Ph−ơng thức 1: Khai thác một số tri thức thuộc phạm trù triết học duy

7. Bố cục luân văn

2.3.1. Ph−ơng thức 1: Khai thác một số tri thức thuộc phạm trù triết học duy

học và các PPDH tích cực.

2.3. Một số ph−ơng thức TCPH trong dạy học hình học 10

2.3.1. Ph−ơng thức 1: Khai thác một số tri thức thuộc phạm trù triết học duy vật biện chứng duy vật biện chứng

Hiện nay, việc đổi mới PPDH ở tr−ờng phổ thông là phải tạo cho HS làm chủ đ−ợc khả năng tiếp thu, chủ động trong học tập. Vì vậy, để rèn luyện t− duy Toán học, khả năng tìm tòi, PH ra cái mới thì việc vận dụng một số tri thức thuộc phạm trù triết học duy vật biện chứng đóng vai trò hết sức quan trọng trong dạy học Toán. Việc vận dụng một số quan điểm biện chứng trong quá trình dạy học cho HS là một quá trình lâu dài, kéo dài suốt cả quá trình học tập, với nhiều hình thức phong phú và mức độ từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp bằng việc vận dụng các quy luật và các cặp phạm trù. Nâng cao đ−ợc chất l−ợng dạy học là vấn đề cấp bách trong giai đoạn hiện naỵ

Từ tiềm năng SGK, nếu GV giúp HS có cách nhìn nhận biện chứng của t− duy Toán học thì các em sẽ tìm đ−ợc các ph−ơng thức PH, phát triển và mở rộng kiến thức SGK, tạo b−ớc ngoặc cho việc TCPH và giải quyết các vấn đề phức tạp.

Theo chúng tôi để thực hiện ph−ơng thức 1 cần thực hiện các biện pháp sau đây:

2.3.1.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho HS khả năng xem xét các đối t−ợng Toán học, các quan hệ giữa chúng theo quan điểm vận động biến đổi

Chúng ta cần đặc biệt quan tâm xem xét các đối t−ợng, các quan hệ trong bài toán theo quan điểm vận động từ cái riêng đến cái chung để tổng quát hoá, tìm tòi, PH kiến thức mớị

Ví dụ 2.1: Cho O là trung điểm của đoạn AB. Chứng minh rằng:

0

OA +OB =

uuur uuur r

(1)

Ta xem ví dụ này là bài toán ban đầu để qua sự vận động biến đổi, tìm tòi sáng tạo ra những bài toán mới sau đâỵ

Sau khi giải bài toán ban đầu GV có thể đặt câu hỏi cho HS: Có bao nhiêu điểm O thoả men (1)?.

Theo giả thiết, ta có:

0

OA +OB =

uuur uuur r

OA +A B −A O = 0

uuur uuur uuur r

 2A O =A B uuur uuur  1 2 A O = A B uuur uuur (*)

Từ (*)  điểm O trên là duy nhất.

Từ đó, GV có thể phát triển thêm thành 3 điểm A, B, C bất kì liệu có tìm đ−ợc điểm O sao cho: OA +OB +OC = 0

uuur uuur uuur r

hay không?

Thật vậy, ta gọi N là trung điểm của BC, ta có: OB +OC =2ON

uuur uuur uuuuur

Do đó: OA +OB +OC

uuur uuur uuur

=OA +2ON

uuur uuuuur

Lấy điểm Á sao cho: OA' = 2ON

uuuur uuur

Ta có: OA +OB +OC =OA +OA' = 0

uuur uuur uuur uuur uuuur r

⇔ O là trung điểm của AÁ. Vậy điểm O tồn tại và duy nhất. Từ những điều đó nhìn vấn đề trong sự vận động biến đổi ta có bài toán mới sau:

Bài toán 1: Cho 3 điểm A, B, C bất kỳ luôn tồn tại duy nhất điểm O sao cho OA +OB +OC = 0

uuur uuur uuur r

Qua bài toán trên ta có thể phát triển với điển M bất kì nh− sau: Với điểm M bất kỳ ta có: OA +OB +OC = 0

uuur uuur uuur r

.

⇔ 3OM +MA +MB +MC = 0

uuuur uuur uuuur uuuur r

 1( )

3

MO = MA +MB +MC

uuuur uuur uuuur uuuur

Điểm O gọi là trọng tâm 3 điểm A, B, C.

