7. Bố cục luân văn
2.3.4. Ph−ơng thức 4: Khai thác t− t−ởng của G Pôlya
Theo G. Pôlya, một phát minh khoa học lớn cho phép giải quyết một vấn đề lớn, nh−ng ngay cả trong việc hình thành một khái niệm hay cũng có ít nhiều phát minh. Một khái niệm hay một định lí ta tiếp thu có thể là bình th−ờng, nh−ng nếu nó khêu gợi đ−ợc tính tò mò thì buộc ta phải sáng tạo, và nếu tự mình rút ra đ−ợc tri thức đó thì ta có thể biết đ−ợc quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợị
Những tình cảm nh− vậy đến một lúc nào đó, sẽ khuấy động sự ham thích công việc trí óc và sẽ để lại dấu vết trong cá tính của ng−ời học Toán. Do đó nếu ng−ời GV dạy Toán dùng tất cả thì giờ cho HS làm những tình huống tầm th−ờng, hay mang tính chất đọc chép thì sẽ làm cho HS mất hết hứng thú, làm trở ngại cho việc phát triển trí tuệ của họ. Nh−ng nếu ng−ời GV khêu gợi đ−ợc trí tò mò cùng niềm đam mê tìm tòi, PH của HS bằng cách đ−a vào những tình huống phù hợp trình độ khả năng của HS thì GV có thể mang lại cho họ cái hứng thú của sự suy nghĩ độc lập và những ph−ơng tiện để đạt kết quả.
Ông cho rằng, ng−ời HS cũng có những thuận lợi đặc biệt. Những thuận lợi này sẽ mất đi nếu ng−ời HS xem Toán học nh− là một môn học mà sau kỳ thi cuối cùng quên càng nhanh càng tốt. Ngay đối với một HS có ít nhiều năng khiếu về Toán, những thuận lợi đó có thể mất đi bởi vì cũng nh− những ng−ời khác, bản thân HS phải tự thấy năng khiếu và sở thích của mình. Chừng nào mà ng−ời HS đe thích thú Toán học thì khó mà quên đ−ợc môn đó và rất có thể là Toán học sẽ chiếm một vị trí nhất định trong cuộc đời anh tạ
Theo ông, giúp đỡ HS là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất mà ng−ời GV cần thiết phải làm. Nhiệm vụ đó không phải là dễ; nó đòi hỏi phải
có thời gian, kinh nghiệm, phải có lòng tận tâm và những nguyên tắc đúng đắn. Ng−ời HS với sự nỗ lực của bản thân phải thu đ−ợc những kinh nghiệm, độc lập học tập càng nhiều càng tốt. Nh−ng nếu anh ta một mình đứng tr−ớc một khái niệm, định lí hay bài toán mà không có sự định h−ớng nào, hay chỉ định h−ớng mang tính chất truyền thụ một chiều thì không có tiến bộ gì đ−ợc. Mặt khác GV giúp đỡ quá nhiều HS chẳng còn gì phải làm. GV phải giúp đỡ một cách vừa phải, không quá nhiều, cũng không quá ít và nh− vậy để lại cho HS một phần công việc hợp lí.
Nếu khả năng của HS bị hạn chế, GV ít nhất cũng phải làm cho HS có cảm giác rằng anh ta tự làm lấỵ Do đó sự giúp đỡ của GV cần phải kín đáo và không bắt HS phải lệ thuộc vào mình. Tốt nhất là giúp HS một cách tự nhiên. GV phải đặt địa vị mình là một HS, nghiên cứu tr−ờng hợp đặc biệt của anh ta, cố gắng hiểu xem anh ta nghĩ gì, đặt câu hỏi hay h−ớng dẫn một b−ớc suy luận mà HS có thể tự mình nghĩ ra đ−ợc.
Trong khi cố gắng giúp đỡ HS một cách có hiệu quả và tự nhiên nh−ng không bắt HS phải lệ thuộc vào mình, GV phải liên tiếp đề ra những câu hỏi và h−ớng dẫn các b−ớc suy luận. Chẳng hạn, khi dạy học cần đặt câu hỏi bằng nhiều hình thức khác nhau: “Định lí có vẻ đúng hay không? Hay là định lí xem ra có vẻ vô lí”. Mục đích các câu hỏi này buộc HS phải tập trung sự chú ý vào cái ch−a biết. Đôi khi ta đạt kết quả đó một cách tự nhiên hơn bằng cách khuyên: “Hey nhìn kỹ vào cái ch−a biết?”.
