Các luật trong đại số Boole Định lý.

+ Dạng công thức đa thức + Dạng nối rờ

1.2. Các luật trong đại số Boole Định lý.

Trang 35

Giả sử A là một đại số Boole thì x y, A ta có: 1. Luật thống trị. a) x =0 0. b) x =1 1. 2. Luật lũy đẳng. a) x =xx. b) x =xx. 3. Luật bù kép. x=x. 4. Luật trung hòa.

a) 1=0. b) 0 1= . 5. Luật hấp thụ. a) x(x y)=x. b) x(x y)=x. 6. Luật De Morgan a) (x y)= xy. b) (x y)= xy. 1.3. Tập B={0, 1} là đại số Boole

Xét tập B = {0, 1} với hai phép toán ,  được định nghĩa: x y, B a) x = + −yxyx y. .

Trang 36

Ta chứng minh được rằng tập B với hai phép toán , là một đại số Boole. Ví dụ 2. Chứng minh tính giao hốn: a) x = yyx. b) x = yyx. Chứng minh a) x = + −yxyx y. = + −yxy x. = yx. b) x =yx y. = y x. = yx. Luyện tập 2. Chứng minh tính kết hợp: a) x(y z)=(x y)z. b) x(yz)=(x y)z.

Chú ý. Đại số Boole đưa ra các phép toán và qui tắc làm việc với tập B ={0, 1} như sau:

1) Phần bù của một phần tử được định nghĩa bởi:

0 1, 1 0;==

2) Tổng Boole, ký hiệu là (+) hoặc OR (hoặc), được xác định:

1 1 1; 1 0 1; 0 1 1; 0 0+ = + = + = + =0;

3) Tích Boole, ký hiệu là (.) hoặc AND (và), được xác định:

1.1 1; 1.0= =0; 0.1 0; 0.0= =0.

Chú ý

a) Ký hiệu (.) có thể bỏ đi như các tích đại số thơng thường. b) Thứ tự thực hiện các phép toán Boole

+ Phép lấy phần bù. + Phép lấy tích Boole.

Trang 37

+ Phép lấy tổng Boole.

Phép lấy phần bù, lấy tổng và tích Boole tương ứng với các toán tử logic , ,  ; trong đó 0 tương ứng với chân trị “sai”, và 1 tương ứng với chân trị “ đúng”. Các kết quả của đại số Boole có thể được dịch trực tiếp thành các kết quả về mệnh đề. Ngược lại, các kết quả về mệnh đề cũng có thể dịch thành các khẳng định của đại số Boole.

Ví dụ 3

Tìm giá trị của biểu thức: 1.0+ +(0 1)

Giải

Ta có:

1.0+ + = + = + =(0 1) 0 1 0 0 0

Luyện tập 3

Tính giá trị của biểu thức: ( ) (0.1 + + +0 1) 1.1 1.0+

Qua định nghĩa trên ta thấy các tập hợp cùng với các phép toán kèm theo sau đây thỏa mãn tất cả tính chất đó:

a) Tập B ={0,1}với các phép toán tổng Boole (OR), tích Boole (AND) cùng với phép toán bù.

b) Tập hợp các dạng mệnh đề với các phép toán ,  và phép toán phủ định.

c) Tập hợp các tập con của tập hợp vũ trụ U với các phép toán hợp, giao cùng với phép toán lấy phần bù của tập hợp.

Trang 38

Do đó, để thiết lập các kết quả cho mỗi một biểu thức Boole, cho các mệnh đề hoặc tập hợp ta chỉ cần chứng minh các kết quả cho đại số Boole trừu tượng.