7. Cấu trúc luận văn
2.1.3. Tìm bộ số Py-ta-go
Công thức tổng quát cho tất cả các bộ ba số Py-ta-go (không đơn trị: Một bộ ba Py-ta-go là bội số của một bộ ba khác):
a= k∗(2mn), b = k∗(m2−n2), c =k∗(m2+n2), m,n,k ∈ Z+;m > n.
Với k= 1nó dẫn tới cơng thức cổ điển:
a= 2mn, b = m2−n2, c =m2+n2.
Được gọi là bộ ba số Py-ta-go ngun thuỷ. Hai cạnh góc vng a,b là
m2−n2và2mn(2mnlà cạnh góc vng chẵn), cạnh huyềnc = m2+n2. Trong đó, m và n là các số nguyên tố cùng nhau và đúng một số trong chúng là số chẵn được gọi là bộ ba số sinh bởi công thức Ơ-clit. Bộ ba số không nguyên tố cùng nhau khin vàm là chẵn lúc đóa,b,c sẽ chẵn. Có thể đổi vai trị giữa
avàbđược sinh ra từ một cặp duy nhất các số nguyên tố cùng nhau m,n, mà
một trong chúng là lẻ điều này đúng với mọi bộ ba nguyên tố. [25]
Trừ{3, 4, 5}thì khơng có bộ ba số Py-ta-go có 2 số chẵn và có 3 số liền nhau và một bộ ba số Py-ta-go nếua,bvàclà các số nguyên tố cùng nhau được gọi là bộ ba số Py-ta-go nguyên tố. Các bộ ba số Py-ta-go nguyên tố nhỏ hơn 100 gồm:
Bộ ba số Py-ta-go có một số tính chất sau:
• Ba số trong bộ ba số Py-ta-go có mỗi liên hệ với nhau được cho bởi cơng thức khác a+b =c+2
r
(c−a)(c−b)
2 .
• Điều kiện cần để kiểm tra xem có phải là bộ ba số Py-ta-go hay khơng
(c−a)(c−b)/2là số chính phương. Nhưng đây khơng phải là điều đủ, chẳng hạn như bộ ba {6, 12, 8} thoả mãn (c−a)(c−b)/2 là số chính phương nhưng khơng phải là bộ ba Py-ta-go.
Điều kiện nếu a là cạnh góc vng chẵn, (c−a) và (c−b)/2đồng thời là số chính phương là điều kiện cần và đủ để (a,b,c) lập thành bộ ba số Py-ta-go, bộ ba Py-ta-go này có thể khơng ngun thuỷ.
• Tồn tại vơ số bộ ba Py-ta-go ngun thuỷ có một cạnh góc vng là số chính phương.
• Tổng của cạnh huyền và cạnh góc vng chẵn của một bộ ba Py-ta-go nguyên thuỷ là một số chính phương lẻ và trung bình cộng của cạnh huyền và cạnh góc vng lẻ là một số chính phương (m2+n2) + (2mn) = (m+n)2,(m 2+n2) + (m2 −n2) 2 =m 2. • Diện tích A = ab
2 là số đồng dư chẵn. Hay nói cách khác đồng dư chẵn là một số ngun có giá trị bằng diện tích của một tam giác vng.
• Trong hai số a,bcó đúng một số lẻ,clà số lẻ.
• Trong hai số a,bcó đúng một số chia hết cho 3.
• Trong hai số a,bcó đúng một số chia hết cho 4.
• Trong hai số a,bcó đúng một số chia hết cho 5.
• Trong bốn số a,b,(a+b),(b−a)có đúng một số chia hết cho 7.
• Trong bốn số(a+c),(b+c),(c−a),(c−b)có đúng một số chia hết cho 8.
• Trong bốn số(a+c),(b+c),(c−a),(c−b)có đúng một số chia hết cho 9.
• Trong sáu sốa,b,(2a+b),(2a−b),(2b+a),(2b−a)có đúng một số chia hết cho 11.
• Tất cả các ước nguyên tố củacđều là số nguyên tố có dạng4k+1. [25]