Do đó những câu hỏi mà ng−ời GV ra phải tự nhiên để tất cả các em HS đều có thể nghĩ tới đ−ợc. Những câu hỏi đó phải tổng quát để sự giúp đỡ không bị gò bó, nó chỉ vạch ra một h−ớng chung để cho ng−ời HS có nhiều việc phải làm.
Những câu hỏi và những lời khuyên điển hình đ−ợc ông tập hợp và sắp xếp thành bảng. Tất cả những câu hỏi và lời khuyên này đều tổng quát, ngoài
ra chúng rất tự nhiên, đơn giản, hiển nhiên và đều bắt nguồn từ l−ơng tri thông th−ờng.
Trong cuốn: Sáng tạo Toán học, khi đề cập đến công việc trí óc. G. Pôlya viết: “Ng−ời giải Toán phải hiểu đ−ợc trí tuệ của mình nh− ng−ời lực sĩ hiểu thân thể anh ta” [19, tr.305]. Điều này nói lên rằng, tác giả quan tâm đến vấn đề t−ơng quan giữa những ng−ời học Toán và đặc điểm trí tuệ của họ.
Một quan điểm khác trong quan điểm của G. Pôlya là: Tác giả có nói đến khác vọng giải đ−ợc bài toán. Tác giả viết: “Khác vọng và quyết tâm giải đ−ợc bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài tập. Một bài toán bạn định giải mà bạn đe hiểu khá rõ về nó, thì nó ch−a hoàn toàn là một bài toán đối với bạn. Bài đó chỉ thực sự trở thành bài toán của bạn, thực sự thu hút tâm trí bạn, lúc bạn quyết tâm giải đến cùng và khao khát đ−ợc giải”.
Bằng cách nào đó ta có thể nghiệm lại không những các lý luận của ng−ời khác, mà dĩ nhiên cả những lý luận của ta nữạ Bạn đe xét tất cả các khái niệm cốt yếu của bài toán hay ch−ả Bạn đe sử dụng các khái niệm đó nh− thế nàỏ Bạn đe sử dụng nội dung của các khái niệm đó rút ra từ định nghĩa của chúng ch−ả Bạn đe sử dụng mọi sự kiện chủ yếu, mọi định lí mà bạn biết đ−ợc về khái niệm đó ch−ả
Vì vậy việc nhớ lại định nghĩa là một thủ thuật quan trọng của trí óc. Để hiểu biết ý nghĩa của điều đó, tr−ớc hết ta phải thấy tầm quan trọng của ngay cả bản thân các danh từ. Nói cho cùng thì ta không thể vận dụng trí óc mà lại không dùng đến các từ, đến các dấu hiệu, hoặc ký hiệu này hay ký hiệu khác. Nh− vậy các danh từ và các ký hiệu là có sức mạnh.
Vậy thì đằng sau các danh từ ta phải tìm ra ý nghĩa và các sự kiện. Đó là một điều hợp lý. Khi nhớ lại các định nghĩa, nhà Toán học tìm cách thiết lập những t−ơng quan giữa đối t−ợng Toán học mà các nhà chuyên môn che giấụ
+ Tính hợp lí. Không bao giờ bạn đi ng−ợc lại những cảm giác của mình nh−ng cũng cố gắng tỉnh táo cân nhắc tất cả những lí lẽ phù hợp hay mâu thuẫn với các kế hoạch của bạn.
+ Tiết kiệm nh−ng không cố chấp. Hey bám sát kiến thức càng gần càng tốt, nh−ng bạn phải sẵn sàng đi ra xa bài toán tới những giới hạn mà hoàn cảnh yêu cầụ
+ Kiên trì nh−ng phải mềm dẻọ Đừng lao vào một vấn đề lúc bạn chẳng còn hy vọng PH ra một ý gì có ích, nh−ng trong mỗi giai đoạn, hey cố gắng nắm đ−ợc những bộ phận ch−a đụng chạm tới và rút ra đ−ợc những ý có ích từ những điều bạn còn ch−a nghiên cứụ
+ Các quy tắc −u tiên. Cái dễ hơn đi tr−ớc cái khó hơn; cái quen biết hơn đi tr−ớc cái xa lạ hơn; đối t−ợng có nhiều điểm gắn với bài toán đang xét đi tr−ớc đối t−ợng có ít điểm hơn.
+ Các bộ phận phụ của bài toán. Cái toàn bộ đi tr−ớc cái bộ phận. Những bộ phận chính đi tr−ớc các bộ phận khác. Những bộ phận gần hơn đi tr−ớc những bộ phận xa hơn.
+ Những kiến thức có ích, những định lí đe chứng minh có cùng kết luận nh− định lí đang chứng minh đi tr−ớc các định lí đe chứng minh khác.
