 : PHÂNTÍCHTHỐNGKÊ
4.4. Phântích mối liên hệ tƣơng quan tuyến tính bội
4.4.1. Mơ hìnhh ồi quy tuyến tính bội
Giả sử có k tiêu thức nguyên nhân x1, x2, x3,...,xk và tiêu thức kết quả y, mơ hình hồi quy tuyến tính bội sẽ có dạng nhƣ sau:
𝑦 x1, x2...xk = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + ....+ bkxk (4.14)
Trong đó:
b0: là hệ số tự do
b1, b2, b3, ..., bk: là các hệ số hồi quy riêng.
Áp dụng phƣơng pháp bình phƣơng nhỏ nhất sẽ có hệ phƣơng trình sau đây để tính b1, b2, b3, ..., bk: y = nb0 + b1 𝑥1+ b2 𝑥2+ b3 𝑥3+ ...+ bk 𝑥𝑘 y𝑥1 = b0 𝑥1+ b1 𝑥12+ b2 𝑥1𝑥2+ b3 𝑥1𝑥3+ ...+ bk 𝑥1𝑥𝑘 y𝑥2 = b0 𝑥2+ b1 𝑥1𝑥2+ b2 𝑥22+ b3 𝑥2𝑥3+ ...+ bk 𝑥2𝑥𝑘 ................................ ................................ ................................. y𝑥𝑘 = b0 k+ b1 𝑥1𝑥𝑘+ b2 𝑥2𝑥𝑘+ b3 𝑥3𝑥𝑘+ ...+ bk 𝑥𝑘2
Ví dụ 4.3: Trở lại ví dụ ở phần 4.3, trong đó có tài liệu về số lƣợng lao động và giá trị sản xuất của 10 doanh nghiệp cơng nghiệp. Tiếp theo ví dụ này và thêm tài liệu về vốn đầu tƣ phát triển công nghiệp cũng của 10 doanh nghiệp công nghiệp trên.
Gọi:x1là số lƣợng lao động (ngƣời), x2 là vốn đầu từ phát triển công nghiệp (Tỷ đồng), y là giá trị sản xuất (Tỷ đồng), ta có bảng số liệu sau:
Bảng 4.6. Bảng tính tốn 4 x1 x2 y 60 1,8 9,25 78 1,1 8,73 90 1,9 10,62 115 2,5 13,64 126 1,3 10,93 169 2,6 14,31 198 5,1 22,10 226 4,2 19,17 250 7,5 25,20 300 6,1 27,50
Mơ hình hồi quy:𝑦 x1, x2 = b0 + b1x1 + b2x2
Dựa vào hệ phƣơng trình sau đây để tìm giá trị của các hệ số b0, b1, b2:
y = nb0 + b1 x1+ b2 x2(4.15)
yx1 = b0 x1+ b1 x12+ b2 x1x2 yx2 = b0 x2+ b1 x1x2+ b2 x22
Căn cứ vào hệ phƣơng trình trên để lập bảng tính tốn sau đây:
Bảng 4.7. Bảng tính tốn 5 x1 x2 y y x2 yx1 x1 x2 (x2)2 (x1)2 60 1,8 9,25 16,650 555,00 108,00 3,24 3600 78 1,1 8,73 9,603 680,94 85,80 1,21 6084 90 1,9 10,62 20,178 955,80 171,00 3,61 8100 115 2,5 13,64 34,100 1568,60 287,50 6,25 13225 126 1,3 10,93 14,209 1377,18 163,80 1,69 15876 169 2,6 14,31 37,206 2418,39 439,40 6,76 28561 198 5,1 22,10 112,710 4375,80 1009,80 26,01 39204 226 4,2 19,17 80,514 4332,42 949,20 17,64 51076 250 7,5 25,20 189,000 6300,00 1875,00 56,25 62500 300 6,1 27,50 167,750 8250,00 1830,00 37,21 90000 1612 34,1 161,45 681,92 30814,13 6919,5 159,87 318226
Thay số liệu vào hệ phƣơng trình trên:
161,45 = 10b0 + 1.612b1+ 34,1b2
30.814,13 = 1.612b0 + 318.226b1+ 6.919,50b2 681,92 = 34,1b0 + 6.919,50b1+ 159,87b2 Giải hệ phƣơng trình trên ta sẽ đƣợc: b0 = 3,775; b1 = 0,042; b2 = 1,646.
