1.1.3.1 .Kết nối tri thức theo quan điểm triết học
1.5. Sơ lƣợc về một số phƣơng pháp dạy học tích cực
1.5.1. Đề – Các và phương pháp toàn năng
Đề – Các (René Descartes,1596–1650) là triết gia, nhà khoa học, nhà toán học ngƣời Pháp, trong các tác phẩm “Các nguyên tắc chủ đạo của trí tuệ” Đề – Các đã đƣa ra một “phƣơng pháp toàn năng” để giải toán với các bƣớc nhƣ sau:
Bƣớc 1: Một bài toán dạng bất kỳ đƣợc đƣa về một bài toán toán học.
Bƣớc 2: Một bài toán toán học dạng bất kỳ đƣợc đƣa về một bài toán đại số. Bƣớc 3: Một bài toán đại số dạng bất kỳ đƣợc đƣa về giải một phƣơng trình duy nhất.
Tuy ơng khơng đạt đƣợc mục đích đó cho mọi bài tốn, mọi trƣờng hợp, nhƣng từ đó cho đến nay, quy trình của ơng đã đƣợc sử dụng rộng rãi, nhất là trong giải các bài tốn bằng cách lập phƣơng trình, hệ phƣơng trình.
1.5.2. Quy trình giải một bài tốn của G. Polya
G. Polya (George Pólya, 1887-1985) là nhà tốn học, nhà sƣ phạm nổi tiếng, trong tác phẩm “Giải một bài toán nhƣ thế nào” đã đƣa ra quy trình giải một bài tốn gồm 4 bƣớc nhƣ sau:
Bƣớc 1: Xác định các dữ liệu của bài toán. Đâu là ẩn?
Đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện?
Bƣớc 2: Xây dựng chƣơng trình cho bài tốn. Các bài tốn đã gặp có liên quan.
Thống kê các dữ kiện đã cho.
Thêm, bớt, tách điều kiện, các trƣờng hợp đặc biệt. Bƣớc 3: Thực hiện chƣơng trình.
Bƣớc 4: Khảo sát lời giải tìm đƣợc. Thử tìm cách khác cho bài tốn.
Vận dụng kết quả và phƣơng pháp này cho bài toán khác. Tổng qt hóa và cá biệt hóa bài tốn.
1.5.3. Tiếp cận quy trình tốn học hóa trong các bài tốn của PISA
1.5.3.1. Vài nét về PISA
PISA (The Programme for International Student Assessment) là Chƣơng
trình đánh giá học sinh quốc tế đƣợc xây dựng và điều phối bởi tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế (OECD) vào cuối thập niên 90 và hiện vẫn diễn ra đều đặn. Khảo sát PISA đƣợc thiết kế nhằm đƣa ra đánh giá có chất lƣợng và đáng tin cậy về hiệu quả của hệ thống giáo dục (chủ yếu là đánh giá năng lực của học sinh trong các lĩnh vực Đọc hiểu, Toán học và Khoa học) với đối tƣợng là học sinh ở độ tuổi 15, tuổi sắp kết thúc chƣơng trình giáo dục bắt buộc ở hầu hết các nƣớc thành viên OECD. PISA cũng hƣớng đến thu thập thông tin cơ bản về ngữ cảnh dẫn đến những hệ quả giáo dục trên. Càng ngày PISA càng thu hút đƣợc sự quan tâm và tham gia của nhiều nƣớc trên thế giới. Do đó, PISA khơng chỉ đơn thuần là một chƣơng trình nghiên cứu đánh giá chất lƣợng giáo dục của OECD mà trở thành xu hƣớng đánh giá quốc tế, tƣ tƣởng đánh giá của PISA trở thành tƣ tƣởng đánh giá học sinh trên toàn thế giới. Các nƣớc muốn biết chất lƣợng giáo dục của quốc gia mình nhƣ thế nào, đứng ở đâu trên thế giới này đều phải đăng ký tham gia PISA. PISA không kiểm tra kiến thức thu đƣợc tại trƣờng học mà đƣa ra cái nhìn tổng quan về khả năng phổ thông thực tế của học sinh. Bài thi chú trọng khả năng học sinh vận dụng kiến thức và kĩ năng của mình khi đối mặt với nhiều tình huống và những thử thách liên quan đến các kĩ năng đó. Nói cách khác, PISA đánh giá khả năng học sinh vận dụng kiến thức và kĩ năng đọc để hiểu nhiều tài liệu khác nhau mà họ có khả năng sẽ gặp trong cuộc sống hàng ngày; khả năng vận dụng kiến thức Toán học vào các tình huống liên quan đến tốn học; khả năng vận dụng kiến thức khoa học để hiểu
và giải quyết các tình huống khoa học. Cấu trúc bài thi PISA đƣợc thiết kế theo khung đánh giá của OECD, xác định rõ phạm vi kiến thức, các kĩ năng liên quan đến từng lĩnh vực và đƣa ra những câu hỏi mẫu để hƣớng dẫn các nƣớc xây dựng câu hỏi đóng góp cho OECD. Khảo sát PISA đánh giá học sinh ở độ tuổi 15 (15 năm 3 tháng đến 16 năm 2 tháng). Đây là một cuộc khảo sát theo độ tuổi chứ không phải theo cấp bậc lớp học. Mục đích của cuộc khảo sát là nhằm đánh giá xem học sinh đã đƣợc chuẩn bị để đối mặt với những thách thức của cuộc sống xã hội hiện đại ở mức độ nào trƣớc khi bƣớc vào cuộc sống.