Qua vấn đề trên nhìn sự vật trong mối quan hệ vận động cho n điểm ta lại có bài toán mớị

Bài toán 2: Cho n điểm phân biệt A A1, 2, ...,An(n ≥2) luôn tồn tại duy nhất điểm G thoả men: GA1 +GA2 +...+GAn = 0

uuuur uuuur uuuur r . Nhận xét: Với điểm M bất kỳ ta có:

1 2 ... n 0

GA +GA + +GA =

uuuur uuuur uuuur r

⇔ nGM +MA1+MA2 +...+MAn =0

uuuuur uuuur uuuur uuuur r

 1 2 1 ( ... n) MG MA MA MA n = + + +

uuuur uuuur uuuur uuuur

. G gọi là trọng tâm hệ n điểm A1, A2,...,An.

Việc chứng minh bài toán 2, HS có thể xây dựng bằng ph−ơng pháp quy nạp hoặc chứng minh qua hai b−ớc tồn tại và duy nhất một điểm G thoả men.

Tiếp tục, ta xét bài toán tổng quát của ví dụ 2.1 theo hệ số của các vectơ ta có:

Bài toán 3: Cho hai điểm A, B phân biệt và hai số thực α β,

(α + β ≠ 0)

Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một điểm I sao cho: α.IA +β.IB = 0

uur uur r

. H−ớng dẫn: Ta có α.IA +β.IB = 0

uur uur r

⇔ −α.A I +β.(A B −A I) = 0

uuur uuuur uuur r

⇔ (α + β)A I = β.A B uuur uuur  A I β A B α β = + uuur uuur .

Đẳng thức trên chứng tỏ sự tồn tại duy nhất của điểm I, đồng thời chỉ ra cách dựng điểm M.

Điểm I gọi là tâm tỷ cự của hai điểm A, B với bộ số (α β, ). Kết hợp bài toán 2 và bài toán 3 ta có:

Bài toán 4: Với n điểm phân biệt A A1, 2, ...,An (n ≥ 2) và n số thực 1, 2, ..., n

α α α sao cho α1 +α2 +...+αn ≠ 0. Khi đó tồn tại duy nhất điểm I sao cho: α1.IA1 +α2.IA2 +...+αn.IAn = 0

uuur uuur uuur r

.

Điểm I đ−ợc gọi là tâm tỷ cự của hệ điểm {A A1, 2,...,An} ứng với bộ số {α α1, 2,...,αn}.

Nh− vậy, trong dạy học Toán GV cần nhìn đối t−ợng Toán học theo quan điểm vận động biến đổi để tìm và phát triển nhiều bài toán mớị Phải cho HS thấy rõ đ−ợc sự vận động biến đổi của chúng trong t− duy Toán học nhằm hình thành hệ thống các kiến thức lý thuyết, từ đó hoàn thiện các kiến thức cơ bản, nâng cao lý thuyết trong chừng mực có thể, làm cho HS nhớ và khắc sâu những lý thuyết đe học trong mối quan hệ biện chứng. Thông qua việc biện pháp s− phạm này nhằm rèn luyện cho HS đào sâu khai thác các kiến thức có liên quan nh− phân tích, tổng hợp, huy động nhiều kiến thức để tìm tòi khai thác các bài toán trong sự vận động biến đổi không ngừng. Đây là biện pháp để giúp HS phát triển t− duy biện chứng, xây dựng và củng cố những kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học Toán.

2.3.1.2. Biện pháp 2: Vận dụng các quy luật của phép biện chứng duy vật vào dạy học Toán, nhằm rèn luyện cho HS biết tìm tòi PH kiến thức mới

Đối với học sinh THPT khái niệm về các quy luật của phép biện chứng duy vật còn xa lạ với các em. Nh−ng nếu trong quá trình dạy học, GV biết khéo léo cài đặt cùng với những dụng ý s− phạm thì sẽ giúp HS biết học Toán,

PH các khái niệm, định lí và giải bài tập Toán dựa vào các quy luật của phép biện chứng duy vật.

Cần l−u ý HS trong khi giải Toán, có những lớp bài toán mà đ−ờng lối giải của chúng có nguồn gốc là những suy luận mang tính chất có quy luật. Chẳng hạn khi giải các bài toán chứa nhiều đại l−ợng thay đổi (nhiều ẩn) thì thông th−ờng ta tìm cách chuyển về bài toán chứa ít đại l−ợng biến đổi hơn. Ng−ợc lại, có những bài toán chứa ít ẩn nh−ng khó giải vì các tính chất phức tạp của các biểu thức có mặt trong bài toán đó, ta lại phải tìm cách chuyển về bài toán nhiều ẩn nhiều ph−ơng trình hơn.

