7. Những đóng góp của luận văn
2.2.2. Rèn luyện khả năng mô hình hóa
Khả năng mô hình hóa là khả năng chuyển các bài toán thực tiễn về bài toán toán học, mà bằng kiến thức của mình HS có thể giải quyết bài toán đó.
Khả năng xây dựng mô hình toán học là một thành tố của năng lực THH tình huống thực tiễn, là cơ sở cho phương pháp mô hình hóa của HS.
2.2.2.1. Rèn luyện ngôn ngữ cho HS
Xây dựng một mô hình toán học cho một tình huống thực tiễn chính là mô tả tình huống đó bằng ngôn ngữ toán học. Bởi vậy, phát triển năng lực THH tình huống thực tiễn không tách rời việc rèn luyện ngôn ngữ cho người học. Theo các tác giả Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc thì "Toán học theo một nghĩa nào đó là thứ ngôn ngữ để mô tả những tình huống cụ thể nảy sinh trong nghiên cứu khoa học, hoặc trong hoạt động thực tiễn của con người" [18, tr.96].
* Ở đây, chúng ta có hai loại ngôn ngữ cần phân biệt là ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Đối với con người, ngôn ngữ là phương tiện để giao tiếp, là
biểu hiện của tư duy. Thông qua giao tiếp để truyền đạt và lĩnh hội thông tin, cá
nhân thể hiện trình độ nhận thức, vốn văn hóa và tính cách của mình. Con người sống trong cộng đồng được trang bị ngôn ngữ tự nhiên của cộng đồng đó, đó là một loại ngôn ngữ hỗn tạp, hay có, dở có, có cái chuẩn, cái chưa chuẩn. Trong quá trình hình thành và phát triển nhân cách của mỗi cá nhân có sự sàng lọc về ngôn ngữ, làm cho nó ngày càng chuẩn xác và trong sáng hơn. Đặc biệt, khi các ngành khoa học hình thành và phát triển, một cách rất tự nhiên xuất hiện "tiếng nói riêng" của chúng: ngôn ngữ toán học, ngôn ngữ văn học, ngôn ngữ vật lí, ngôn ngữ hóa học,..
Ngôn ngữ toán học là ngôn ngữ được xây dựng trên hệ thống các ký hiệu toán học và các thuật ngữ toán học, hình vẽ, mô hình, biểu đồ, đồ thị,… có tính chất quy ước nhằm diễn đạt các nội dung toán học được chính xác, logic và ngắn gọn. Ngôn ngữ toán học có hai phương diện: ngữ nghĩa và cú pháp. Trong toán học, người ta phân biệt cái kí hiệu và cái được kí hiệu; cái biểu diễn và cái được biểu diễn. Nếu xem xét phương diện những cái kí hiệu, những cái biểu diễn, đi vào cấu trúc hình thức để xác định và biến đổi chúng thì đó là phương diện cú pháp. Nếu xem xét phương diện những cái được kí hiệu, những cái được biểu diễn tức là đi vào nội dung, nghĩa của những cái kí hiệu, nghĩa của những cái biểu diễn thì đó là phương diện ngữ nghĩa (dẫn theo[24, tr.80]). Theo các tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình, ngôn ngữ toán học khác với ngôn ngữ tự nhiên ở chỗ: tính gọn gàng, khả năng biểu đạt chính xác các tư tưởng toán học, rất thích hợp trong việc biểu đạt được các quy luật chung do ngôn ngữ toán học có sử dụng ngôn ngữ biến [18, tr.95]. Chẳng hạn, sự ra đời của số 0 cho phép loài người xóa bỏ hệ thống tính từng cấp và phát triển hệ thống tính thập phân. Sự ra đời của các ký hiệu tích phân, vi phân cho phép con người giải quyết dễ dàng các bài toán tính diện tích, tính thể tích, các bài toán về cơ học,... mà trước đây chỉ có các nhà toán học tầm cỡ mới giải quyết được (dẫn theo [32]). Khoa học Toán học ngày càng phát triển, ngôn ngữ toán học cũng không ngừng cải tiến và ngày càng chính xác tinh vi hơn, xuất hiện xu hướng phát triển ngôn ngữ các chuyên môn hẹp: ngôn ngữ đại số, ngôn ngữ
Theo chúng tôi, việc rèn luyện ngôn ngữ cho HS đều phải thông qua hoạt động ngôn ngữ. Theo Nguyễn Bá Kim thì: "Những hoạt động ngôn ngữ được HS thực hiện khi họ được yêu cầu phát biểu, giải thích một định nghĩa, một mệnh đề nào đó, đặc biệt là bằng lời lẽ của mình, hoặc biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác, chẳng hạn từ dạng kí hiệu toán học sang dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc ngược lại." [22, tr.100]. Thông qua các dạng hoạt động này, GV rèn luyện cho HS cả về ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Để đạt được mục đích nói trên, cần thực hiện những vấn đề sau đây:
a) Rèn luyện ngôn ngữ toán học và ngôn ngữ tự nhiên cho HS thông qua học tập môn toán
Hoạt động này giúp GV kiểm tra mức độ nhận thức của người học, mặt khác, thông qua đó để rèn luyện cho HS cả về ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Không những thế, sự diễn đạt các tình huống theo nhiều cách khác nhau còn là cơ sở cho việc đa dạng hóa mô hình mô tả các sự kiện, hiện tượng. Bởi vậy, cần phải chú ý tổ chức hoạt động này trong cả quá trình dạy học Toán.