1.5.3.2. Quy trình tốn học hóa trong các bài tốn của PISA
Trên cơ sở ý tƣởng một số kết quả nghiên cứu đã có, ta cần quan tâm đến những ý sau:
Các bài toán của PISA đều xuất phát từ bối cảnh, tình huống và những vấn đề thực tiễn của cuộc sống có thể xảy ra hàng ngày. Các bài tốn bao phủ tồn bộ nội dung tốn cơ bản phổ thơng, đƣợc thiết kế dƣới dạng các bài tập rất sinh động, có hình ảnh, bảng biểu, đồ thị minh họa và thách thức ngƣời giải bởi lời dẫn và cách đặt các câu hỏi từ dễ đến khó. Hai đặc điểm nổi trội làm nên tính đặc thù của các bài tốn PISA là thế giới thực tiễn và thế giới toán học. Do các bài tốn PISA ln xuất phát từ các tình huống thực tiễn thƣờng ngày trong cuộc sống và đƣợc giải quyết bởi các cơng cụ tốn học nên sẽ phát sinh việc “dịch mã” từ ngôn ngữ, yêu cầu thực tế sang ký hiệu, ngơn ngữ tốn học, chúng ta gọi là q trình tốn học hóa. Q trình tốn học hóa này trong các bài tốn của PISA đi theo một quy trình thống nhất nhƣ sau:
Giai đoạn thứ nhất: Quy trình tốn học hóa bắt đầu bằng việc chuyển bài
toán từ thế giới thực sang bài toán của thế giới toán học. Quá trình này bao gồm các hoạt động nhƣ: xác định lĩnh vực toán học phù hợp với một vấn đề đƣợc đặt ra trong thực tế; biểu diễn vấn đề theo một cách khác, bao gồm việc tổ chức nó theo các khái niệm toán học và đặt những giả thuyết phù hợp; hiểu các mối quan hệ giữa ngôn ngữ của vấn đề với ngơn ngữ kí hiệu và hình thức cần thiết để hiểu vấn đề một cách tốn học; tìm những quy luật, mối quan hệ và những bất biến, nhận ra các khía cạnh tƣơng đồng với các vấn đề đã biết; chuyển vấn đề sang lĩnh vực toán học,
chẳng hạn nhƣ thành một mơ hình tốn.
Giai đoạn thứ hai: Phần suy diễn của quy trình mơ hình hóa. Một khi học
sinh đã chuyển thể đƣợc vấn đề thành một bài tốn, tồn bộ q trình có thế tiếp tục trong tốn học. Các em sẽ nỗ lực làm việc trên mơ hình của mình về hồn cảnh vấn đề, để điểu chỉnh nó, để thiết lập các quy tắc, để xác định các nối kết và để sáng tạo nên một lập luận toán học đúng đắn. Phần này của q trình tốn học hóa bao gồm: dùng và di chuyển giữa các biểu diễn khác nhau; dùng ngơn ngữ kí hiệu, hình thức, kĩ thuật và các phép tốn; hồn thiện và điều chỉnh các mơ hình tốn; kết hợp và tích hợp các mơ hình; lập luận; tổng qt hóa.
