7. Những đóng góp của luận văn
2.2.3. Tổ chức cho HS khai thác các chức năng của mô hình, đồng thời kiểm tra
và điều chỉnh mô hình toán học
Mô hình toán học của tình huống thực tiễn là công cụ đắc lực giúp con người nghiên cứu khám phá các tình huống mà nó mô tả. Bởi vậy, trong dạy học toán, cần tổ chức cho HS khai thác các chức năng của mô hình, quen dần với việc sử dụng mô hình toán trong các hoạt động thực tiễn.
Bản thân mô hình cũng là một bài toán nên có thể khai thác, phục vụ cho mục đích dạy học. Mặt khác, khai thác các chức năng của mô hình mới phát hiện ra điểm còn tồn tại, làm cơ sở cho việc điều chỉnh mô hình. Thực hiện được biện pháp này có thể đạt được nhiều mục đích trong dạy học, đồng thời góp phần đưa toán học thâm nhập sâu rộng vào trong cuộc sống.
Trước khi khai thác các chức năng của mô hình, phải làm cho HS hiểu rõ về mô hình. Những vấn đề HS cần nắm chắc ở đây là: 1) Lớp đối tượng mà mô hình phản ánh; 2) Hình thức ngôn ngữ dùng để xây dựng mô hình; 3) Các yếu tố trên mô hình mô tả những khía cạnh của thực tiễn. Nếu như mô hình do người học tự xây dựng thì có thể bỏ qua công đoạn này; ngược lại, cần phải thực hiện một cách nghiêm túc, trước khi hướng dẫn HS khai thác các chức năng của nó. Trong Luận văn, chúng tôi khai thác các chức năng sau của mô hình: khai thác mô hình trên phương diện là một bài toán thuần túy toán học, phục vụ cho mục đích dạy học; rèn luyện cho HS kỹ năng sử dụng mô hình trong việc dự đoán, ước tính tình huống; biến đổi mô hình (thí nghiệm trên mô hình) theo dụng ý sư phạm khác nhau.
a) Khai thác các bài toán trên một số mô hình phục vụ cho mục đích dạy học đồng thời giúp HS nắm chắc công cụ này trong việc vận dụng vào thực tiễn.
Giải toán là hoạt động toán học chủ yếu ở trường phổ thông. Thông qua giải các bài toán, tri thức, kỹ năng được củng cố góp phần phát triển toàn diện nhân cách người học. Đối với việc giải bài toán trên mô hình, ngoài những tác dụng như trên, còn nhằm vào mục đích là tìm câu trả lời cho vấn đề thực tiễn đặt ra. Chúng tôi cho rằng, giải toán trên mô hình, theo một nghĩa nào đó, là sự chuyển đối ngôn ngữ toán học để biến mô hình toán học ban đầu về một mô hình toán học quen thuộc mà việc
giải quyết vấn đề đặt ra được dễ dàng. Năng lực giải toán của HS được thể hiện qua việc người học sử dụng ngôn ngữ toán học để giải quyết nhiệm vụ đó.
Trong chương trình môn Toán ở bậc phổ thông, các mô hình của tình huống thực tiễn có tính khái quát cao có thể kể đến là các phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, mô hình của bài toán kinh tế, hàm số mũ mô tả sự tăng trưởng (suy giảm) của sự sống,… Hệ thống các mô hình dạng này có tầm quan trọng trong dạy học, vì các lý do sau: 1) Chúng là các “chìa khóa” giúp cho người học giải quyết được một lớp các bài toán rộng rãi trong cuộc sống. 2) Nhiều mô hình còn là một bài toán hấp dẫn, có thể khai thác phục vụ mục đích dạy học. Bởi vậy, khi dạy học các mô hình dạng này cần chú ý các vấn đề sau đây:
1) Khai thác lời giải của các bài toán, góp phần phát triển trí tuệ cho người học; 2) Chỉ ra quy tắc thuật giải (hay tựa thuật giải ) của bài toán đó.
Ví dụ 2.29: Hãy xác định cách cắt đi ở 4 bốn góc tấm tôn hình chữ nhật có
kích thước 80cm50cm bốn hình vuông bằng nhau để khi gập lại được một chiếc
hộp không nắp có dung tích lớn nhất.