Do đó, mơ hình hồi quy phản ánh mối liên hệ giữa vốn đầu tƣ phát triển công nghiệp, số lƣợng lao động với giá trị sản xuất công nghiệp của 10 doanh nghiệp công nghiệp này là:
𝑦 x1, x2 = 3,775 + 0,042x1 + 1,646x2
4.4.2. Hệ số tương quan bội và hệ số tương quan riêng phần
Hệ số tương quan bội (ký hiệu R) đƣợc sử dụng để đánh giá mức độ chặt chẽ mối liên hệ tƣơng quan tuyến tính giữa tất cả các tiêu thức nguyên nhân x1, x2, x3,...,xk và tiêu thức kết quả y và đƣợc tính theo cơng thức sau đây:
R = 1− (y− yx 1x2…x k)2
(y− y)2 (4.16) Tính chất: R nằm trong khoảng [0; 1], tức là 0 ≤ R ≤ 1. Cụ thể: - Nếu R = 1: Giữa x1, x2, x3,...,xkvà y có mối liên hệ hàm số.
- Nếu R = 0: Giữa x1, x2, x3,...,xkvà y khơng có mối liên hệ tƣơng quan tuyến tính. - Nếu R => 1: Giữa x1, x2, x3,...,xkvà y có mối liên hệ tƣơng quan tuyến tính càng chặt chẽ.
Để tính hệ số tƣơng quan tuyến tính bội, căn cứ vào cơng thức tính R, lập bảng tính tốn sau đây:
Bảng 4.8. Bảng tính tốn 6 x1 x2 y 𝑦 x1x2 (y - 𝑦 x1x2)2 (y - y)2 60 1,8 9,25 9,25 0,0000 47,5410 78 1,1 8,73 8,86 0,0169 54,9822 90 1,9 10,62 10,67 0,0025 30,5256 115 2,5 13,64 12,71 0,8649 6,2750 126 1,3 10,93 11,20 0,0729 27,1962 169 2,6 14,31 15,14 0,6889 3,3672 198 5,1 22,10 20,47 2,6569 35,4620 226 4,2 19,17 20,16 0,9801 9,1506 250 7,5 25,20 26,60 1,9600 81,9930 300 6,1 27,50 26,39 1,2312 128,9360 Tổng 8,4752 425,4288 R = 1− 8,4752 = 0,99
Nhƣ vậy, mối liên hệ giữa vốn đầu tƣ phát triển công nghiệp, số lƣợng lao động với giá trị sản xuất cơng nghiệp rất chặt chẽ.
Trong trƣờng hợp chỉ có hai tiêu thức ngun nhân nhƣ ví dụ trên, có thể tính hệ số tƣơng quan tuyến tính bội theo cơng thức sau đây:
R = ryx1
2 +ryx22 -2ryx1ryx2rx1x2
1-rx1x22 (4.17) Với ryx1,ryx2,rx1x2 là các hệ số tƣơng quan tuyến tính đơn, ta có: ryx1= (x 1y - x1y) / σx1σy = (3.081,413 – 161,2 × 16,145) / 76,401 × 6,522 = 0,961 ryx2= (x 2y - x2y) / σx2σy = (68,192 – 3,41 × 16,145) / 2,088 × 6,522 = 0,965 rx1x2= (x 1x2 - x1x2) / σx1σx2 = (691,95 – 3,41 × 161,2) / 76,401 × 2,088 = 0,892 Do đó: R = 0,9612+ 0,9652−2×0,961 ×0,965 ×0,892 1− 0,8922 = 0,99
Hệ số tương quan riêng phần đƣợc sử dụng để đánh giá mức độ chặt chẽ giữa một tiêu thức nguyên nhân nào đó với tiêu thức kết quả y trong khi các tiêu thức ngun nhân khác khơng đổi.