2.3.1.3. Biện pháp 3: Tập cho HS biết tìm tòi PH dựa vào các cặp phạm trù của phép biện chứng duy vật

*) Quan điểm biện chứng về mối quan hệ giữa nội dung và hình thức vận dụng vào trong dạy học Toán

Theo quan điểm Triết học, nội dung là tổng hợp tất cả những mặt, những yếu tố tạo nên sự vật, hiện t−ợng; hình thức là ph−ơng thức tồn tại và phát triển của sự vật và hiện t−ợng, là hệ thống các mối liên hệ t−ơng đối bền vững giữa các yếu tố của sự vật, hiện t−ợng.

Giữa nội dung và hình thức có mối liên hệ tác động qua lại, quy định lẫn nhaụ Theo quan điểm biện chứng thì nội dung có thể chứa đựng trong nhiều hình thức, nội dung quyết định hình thức và hình thức lại tác động trở lại đối với nội dung, tuy nội dung có thể diễn tả d−ới nhiều hình thức phong phú hơn, song không có nghĩa là tuỳ tiện tìm ra nhiều hình thức khác nhau của cùng một nội dung. Hình thức có thể làm che lấp nội dung nh−ng bản chất của nó luôn không thay đổị

Trong dạy học Toán GV cần phải phân tích, chứng minh, tìm tòi để nhận ra đ−ợc đâu là hình thức đâu là nội dung cần dạỵ Phải thấy đ−ợc sự mâu thuẫn giữa nội dung đó và hình thức trong đối t−ợng Toán học. Tuỳ theo trình độ HS mà GV có thể tổng quát bài toán, hoặc đề ra một bài toán có hình thức

khác nhau song nội dung đó là quen thuộc. Có thể biến t−ớng cách thay đối t−ợng Toán học này bằng đối t−ợng Toán học khác.

Ví dụ 2.2: Cho 3 đ−ờng tròn ( ) ( ) ( )α , β , χ tâm lần l−ợt là M, N, P thẳng hàng, đôi một cắt nhau và nằm về cùng một phía của đ−ờng thẳng MN tại các điểm A, B, C. Chứng minh rằng: MA P +PBM +MCN <180O.

Ta có thể chuyển đổi bài toán này về một bài toán đơn giản hơn bằng cách thay một trong những đ−ờng tròn trên bằng một đ−ờng thẳng vuông góc với đ−ờng nối tâm để giảm bớt độ khó của bài toán.

Ví dụ 2.3: Từ hình học phẳng lên hình học không gian khi ta chỉ cần thêm một toạ độ là đ−ợc, đ−a những bài toán trong hình học phẳng lên hình học không gian nhằm rèn luyện và phát triển cho HS thông qua mối quan hệ giữa nội dung và hình thức.

Xét Bài toán 1: M là một điểm trong tam giác ABC ta luôn có

MA +MB +MC <A B +BC +CA. Thật vậy: MB+MC < MB+MN+NC < < BN +NC < AB AN+ +NC  MB+MC < AB+AC T−ơng tự: MC+MA < BC +AB MA+MB < AC +BC

Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức trên ta đ−ợc điều chứng minh. Có thể thay đổi hình thức bài toán này bằng cách thay độ dài đoạn thẳng bằng những góc trong không gian, ta có những bài toán t−ơng tự sau:

Bài toán 2: Xét tứ diện SABC, M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng: MSA +MSB +MSC < ASB +ASC +CSB .

  B C A N M Hình 2.1

MSB +MSN +NSC <

< ASB +ASN +NSC =

= ASB +ASC

Vậy: MSB MSC + < ASB +ASC . T−ơng tự: MSC +MSA < BSC +BSA

MSA +MSB < CSA +CSD .

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta đ−ợc điều cần chứng minh. Từ đó ta có thể hoàn thiện lời giải bài toán sau:

Bài toán 3: O là một điểm tuỳ ý trong tứ diện SABC nhìn tất cả các cạnh d−ới 6 góc. Chứng minh rằng tổng 6 góc này lớn hơn 3π.

Thật vậy, nối S với O cắt mặt phẳng (ABC) tại M. áp dụng Bài toán 2 cho tứ diện OABC.

Ta có: AOB +BOC +COA > AOM +BOM +MOC (1) Cộng vào hai vế của (1) các góc: AOS, SOB, SOC  

(1) ⇔ AOB +BOC +COA +

  

AOS SOB SOC

+ + + >

  

AOM BOM MOC

> + + +

  

AOS SOB SOC

+ + + =

   

(AOM AOS) (BOM SOB)

= + + + +

 

(COM COS) π π π 3π

+ + = + + = .