Giai đoạn thứ ba: Giai đoạn cuối cùng trong việc giải quyết một vấn đề liên
quan đến việc phản ánh về tồn bộ q trình tốn học hóa và các kết quả. Ở đây, học sinh phải giải thích các kết quả với một thái độ nghiêm túc ở tất cả các giai đoạn của q trình, nhƣng nó đặt biệt quan trọng ở giai đoạn kết luận. Những khía cạnh của q trình phản ánh và cơng nhận này là: hiểu lĩnh vực và các hạn chế của các khái niệm toán học, phê phán mơ hình và các hạn chế của nó; phản ánh về các lập luận tốn học, giải thích, lời giải và kiểm tra các kết quả
Quy trình 5 bƣớc tốn học hóa
Bƣớc 1. Bắt đầu từ một vấn đề đƣợc đặt ra trong thực tế.
Bƣớc 2. Tổ chức các vấn đề thực tiễn theo các khái niệm toán học và xác định các yếu tố tốn học tƣơng thích.
Bƣớc 3. Đƣa bài tốn thốt dần khỏi thực tiễn thơng qua các q trình: Đặt giả thiết, khái qt hóa, mơ hình hóa theo ngơn ngữ tốn, chuyển thành vấn đề của toán học.
Bƣớc 4. Giải quyết yêu cầu bài toán.
Bƣớc 5. Kết luận lời giải bài tốn có ý nghĩa theo nghĩa của yêu cầu bài toán, bao gồm cả việc xác định những sai lầm của lời giải.
1.5.4. Phương pháp chung để giải các bài tốn có nội dung thực tiễn.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập đƣợc sử dụng với những ý khác nhau về phƣơng pháp dạy học: Đảm bảo đƣợc trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,… Kết quả của lời giải phải đáp ứng do nhu
cầu thực tế đặt ra. Ta đã biết rằng khơng có một thuật giải tổng qt để giải mọi bài toán, ngay cả đối với những lớp bài tốn riêng biệt cũng có trƣờng hợp có, trƣờng hợp khơng có thuật giải. Bài toán thực tiễn trong cuộc sống là rất đa dạng, phong phú xuất phát từ những nhu cầu khác nhau trong lao động sản xuất của con ngƣời. Do vậy càng khơng thể có một thuật giải chung để giải quyết các bài toán thực tiễn. Tuy nhiên, trang bị những hƣớng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tịi, phát hiện cách giải bài tốn lại là có thể và cần thiết.
Dựa trên những tƣ tƣởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya về cách thức giải bài toán đã đƣợc kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, kết hợp với những đặc thù riêng của bài toán thực tiễn, có thể nêu lên phƣơng pháp chung để giải bài tốn có nội dung thực tiễn nhƣ sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung của bài tốn. Tốn học hố bài tốn, chuyển bài tốn với những ngơn ngữ, những dự kiện trong cuộc sống thực tế thành bài toán với ngơn ngữ tốn học, các dữ kiện đƣợc biểu thị bằng các ẩn số, các con số,…Các ràng buộc giữa các yếu tố trong bài toán thực tiễn đƣợc chuyển thành các biểu thức, các cơng thức hình học… Bƣớc này có ý nghĩa rất quan trọng đối với việc giải quyết một bài tốn có nội dung thực tiễn, đồng thời nó cũng phản ánh khả năng, trình độ của ngƣời học đối với việc hiểu và vận dụng các tri thức toán học.
Bước 2: Tìm cách giải cho bài tốn đã đƣợc thiết lập. Tìm tịi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đốn: Biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tƣơng tự, một trƣờng hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài tốn nào đó có liên quan, sử dụng những phƣơng pháp đặc thù với những dạng toán. Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bƣớc thực hiện hoặc đặc biệt hố kết quả tìm đƣợc hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan,…
Bước 3: Trình bày lời giải. Từ cách giải đã đƣợc phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chƣơng trình gồm các bƣớc thực hiện theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bƣớc đó.
thƣờng là một kết quả đo đạc, một phƣơng án, một kế hoạch sản xuất,… do thực tiễn đặt ra. Đồng thời cần có sự nghiên cứu sâu lời giải, nghiên cứu khả năng ứng dụng của kết quả của lời giải. Nghiên cứu những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề. Đây là hoạt động nhằm phát huy khả năng tƣ duy, tìm tịi sáng tạo học sinh. Để trang bị cho HS tri thức phƣơng pháp giải bài tốn có nội dung thực tiễn nhƣ đã nêu trên và cần tăng cƣờng rèn luyện cho học sinh khả năng và thói quen ứng dụng kiến thức, kỹ năng và phƣơng pháp toán học vào những tình huống cụ thể khác nhau (trong học tập, trong lao động sản xuất, trong đời sống,…).