hợp;+ Các tính chất: Phản xạ, đối xứng, phản xứng, và truyền.
2).Biểu diễn quan hệ: + Nêu nội dung quan hệ; + Liệt kê tập hợp; hợp;
+ Dùng ma trận.
1. Quan hệ trên các tập hợp.
1.1. Quan hệ hai ngôi trên một tập hợp. Định nghĩa 1 Định nghĩa 1
Cho hai tập hợp A, B khác rỗng. Một tập con cuả tích Đề-các A B được gọi là một quan hệ hai ngôi (binary relation) từ tập A vào tập B. Như vậy, cho quan hệ hai ngôi từ A vào B, tức là cho A B.
Một quan hệ hai ngôi từ A vào A được gọi là một quan hệ hai ngôi trên A. Nếu ( )a b, ta viết a b , ngược lại ( )a b, ta viết a b .
Chú ý. Một ánh xạ f từ A đến B cũng là một quan hệ, tuy nhiên điều ngược lại không đúng. Nói cách khác, ánh xạ là trường hợp đặc biệt của quan hệ
Ví dụ 1
Cho A = {1, 2, 3,4} và B = {3, 5}. Chứng minh rằng: Quan hệ = {(1, 4), (1, 5), (3, 3), (3, 5)} là một quan hệ hai ngôi từ A vào B.
Giải
Quan hệ = {(1, 4), (1, 5), (3, 3), (3, 5)} là một quan hệ hai ngôi từ A vào B, Vì A B .
Luyện tập 1
Chứng tỏ rằng: các quan hệ sau là các quan hệ hai ngôi trên tập hợp các số nguyên :
Trang 3 2 ( , ) |a b ab ; 3 ( , ) |a b ab ab ; 4 ( , ) |a b ab ; 5 ( , ) |a b ab 1 ; 6 ( , ) |a b ab 3 . Định nghĩa 2
Một quan hệ n- ngôi (n- ary relation) giữa các tập hợp A A A1, 2, 3,...,An là một tập con
của tích Descartes A1A2A3 ... An.
Các tập A A A1, 2, 3,...,An được gọi là miền xác định, số n là bậc và (a a1, 2,...,an) là bộ n- tọa độ (n- thành phần) của quan hệ.
Ví dụ 2. Cho tập {( , , ) | , ,x y zx y z ,x2 y2 z2} là một quan hệ 3-ngôi trên tập các số tự nhiên. Xác định một cặp phần tử của .
Giải
Theo bài ra: Tập {( , , ) | , ,x y zx y z ,x2 y2 z2} là một quan hệ 3-ngôi trên tập các số tự nhiên. Có thể thấy: (3, 4,5) , 32 42 52 .
222
(6, 8,10) , 6 8 10
Luyện tập 2
Giả sử A, N, S, D, T lần lượt là các tập hợp biểu diễn tên các hãng hàng không, số chuyến bay, các điểm đi, điểm đến và thời gian xuất phát các chuyến bay, thì một tập con các bộ 5 phần tử (a, n, s, d, t) của A NS D T là một quan hệ 5-ngôi biểu diễn các chuyến bay. Hãy xác định một phần tử của quan hệ này.
1.2. Các tính chất của quan hệ hai ngơi 1.2.1. Quan hệ phản xạ 1.2.1. Quan hệ phản xạ
Trang 4
Một quan hệ hai ngôi trên tập hợp A được gọi là có tính phản xạ (reflexive) nếu
aAa a.
Ví dụ 3
Quan hệ “ = ” trên tập hợp số bất kỳ là có tính phản xạ vì mọi số đều bằng chính nó.
Luyện tập 3.
Cho tập A = {1, 2, 3, 4}, và các quan hệ hai ngôi sau:
Chứng minh rằng: Quan hệ 1 có tính phản xạ; cịn quan hệ 2 khơng có tính phản xạ.
1.2.2. Quan hệ đối xứng Định nghĩa Định nghĩa
Một quan hệ hai ngôi trên tập hợp A được gọi là có tính đối xứng (symmetric) nếu
, &
a bA a bb a.
Ví dụ 4
Chứng minh rằng: Quan hệ = {(1, 2), (2, 1), (2, 2), 1, 3), (3, 1)} trên tập A = {1, 2, 3,4} là đối xứng.
Giải
Quan hệ = {(1, 2), (2, 1), (2, 2), 1, 3), (3, 1)} trên tập A = {1, 2, 3,4} là đối xứng.
Vì a b, A a b,( , ) ( , )b a .
Luyện tập 4. Chứng minh rằng: Quan hệ trên các tập số N, Z, Q, R khơng có tính đối xứng.