Ví dụ nhƣ có hai tiêu thức nguyên nhân x1, x2 và tiêu thức kết quả y có thể tính các hệ số tƣơng quan riêng phần sau đây:
- Hệ số tƣơng quan riêng phần giữa x1 và y trong khi x2 không đổi: ryx1(𝑥2) = ryx1− ryx2rx1x 2
1−ryx22 (1− rx1x22 )
(4.18)
- Hệ số tƣơng quan riêng phần giữa x2 và y trong khi x1 không đổi: ryx2(𝑥1) = ryx2− ryx1rx1x 2 1−ryx12 (1− rx1x22 ) (4.19) Ta có: ryx1(𝑥2) = 0,961 - 0,965 × 0,892 (1 - 0,9652) (1− 0,8922) = 0,845 ryx2(𝑥1) = 0,965 - 0,961 × 0,892 (1 - 0,9612) (1− 0,8912) = 0,862
TÓM TẮT CHƢƠNG
Các hiện tƣợng tồn tại trong mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau. Phân tích hồi quy và tƣơng quan là phƣơng pháp thƣờng sử dụng để nghiên cứu mối liên hệ phụ thuộc đó.
Phân tích hồi quy và tƣơng quan nhằm giải quyết hai nhiệm vụ nghiên cứu chủ yếu: Xây dựng mơ hình hồi quy phản ánh mối liên hệ và đánh giá mức độ chặt chẽ của mối liên hệ. Hainhiệm vụ này có thể đƣợc giải quyết đồng thời hoặc có thể đƣợc giải quyết độc lập.
Trƣờng hợp đơn giản là nghiên cứu hồi quy và tƣơng quan giữa hai tiêu thức số lƣợng. Có thể dựa vào đồ thị để xác định dạng của mơ hình hồi quy là tuyến tính hoặc phi tuyến tính. Việc xác định giá trị các hệ số của mơ hình hồi quy đƣợc thực hiện bằng cách sử dụng phƣơng pháp bình phƣơng nhỏ nhất, từ đó dẫn đến hệ phƣơng trình chuẩn và giải hệ phƣơng trình chuẩn sẽ có kết quả. Hệ số tƣơng quan và tỷ số tƣơng quan đƣợc sử dụng để đánh giá mức độ chặt chẽ của mối liên hệ tƣơng quan giữa hai tiêu thức số lƣợng.
Trƣờng hợp phức tạp là nghiên cứu hồi quy và tƣơng quan tuyến tính giữa nhiều tiêu thức số lƣợng (hồi quy và tƣơng quan tuyến tính bội), phản ánh mối liên hệ giữa nhiều tiêu thức nguyên nhân và tiêu thức kết quả. Để đánh giá vai trò của mỗi tiêu thức nguyên nhân đối với tiêu thức kết quả thì cần phải dựa vào các hệ số hồi quy chuẩn hóa. Hệ số tƣơng quan tuyến tính bội đƣợc sử dụng để đánh giá mức độ chặt chẽ của mối liên hệ giữa các tiêu thức nguyên nhân với tiêu thức kết quả. Hệ số tƣơng quan riêng phần đƣợc sử dụng để đánh giá mức độ chặt chẽ của mỗi liên hệ giữa một tiêu thức nguyên nhân nào đó với tiêu thức kết quả trong điều kiện các tiêu thức nguyên nhân khác khơng đổi.
CÂU HỎI ƠN TẬP
1. Trình bày đặc điểm của liên hệ hàm số và liên hệ tƣơng quan? Tại sao khi nghiên cứu các hiện tƣợng kinh tế - xã hội lại thƣờng gặp liên hệ tƣơng quan?
2. Anh (chị) hãy cho biêt phân tích hồi quy và tƣơng quan giải quyết những nhiệm vụ nghiên cứu gì?
3. Anh (chị) hãy nêu ý nghĩa các hệ số b0, b1 trong mơ hình hồi quy tuyến tính? 4. Anh (chị) hãy nêu những tính chất của r.