+ Các bài toán phụ. Những bài toán t−ơng đ−ơng với bài toán đang xét đi tr−ớc các bài dẫn tới bài này hay bao hàm bài này, và những bài loại sau lại đi tr−ớc tất cả các bài khác.
Xuất phát từ quan điểm của G. Polya, chúng tôi đề xuất một số biện pháp s− phạm nhằm nâng cao khả năng học Toán cho HS.
2.3.4.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho HS hoạt động dự đoán
Theo Từ điển Tiếng Việt thì dự đoán là “đoán tr−ớc tình hình, sự việc nào có thể xảy ra”.
Khi nói về dự đoán tác giả Đào Văn Trung viết: "Dự đoán th−ờng đ−ợc mô tả là một ph−ơng pháp t− t−ởng đ−ợc ứng dụng rộng rei trong nghiên cứu
khoa học. Đó là căn cứ vào các nguyên lý và sự thật đe biết để nêu lên những hiện t−ợng và quy luật ch−a biết. Hay, dự đoán là sự nhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận" [33, tr.242].
Khi đề cập đến tầm quan trọng của hoạt động dự đoán trong giải Toán, G. Polya viết: “Dự đoán chiếm vị trí trung tâm của hoạt động trí tuệ trong khi giải Toán. Ngay sau khi đọc kỹ một đầu bài toán, ng−ời giải cố gắng dự đoán phạm vi đi tìm lời giảị Phạm vi này có thể còn mơ hồ, thậm chí còn có phần nào không đúng, mặc dầu thật ra không phải lúc nào cũng quá sai lầm. Trên cơ sở dự đoán ta có đ−ợc cái toàn thể ban đầu” [7, tr110].
Nh− vậy, có thể khẳng định rằng: hoạt động dự đoán là hoạt động mà trong bất kỳ công việc nào cũng cần có. Vậy liệu có cách nào học đ−ợc dự đoán không? Theo G. Pôlia thì trừ những ng−ời đ−ợc trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phải học tập để có đ−ợc năng khiếu dự đoán. Quá trình dự đoán có kết quả khi phán đoán mà chúng ta đ−a ra gần với chân lý nhất, để làm đ−ợc điều đó “các bạn cần nghiên cứu dự đoán của mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổi dạng chúng đi nếu cần, nh− vậy sẽ có kinh nghiệm phong phú và sâu sắc hơn về các dự đoán sai và các dự đoán đúng. Với kinh nghiệm đó trong tiềm thức, các bạn có thể phán đoán một cách có cơ sở hơn, xem dự đoán nào đúng và dự đoán nào sai” [20, tr.150-151].
Chúng tôi cho rằng: ng−ới GV với vốn kinh nghiệm có sẵn, khi muốn hình thành bất kỳ các khái niệm và định lí hay cách giải bài toán nào cũng cần phải tập luyện cho HS bắt ch−ớc những gì mình đe trải nghiệm. Tức là phải có “nghệ thuật” chuyển đổi những “tái hiện” từ ngôi này sang ngôi kiạ Từ đó HS sẽ có kinh nghiệm và tự mình “tái hiện” lại tri thức khi đứng tr−ớc một khái niệm, định lí hay bài tập tiếp theọ
G. Polya đe nói: “Tôi không tin rằng có một ph−ơng pháp đảm bảo tuyệt đối việc học thông thạo cách dự đoán” [Toán học và suy luận có lý, tr.7]. Tuy nhiên, ng−ời GV khi dạy học Toán cũng cần quan tâm đến một số con đ−ờng
dự đoán thông dụng từ đó giúp HS biết cách PH và GQVĐ nh−: (1) Dự đoán bằng đặc biệt hóa, (2) Dự đoán bằng t−ơng tự hóa, (3) Dự đoán bằng khái quát hóạ Tất cả các “con đ−ờng” này muốn trở thành kỹ xảo, thì ng−ời học Toán phải trải qua thực hành.
*) “Đặc biệt hóa là việc chuyển từ việc nghiên cứu tập hợp đối t−ợng đe cho sang nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn thuộc tập đe cho” [20, tr.24].
Ví dụ 2.13: Từ bài toán ban đầu: "Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm O ta có
uuur uuur uuur uuur
3OG = OA + OB + OC ", nếu ta thay O bằng một điểm đặc biệt, chẳng hạn O là tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì ta có bài toán mới sau:
Bài toán mới: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác ABC, O là tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a) Chứng minh:
uuur uuur uuur uuur
3OG = OA + OB + OC . b) Chứng minh tam giác ABC đều ⇔
uuur uuur uuur r
OA + OB + OC = 0 và t−ơng tự câu b, ta có các bài toán mới sau:
Bài toán 1: Cho tam giác ABC, H là trực tâm. CMR tam giác ABC đều
⇔
uuur uuur uuur r
HA + HB + HC = 0 .