Đây là một bài toán tương tự Ví dụ 3 sách Giải tích 12 tr 22, không khó khăn lắm HS thực hiện được công đoạn sau:
Gọi x là kích thước của các hình vuông bị cắt đi, x tính bằng cm và x thuộc (0;25). Khi đó đáy của hình hộp được tạo ra có các kích thước là 802x;502xvà chiều cao là x. Do đó, dung tích của hình hộp không nắp là
( ) (80 2 )(50 2 ); (0;25)
V x x x x x (*)
Biểu thức (*) là mô hình toán mô tả dung tích của hình hộp. Bài toán trên mô hình này là tìm giá trị lớn nhất của V(x) trên khoảng (0;25).
Đối với HS, cách giải bài toán trên chưa được định hình rõ ràng. Đây là cơ hội để cho GV phát triển trí tuệ cho người học qua công đoạn tìm tòi lời giải. Có một HS đã lập luận như sau: V(x) đạt giá trị lớn nhất khi và chi khi 4V(x) đạt GTLN hay 4x(80 -2x)(50 -2x) đạt GTLN (với x trong khoảng (0;25). Vì
4 ;(80 2 );(50 2 )x x x là các số dương nên theo bất đẳng thức côsi, ta có:
3 3
4 80 2 50 2 130
4 (80 2 )(50 2 )x x x ( x x x) ( )
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 4x80 2 x50 2 x130 / 3. Điều này, không xảy ra. Vậy, không thể cắt được 4 góc 4 hình vuông, để gập lại được một chiếc hộp không nắp có dung tích lớn nhất(?!).
Chúng tôi đã để cho HS thảo luận cách giải quyết ở trên. Đa số các em “cảm nhận” được cách giải quyết ở trên sai ở khâu: tìm GTLN của V(x) nhưng không phát hiện ra cụ thể là sai ở điểm nào. Chúng tôi đã đặt ra câu hỏi cho người học: khẳng định 3 10 đúng hay sai? Thực tiễn cho thấy, nhiều em khẳng định là "sai"; một số khác còn lưỡng lự không trả lời. Qua đó, có thể thấy được nguyên nhân dẫn đến sai lầm của HS trong tình huống này là do không nắm chắc mặt ngữ nghĩa của kí hiệu toán họcAB. ABcó nghĩa là ABhoặcAB. Trong trường hợp
AB, có thể AB. Do đó trong trường hợp bất đẳng thức 3 3 4 80 2 50 2 130 4 (80 2 )(50 2 ) ( ) ( ) 3 3 x x x x x x
đã không xảy ra dấu "=". Qua sai lầm này của HS, ta thấy được vai trò quan trọng của ngôn ngữ trong dạy học Toán nói chung và trong việc phát triển năng lực THH tình huống thực tiễn nói riêng.
Chỉ ra sai lầm của HS ở trên là hết thức cần thiết, nhưng không nên phủ định sạch trơn tất cả những gì mà HS đã trình bày. GV nên xem lại lời giải của học trò để lượm lặt những “đốm sáng” làm cơ sở cho sự tác động của mình. Rõ ràng, suy nghĩ của HS trong cách giải trên tuy chưa hoàn hảo nhưng đã có những sáng tạo. Em đã biết biến đổi mô hình bài toán, từ việc tìm GTLN của V qua việc tìm GTLN của 4V để vế trái của nó là tích của các thừa số có tổng 130 không đổi. Phát hiện điều này thầy giáo nên có tác động: suy nghĩ của em đã đúng hướng, hãy tạo nên một bất đẳng thức dạng trên nhưng dùng được bất đẳng thức Cosi trong việc tìm giá trị lớn nhất. Mong muốn của GV là người học nhận thức ra được vấn đề và tiếp tục công việc như sau: V đạt được GTLN khi và chỉ khi 12V đạt GTLN hay
) 25 ; 0 ( ); 4 100 )( 2 80 ( 6x x x x đạt GTLN. Áp dụng bất đẳng thức cosi, ta có 3 3 60 ) 3 4 100 2 80 6 ( 12V x x x hay ) ( 18000cm3 V
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 6x802x1004x khi và chỉ khi x10cm. HS hoàn toàn có thể sử dụng công cụ hàm số và đạo hàm để giải quyết bài toán.
b) Tổ chức cho HS hoạt động sử dụng mô hình để dự đoán, ước tính kết quả của tình huống trong thực tiễn.