5. Anh (chị) hãy nêu những tính chất của ƞ.
6. Anh (chị) hãy cho biết ý nghĩa việc nghiên cứu hồi quy và tƣơng quan tuyến tính giữa nhiều tiêu thức số lƣợng là gì?
BÀI TẬP Bài 1
Có số liệu của một doanh nghiệp nhƣ sau: Chi phí quảng
cáo (triệu đồng) 10 14 15 17 20 22 25 28 Doanh thu (triệu
đồng) 1100 1200 1300 1500 1800 2100 2300 2500 Yêu cầu:
a. Xây dựng phƣơng trình hồi quy tuyến tính biểu diễn ảnh hƣởng của chi phí quảng cáo tới doanh số của các cửa hàng điều tra. Giải thích ý nghĩa các tham số trong phƣơng trình.
b. Đánh giá mức độ chặt chẽ của mối liên hệ trên.
Bài 2
Có số liệu của một doanh nghiệp nhƣ sau: Năng suất lao
động một công nhân (triệu đồng) 50 55 58 65 70 76 80 90 Tiền lƣơng tháng 1 công nhân (triệu đồng) 4.0 4.3 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 Yêu cầu:
a. Xây dựng phƣơng trình hồi quy tuyến tính biểu diễn mối liên hệ của năng suất lao động tới tiền lƣơng.
b. Đánh giá mức độ chặt chẽ của mối liên hệ trên.
Bài 3
Có số liệu của một doanh nghiệp nhƣ sau: Số lƣợng (1000 sản phẩm) 10 14 15 17 20 22 25 28 Giá thành đơn vị sản phẩm (nghìn đồng) 40 38 35 30 25 22 18 15 Yêu cầu:
a. Xây dựng phƣơng trình hồi quy tuyến tính biểu diễn mối liên hệ của số lƣợng sản phẩm sản xuất tới giá thành đơn vị sản phẩm.
Bài 4 Có số liệu nhƣ sau: Tuổi nghề (năm) 5 8 11 12 17 19 22 25 29 31 34 38 Năng suất lao động (sản phẩm/ thời gian) 14 25 36 45 53 56 59 62 58 53 48 40 Yêu cầu:
a. Xây dựng phƣơng trình hồi quy biểu diễn mối liên hệ của tuổi nghề và năng suất lao động.
b. Đánh giá mức độ chặt chẽ của mối liên hệ trên.
Bài 5
Có tài liệu về sản lƣợng và giá thành đơn vị sản phẩm A trong 6 tháng đầu năm 2016 tại một doanh nghiệp nhƣ sau:
Sản lƣợng (100 tấn) 50 35 10 20 40 30
Giá thành 1 tấn sản phẩm (triệu đồng) 20 22 30 25 22 23 Yêu cầu:
a. Xây dựng phƣơng trình hồi quy dạng hyperbol biểu diễn mối liên hệ tƣơng quan trên.
b. Đánh giá mức độ chặt chẽ của mối liên hệ trên.
Bài 6 Có số liệu nhƣ sau: Tuổi nghề (năm) 5 8 11 12 17 19 22 25 29 31 34 38 Năng suất lao động (sp/tg) 14 25 36 45 53 56 59 62 58 53 48 40 Yêu cầu:
a. Xây dựng phƣơng trình hồi quy biểu diễn mối liên hệ của tuổi nghề và năng suất lao động.
