2. Hàm Boole và biểu thức Boole
2.2.3. Biểu diễn các hàm Boole Đặt vấn đề
Đặt vấn đề
Cho các giá trị của một hàm Boole n biến x x1, 2,...,xn. Làm thế nào để tìm được biểu thức Boole biểu diễn hàm đó?
Định nghĩa 1
a) Một biến Boole hoặc phần bù của nó được gọi là một từ đơn (tục biến).
b) Tích Boole y y1, 2,...,yn trong đó yi =xi hoặc yi = xi với x x1, 2,...,xn là các biến Boole được gọi là một từ tối tiểu (tiểu hạng).
Ghi chú
a) Từ tối tiểu (Tiểu hạng) y y1, 2,...,yn có giá trị 1 khi và chỉ khi mọi
1 i y = khi và chỉ khi , 1 , 0 ii i ii x khi x y x khi x = = = .
b) Tổng các từ tối tiểu (tiểu hạng) biểu diễn hàm Boole được gọi là khai triển tổng các tích hay dạng tuyển chuẩn tắc của hàm Boole. Hàm Boole như vậy bằng 1 tại các tổ hợp của các giá trị của các biến Boole ở đó các từ tối tiểu bằng 1 và bằng 0 tại các giá trị khác của biến Boole. Hơn nữa, bởi vì mỗi hàm Boole tương ứng với một bảng chân trị, nên chúng ta có thể dễ dàng biểu diễn một hàm Boole bằng một tổng của các từ tối tiểu (mỗi từ tối tiểu ứng với một tổ hợp biến mà giá trị hàm Boole bằng 1
(xyz) xyxzyz
Trang 45
trong bảng chân trị), gọi là dạng tuyển chính tắc (normal disjunctive form) của hàm Boole
c) Một hàm Boole là tổng của các từ tối tiểu chỉ bằng 1 khi một trong các từ tối tiểu bằng 1. Nghĩa là x1 x3 0 &x2 x4 x5.
Ví dụ 8. Biết x1 x3 0 &x2 x4 x5. Viết tiểu hạng có giá trị bằng 1. Giải
Từ tối tiểu chỉ có giá trị bằng 1 nếu x1 x3 0 &x2 x4 x5 1 là
1. . . .2345
x x x x x .
Luyện tập 8
Tìm biểu thức Boole biểu diễn hàm Boole f(x,y) xác định bởi bảng sau:
x y f(x,y) 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 Định nghĩa 2
Các nguyên tử trong Fn là các hàm Boole chỉ khác 0 tại 1 điểm duy nhất, hay nói cách khác, bảng chân trị của nó chỉ có một dịng duy nhất ở đó hàm khác 0, các hàm này được gọi là các từ tối tiểu củaFn.
Định nghĩa 3. Dạng nối rời chính tắc của f
Một hàm Boole bất kỳ f có thể viết như là tổng Boole của các từ tối tiểu trội bởi f, và mỗi từ tối tiểu này được viết như là tích của đủ n biến. Cơng thức này gọi là dạng nối rời chính tắc của f.
Trang 46
i) Một đơn thức là một tích khác 0 của các từ đơn.
ii) Một công thức đa thức của hàm Boole f là công thức biểu diễn f dưới dạng tổng Boole của các đơn thức.
Ví dụ 9. Tìm các biểu thức Boole biểu diễn các hàm f(x,y,z) và g(x, y,z) Xác định theo bảng sau: x y z f(x,y,z) g(x,y,z) 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 Giải.
+ Biểu diễn hàm f: Biểu thức Boole của f là f x y z( , , ) xyz.
+ Biểu diễn hàm g: g là tổng của hai từ tối tiểu tương ứng với hai dòng của bảng có giá trị 1. Biểu thức Boole của g là g x y z( , , ) xyzxyz .
Luyện tập 9. Tìm khai triển tổng các tích của hàm
-------------------
(xyz) (xy)z
Trang 47