Mô hình có chức năng dự báo, đó là một chức năng quan trọng, có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Các tác giả như Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thụy, Bùi Huy Ngọc trong các công trình của mình,... đều rất quan tâm đến vấn đề bồi dưỡng cho HS phổ thông khả năng tính gần đúng, khả năng ước lượng, trong các hoạt động vận dụng toán học vào thực tiễn. Bởi vậy, GV cần tập luyện cho HS hoạt động này trong dạy học Toán. Trước khi HS khai thác chức năng dự đoán, ước tính của một mô hình nào đó, GV cần kiểm tra nhận thức của họ về mô hình này. Nếu mô hình được HS xây dựng thì đó là một lợi thế trong dạy học; bởi lẽ họ đã nắm vững ngôn ngữ toán học mô tả và lớp đối tượng mà nó phản ánh. Do đó, cần tận dụng các mô hình người học xây dựng được, tập luyện khai thác chức năng này. Dự đoán, ước tính của người học cũng xuất phát từ những nhu cầu tìm hiểu của cá nhân về các đối tượng mà mô hình phản ánh. Tốt nhất, GV nên hướng họ vào các vấn đề cần thiết cho cuộc sống (nếu có thể).
Nhiều bài toán trong SGK, cho sẵn trước mô hình toán, yêu cầu người học thực hiện hoạt động dự đoán, ước tính. Đối với các mô hình dạng này, cần kiểm tra người học về nhận thức của họ đối với chúng. Có thể minh họa những vấn đề đó bằng ví dụ sau trong dạy học phần tích phân ở lớp 12.
Ví dụ 2.30: Hình 2.21. là một đồ thị mô tả vận tốc (tính bằng m/s) của một động tử theo thời gian.
1) Hãy cho biết động tử chuyển động trong khoảng thời gian là bao lâu và ước lượng độ dài quãng đường đi được của nó?
2) Biết rằng đồ thị trên là một phần của một đường Parabol, với dữ kiệu trên hình vẽ, tính chính xác độ dài quãng đường mà động tử đi được trong thời gian chuyển động. So sánh kết quả này với kết quả đã ước lượng.
Rõ ràng, mô hình toán học đã cho sẵn và bài toán cũng đã chỉ rõ đối tượng mà nó phản ánh là quy luật biến thiên vận tốc của một chuyển động và yếu tố mà người học cần ước lượng (qua câu 1). Có thể kiểm tra nhận thức của người học, qua một số câu hỏi sau:
1) Mô hình toán dùng loại hình ngôn ngữ nào mô tả? Thời gian mà động tử chuyển động là bao nhiêu?
2) Quãng đường đi được của động tử (yếu tố cần dự đoán) được mô tả bằng yếu tố nào trên mô hình? Có thể ước lượng đại lượng đó trên mô hình hay không?
Những gợi ý của GV nhằm giúp người học thực hiện được các hoạt động mà bài toán yêu cầu. Gợi ý 1) giúp người học nắm được mô hình của tình huống, từ đó nhận ra thời gian chuyển động của động tử là 4s. Gợi ý 2) của GV là một tác động buộc người học phải động não. Để trả lời được câu hỏi này, HS cần nắm vững khái niệm tích phân và các vấn đề khác có liên quan. Ở đây, GV hy vọng người học nhận ra diện tích của hình phẳng dưới hạn bởi đồ thị và trục hoành biểu diễn quãng đường đi được của động tử và đó là cơ sở cho việc ước lượng đại lượng này. Từ đó, người học dựa vào lưới các ô vuông trên hình vẽ để thực hiện hoạt động dự đoán, ước tính. Chẳng hạn HS đưa ra kết quả, quãng đường động tử đi được xấp xỉ 10,5 m. Câu 2 nhằm kiểm nghiệm dự đoán ước tính của HS trong tình huống này. Tuy nhiên, ngoài mục đích đó, còn giúp người học ôn tập lại kiến thức và rèn luyện kỹ năng toán học. Dựa vào dự kiện của bài toán, HS có thể lập hàm số
0;4 ; 4 2 t t t
v mô tả sự biến thiên vận tốc của động tử và tìm được độ dài quãng đường mà nó đi được:
) ( 3 32 ) 4 ( 4 0 2 m dt t t s .