CHƢƠNG 5: PHÂN TÍCH TÌNH HÌNH BIẾN ĐỘNG CỦA CÁC HIỆN TƢỢNG THEO THỜI GIAN
5.1. Dãy số biến động theo thời gian
5.1.1. Khái niệm
Dãysốthờigianlàmộtdãycáctrịsốcủachỉtiêuthốngkêđƣợcsắpxếptheothứtựthờigian. Ví dụ 5.1:Cótàiliệuvề doanhthucủadoanhnghiệpA quacácnămnhƣ sau:
Bảng 5.1. Doanh thu của doanh nghiệp A qua các năm
Năm 2004 2005 2006 2007 2008
Doanhthu(tỷ đồng) 25 29 36 50 60 Ví dụ 5.2:Cótàiliệuvềlaođộng củadoanhnghiệpA nhƣ sau:
Bảng 5.2. Số lao động của doanh nghiệp A
Ngày 1/1/09 1/2/09 1/3/09 1/4/09
Số laođộng(ngƣời) 350 370 370 380
5.1.2. Cấu tạo
Qua quan sát hai ví dụ trên ta thấy, một dãy số thời gian có kết cấu gồm 2 thành phần sau:
- Thờigian:cóthểlàngày,tuần,tháng,q,nămtùythuộcvàođặcđiểm,tínhchất củahiệntƣợngnghiên cứu.Độdàigiữa2thờigianliềnnhau gọilàkhoảngcách thờigian.
- Chỉtiêuvềhiệntƣợngnghiêncứu:tên,đơnvịtínhphùhợpvàtrịsốcủachỉtiêu đó.
Cáctrịsốnàyđƣợcgọilàcácmứcđộcủadãysốthờigianyi(i=1,n).Cácmức độ của dãy số thời gian có thểlà số tuyệt đối, sốtƣơng đối hoặc số bình quân.
5.1.3. Phân loại
Mộtdãysốthờigianlnbaogồm haithànhphần:thờigianvàtrịsốcủachỉtiêu.Thời gian thì có thờikỳvàthờiđiểm.Trị sốcủa chỉtiêu có thểlàsốtuyệtđối, sốtƣơngđối hoặcsốbìnhqn.Khiđó,tacócácloạidãysốthờigiantƣơngứngdƣớiđây.
- Căn cứvào các loại chỉ tiêu,dãysốthời gian đƣợcchiathành: + Dãy số số tuyệt đối:dãysốcó các trịsố của chỉ tiêu là sốtuyệt đối. Ví dụ: Quy mơ vốn của doanh nghiệp qua các năm.
+ Dãy số số tƣơng đối: dãysố mà các trị sốlà các sốtƣơng đối. Ví dụ: Tốc độ tăng trƣởng kinh tế hàng năm.
+ Dãy số số bình quân: dãy số mà các trị sốlàcác số bình qn.
Ví dụ: Năng suất lao động trung bình của doanh nghiệp qua các năm. Trong đó, dãy số tƣơngđối và dãy sốbìnhqnlnlàdãy số thời kỳ.
- Căncứvàođặcđiểmbiếnđộngvềquymôcủahiệntƣợngquathờigian,dãysố đƣợc chia thành:
gian nhất định. Các trị số của chỉ tiêu có thể cộng dồn với nhau tạo thành số cóý nghĩa trong thời gian dài hơn.
Vídụ5.1(phần5.1.1)làdãysốthờikỳ,phảnánhquymơdoanhthucủadoanh nghiệpquatừngnăm.
+ Dãysốthờiđiểm:biểuhiệnquymơ,khốilƣợngcủahiệntƣợngtạinhữngthời điểmnhấtđịnh.Cáctrịsốcủachỉtiêukhơngthểcộngdồnvớinhauvì con số tính đƣợc khơng có ý nghĩa.
Vídụ5.2(phần5.1.1)làdãysốthờiđiểm,phảnánhsốlaođộngcủadoanh nghiệp tại từng thời điểm nhất địnhtrongtháng.
5.1.4. Các yêu cầu
Đểcóthểnghiên cứu biến động của hiện tƣợng qua thờigian thìcácmứcđộ trong dãysốphảiđảm bảotínhchấtcóthểsosánhđƣợc,tứclàdãysốthờigianđóphải đáp ứngmột số u cầunhất định:
- Phải thống nhất về nội dung và phƣơng pháp tính chỉ tiêu qua thời gian.
Vídụ:ChỉtiêuGDP ở nƣớc ta hiện nay tính theo Hệ thống tài khoản quốc giacủa Liênhợpquốc(SNA1993),trƣớcđólàchỉtiêuThunhậpquốcdântínhtheo Hệ thống sản xuất vật chất của LiênXô cũ (MPS).