Thứ nhất, khi dạy học những định nghĩa, định lý, cần khuyến khích HS phát biểu những nội dung này theo cách hiểu riêng của họ và dưới nhiều hình thức khác nhau. Trong chương trình phổ thông, nhiều đối tượng toán học được định nghĩa bằng nhiều cách khác nhau, nhiều định lý toán học cũng có thể thay đổi một vài điều kiện để được một mệnh đề tương đương. Bởi vậy, trong quá trình dạy học Toán cần khuyến khích HS phát biểu định nghĩa, định lý theo cách hiểu riêng của họ và dưới nhiều hình thức khác nhau để góp phần đạt được mục đích.
Ví dụ 2.13. Chẳng hạn, trong hình học 10, Định lí Cô sin trong tam giác có các
cách phát biểu khác nhau:
Trong tam giác ABC bất kì với BCa CA b AB, , c , ta có
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .cos 2 .cos 2 .cos a b c bc A a b c bc A a b c bc A Các cách khác là:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . .cos 2 . .cos 2 . .cos AB AC BC AC BC C AC AB BC AB BC B BC AB AC AB AC A
2. Phát biểu bằng lời: Trong tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cô sin góc xen giữa hai cạnh đó.
Trong các lĩnh vực riêng của ngôn ngữ toán học, ngôn ngữ đại số xâm nhập vào hình học, tạo nên xu thế “đại số hóa hình học”, làm cho bộ môn Hình học trong nhà trường phổ thông trở thành Hình học giải tích. Các đối tượng của Hình học tổng hợp là điểm, đường thẳng, đường tròn, mặt phẳng, tứ diện,… chúng là mô hình của một số vật thể trong không gian. Qua vấn đề “đại số hóa” chúng trở thành bộ số, phương trình, hệ phương trình,… Do đó, những yếu tố đại số này
cũng có thể coi là những mô hình toán của các vật thể trong không gian. Như
vậy, với việc “đại số hóa hình học”, phạm vi mô tả các tình huống thực tiễn của ngôn ngữ đại số được tăng lên. HS có nhiều cách mô tả tình huống, làm cho khả
năng THH tình huống thực tiễn cũng được cải thiện.
Thứ hai, yêu cầu HS diễn đạt lại tình huống hay bài toán có nội dung thực tiễn do GV ủy thác bằng cách hiểu riêng của mình. Một tình huống do HS quan sát được hay một nguồn tin khác đưa lại, chưa thể chuyển ngay sang ngôn ngữ toán học để mô tả. Cần phải chính xác hóa tình huống, nghĩa là phải loại bỏ những gì không phải là bản chất (do chủ thể quan niệm), những mối quan hệ thứ yếu, sắp xếp lại theo tình tự logic. Giai đoạn này hàm chứa quá trình phân tích, tổng hợp, so sánh, lý tưởng hóa, để có thể rút ra được những vấn đề cốt lõi nhất của tình huống, là quá trình xây dựng mô hình định tính cho tình huống thực tiễn. Đây là cơ hội cho người
học tham gia hoạt động ngôn ngữ, cần hướng dẫn HS sử dụng ngôn ngữ diễn đạt
ngắn gọn, chuẩn xác, biểu đạt đầy đủ nội dung. GV cần chú ý lắng nghe diễn đạt của HS và sửa chữa cho họ, tuyệt đối không cắt ngang hay chối từ các phương án của HS trình bày. Phải biết rằng để HS nói đúng, viết đúng cần phải tập luyện rất nhiều và đây cũng là một cơ hội để thực hiện điều đó. Một điều cần chú ý đối với GV là cần cẩn trọng trong giao tiếp với HS, bởi vì cách giao tiếp của thầy cô ảnh
giáo, và thật tai hại nếu đó không phải là chuẩn mực. Bởi vậy, thầy giáo nên sử dụng ngôn ngữ chính xác, đúng mực, diễn đạt trôi chảy, giản dị, đủ ý, tường minh
và ngắn gọn. Mặt khác, như đã nói ở trên, ngôn ngữ là biểu hiện của tư duy nên tất
cả mọi hiểu biết của HS đều bộc lộ qua hoạt động ngôn ngữ. Trên cơ sở đó, GV nắm được tình hình người học hiểu biết về tình huống thực tiễn đến mức độ nào để có phương án dạy học tiếp theo cho phù hợp.