Với đáp số tìm được, có thể kết luận rằng: kết quả ước lượng của HS là có thể chấp nhận được.
Ví dụ 2.31: Bài toán bóng đá
Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ
Oth , trong đó t là thời gian (tính bằng giây), kể từ khi quả bóng được đá lên, h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ cao 1,2m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6 m.
a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên.
b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng (tính chính xác đến hàng phần nghìn).
c) Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên (tính chính xác đến hàng phần trăm)?
Rõ ràng mô hình của bài toán đã rõ, qua khai thác nội dung của bài toán, GV có thể gợi ý bằng một số câu hỏi:
1) Mô hình toán học của bài toán là gì? Xác định hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t.
2) Tọa độ đỉnh của Parabol là gì? Độ cao lớn nhất của quả bóng là bao nhiêu? 3) Quả bóng chạm đất trong những trường hợp nào? Từ lúc bắt đầu bay lên, sau bao lâu quả bóng sẽ chạm đất?
Dựa vào những dữ kiện của bài toán, HS hoàn toàn có thể lập được phương trình quỹ đạo bay của quả bóng, cũng như giải quyết các yêu cầu khác của bài toán. Qua hoạt động này củng cố cho HS những kiến thức về hàm số và đồ thị của hàm số bậc hai.
c) Tổ chức cho HS biến đổi mô hình toán học theo dụng ý của mình nhằm phát triển trí tuệ cho người học, đồng thời rèn luyện kỹ năng điều chỉnh mô hình, góp phần giúp họ đưa toán học xâm nhập sâu rộng vào tình huống thực tiễn.
Theo J. Piaget, trí tuệ là những cấu trúc nhận thức (sơ đồ nhận thức) được xây dựng nên bằng chính hoạt động của chủ thể. Phát triển trí tuệ là phát triển sơ đồ nhận thức, nó biểu hiện tập trung ở năng lực chuyển hóa các điều kiện bên ngoài vào bên trong; năng lực thay đổi sơ đồ nhận thức, tạo nên sơ đồ nhận thức mới (vùng phát triển trí tuệ mới rộng hơn). Điều đó liên quan chặt chẽ đến các hoạt động
đồng hóa và điều ứng. Hoạt động đồng hóa xảy ra khi chủ thể tiếp nhận thông tin mới, tiêu hóa chúng biến thành cái có ý nghĩa đối với bản thân; đồng hóa gắn với sự 'tăng trưởng". Hoạt động điều ứng xảy ra khi chủ thể không thể dung nạp được thông tin mới từ bên ngoài đưa vào (thông tin mới không tương hợp với sơ đồ nhận thức sẵn có), buộc chủ thể phải biến đổi sơ đồ nhận thức, tạo nên sơ đồ nhận thức mới; điều ứng gắn liền với sự "phát triển". Hiểu khái niệm trí tuệ và phát triển trí tuệ như trên, liên hệ với dạy học Toán, cho phép khẳng định rằng: có thể tạo tình huống làm xuất hiện các hoạt động đồng hóa và điều ứng (đặc biệt là điều ứng) để phát triển trí tuệ cho HS phổ thông. Trên cơ sở đó, chúng tôi đề xuất biến đổi một số mô hình của các bài toán có nội dung thực tiễn nhằm góp phần hoàn thành nhiệm vụ dạy học trên lớp vừa phục vụ mục đích của Luận văn. Cụ thể là biến đổi mô hình toán học của các bài toán có nội dung thực tiễn điển hình theo những dụng ý sau: 1) Tạo nên chướng ngại trong nhận thức (HS chưa có quy tắc giải bài toán trên mô hình mới), gây nên hoạt động điều ứng; 2) Mô hình mới (ta gọi là biến thể) hướng tới sự mô tả một tình huống nào đó trong thực tiễn. Dụng ý thứ nhất nhằm kích thích HS hoạt động điều ứng xác lập lời giải mới; trên cơ sở đó, trí tuệ của người học được phát triển. Dụng ý thứ hai nhằm rèn luyện cho HS khả năng điều chỉnh mô hình toán, góp phần đưa toán học thâm nhập vào thực tiễn đời sống.
Chẳng hạn, xét ví dụ sau:
Ví dụ 2.32: Bảng 2.2 sau đây chỉ ra tiền lương (tính bằng nghìn đô la) của một