2. Các nguyên lý đếm cơ bản 1.1 Nguyên lý cộng:
2.4. Nguyên lý Dirichlet (nguyên lý chuồng bồ câu) Nguyên lý Dirichlet
Nguyên lý Dirichlet 1
Nguyên lý này được phát triển từ một mệnh đề rất đơn giản gọi là nguyên lý
“chuồng chim bồ câu”. Giả sử có một đàn chim bồ câu bay vào chuồng. Nếu số
chim nhiều hơn số ngăn (cửa) chuồng thì chắc chắn có ít nhất một ngăn (cửa) có nhiều hơn một con chim bay vào.
Ví dụ 1.
Trong số 367 người bất kỳ bao giờ cũng tìm được ít nhất 2 người có ngày sinh nhật giống nhau.
Giải
Do một năm chỉ có 366 ngày tháng sinh khác nhau, kể cả ngày 29 tháng 2. Nên nếu không tồn tại hai người có cùng ngày sinh nhật thì chỉ có 366 người có ngày sinh nhật, điều đó mâu thuẫn với giả thiết có 367 người có ngày sinh nhật.
Luyện tập 1.
Trong kì thi học sinh giỏi Tốn, điểm bài thi được đánh giá bo7i3mo65t số nguyên trong khoảng từ 0 đến 100. Hỏi rằng ít nhất phải có bao nhiêu học sinh dự thi để chắc chắn tìm được hai học sinh có điểm kết quả giống nhau.
Nguyên lý Dirichlet tổng quát 2.
Nếu xếp nhiều hơn n đối tượng vào n cái hộp thì tồn tại ít nhất một hộp chứa khơng ít hơn 2 đối tượng.
Chứng minh (phản chứng).
Giả sử không hộp nào chứa nhiều hơn một đối tượng, thì chỉ có nhiều nhất là n đối tượng được xếp vào các hộp, điều đó trái với giả thiết là số đối tượng lớn hơn n. Điều mâu thuẫn chứng tỏ rằng: Phải tồn tại một hộp chứa khơng ít hơn 2 đối tượng.
Trang 38
Ví dụ 2.
Chứng minh rằng: Mọi tập hợp A có ít nhất 6 phần tử của tập
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} sẽ có hai trong số các phần tử có tổng bằng 10.
Giải
Xét các cửa của chuồng bồ câu được chọn là các tập hợp con {1,9}, {2, 8}, {3, 7}, {4, 6}, {5}. Do chỉ có 5 cửa trong khi số chim bồ câu khơng ít hơn 6, nên có ít nhất 2 phần tử phân biệt của A thuộc về cùng một tập hợp con trên, hay chính xác hơn thuộc về cùng một trong bốn tập hợp con đầu tiên.
Đó là những cặp có tổng số bằng 10.
Luyện tập 2.1.
Trong mặt phẳng cho 6 điểm, từng cặp nối với nhau bởi các cung màu xanh hoặc màu đỏ.Chứng minh rằng: ln tìm được 3 điểm sao cho các cung nối chúng có cùng màu (chúng tạo thành tam giác xanh hoặc đỏ).
Luyện tập 2.2
Xét một cơ sở dữ liệu có 500 000 bản tin (record). Hỏi có thể sử dụng một vùng (thuộc tính) với nhiều nhất 4 ký tự là các mẫu tự làm khóa chính hay khơng? Ở đây một vùng được nói là một khóa chính nếu giá trị của nó xác định bản tin duy nhất. (Bảng ký tự có 26 chữ cái)
Giải
Số các từ gồm nhiều nhất 4 mẫu tự làm số cửa của chuồng bồ câu. Số cửa này được cho bởi nguyên lý cộng và nguyên lỳ nhân:
Vì có đến 500.000 bồ câu nên có ít nhất hai bản tin có cùng giá trị của thuộc tính, suy ra khơng thể dùng thuộc tính này làm khóa chính được.
Nguyên lý Dirichlet tổng quát 3
Nếu đem xếp n đối tượng vào k cái hộp, thì ít nhất một hộp chứa khơng ít hơn
n k/ đối tượng ( n k là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho nn kk )
(ký hiệu x là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn x).
47525426 26
2626 26
Trang 39
Chú ý.
Ví dụ 3.
Trong 100 người. Hỏi có ít nhất bao nhiêu người sinh cùng một tháng?
Giải
Xếp những người cùng sinh một tháng vào một nhóm. Có 12 tháng tất cả, nên có 12 nhóm. Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất một nhóm có khơng ít hơn:
100
[8,3]=9
12 người.
Luyện tập 3.
Trong Khoa học máy tính, để xử lý các ký hiệu cần phải mã hóa chúng bằng các số nhị phân.Giả sử mỗi ký hiệu được mã hóa bởi số nhị phân 8 bit, hãy cho biết một bảng mã các ký như vậy có thể mã hóa được tối đa bao nhiêu ký hiệu?