1.2.3. Quan hệ phản đối xứng Định nghĩa Định nghĩa
Một quan hệ hai ngôi trên tập hợp A được gọi là có tính phản đối xứng (antisymmetric) nếu a b, A a b, &b aab.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,1,1,2, 2,1, 2,2, 3,4, 4,1, 4,4. ; 4 , 4 , 1 , 4 , 3 , 3 , 2 , 2 , 1 , 2 , 4 , 1 , 2 , 1 , 1 , 1 2 1 = = " "
Trang 5
Ví dụ 5. Chứng minh rằng: Quan hệ trên các tập hợp trong một vũ trụ U là phản đối xứng.
Giải
Quan hệ “ ” trên các tập hợp trong một vũ trụ U là phản đối xứng, vì với hai tập hợp
, , &
A BU ABB AAB.
Luyện tập 5. Chứng minh rằng: Quan hệ = {(1, 2), (2, 1), (2, 2), 1, 3), (3, 1)} trên tập A = {1, 2, 3,4} khơng có tính phản đối xứng.
1.2.4. Quan hệ bắc cầu Định nghĩa Định nghĩa
Một quan hệ hai ngôi trên tập hợp A được gọi là có tính bắc cầu (transitive) nếu
Ví dụ 6. Chứng minh rằng: Quan hệ = {(1, 1), (2, 3), (3, 4), (2, 4)} trên tập A = {1, 2, 3, 4} có tính bắc cầu.
Giải
Quan hệ = {(1, 1), (2, 3), (3, 4), (2, 4)} trên tập A = {1, 2, 3,4} có tính bắc cầu vì khi có (2, 3),(3, 4) thì cũng có (2, 4) .
Luyện tập 6. Chứng minh rằng: Quan hệ “ ” trên các tập số N, Z, Q, R có tính bắc cầu.
2. Biểu diễn quan hệ
2.1. Biểu diễn quan hệ bằng cách nêu các tính chất đặc trưng.
Nêu tính chất đặc trưng cho quan hệ , tức là tính chất hay tiêu chuẩn để xác định các phần tử thuộc hay khơng.
Ví dụ 7.
Trên tập A = {1, 2, 3, 4, 5}, xét quan hệ được định nghĩa bởi: a bab là số lẻ.
Với quan hệ này ta có: 1 2, nhưng 1 3.
Luyện tập 7. " " c a c b b a A c b a ,,,&
Trang 6
Xét các quan hệ sau trên tập các số nguyên:
1 ( , ) |a b ab ;
2 ( , ) |a b ab ab ;
3 ( , ) |a b ab 1 ;
4 ( , ) |a b ab 3 .
Hỏi mỗi cặp sau được chứa trong các quan hệ nào ở trên: (1; 1), (1; 2), (2; 1), (1; -1).
Giải
2.2. Biểu diễn quan hệ bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp
Liệt kê tất cả các cặp hay bộ phần tử có quan hệ (nếu có ít phần tử).
Ví dụ 8
Cho A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7}.
Giả sử = {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)}. Khi đó là một quan hệ từ A vào B.
Luyện tập 8
Cho tập A = {a, b, c, d}, B = {m, n}.
Khi đó tập {( , ),( , ),( , )}a n b m c nA B là một quan hệ từ A vào B.
2.3.Biểu diễn quan hệ bằng cách sử dụng ma trận biểu diễn quan hệ
Cho là một quan hệ giữa tập A=x x1, ,...,2 xn và tập B=y y1, 2,...,yn.
Ta có thể biểu diễn quan hệ dưới dạng một ma trận không - một M, gọi là ma trận quan hệ như sau:
Các phần tử của A được sắp xếp theo một trật tự nào đó trên một cột, cịn các phần tử của B được sắp xếp theo một trật tự nào đó trên hàng. Khi đó M ( )mijm n
= được xác = được xác định: 1 0 ij ij ij xy m xy =
Ta nói được biểu diễn bởi ma trận M.Quan hệ hai ngôi và ma trậnMxác định lẫn nhau một cách duy nhất.
Trang 7
Ví dụ 9. Cho A = {2, 3, 4}, B = {5, 6, 7, 8} và = {(2; 6), (2; 8), (3; 6), 4; 8)}. Hãy xác định ma trận của quan hệ .
Giải
Biểu diễn theo cột từ trên xuống là các phần tử 2, 3, 4 của tập A, Biểu diễn theo hàng từ trái qua phải là các phần tử 5, 6, 7, 8 của tập B.
Ta có ma trận quan hệ như sau:
Luyện tập 9
Cho A = {a, b, c, d, e}, B = {x, y, z, t}. Giả sử là một quan hệ từ A vào B:
= {(a, x), (a, z), (a, t), (b, y), (b, t), (c, x), (c, y), (c, t), (d, x), (d, y), (d, z), (e, y), (e, t)}. Hãy xác định ma trận của quan hệ .
Bài 8. Quan hệ tương đương:+ Lớp tương đương;+ Sự phân hoạch