b) Tăng cường sử dụng ngôn ngữ toán học mô tả, giải thích các sự kiện, hiện tượng trong thực tiễn.
Khi yêu cầu HS giải thích các sự kiện, hiện tượng trong thực tiễn bằng các kiến thức toán, họ phải nỗ lực tư duy mới có thể đáp ứng được. Họ phải thực hiện thao tác lý tưởng hóa, lược bỏ những yếu tố thuộc về “chất”, chỉ giữ lại quan hệ toán học. Đây cũng là những thành tố của năng lực THH tình huống thực tiễn cần được rèn luyện ở người học. Không những thế, HS còn phải sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học để cấu trúc lại những kết quả của các thao tác nói trên thành câu để biểu đạt ra ngoài theo hình thức nói hoặc viết. Thông qua quá trình này, người học được tôi luyện cả về ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học theo tinh thần mô tả tình huống thực tiễn một cách chuẩn xác. GV cần chú ý cách diễn đạt của người học, kịp thời sửa chữa cho họ những sai phạm về mặt ngôn ngữ cũng như kiến thức toán học mà họ đã sử dụng.
Ví dụ 2.14: Khi dạy học về sự xác định
mặt phẳng ở lớp 11, có thể đặt ra câu hỏi tại sao Cửu đỉnh ở Hoàng thành Huế lại có 3 chân? (Hình 2.6)
Về mặt toán học, ba đầu mút chân trụ mỗi đỉnh ở kinh thành Huế (hay kiềng 3 chân) có thể coi là ba điểm không thẳng hàng. Bởi vậy, chúng luôn nằm trên một mặt phẳng, do đó không rơi vào tình trạng khập khễnh.
Ví dụ 2.15: Một cửa hàng bán cà phê pha sẵn với giá 10 đồng/cốc. Với giá
bán này, cửa hàng bán được khoảng 25 cốc một ngày. Cửa hàng dự định giảm giá, Hình 2.6
ước tính, cứ giảm 2 đồng thì số cốc bán ra sẽ tăng thêm được 40 cốc một ngày. Xác định giá bán để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng vốn bỏ ra là 5 đồng một cốc.
Trong tình huống thực tiễn này, đòi hỏi HS phải sử dụng ngôn ngữ toán học mô tả tình huống.
- Gọi x đồng là giá bán thực tế của một cốc cà phê. (5 x 10), lãi là x5 (đồng/cốc). Giá giảm là 10x (đồng).
HS phải nỗ lực tư duy để phát hiện ra quy luật :
Cứ giảm 2 đồng thì số cốc bán ra tăng thêm được 40 cốc suy ra giảm 1 đồng thì số cốc bán ra tăng thêm 20 cốc, và từ đó giảm 10x (đồng) thì số cốc tăng thêm là 20. 10 x (cốc).
- Số cốc bán ra tương ứng với giá bán x đồng là 20. 10 x 25225 20 x (cốc). - Gọi P(x) là hàm lợi nhuận thu được (P(x) đồng).
