Các mơ hình (2), (3), (4) và (5) được ước lượng bằng phương pháp hồi quy tuyến tính cho số liệu mảng, sử dụng mơ hình hiệu ứng cố định (Fixed effect model - FEM) hoặc hiệu ứng ngẫu nhiên (Random effect model – REM). Để lựa chọn giữa FEM và REM, đầu tiên cả hai mơ hình này được ước lượng thử. Sau đĩ kiểm định Hausman được sử dụng để so sánh kết quả ước lượng hai mơ hình và đánh giá xem mơ hình nào là phù hợp hơn với bộ dữ liệu.
Phương pháp FEM
Xét một mối quan hệ, với biến phụ thuộc Y, và hai biến độc lập X1 và X2. Mơ hình hồi quy hiệu ứng cố định là một dạng mở rộng của mơ hình hồi quy tuyến tính cổ điển mà trong đĩ sai số được phân tách thành hai bộ phận:
Yit = β1X1it + β2X2it + νit + εit
Bộ phận vit đại diện cho các yếu tố khơng quan sát được khác nhau giữa các đối tượng nhưng tất định theo thời gian. Thành phần εit đại diện cho những yếu tố khơng quan sát được khác nhau giữa các đối tượng và thay đổi theo thời gian, được xem là thỏa mãn các giả định của hồi quy tuyến tính thơng thường.
Mơ hình FEM cĩ thể được ước lượng bằng hồi quy bình phương tối thiểu cĩ sử dụng biến giả với mỗi biến giả là đại diện cho một đối tượng quan sát của mẫu hoặc ước lượng tác động cố định (Fixed effects estimator). Do trong nghiên cứu này, số lượng các đối tượng nhỏ hơn nhiều số quan sát nên phương pháp ước lượng sử dụng biến giả là hồn tồn khả thi, vấn đề giảm bậc tự do khi bổ sung biến giả vào mơ hình là khơng đáng lo ngại.
Phương pháp REM
Trong mơ hình REM, sai số cổ điển được phân tách thành hai bộ phận: νit đại diện cho các yếu tố khơng quan sát được mà thay đổi giữa các đối tượng nhưng tất định theo thời gian, εit đại diện cho các yếu tố khơng quan sát được mà thay đổi giữa các đối tượng và thời gian, tương tự như trong mơ hình FEM. Tuy nhiên mơ hình REM cĩ thêm giả định rằng:
vit = α0 + ωit
Tức là vit lại được phân chia làm hai bộ phận: α0 bất định và ωi ngẫu nhiên. Giả định rằng, ωi cho mỗi đối tượng là kết quả của một phân phối xác suất độc lập với giá trị trung bình bằng 0 và phương sai đồng nhất và ωi của các đối tượng khơng tương quan với nhau: E(ωit) = 0, Var(ωit) = sω2, Cov(ωi,ωs) = 0.
Ước lượng OLS cho mơ hình REM bỏ qua sự tự tương quan trong thành phần sai số μit, dẫn tới ước lượng các tham số khơng hiệu quả. Do đĩ, cần ước lượng REM bằng phương pháp GLS khả thi (FGLS). Ước lượng FGLS cịn được gọi là ước lượng tác động ngẫu nhiên (Random effects estimator).
Kiểm định Hausman
Trước hết, kết quả ước lượng của FEM được kiểm chứng bằng kiểm định F với giả thuyết H0 cho rằng tất cả các hệ số vi đều bằng 0 về mặt thống kê, tức khơng cĩ sự khác biệt giữa các đối tượng hoặc các thời kỳ. Nếu giả thuyết H0 được bác bỏ thì ước lượng bằng FEM là phù hợp. Trong khi đĩ, ước lượng của REM được kiểm định bằng phương pháp nhân tử Lagrange và kiểm định Breusch-Pagan. Theo đĩ, giả thuyết H0
cho rằng phương sai của sai số theo các đối tượng hoặc các thời kỳ là đồng nhất. Nếu giả thuyết này được bác bỏ thì tức là sai số trong ước lượng cĩ bao gồm cả sự sai lệch giữa các đối tượng hoặc thời kỳ và REM là phù hợp.
Kiểm định Hausman được sử dụng để lựa chọn giữa FEM và REM. Giả thuyết H0 của kiểm định này cho rằng khơng cĩ tương quan giữa sai số đặc trưng của mỗi đối tượng (vi) với các biến độc lập. Nếu giả thuyết này được bác bỏ thì các ước lượng theo FEM hiệu quả hơn REM, nên FEM được lựa chọn. Ngược lại, nếu khơng bác bỏ được H0 thì REM được lựa chọn.
HH: CovX, v ≠ 0: CovX, v = 0
Giả sử với một mơ hình hồi quy, kết quả ước lượng hệ số hồi quy β theo FEM và REM lần lượt là βFE và βRE. Trong kiểm định Hausman, giá trị thống kê được sử dụng là H tính theo cơng thức sau:
H = (βRE – βFE)’[Var(βRE) – Var(βFE)]-1(βRE – βFE).
Theo giả thuyết H0, với mẫu lớn, H cĩ phân phối xác suất Chi bình phương 2, với bậc tự do bằng số biến trong mơ hình. Giá trị của H tính theo mẫu được so sánh với giá trị tới hạn của phân phối Chi bình phương. Nếu H lớn hơn giá trị tới hạn thì giả thuyết H0 bị bác bỏ, tức là cĩ tương quan giữa sai số đặc trưng của mỗi đối tượng với các biến độc lập và ước lượng theo FEM hiệu quả hơn REM.