Bài toán 2: Cho tam giác ABC, I là tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng ∆ABC đều ⇔
uur uur uur r
IA + IB + IC = 0 .
Đặc biệt hóa bài toán ban đầu là con đ−ờng đi đến bài toán mới đ−ợc sử dụng trong các bài tập có tính đặc thù nhằm chống suy nghĩ rập khuôn, chống áp dụng quy tắc, thuật Toán một cách máy móc, giúp khắc phục "Tính ỳ" của t− duỵ
Chẳng hạn, trong SGK hình học 10 có những bài toán kiểu nh−: Cho tam giác ABC có AB = 6, BC = 7, AC = 8, Tính ha, ma và bán kính đ−ờng tròn ngoại tiếp ∆ABC .
Để giải bài toán này HS th−ờng vận dụng các công thức đe học để tính nh−: Công thức Hê rông để tính diện tích tam giác rồi tính ha từ công thức
⋅ a
1 S = a h
2 ; tính bán kính đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác bằng công thức abc
S =
4R ; công thức độ dài đ−ờng trung tuyến để tính ma.
Ta có thể đặc biệt hóa các bài toán kiểu nh− trên thành những bài toán có tính đặc thù.
Chẳng hạn: Cho tam giác ABC có AB = 36; AC =48; BC = 60. Tính
ha, ma và bán kính đ−ờng tròn ngoại tiếp ∆ABC.
Đối với bài toán này để HS nhận xét đ−ợc đặc điểm các cạnh
AB : AC : BC = 3 : 4 : 5 thì ta có thể giải bài toán trên một cách dễ dàng. Vì khi AB : AC : BC = 3 : 4 : 5 thì tam giác ABC vuông tại Ạ
Vì vậy: ⋅ ∆ 2S 1 1 BABC AB AC 144 m =a BC = 30; R = BC = 30; h =a = = 2 2 a 60 5 .
*) “T−ơng tự là một kiểu giống nhau nào đó. Có thể nói t−ơng tự là giống nhau nh−ng ở mức độ xác định hơn và ở mức độ đ−ợc phản ánh bằng khái niệm” [20, tr.24].
Ví dụ 2.14: Giả sử HS đe giải đ−ợc bài toán: "Cho hai tam giác ABC và tam giác A B C1 1 1 thoả men điều kiện
uuuur uuur uuuur r
1 1 1
AA + BB + CC = 0 . Chứng minh rằng hai tam giác có cùng trọng tâm". Bằng cách phân tích nh− sau:
uuuur uuuur uuur
1 1
AA = GA - GA ,
uuur uuuur uuur
1 1
BB = GB - GB ,
uuuur uuuur uuur
1 1
CC = GC - GC (với G là trọng tâm của tam giác ABC).
Bằng cách t−ơng tự cho HS giải bài toán: "Cho hai tứ giác có cùng trọng tâm". Có thể đặt vấn đề gợi mở để phân tích vectơ t−ơng tự nh− đối với tr−ờng hợp tam giác.
uuuur uuuur uuur
1 1
AA = GA - GA ,
uuur uuuur uuur
1 1
BB = GB - GB ,
uuuur uuuur uuur
1 1
uuuur uuuur uuur
1 1
Đ = GD - GD .
Nh− vậy, khi sử dụng phép t−ơng tự có thể chuyển từ cách giải bài toán đe biết đến một bài toán mới nh− đe trình bày ở trên là một ví dụ, ngoài ra sự t−ơng tự có thể gặp nhiều khi nghiên cứu hình học không gian. Khi đó những bài toán từ không gian có thể chia nhỏ từng b−ớc về phẳng để giải quyết.
*) “Khái quát hóa là việc chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối t−ợng đe cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn, bao gồm cả tập ban đầu” [Toán học suy luận có lý, tr.23].
Do đó, trong quá trình DH các định lí, GV cũng nên tập cho HS biết khái niệm khái quát hóa và vận dụng trong nhiều tr−ờng hợp, biết khai thác các bài toán cơ bản dựa theo SGK để ra đ−ợc bài toán tổng quát.
Ví dụ 2.15: Xuất phát từ bài toán: "Cho hai điểm A, B. Tìm điểm M sao cho
uuuur uuur r
MA + MB = 0 ". HS dễ dàng tìm đ−ợc M là trung điểm của AB (còn gọi là trọng tâm 2 điểm A, B), đến đây GV có thể gợi động cơ để xây dựng bài toán cho trọng tâm của hệ những điểm trong mặt phẳng. Chẳng hạn, có thể gọi