Định nghĩa
Giả sử là một quan hệ tương đương trên A và xA. Khi ấy lớp tương đương chứa x, kí hiệu x hay [ x], là tập hợp con: yA y x/
Định lí 1
Giả sử là một quan hệ tương đương trên tập hợp A. Khi ấy: a) xA x, x .
b) x y, A x y, x = y . c) Nếu x y x = y .
Vậy quan hệ tương đương phân hoạch tập hợp A thành các lớp tương đương rời nhau từng đôi một. Hai phần tử có quan hệ thì cùng thuộc một lớp tương đương. Hai phần tử khơng có quan hệ thì thuộc về hai lớp tương đương rời nhau. Mỗi phần tử trong một lớp tương đương đều là phần tử đại diện của lớp tương đương đó.
Định lí 2
Giả sử là một quan hệ tương đương trên tập hợp A. Khi đó các lớp tương đương của sẽ lập nên một phân hoạch của tập A. Ngược lại, với mỗi phân hoạch đã cho
A ii / I của tập A, tồn tại một quan hệ tương đương có các tập con Ai là các lớp tương đương của nó.
Trang 11
Xét quan hệ trên : x yx3 12xy3 12y
Chứng minh rằng: là một quan hệ tương đương. Hãy lập các lớp tương đương tạo bởi các phần tử đại diện: {0;2;-5} .
Giải Xét {0;2;-5} ta có các lớp tương đương: 3 [0]= x |x 0 x |x 12x 0 0;2 3; 2 3 . 3 [2]= x |x 2 x |x 12x 16 2; 4 . 3 [-5]= x |x ( 5) x |x 12x 65 5 . Luyện tập 3
Chứng minh rằng: Quan hệ trên tập : m nm2 n2. Là quan hệ tương đương. Xác định các lớp tương đương của .