Nh− vậy, trong quá trình dạy học Toán thì bản thân GV cần phải biết diễn tả một nội dung ra thành nhiều hình thức khác nhau, qua đó h−ớng dẫn đ−ợc HS biết “t− duy”, nhằm nâng cao đ−ợc sức sáng tạo có t− t−ởng tiến công trong khoa học, biết nhìn nhận vấn đề trong mối quan hệ biện chứng.

B A C S M N Hình 2.3 B A C S M N Hình 2.2

Thấy đ−ợc rằng trong Toán học nội dung quyết định hình thức và hình thức lại tác động trở lại nội dung, biết phân tích một sự kiện trong nhiều hình thức để từ đó tìm ra nội dung bản chất của nó.

*) Quan điểm biện chứng về mối liên hệ giữa cái chung và cái riêng vận dụng vào trong dạy học Toán

Trong quá trình dạy học Toán GV cần l−u ý cho HS biết PH cái riêng trong cái chung và biết nhận thức sâu sắc về mối quan hệ giữa cái riêng và cái chung. Mỗi cái riêng có thể đ−ợc chứa đựng trong nhiều cái chung, cái bao trùm nó theo một số quan hệ nào đó khác nhau và ng−ợc lại nhiều cái riêng có thể chứa đựng trong cùng một cái chung theo một mối quan hệ nào đó giữa các đối t−ợng. Chẳng hạn:

- Trong dạy học khái niệm Toán học thì khái niệm Toán học đ−ợc hình thành theo hai con đ−ờng quy nạp và suy diễn. Con đ−ờng quy nạp là xuất phát từ một số tr−ờng hợp cụ thể (cái riêng) để dẫn dắt HS tìm ra các dấu hiệu đặc tr−ng của một khái niệm thể hiện trong một tr−ờng hợp cụ thể. Từ đó đi đến khái niệm (cái chung); Con đ−ờng suy diễn là con đ−ờng thứ hai để hình thành khái niệm cho HS, trong đó việc định nghĩa mới khái niệm xuất phát từ định nghĩa khái niệm mà HS đe biết, đó là từ cái chung đi đến cái riêng. Trong quá trình dạy học khái niệm Toán học cần rèn luyện cho HS đi từ cái riêng đến cái chung, có nghĩa là khả năng khái quát hoá trong Toán học.

- Trong dạy học định lí: cũng nh− trong dạy học khái niệm Toán học cần phải làm cho HS hiểu đ−ợc hệ thống kiến thức. Sau mỗi phần, mỗi ch−ơng cần tiến hành hệ thống hoá các định lí, đặc biệt cần làm rõ mối quan hệ biện chứng của nó trong Toán học, mối quan hệ đó có thể là giữa cái chung và cái riêng: một định lí có thể là tr−ờng hợp mở rộng hoặc là một tr−ờng hợp riêng của một định lí nào đó. Thông qua đó ng−ời GV có thể rèn luyện cho HS khai thác và sáng tạo Toán học. Cách nhìn một cái riêng theo nhiều góc độ khác

nhau là cơ hội để tập d−ợt năng lực giải Toán cũng nh− quá trình sáng tạo b−ớc đầu Toán học của HS.

Trong quá trình dạy học Toán cũng tùy vào nội dung định lí cũng nh− đối t−ợng HS để chúng ta chọn con đ−ờng dạy học định lí Toán học phù hợp, thông th−ờng đó là con đ−ờng suy diễn và con đ−ờng suy đoán. Trong ch−ơng trình Toán phổ thông nhiều định lí là khái quát (cái chung) của nhiều định lí mà HS đe đ−ợc học (cái riêng). Vì vậy trong quá trình dạy học Toán thì dạy học định lí khâu suy đoán có nhiều cơ hội để HS phát triển năng lực t− duy Toán học nh− khái quát hoá, so sánh, t−ơng tự hoá.

Do vậy, trong quá trình dạy học Toán GV cần phải biết h−ớng cho HS biết vận dụng các loại hình t− duy trong mối quan hệ biện chứng giữa cái chung và cái riêng, từ đó tạo cho HS phát hiện và giải quyết vấn đề.

Ví dụ 2.4: Khi dạy học định lí hàm số sin trong tam giác cho HS. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a, CA = b, AB = c. Theo tính chất tam giác vuông trong tam giác đe học ở lớp 9, ta có:

sinB b a = , sinC c a = , sinA a a = Từ đó, ta rút ra đ−ợc:

sin sin sin

b c a

a

B C A

= = = .

Trong tr−ờng hợp tổng quát thì có kết quả gì?

Qua đó có thể tiếp tục cho HS nhận xét và tìm ra cái riêng “a”. Cái mà