- Phải thống nhất về phạmvi tổng thểnghiêncứu.
Vídụ:Từ1/8/2008,HàNộibaogồmHàTâyvàmộtsốđịaphƣơngthuộc
VĩnhPhúc,HồBình.Nhƣvậy,khơngthểđem cácsốliệu củaHàNộitrƣớckhi nhập tỉnh đểso sánh vớisố liệucủaHàNội hiện nay đƣợc.
- Cáckhoảngcáchthờigiantrongdãysốnênbằngnhau,nhấtlàvớicácdãysốthời kỳphải bằng nhau.
5.1.5. Tác dụng
Dãy số thời gian cho phép thống kê nghiên cứu xu hƣớng biến động của hiện tƣợng qua thời gian. Từ đó,tìmratínhquyluậtcủasự pháttriểnđồngthời dự đốnđƣợccácmứcđộcủahiệntƣợngtrong tƣơng lai.
5.2. Các chỉ tiêu phân tích dãy số thời gian
Để phân tích đặc điểm biến động của hiện tƣợng qua thời gian, ngƣời ta thƣờng sử dụng các chỉ tiêu sau:
5.2.1. Mức độ bình quân theo thời gian
Mức độ bình quân theo thời gian là mức độ đại diện cho các mức độ tuyệt đối của một dãy số thời gian.Đối với dãy số thời kỳ hay dãy số thời điểm có khoảng cách thời gian bằng nhau hoặc khơng bằng nhau, cách tính chỉ tiêu này cũng khác nhau.
5.2.1.1. Đối với dãy số thời kỳ
Đối với dãy số thời kỳ, mức độ bình qn theo thời gian đƣợc tính bằng công thức:
y = y1+ y2 +⋯+ yn−1+ yn
n = n1yi
Trong đó: yi( i = 1, 2, ..., n) là các mức độ của dãy số thời kỳ.
Ví dụ 5.3: Giá trị sản xuất cơng nghiệp Việt Nam thời kỳ 2005 – 2010 (theo giá cố định năm 1994) đƣợc cho nhƣ sau:
Bảng 5.3. Giá trị sản xuất công nghiệp Việt Nam thời kỳ 2005 – 2010 (theo giá cố định năm 1994)
Năm 2005 2006 2007 2008 2009 2010
GO (nghìn tỷ đồng) 415,9 485,8 567,4 646,4 697,3 794,6 Từ bảng số liệu trên ta có:
y = 415,9 + 485,8 + 567,4+646,4+697,3+794,6
6 = 601,23 (Tỷ đồng)
Theo kết quả này, giá trị sản xuất bình quân hàng năm trong thời kỳ từ năm 2005 đến năm 2010 của ngành cơng nghiệp Việt Nam (tính theo giá cố định năm 1994) là 601,23 tỷ đồng.
5.2.1.2. Đối với dãy số thời điểm
Đối với dãy số thời điểm: Tùy theo đặc điểm biến động của dãy số và nguồn số liệu, chỉ tiêu này đƣợc tính theo các cách sau:
- Đối với dãy số thời điểm biến động đều và chỉ có 2 mức độ đầu kỳ (yđk) và cuối kỳ (yck), mức độ bình quân theo thời gian đƣợc tính theo cơng thức số bình qn cộng giản đơn:
y = yđk+ yck
2 (5.2)
Trong thực tế, công thức này rất hay đƣợc sử dụng để tính số lao động bình quân của một doanh nghiệp, số dân bình quân của một địa phƣơng, ... khi chỉ biết mức độ đầu kỳ, cuối kỳ trong một khoảng thời gian ngắn (thƣờng là một tháng, một quý hoặc một năm) mà khơng phải xét xem hiện tƣợng có biến động đều hay không.
