4.1. Định nghĩa (phần tử tối tiểu và phần tử tối đại)
Xét tập hợp có thứ tự ( , )A .
i) aA là phần tử tối tiểu của A nếu không tồn tại xA sao cho axa. Nói cách khác mệnh đề sau là đúng: xA, xa =xa.
Trang 17
ii) bA là phần tử tối đại của A nếu không tồn tại xA sao cho bx b. Nói cách khác mệnh đề sau là đúng: xA,bx =bx.
4.2.Định lý 1
Trong một tập hợp sắp thứ tự, phần tử lớn nhất (tương ứng phần tử nhỏ nhất), nếu tồn tại, là phần tử tối đại (tương ứng ứng tối tiểu) duy nhất.
4.3. Định lý 2
Nếu một tập hợp sắp thứ tự hữu hạn có một phần tử tối đại (tương ứng tối tiểu) duy nhất thì phần tử đó chính là phần tử lớn nhất (tương ứng nhỏ nhất).
Chú ý
Định lý trên sẽ khơng cịn đúng nếu bỏ đi điều kiện hữu hạn của tập hợp.
Ví dụ 4. Cho tập E = {a, b, c} và A E \ ,E . Tìm phần tử tối tiểu và phần tử tối đại của ( , )A .
Giải
Phần tử tối tiểu của ( , )A là: {a}, {b}, {c}.
Phần tử tối đại của ( , )A là: {a, b}, {a, c}, {b, c}.
Luyện tập 4. Cho A = {2; 4; 5; 6; 8; 12}. Tìm các phần tử tối tiểu và phần tử tối đại của (A, |).
4.4. Định nghĩa (phần tử chặn dưới và phần tử chặn trên)
Xét tập hợp có thứ tự ( , )A và B A:
i) aA là một chặn dưới của B nếu xB ta có ax.
Phần tử lớn nhất của tập hợp {/ là chặn dưới của B} được kí hiệu là inf(B) ii) bA là một chặn trên của B nếu xB ta có xb.
Phần tử bé nhất của tập hợp {bA/a là chặn trên của B} được ký hiệu sup(B).
Ví dụ 5. Trong ( , ), xét tập Ax |x2 100 . Tìm sup(A) và inf(A).
Giải
Trang 18
inf(A) = -10.
Chú ý
Nếu trong tập A tồn tại phần tử maxA (tương ứng min A) thì đó cũng chính là supA (tương ứng infA)
Luyện tập 5.
Cho tập hợp X = {a, b, c} vàA X ,{ },{ },{ },{ , },{ , },{ , },{ , , }abca ba cb ca b c , Xét tập hợp có thứ tự ( , )A , trong đó x y, A x, yxy .
Giả sử B = {{a}, {a, b}, {a, c}} và C = {{a}, {c}, {a, c}}. Tìm các chận dưới, chận trên và tìm supB và infB ; supC và infC ?
5. Biểu đồ Hasse cho các tập hữu hạn được sắp thứ tự 5.1. Định nghĩa 1
Xét tập hợp có thứ tự ( , )A và x,y là hai phần tử bất kỳ của A. i) Nếu xy ta nói y là trội của x hay x được trội bởi y.
ii) y là trội trực tiếp của x nếu y trội x và không tồn tại một trội z của x sao cho
& .
xzyx zy
Ví dụ 6. Với thứ tự thông thường trên tập hợp các số nguyên Z, thì 5 là trội trực tiếp của 4 (hay 5 là đi ngay sau 4), 100 là trội trực tiếp của 99. Tuy nhiên, 100 không trội trực tiếp của 98.
Định nghĩa 2
Biểu đồ Hasse của một tập hữu hạn có thứ tự ( , )A bao gồm:
i) Một tập hợp các điểm trong mặt phẳng tương ứng 1-1 với A, gọi là các đỉnh.
ii) Một tập hợp các cung có hướng nối một số đỉnh: Hai đỉnh x, y được nối lại bởi một cung có hướng (từ x tới y) nếu y là trội trực tiếp của x.
Ví dụ 7. Xét tập hợp sắp thứ tự (A,|) = ({1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}, |) với thứ tự ước số |. Hãy vẽ biểu đồ Hasse của một tập hữu hạn có thứ tự (A, |).
Giải Biểu đồ Hasse của một tập hữu hạn có thứ tự (A, |) là:
"" "
Trang 19
Luyện tập 7.1. Xét tập hợp sắp thứ tự ( , )E {1,2, 3}, , tập hợp
,{1},{2},{3},{1,2},{2, 3},{1,2, 3}
E
gồm các tập con của E với quan hệ .
Chứng minh rằng: ( E , ) là tập hợp có thứ tự. Hãy vẽ biểu đồ Hasse của một tập hợp này.
Luyện tập 7.2. Cho biểu đồ Hasse của một tập (A, <).
Hãy xác định các phần tử của tập A và quan hệ thứ tự “<” giữa các phần tử của tập A.
Luyện tập 7.3. Vẽ biểu đồ Hasse của tập A = {1; 2; 3; 4; 5} với thứ tự thông thường.
1 2 3 2 3 4 6 8 12 a1 a2 a3 a4 a5 a6
Trang 20