Ta có P(x)225 20 xx5= 2
20x 325x 1125
Tình huống được mô tả bằng bài toán : Tìm x để P(x) đạt giá trị lớn nhất. Nếu thường xuyên chú ý yêu cầu HS giải thích các sự kiện, hiện tượng trong thực tiễn bằng các kiến thức toán học thì có thể đạt được mục đích kép: một mặt, rèn luyện cho người học về ngôn ngữ; mặt khác có thể hình thành cho họ kỹ năng xây dựng sơ đồ của hiện tượng, sao cho chỉ giữ lại yếu tố cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt toán học.
c) Trong việc rèn luyện ngôn ngữ toán học cho HS, cần chú trọng cả hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp.
Trong các công trình của mình [31], [32], các tác giả Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Hữu Hậu đã chỉ ra các sai lầm có liên quan đến vấn đề ngôn ngữ, cụ thể là những sai lầm của HS có liên quan đến ngữ nghĩa và cú pháp. Điều này ảnh hưởng rất lớn đến việc sử dụng ngôn ngữ toán học trong việc mô tả các tình huống thực tiễn. Ta có thể dẫn ra đây một vài ví dụ:
Ví dụ 2.16: HS diễn đạt thuật ngữ “biến cố ngẫu nhiên” trong một số tình huống cụ thể không đúng về mặt cú pháp. Chẳng hạn, đối với bài toán sau:
Viết ngẫu nhiên một số có 3 chữ số. Tính xác suất để số viết ra có 3 chữ số đôi một khác nhau.
Ở đây, lẽ ra phải đặt biến cố A: “Viết ra được số có 3 chữ số đôi một khác nhau” để tính xác suất của biến cố này thì không ít HS lại đặt A: “Xác suất viết ra được số có ba chữ số khác nhau bằng bao nhiêu?”. Rõ ràng sự diễn tả biến cố ngẫu nhiên của người học là không đúng về mặt cú pháp, vì rằng biến cố ngẫu nhiên là một sự kiện được diễn tả bởi một mệnh đề, đó là một câu khẳng định.
Ví dụ 2.17: Khi sử dụng các khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp để giải quyết các vấn
đề liên quan đến các tình huống thực tiễn, HS thường mắc các sai lầm sau đây: - Sử dụng các kiến thức về tổ hợp vận dụng vào trong các trường hợp cụ thể thường lẫn lộn giữa các công thức:
( 1)( 2)...( 1)
k n
A n n n n k và Cnk n k n k!/ !( )! - Nhiều HS khi làm việc với k
n
C , có thói quen diễn đạt là "tổ hợp chập k của n"; với ký hiệu k
n
A diễn đạt là "chỉnh hợp chập k của n". Mặc dù, khi sử dụng công thức, họ vẫn thực hiện đúng, nhưng điều đó xét về mặt ngữ nghĩa là hoàn toàn sai lầm. Nguyên nhân chính dẫn đến các sai lầm này là người học không nắm được mặt ngữ nghĩa của các công thức, ký hiệu toán học.
Nếu chú trọng về mặt ngữ nghĩa của các thuật ngữ, ký hiệu thì không những không mắc sai lầm mà còn nâng cao khả năng sử dụng của chúng. Chẳng hạn, nếu nắm chắc phương diện ngữ nghĩa của ký hiệu k
n
C là biểu đạt số các tập con k phần tử của tập n phần tử thì HS có thể mau chóng tìm ra cách chứng minh công thức k n k
n n
C C . Phát hiện ra sai lầm có liên quan đến ngôn ngữ toán học và kịp thời sửa chữa các sai lầm đó là tăng cường "vốn" ngôn ngữ cho người học, tạo điều kiện cho họ mô tả tình huống thực tiễn một cách chuẩn xác. Từ đó, trong dạy học Toán cần lưu ý với người học các vấn đề sau đây:
- Luôn luôn có ý thức kiểm tra các công thức đưa ra dùng đã đúng chưa, các kí hiệu, thuật ngữ dùng trong giao tiếp bằng ngôn ngữ toán học có đúng với quy ước không?
xem xét việc vận dụng ngôn ngữ toán học vào các tình huống cụ thể này có tương hợp hay không?
- Khi dùng ngôn ngữ toán học để trình bày chứng minh, cần tự đặt ra các câu hỏi cho mình: suy luận đã thực sự hợp logic chưa? Có sử dụng thuật toán nào không? Nếu sử dụng thì đã đầy đủ các bước của thuật toán đó chưa?
d) Trong dạy học toán, cố gắng làm cho HS thấy được giữa ngôn ngữ tự nhiên,
ngôn ngữ các khoa học khác và ngôn ngữ toán học còn có khoảng cách; từ đó,