- Đối với dãy số thời điểm biến động khơng đều, có nhiều mức độ mà khoảng cách thời gian bằng nhau, xem xét ví dụ sau:
Ví dụ 5.4: Cho bảng giá trị hàng hóa tồn kho của công ty A năm 2010 nhƣ sau:
Bảng 5.4. Giá trị hàng hóa tồn kho của cơng ty A năm 2010
Ngày tháng 1/1/2010 1/4/2010 1/7/2010 1/10/2010 31/12/2010 Giá trị hàng
hóa tồn kho (triệu đồng)
383,0 384,8 391,4 398,0 382,2
Để tính giá trị hàng hóa tồn kho bình qn của từng q, cần phải giả thiết: sự biến động về giá trị hàng hóa tồn kho của các tháng trong quý xảy ra tƣơng đối đều đặn. Từ đó, dựa vào giá trị hàng hóa tồn kho của ngày đầu quý và ngày cuối quý – tức của ngày đầu quý sau – để tính giá trị hàng hóa tồn kho bình qn của từng q (𝑦𝑖)
yi= yi+ yi+1 2 (5.3)
Trong đó, yi và yi +1 là giá trị hàng hóa tồn kho có vào ngày đầu và cuối quý i. Theo số liệu trong ví dụ trên, ta tính đƣợc giá trị hàng hóa tồn kho bình qn từng q trong năm 2010 của công ty A nhƣ sau:
Quý I/2010: y1= y1+ y2 2 =383,0+384,8 2 = 383,9 triệu đồng Quý II/2010: y2= y2+ y3 2 =384,8+391,4 2 = 388,1 triệu đồng Quý III/2010: y3= y3+ y4 2 =391,4+398,0 2 = 394,7 triệu đồng Quý IV/2010: y4= y4+ y5 2 =398,0+382,2 2 = 390,1 triệu đồng
Giá trị hàng hóa tồn kho bình quân của năm 2010 (ký hiệu y ) chính là số bình qn của giá trị hàng hóa tồn kho bình qn của 4 quý trong năm 2010. Tức là:
y = yI+ yII+ yIII+ yIV
4 =383,8+388,1+394,7+390,1
2 = 334,2 triệu đồng
Nhƣ vậy, công thức để tính mức độ bình quân theo thời gian của dãy số thời điểm có các khoảng cách thời gian bằng nhau là:
y = n1−1𝑦 i
n−1 (5.4)
Trong đó, 𝑦 ilà số bình qn của từng nhóm hai mức độ đứng liền nhau đƣợc tính
theo công thức:
yi= yi+ yi+1 2
Hoặc triển khai công thức ta đƣợc:
y = 𝑦1
2 + y2+⋯+ yn−1+ 𝑦𝑛 2
n−1 (5.5)
Trong đó yi (i = 1, 2, ...n) là các mức độ của dãy số thời điểm có các khoảng cách thời gian bằng nhau.
Tính theo cơng thức này, với số liệu đã cho trong ví dụ 5.2, ta có:
y = 𝑦1 2 + y2+⋯+ yn−1+ 𝑦𝑛 2 n−1 = 383 ,0 2 + 384,8+391,4 +398,0+ 382 ,2 2 5−1 = 334,2 triệu đồng - Đối với dãy số thời điểm có các khoảng thời gian khơng bằng nhau thì mức độ bình quân theo thời gian đƣợc tính theo cơng thức:
y = yihi hi (5.6)
Trong đó, hi (i = 1, 2, ...n) là khoảng thời gian có mức độ yi (i = 1, 2, ...n).
Ví dụ 5.5: Có tài liệu về số lao động của một doanh nghiệp tại một số thời điểm trong tháng 6 năm 2011 nhƣ sau:
Ngày 8/6 có 312 ngƣời; Ngày 13/6 có 306 ngƣời; Ngày 28/6 có 310 ngƣời.
Theo tài liệu trên, ta chỉ có số liệu lao động tại một số thời điểm trong tháng. Đối với những ngày khác, có hai trƣờng hợp xảy ra: (i) hoặc là khơng có sự thay đổi so với ngày hơm trƣớc, (ii) hoặc là có thay đổi nhƣng khơng thống kê đƣợc, trong trƣờng hợp này ta cũng coi nhƣ khơng có sự thay đổi so với ngày hơm trƣớc. Nhƣ vậy, để tính